高考数学二轮复习：专题二 数学传统文化的创新应用问题

热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。

2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。

②以数学猜想和定理为命题背景。

③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。

④以数学的应用为命题背景。

⑤历史名人。

⑥历史发展。

3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。

这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。

4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。

但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。

我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。

为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。

比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。

像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。

除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。

【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。

2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。

专题二 数学传统文化的创新应用问题一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋12nn ＋1＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《X 丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( ) A.47尺布 B.5229尺布 C.815尺布 D.1631尺布 解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229.答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 82803，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 11－271－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B. 答案：B6．(2017·某某调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B. 答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S扇形OACB－S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·某某模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今某某省某某市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ( ) A ．10步，50步 B ．20步，60步 C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B. 答案：B 二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)． 解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k5k ＋12(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝5k －15k －1＋12＝5k5k －12， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 答案：(1)5 030 (2)5k5k －1212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π传统文化训练二一、选择题1．(2017·某某模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.答案：A2.(2017·某某模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否； 当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C. 答案：C3．(2017·某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( ) A ．28 B ．32 C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱． 答案：B4．(2017·某某模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝x32＋3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66x －322＋34，故选A.答案：A5．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D. 答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环；n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516， b ＝32，此时，a ＜b .输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·某某中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n 103＋13n ＋902＋n 97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.答案：D8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( )A.2n ＋1＋2n n ＋1 B.1n ＋1＋1n n ＋1C.1n ＋2＋1nn ＋2 D.12n ＋1＋12n ＋12n ＋3解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半， 第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1， 即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12＝2n ＋1＋2n n ＋1.故选A. 答案：A 二、填空题9．某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P 的值为________．解析：由题意，第1次循环：a ＝0，b ＝1，i ＝3，S ＝0＋1＝1，求出第3项c ＝1，求出前3项和 S ＝0＋1＋1＝2，a ＝1，b ＝1，满足条件，i ＝4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c ＝1＋1＝2，求出前4项和S ＝0＋1＋1＋2＝4，a ＝1，b ＝2，满足条件，i ＝5，执行循环体，…… 第8次循环：求出第10项c ，求出前10项和S ，此时i ＝10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S 的值，故判断框内应为“i ≤9？”，所以P 的值为9.答案：910．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00011．(2017·某某模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：通解：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5 280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.优解：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5512．(2017·某某模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [2a ＋c b ＋2c ＋a d ＋d －b ]6个，假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________个．解析：根据题意可知，a ＝2，b ＝1，n ＝15，则c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为15×20＋34×15＋146＝1 360. 答案：1 360。

专项三 特色讲练数学传统文化立体几何中的数学文化题立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．[典型例题](1)(2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．(2)(2018·黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．其意：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点为(5，0)．直线y ＝0与y ＝3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为________．【解析】 (1)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A ­BCD 所示，其中AB ＝22，BC ＝CD ＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A ­BCD 的外接球，设外接球的直径为2R ，所以4R 2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R 2＝3，因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.(2)由题意可得双曲线的方程为x 2－y 24＝1，直线y ＝3在第一象限内与渐近线的交点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，与双曲线在第一象限内的交点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫132，3，在所得几何体中，在高为h 处作一截面，则截面面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋h 24－h 24＝π，根据祖暅原理，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为3π.【答案】 (1)12π (2)3π(1)本例(1)以“鳖臑”为背景，考查由三视图还原几何体，并求几何体的表面积．此类问题于生活中的盖房问题．这将引领师生关注生产、生活中的社会问题，体现数学文化“以数化人”的功能．对于其他几何体，如“刍童”“羡除”等，需要给予关注．(2)祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个关于几何体体积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人教A 版《必修2》教材第30页专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，既考查了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华优秀传统文化．[对点训练]V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) B.258 C.50D.355113解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A.数列中的数学文化题数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[典型例题](1)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟 B.107斗粟 C.157斗粟 D.207斗粟 (2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n6[(2a ＋c )b ＋(2c＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86【解析】 (1)法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C.法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207(斗)，羊主人应赔偿5×17＝57(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157(斗)，故选C. (2)由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C.【答案】 (1)C (2)C解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式．[对点训练]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A.76钱 B.56钱C.23钱 D.1钱解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱，故选D.算法中的数学文化题算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图．[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)()A．12 B．24C．36 D．48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝110011，k＝2，n＝7，则输出的b＝( )A ．19B ．31C ．51D ．63【解析】 (1)按照程序框图执行，n ＝6，S ＝3sin 60°＝332，不满足条件S ≥3.10，执行循环；n＝12，S ＝6sin 30°＝3，不满足条件S ≥3.10，执行循环；n ＝24，S ＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S ≥3.10，跳出循环，输出n 的值为24，故选B.(2)按照程序框图执行，b 依次为0，1，3，3，3，19，51，当b ＝51时，i ＝i ＋1＝7，跳出循环，故输出b ＝51.故选C.【答案】 (1)B (2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a ＝114，b ＝30，则输出的n 为( )A ．3B ．6C ．7D ．30解析：选C.a ＝114，b ＝30，k ＝1，n ＝0，a ，b 都是偶数，a ＝57，b ＝15，k ＝2，a ，b 不满足都为偶数，a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝57－15＝42，n ＝0＋1＝1；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝42－15＝27，n ＝1＋1＝2；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝27－15＝12，n ＝2＋1＝3；a ＝b 不成立，a >b 不成立，a ＝15，b ＝12，a ＝15－12＝3，n ＝3＋1＝4；a ＝b 不成立，a >b 不成立，a ＝12，b ＝3，a ＝12－3＝9，n ＝4＋1＝5；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝9－3＝6，n ＝5＋1＝6；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝6－3＝3，n ＝6＋1＝7；a ＝b 成立，输出的kb ＝6，n ＝7.概率中的数学文化题[典型例题]B.14 D.16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.136B.118C.112D.19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P ＝9＝3.故选A.(2)函数y ＝3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118.故选B.【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．[对点训练]《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A.π15 B.2π5 C.2π15D.4π15解析：选C.因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C.三角函数中的数学文化题三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换．[典型例题]其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练]第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________．解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5，1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0<θ<π2)，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7.答案：－7函数中的数学文化题函数中的数学文化题一般以中华优秀传统文化为背景，考查函数的图象与性质．[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个；②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形． 其中正确的命题为( )A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④【解析】 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确； 函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故④错误．故选A.【答案】 A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD . PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD ＝x3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，故选A.一、选择题1．(2018·合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d ＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.2．(2018·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为( ) A．15 B．16C．47 D．48解析：选D.执行程序框图，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2≥0，v＝1×3＋2＝5，i＝1≥0，v＝5×3＋1＝16，i＝0≥0，v＝16×3＋0＝48，i＝－1<0，退出循环，输出v的值为48.故选D.3．(2018·沈阳教学质量监测(一))刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334πB.332πC.12πD.14π解析：选B.如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝34×12×6π×12＝332π. 4．(2018·高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：选D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音频率为a 8＝f (，故选D.5．甲、乙、丙、丁、“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：选C.由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．6．(2018·惠州第二次调研)《周易》历被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.7．(2018·兰州模拟)刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.3π2C ．3πD ．4π解析：选B.由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P ­ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD 且PA ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P ­ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2，故选B.8．(2018·唐山五校联考)割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．这是公元三世纪我国古代数学家刘徽大胆地应用以直代曲、无限趋近求圆周率的思想方法．现利用刘徽的“割圆术”思想设计一个计算圆周率的近似值的程序框图(如图)．若输入的a ＝3，n ＝10，则输出的n ＝( )A ．20B ．40C ．80D ．160参考数据：解析：选B.当a b |＝0.061>0.05，不满足条件，则n ＝20，b ＝2.939，a ＝12×20×sin ，此时|a －b |＝0.151>0.05，不满足条件，则n ＝40，b ＝3.090，a ＝12×40×|a －b |＝0.038<0.05，满足条件，故输出的n 9设△ABC ，则△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222.若a 2sin C ＝ABC 的面积为( )B ．2C D. 64sin A ，得ac ＝4.再结合(a ＋c )2＝12＋b 2，得a 2＋c 2－b 2＝4，则S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222＝16－44＝3，故选A. 10．中国古代名词“刍童”原是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A.392B.752 C ．39D.6018解析：选B.设下底面的长为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋92×172＋392＝752.故选B.11．(2018·昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现在一旋转体D (如图1所示)，它是由抛物线y ＝x 2(x ≥0)，直线y ＝4及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体D 的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D 的体积是( )A.16π3B ．6πC ．8πD ．16π解析：选C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V ＝12×4×4×π＝8π，故旋转体D 的体积为8π，故选C.12．(2018·郑州第一次质量预测)刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( )A ．24B ．32 5C ．64D ．32 6解析：选B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S 四边形ABED ＝S 四边形ACFD ，S △ABC ＝S △DEF .过点A向平面BCFE 作垂线，垂足为A ′，作AM ⊥CF 于点M ，作AN ⊥BC 于点N ，连接A ′N ，易知AA ′＝4，A ′N ＝CM ＝8－42＝2，CN ＝12BC ＝2.在Rt△AA ′N 中，AN ＝AA ′2＋A ′N 2＝42＋22＝25，在Rt△ANC 中，AC ＝CN 2＋AN 2＝22＋（25）2＝26，在Rt△AMC 中，AM ＝AC 2－CM 2＝（26）2－22＝2 5.所以S四边形ACFD＝12×(4＋8)×25＝125，S △ABC ＝12×BC ×AN ＝12×4×25＝4 5.所以该茅草屋顶的面积为2×125＋2×45＝325，故选B.二、填空题13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，B n ＝2n－12－1，解得2n＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝________．解析：第一次循环，得S ＝2，否；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝92，否；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝354，否；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝1358＞10，是，输出的n ＝4. 答案：415．(2018·广州调研)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角”．现将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1＝1，S 2＝2，S 3＝2，S 4＝4，…，则S 126＝________．解析：题图②中的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n 次全行的数都为1的是第2n －1行，有2n －1个1.第1行，1个1，第2行，2个1，第3行，2个1，第4行，4个1；第1行1的个数是第2行1的个数的12，第2行与第3行1的个数相同，第3行1的个数是第4行1的个数的12；第5行，2个1，第6行，4个1，第7行，4个1，第8行，8个1；第5行1的个数是第6行1的个数的12，第6行与第7行1的个数相同，第7行1的个数是第8行1的个数的12.根据以上规律，当n ＝8时，第28－1行有128个1，即S 128＝128，第127行有64个1，即S 127＝64，第126行有64个1，即S 126＝64.答案：6416．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于五世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy平面上，将两个半圆弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、两条直线y＝1和y＝－1围成的封闭图形记为D，如图所示阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.答案：2π2＋16π。

【二轮精品】第二篇主题14算法与传统文化【主题考法】本主题的考查形式为选择题或填空题，常与传统文化、函数、数列、统计、不等式等知识结合，考查对三种基本逻辑结构、基本算法语句及算法应用案例的理解应用，重点考查形式有已知程序框图或算法程序，求输入或输出结果或已知结果补全框图或补全算法程序，考查辗转相除、法更相减损术求最大公约数的方法，秦九韶算法，各种进位制之间的转换方法，考查运算求解能力、读图识图能力，难度为中等，分值为5分.【主题考前回扣】1.程序框图的结构类型及作用名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体程序框图2．三种语句的一般格式和功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出结果赋值语句变量＝表达式将表达式的值赋给变量3.条件语句（1）条件语句与程序框图中的条件结构相对应．（2）条件语句的格式及框图．①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式3．循环语句（1）算法中的循环结构是由循环语句来实现的．（2）循环语句的格式及框图①UNTIL语句②WHILE语句【易错点提醒】1.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“＞”的区别．2．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．3.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．4.控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件.在解答这类题目时，易混淆两变量的变化次序，且容易错误判定循环体结束的条件.【主题考向】考向一程序框图【解决法宝】解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．例1【2020届五岳湖南、河南、江西高三3月线上联考】如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案.【解析】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S =时，9i =；当1910S =+=时，8i =；当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =.此时输出31S =，故选C.考向二算法语句【解决法宝】1.解答算法程序问题的方法(1)首先要读懂算法程序，要熟练掌握算法程序的五种基本语句和，特别是条件语句和循环语句，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环语句．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．学%科网(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．2．循环语句的三个注意点：(1)注意区分计数变量与循环变量．(2)注意哪一步结束循环.（3）要分清循环语句类型.例2【2020江苏省盐城市一中等四校联考】如图是一个算法伪代码，则输出的i 的值为________.【分析】执行循环结构流程图，即得结果.【解析】执行循环结构流程图得9123410S =----=-<,结束循环，输出415i =+=.考向三算法案例【解决法宝】1.辗转相除法的算法步骤：第一步，给定两个正整数m ，n .第二步，计算m 除以n 所得的余数r .第三步，m ＝n ，n ＝r .第四步，若r ＝0，则m ，n 的最大公约数等于m ；否则返回第二步．2.进位制的转化的方法：①将十进制数n 化为k 进制数，常用除k 取余法，即用k 连续除n 或所得商，然后取余数，直到商为0，从最后一个余数开始依次为k 进制的第1为到最后一位，就得到k 进制数；②将k 进制化为十进制，先将k 进制数写成不同位置上的数字与k 的幂（幂指数为该数字在k 进制中从右向左数的位数减1）的乘积的和，再按十进制的运算规则计算出来的结果就是对应的十进制数.3.秦九韶算法的步骤：第一步，改写多项式0111)(a x a xa x a x f n n nn ++++=-- 为)(x f =021)))((((a x x a x a x a n n n ++++-- 第二步，计算，当0x x =时，由内到外依次计算⎩⎨⎧=+==--),,2,1(010n k a x v v a v k n k kn ；第三步，，当0x x =时，)(x f 的值为n v x f =)(0.例3【2020山西省长治第一次联考】秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。

专题二 数学传统文化的创新应用问题高考命题动向，重视数学文化教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．〞因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读．[考情分析] 年份题型 考查角度 考情分析2017年高考全国卷Ⅰ选择题第4题 几何概型 数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型．预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易．2016年高考全国卷Ⅱ 选择题第9题秦九韶算法 2015年高考全国卷Ⅰ选择题第4题勾股数、古典概型选择题第6题九章算术、圆锥体积015年高考全国卷Ⅱ选择题第8题 更相减损术 预测1：古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数． 预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目．如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．立体几何中的数学文化题[例1]《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，那么圆柱底面圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺 [思路分析] 根据圆柱的体积公式，结合题中圆柱的体积和高以及有关单位的数据计算出圆柱的底面半径，再根据圆的周长公式，计算出圆柱底面圆周长．解析：设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，那么圆柱底面圆周长约为5丈4尺，应选B.答案：B[体会领悟] 此题属于生活中谷物储存问题，源于《九章算术》第五章“商功〞，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养．我国古代数学强调“经世济用〞，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，表达出明显的问题式、综合性的特征．立体几何中几何体体积公式是常考内容，例如2014年某某卷第10题和2015年高考全国卷Ⅰ第6题考查圆锥的体积公式．[例2] “牟合方盖〞是我国古代数学家X徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为表达其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d[思路分析] 观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖〞的特征表达，结合“当其正视图和侧视图完全相同时〞这个关键条件作答．解析：当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖〞相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，应选A.答案：A[体会领悟] “牟合方盖〞是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．此题取材于“牟合方盖〞，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图〞到想“图〞再到构“图〞，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马〞“鳖臑〞和“堑堵〞等的三视图问题都有可能在高考中考查．[例3] 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞．“幂〞是截面积，“势〞是几何体的高，意思是两等高立方体，假设在每一等高处的截面积都相等，那么两立方体体积相等．某不规那么几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同〞，那么该不规那么几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π[思路分析] 根据题设所给的三视图，想象出图中所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可．解析：由祖暅原理可知，该不规那么几何体的体积与三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规那么几何体的体积为8－π，应选C. 答案：C[体会领悟] 祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育《数学必修2》(A 版)第30页“探究与发现〞中专门介绍了祖暅原理．此题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．数列中的数学文化题[例4] 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？〞其意思为：“甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？〞(“钱〞是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱 [思路分析] 读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，此题相当于等差数列{a n }中，前5项和为5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，求a 1.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝43，d ＝－16，应选D.答案：D [体会领悟] 我国古代数学强调“经世济用〞，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列问题．[例5] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．〞其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里[思路分析] 读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，此题相当于：等比数列{a n }中，公比q ＝12，前6项和S 6＝378，求a 2. 解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 11－1261－12＝ 378，解得a 1＝192， 那么a 2＝192×12＝ 96，即第二天走了96里，应选B. 答案：B[体会领悟] 与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[例6] 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列〞，那么a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 22 015a 2 015是斐波那契数列中的第________项．[思路分析] 此题先根据题意明确该数列的递推公式，再依据所给式子中项的特点把递推公式恰当变形得出结论．解析：依题意得a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a n ＋1·a n ＋2＝a 2n ＋1＋a n a n ＋1，那么a 2 015a 2 016＝a 22 015＋a 2 014a 2 015，a 2 014·a 2 015＝a 22 014＋a 2 013a 2 014，a 2 013a 2 014＝a 22 013＋a 2 012a 2 013，…，a 2a 3＝a 22＋a 1a 2，又a 21＝a 1a 2，因此a 2 015a 2 016＝a 22 015＋a 22 014＋a 22 013＋…＋a 22＋a 21，即a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 22 015a 2 015＝a 2 016， 即a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 22 015a 2 015是斐波那契数列中的第2 016项． 答案：2 016[体会领悟] 该题的命制以人民教育《数学必修5》(A 版)第32页“阅读与思考〞中的“斐波那契数列〞为背景，考查考生灵活处理递推数列问题的能力和转化与化归能力．斐波那契数列有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛应用．在高考中，也曾经很多次考查斐波那契数列问题．算法中的数学文化题[例7] 如下图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术〞．执行该程序框图，假设输入的a ，b 分别为8,12，那么输出的a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．14[思路分析]读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：由程序框图输入的a ＝8，b ＝12，按程序框图所示依次执行，可得b ＝12－8＝4，a ＝8；a ＝8－4＝4，b ＝4，a ＝b ，所以输出a ＝4.应选A.答案：A[体会领悟]《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．此题程序框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术〞算法，2015年高考全国卷Ⅱ第8题也是此类问题．[例8] 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现某某省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入n，x的值分别为4,3，那么输出v的值为( )A．20 B．61C．183 D．548[思路分析]读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：初始值n，x的值分别为4,3，程序运行过程如下：v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；v＝61×3＋0＝183，i＝－1＜0，结束循环，此时输出v的值为183.应选C.答案：C[体会领悟] 秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的求值问题的算法．其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．此题程序框图的算法思路源于《数书九章》中多项式求值的“秦九韶算法〞．[例9] 公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术〞，利用“割圆术〞X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率〞．如图是利用X徽的“割圆术〞思想设计的一个程序框图，那么输出n的值为________．(参考数据：sin15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)[思路分析] 读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598＜3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.答案：24[体会领悟] 更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育《数学必修3》(A 版)第36页，第37页，第45页“算法案例〞中出现．其中更相减损术和秦九韶算法分别在2015年和2016年高考全国卷Ⅱ中考过，因此以后全国卷考查割圆术的可能性较大．概率统计中的数学文化题[例10]欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．〞可见“行行出状元〞，卖油翁的技艺让人叹为观止．假设铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，假设随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，那么正好落入孔中的概率是________．[思路分析]将实际问题转化为数学中的几何概型问题，关键是要求出铜钱的面积和中间正方形孔的面积，然后代入几何概型计算公式进行求解．解析：依题意，所求概率为P ＝12π·322＝49π.答案：49π[体会领悟] 从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．试题插图的创新是此题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的X 例．三角函数中的数学文化题[例11] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan (θ＋π4)＝________.[思路分析] 此题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可．解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0＜θ＜π2)，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，那么sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan(θ＋π4)＝tan θ＋11－tan θ＝－7. 答案：－7[体会领悟] 1700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补〞原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，说明各国数学家要密切合作交流，等等．不等式中的数学文化题[例12] 设a ＞0，b ＞0，那么2ab a ＋b 为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .那么图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段CD 的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．[思路分析]将线段OD ，CD 融入相关直角三角形中，利用三角形相似进行计算，再结合调和平均数的定义即可得到正确结果．解析：因为Rt △DEC ∽Rt △DCO ，所以DE CD ＝CD OD ，从而DE ＝CD 2OD .依题意可得OD ＝a ＋b 2，CD ＝ab ，所以DE ＝2ab a ＋b，即线段DE 的长度是a ，b 的调和平均数． 答案：DE[体会领悟] 早在4世纪，古希腊数学家帕波斯在其代表作《数学汇编》第3卷第2部分就给出了算术平均、几何平均、调和平均三种平均数的理论．嵌入几何意义考查不等式，凸显经典数学名题的深邃内涵和命题专家的过人之处．解析几何中的数学文化题[例13] 2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号〞任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如下图，假设“嫦娥四号〞卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．假设用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出以下式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 1＜c 2a 2；④c 1a 2＞a 1c 2. 其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[思路分析] 注意到椭圆Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，因此可以从椭圆的焦距入手求解．解析：观察图形可知a 1＋c 1＞a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2＞0，c 1＞c 2＞0，知a 1－c 1c 1＜a 2－c 2c 2，即a 1c 1＜a 2c 2，从而c 1a 2＞a 1c 2，c 1a 1＞c 2a 2，即④式正确，③式不正确．应选D.答案：D[体会领悟] 命题者抓住“嫦娥奔月〞这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．此题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于应用之中的好题．。

第3讲 创新情境与数学文化1. (2024·全国新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC 1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA 1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝( D )A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【解析】 设OD 1＝DC 1＝CB 1＝BA 1＝1，则CC 1＝k 1，BB 1＝k 2，AA 1＝k 3，由题意得k 1＝k 3－0.2，k 2＝k 3－0.1，且DD 1＋CC 1＋BB 1＋AA 1OD 1＋DC 1＋CB 1＋BA 1＝0.725，解得k 3＝0.9，故选D.2. (2024·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )A ．5－14 B ．5－12 C ．5＋14D ．5＋12【解析】 如图，取CD 的中点E ，设CD ＝a ，PE ＝b ，则PO ＝PE 2－OE 2＝b 2－a 24，由题意PO 2＝12ab ，即b 2－a 24＝12ab ，化简得4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·b a －1＝0，解得b a ＝1＋54(负值舍去)．故选C ．3. (2024·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12.若k －j ＝3且j －i ＝4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k －j ＝4且j －i ＝3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( C )A ．5B ．8C ．10D ．15【解析】 依据题意可知，原位大三和弦满意：k －j ＝3，j －i ＝4.∴i ＝1，j ＝5，k ＝8；i ＝2，j ＝6，k ＝9；i ＝3，j ＝7，k ＝10；i ＝4，j ＝8，k ＝11；i ＝5，j ＝9，k ＝12.原位小三和弦满意：k －j ＝4，j －i ＝3.∴i ＝1，j ＝4，k ＝8；i ＝2，j ＝5，k ＝9；i ＝3，j ＝6，k ＝10；i ＝4，j ＝7，k ＝11；i ＝5，j ＝8，k ＝12.故个数之和为10.故选C ．4. (2024·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( A )A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【解析】 全部重卦共有26＝64种可能，其中满意恰有3个阳爻的有C 36＝20种，故概率为2064＝516.故选A ．5. (2024·全国Ⅱ卷)2024年1月3日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆须要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，放射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，依据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满意方程：M 1R ＋r2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝r R，由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α51＋α2≈3α3，则r 的近似值为( D ) A ．M 2M 1R B ．M 22M 1R C ．33M 2M 1RD ．3M 23M 1R【解析】 由α＝r R，得r ＝αR ，因为M 1R ＋r2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R3，所以M 1R 21＋α2＋M 2α2R 2＝(1＋α)M 1R 2，即M 2M 1＝α2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋α－11＋α2＝α5＋3α4＋3α31＋α2≈3α3，解得α＝3M 23M 1，所以r ＝αR ＝3M 23M 1R .故选D.6. (2024·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形态多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形态是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_26__个面，其棱长为2－1 .【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，其次层共有8个面，所以该半正多面体共有18＋8＝26个面．如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB＝BE＝x，延长CB与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，∴BG＝GE＝CH＝22x，∴GH＝2×22x＋x＝(2＋1)x＝1，∴x＝12＋1＝2－1，即该半正多面体棱长为2－1.1．创新型数学问题从形式上看很“新”，其供应的视察材料和须要思索的问题异于常规试题，须要考生具有敏捷、创新的思维实力，擅长进行发散性、求异性思索，找寻对材料内涵的说明和解决问题的方法．此类问题考查的内容都在考纲要求的范围之内，即使再新，也是在考生“力所能及”的范围内．只要拥有扎实的数学基础学问，以良好的心态坦然面对新情境，便可轻松破解！2．数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将数学文化与中学数学学问有机结合，要求考生对试题所供应的数学文化信息材料进行整理和分析，在试题营造的数学文化氛围中，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神．考法一集合与逻辑用语典例1 在数学漫长的发展过程中，数学家发觉在数学中存在着奇妙的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发觉的数字黑洞有“123黑洞”“卡普雷卡尔黑洞”“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的全部数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知全部一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝{x|－3<x <4，x ∈Z }，则A ∩B 的子集个数为( D )A ．3B ．4C ．7D ．8【解析】 依题意，A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B ＝{－2，－1,0,1,2,3}，故A ∩B ＝{1,2,3}，故A ∩B 的子集个数为8.故选D.典例 2 (2024·云南曲靖)杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神．”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的( C )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不行否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量肯定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛．因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件．故选C ．考法二 三角函数与解三角形典例 3 (2024·湖南怀化)明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创建性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简洁地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来推断方位．其采纳的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米(称一指)，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米(称十二指)．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依凹凸不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan 2α＝( A )A ．1235B ．16C ．1237D ．13【解析】 设等差数列为{a n }，则a 1＝2厘米，a 12＝24厘米，所以公差d ＝a 12－a 112－1＝24－211＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋10＝12厘米，则tan α＝1272＝16，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×161－136＝1235.故选A ． 典例 4 (2024·全国高三校联考阶段练习)秦九韶是我国南宋闻名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222，其中a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，S 是△ABC 的面积，在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝6，则△ABC 的内切圆的面积为( C )A ．7π2B ．4147πC ．8π7D ．9π7【解析】 因为a ＝3，b ＝5，c ＝6，所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222＝1262×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫62＋32－5222＝214.△ABC 的周长l ＝3＋5＋6＝14，设△ABC 的内切圆半径为r ，由S △ABC ＝12lr ，解得r ＝2147.所以△ABC 的内切圆的面积为πr 2＝8π7.故选C ．考法三 数列典例5 (2024·道里区校级四模)南宋杨辉在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，对河图洛书的数学问题进行了详尽的探讨，其中对3阶幻方的排列找出了一种奇异的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足．”即将1,2,3，…，9填入了3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图．一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方．设n 阶幻方的数的和(即方格内全部数的和)为S n ，则S 6＝( D )4923 5 7 816A ．666B ．91C ．576D ．111【解析】 依据题意，幻方的每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，S n ＝1n×[1＋2＋3＋…＋(n 2－1)＋n 2]＝1n×1＋n2·n22＝1＋n 2n2，故S 6＝1＋36×62＝111.故选D.典例 6 (2024·四川宜宾统考模拟预料)南宋数学家杨辉给出了闻名的三角垛公式：1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋3＋…＋n )＝16n (n ＋1)(n ＋2)，则数列{n 2－n }的前n 项和为( A )A ．13(n －1)n (n ＋1) B ．13(n －1)n (2n ＋1) C ．16n (n ＋1)(n ＋2) D ．16(2n ＋1)n (n ＋1) 【解析】 ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，由题意可得：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋12的前n 项和为16n (n ＋1)(n ＋2)，又∵n 2－n ＝2×n n ＋12－2n ，∴数列{}n 2－n 的前n 项和S n ＝2×1×22－2×1＋2×2×32－2×2＋…＋2×nn ＋12－2n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×22＋2×32＋…＋n n ＋12－2(1＋2＋…＋n )＝2×16n (n ＋1)(n ＋2)－2×n n ＋12＝13(n －1)n (n ＋1)．故选A ． 考法四 平面对量典例7 (2024·云南高三云南师大附中校考阶段练习)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所宠爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为22，M 是正八边形ABCDEFGH 边上随意一点，则MA →·MB →的最大值为( D )A ．30＋4 2B ．28＋8 2C ．26＋16 2D ．24＋16 2【解析】 如图，取AB 的中点O ，连接MO ，连接BE ，OE ，分别过点C ，点D 作BE 的垂线，垂足分别为I ，J ，所以MA →·MB →＝(MO →＋OA →)·(MO →＋OB →)＝(MO →＋OA →)·(MO →－OA →)＝MO →2－OA →2＝MO →2－2，当点M 与点F 或点E 重合时，|MO →|取得最大值，易得四边形CDJI 为矩形，△BCI ，△DEJ 为等腰直角三角形，则IJ ＝22，BI ＝EJ ＝2，则BE ＝4＋22，BO ＝2，MO →2取得最大值为BO 2＋BE 2＝(2)2＋(4＋22)2＝26＋162，所以MA →·MB →的最大值为24＋162，故选D.典例8 (2024·全国高三校联考阶段练习)黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，隐藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的踪迹．人们还发觉，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔软甜蜜．黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在许多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最终的晚餐》同样也应用了该比例布局.2 000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为5－12≈0.618.其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创建的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，BE →＝5－12BO →，则BF →＝( D )A ．3－52BA →＋5＋510BG →B ．3－52BA →＋5－510BG →C ．5－12BA →＋5－510BG →D ．3－52BA →＋55BG →【解析】 ∵BE →＝5－12BO →，明显BE ＝DG ，BO ＝OD ＝12BD ，所以BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－5－12BO →＝5－52BO →，∴BO →＝25－5BG →＝5＋510BG →，∵BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋5－12AO →＝BA →＋5－12(BO →－BA →)＝3－52BA →＋5－12BO →，∴BF →＝3－52BA →＋55BG →，故选D. 考法五 空间几何典例9 (2024·吉林四平)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40 cm ，则该阿基米德多面体的表面积为( A )A ．(4 800＋1 6003)cm 2B ．(4 800＋4 8003)cm 2C ．(3 600＋3 6003)cm2D ．(3 600＋1 2003)cm 2【解析】 由题意知，阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，其中正方形边长和等边三角形的边长均为202＋202＝202；∴阿基米德多面体的表面积S ＝6×(202)2＋8×12×202×202×32＝4 800＋1 6003(cm 2)．故选A ．典例10 (2024·海南省直辖县级单位高三嘉积中学校考阶段练习)图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形态是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面随意两顶点之间的距离为10，则其侧面积为( B )A ．100πB ．50πC ．200πD ．300π【解析】 S ＝16×2π×10×3×5＝50π.故选B.典例11 (2024·全国高三专题练习)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探讨球的体积过程中构造的一个和谐美丽的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖(如图2)．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为4∶π，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为( C )A ．8－4π3B ．8－π23C ．83D ．163【解析】 正方体的体积为23＝8，其内切球的体积为4π3，由条件可知牟合方盖的体积为4π3×4π＝163，故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为8－163＝83.故选C ． 考法六 函数与导数典例12 (2024·北京海淀高三北大附中校考阶段练习)成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解n 元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今日，这仍旧是一种效率极高的算法．依据这种算法，求解n 元一次方程组大约须要对实系数进行C ·n 3(C 为给定常数)次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为探讨“投入产出模型”(该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖)，利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时．事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以削减未知数．假如不进行化简，依据未知数个数估计所需机时，结果最接近于( C )A ．103机时 B ．104机时 C ．105机时D ．106机时【解析】 设1机时能进行a 次计算，则由题意得C ·423≈56a ，原始模型包含500个未知数，假如不进行化简，设所需机时为t ，则C ·5003≈ta ，故t ≈5003423×56＝53×10633×72＝1 2501 323×105≈0.94×105，故结果最接近于105机时，故选C ．典例13 (多选)(2024·江苏盐城)高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也称为取整函数，例如：[－1.5]＝－2，[2.3]＝2，下列函数中，满意函数y ＝[f (x )]的值域中有且仅有两个元素的是( ACD )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤01－2－x，x >0B ．f (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C ．f (x )＝|log 2x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 D ．f (x )＝2x－12x ＋1【解析】 当x ≤0时，f (x )∈(－1,0]，[f (x )]∈{－1,0}；当x >0时，f (x )∈(0,1)，[f (x )]∈{0}，故y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，A 满意题意；f (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1单调递减，在(1,2)单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝52，f (1)＝2，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52，则y ＝[f (x )]∈{2}，即y ＝[f (x )]的值域为{2}，不满意题意；下证f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1单调递减：在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，因为12<x 1<x 2<1，故x 1－x 2<0,1－1x 1x 2<0，则f (x 1)>f (x 2)，故f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，同理f (x )在(1,2)单调递增，B 不满意题意；y ＝log 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，则log 2x ∈(－log 23,1)，故f (x )∈[0，log 23)，又1<log 23<2，故[f (x )]∈{0,1}，即y ＝[f (x )]的值域为{0,1}，C 满意题意；f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，又2x >0，则2x＋1>1，22x ＋1∈(0,2)，1－22x ＋1∈(－1,1)，即y ＝f (x )的值域为(－1,1)，[f (x )]∈{－1,0}，则y ＝[f (x )]的值域为{0,1}，D 满意题意．故选ACD.考法七 统计概率典例14 (2024·辽宁葫芦岛高一统考期末)张益唐是当代闻名华人数学家，他在数论探讨方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明白存在无穷多对质数间隙都小于7 000万.2013年张益唐证明白孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数，素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是( B )A ．14B ．15C ．110D ．120【解析】 不超过12的素数有2、3、5、7、11共5个，在其中任取两个数的基本领件为(2,3)、(2,5)、(2,7)、(2,11)、(3,5)、(3,7)、(3,11)、(5,7)、(5,11)、(7,11)共10个，其中是孪生素数的基本领件为(3,5)、(5,7)共2个，所以在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率为210＝15.故选B.典例15 (2024·全国高三专题练习)我们的祖先创建了一种非常重要的计算方法：筹算．筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的．据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数(算筹不剩余且个位不为0)，则这个两位数大于40的概率为( B )A ．13B ．12C ．23D ．35【解析】 依据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为4＋1,3＋2,2＋3,1＋4共四类状况；第一类：4＋1，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；其次类：3＋2，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32,36,72,76；第三类：2＋3，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23,27,63,67；第四类：1＋4，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，综上可知：全部的两位数有14,18,23,27,32,36,41,63,67,72,76,81共计12个，其中大于40的有41,63,67,72,76,81共计6个，故这个两位数大于40的概率为612＝12，故选B.考法八 复数典例16 (2024·全国高三专题练习)人们对数学探讨的发展始终推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i 2＝－1,17世纪法国数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用a ＋b i(a 、b ∈R )表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满意方程z 2＋2z ＋5＝0，则z ＝( C )A ．－1＋2iB ．－2－iC ．－1±2iD ．－2±i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因z 2＋2z ＋5＝0，则(a ＋b i)2＋2(a ＋b i)＋5＝0，即(a 2－b 2＋2a ＋5)＋2b (a ＋1)i ＝0，而a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋2a ＋5＝0，2b a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝±2，所以z ＝－1±2i.故选C ．典例17 (2024·全国高三专题练习)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (其中i 是虚数单位，e 是自然对数的底数)是数学中的一个奇妙公式．依据欧拉公式，复数z ＝e i在复平面上所对应的点在( A )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由欧拉公式，z ＝e i＝cos 1＋isin 1在复平面内对应点(cos 1，sin 1)在第一象限．故选A ．考法九 不等式典例18 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据．通过这一原理，许多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，可以干脆通过比较线段OF 与线段CF 的长度完成的无字证明为( C )A ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0) B ．a ＋b2>ab (a >0，b >0) C ．a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)D ．2aba ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0) 【解析】 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF中，由勾股定理可得，CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝a 2＋b 22，∵CF ≥OF ，∴a 2＋b 22≥12(a＋b )，故选C ．典例19 (2024·四川成都)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号运用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是运用“＜”和“＞”符号，并渐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( D )A ．若a ＜b ，则1a >1bB ．若a ＞b ＞0，则b ＋1a ＋1<baC ．若a ＞b ，则ac 2>bc 2D ．若ac 2>bc 2，则a ＞b【解析】 当a <0<b 时，1a <1b ，选项A 错误；b ＋1a ＋1－b a ＝a －b a a ＋1>0，所以b ＋1a ＋1>ba ，所以选项B 错误；c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以选项C 错误；ac 2>bc 2时，a >b ，所以选项D 正确．故选D.考法十 解析几何典例20 (多选)(2024·全国高三专题练习)古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发觉：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，A (－1,0)，B (2,0)，点P 满意|PA ||PB |＝22.点P 的轨迹为曲线C ，下列结论正确的是( AB )A ．曲线C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝18 B ．曲线C 被y 轴截得的弦长为2 2 C ．直线x ＋y －4＝0与曲线C 相切D ．P 是曲线C 上随意一点，当△ABP 的面积最大时点P 的坐标为(－2，±32) 【解析】 设P (x ，y )，由A (－1,0)，B (2,0)，|PA ||PB |＝22可得2|PA |＝|PB |，所以2·x ＋12＋y 2＝x －22＋y 2，整理可得x 2＋y 2＋8x －2＝0，即(x ＋4)2＋y 2＝18，故选项A 正确；因为(x ＋4)2＋y 2＝18，令x ＝0得y ＝±2，曲线C 被y 轴截得的弦长为22，故选项B 正确；因为(x ＋4)2＋y 2＝18，所以圆心C (－4,0)，半径r ＝32，所以圆心C (－4,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4－4|2＝42>32，所以直线x ＋y －4＝0与曲线C 相离，故选项C 错误；因为P 是曲线C 上随意一点，要使△ABP 的面积最大，则曲线C 上的点到x 轴的距离最大，即△ABP 的边AB 上的高等于圆的半径32时，△ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(－4，±32)，故选项D 错误．故选AB.典例21 (2024·全国高三专题练习)第24届冬季奥林匹克运动会，已于2024年2月在北京和张家口实行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新幻想．会徽图形上半部分呈现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充溢韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调全部参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在竞赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图)：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，O 5，若双曲线C 以O 1，O 3为焦点、以直线O 2O 4为一条渐近线，则C 的离心率为( B )A ．29011B ．29013C ．1311D ．125【解析】 依题意，以点O 2为原点，直线O 1O 3为x 轴建立平面直角坐标系，如图，点O 4(－13，－11)，设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其渐近线为y ＝±bax ，因直线O 2O 4为一条渐近线，则有b a ＝1113，双曲线C 的离心率为e ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝29013.故选B.1. (2024·天津)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就恒久无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由题意可得：“积跬步”未必能“至千里”，但要“至千里”必需“积跬步”，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选B.2. (2024·内蒙古赤峰高三统考阶段练习)材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S ＝p p －a p －bp －c ，其中p ＝a ＋b ＋c2.这个公式被称为海伦一秦九韶公式．材料二：阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．依据材料一或材料二解答：已知△ABC 中，BC ＝6，AB ＋AC ＝10，则△ABC 面积的最大值为( C )A ．6B ．10C ．12D ．20【解析】 令AB ＝x ，则AC ＝10－x 且BC ＝6，故x ∈(2,8)，而p ＝a ＋b ＋c2＝8，所以△ABC 面积S ＝168－xx －2＝－16x －52＋144，当x ＝5时，S max ＝12.故选C ．3. (2024·河南高三校联考阶段练习)在计算机尚未普及的年头，人们在计算三角函数时经常须要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等．则依据该表，416.5°的余弦值为( B )0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′0° 0.000 00 017 0 035 0 052 0 070 0 087 0 105 0 122 0 140 0 157 0 1751° 0 175 0 192 0 209 0 227 0 244 0 262 0 279 0 297 0 314 0 332 0 349 2°0 349 0 366 0 384 0 401 0 419 0 436 0 454 0 471 0 488 0 506 0 523…30°0.500 05 015 5 030 5 045 5 060 5 075 5 090 5 105 5 120 5 135 5 15031° 5 150 5 165 5 180 5 195 5 210 5 225 5 240 5 255 5 270 5 284 5 299 32° 5 299 5 314 5 329 5 344 5 358 5 373 5 388 5 402 5 417 5 432 5 446 33° 5 446 5 461 5 476 5 490 5 505 5 519 5 534 5 548 5 563 5 577 5 592 34° 5 592 5 606 5 621 5 635 5 650 5 664 5 678 5 693 5 707 5 721 5 736…A ．0.546 1B ．0.551 9C ．0.550 5D ．0.573 6【解析】 由题意，cos 416.5°＝cos 56.5°＝sin 33.5°＝sin 33°30′，查表可知sin 33°30′＝0.551 9.故选B.4. (2024·浙江校联考模拟预料)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l 与太阳天顶距θ(0°≤θ<180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．依据三角学学问可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l ＝h tan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和其次次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tan(α－β)＝12，则其次次的“晷影长”是“表高”的( A )A ．1倍B ．23倍C ．52倍 D ．72倍 【解析】 由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，tan α＝3，又tan(α－β)＝12，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝3－121＋3×12＝1，故其次次的“晷影长”是“表高”的1倍．故选A ．5. (2024·云南高三校联考阶段练习)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图(如图1)．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O 是正八边形的中心，MN 是圆O 的一条直径，且正八边形ABCDEFGH 内切圆的半径为22＋2，|AB |＝|MN |＝4.若点P 是正八边形ABCDEFGH 边上的一点，则PM →·PN →的取值范围是( D )A ．[23，4]B ．[22，23]C ．[12＋82，16＋82]D ．[8＋82，12＋82]【解析】 如图，连接PO .因为PM →＝PO →＋OM →，PN →＝PO →＋ON →＝PO →－OM →，所以PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →－OM →)＝PO →2－OM →2.因为正八边形ABCDEFGH 内切圆的半径为22＋2，|AB →|＝4，所以22＋2≤|PO →|≤16＋8 2.因为|MN |＝4，所以|OM →|＝2，所以8＋82≤PO →2－OM →2≤12＋82，即PM →·PN →的取值范围是[8＋82，12＋82]．故选D.6. (2024·北京)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，其全部外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2＋y 2＝a 2＋b 2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该图由法国数学家G-Monge(1746—1818)最先发觉．若椭圆C 的离心率为e ，左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆C 上一动点，过P 和原点作直线l 与蒙日圆Γ相交于M ，N ，则|PM |·|PN ||PF 1|·|PF 2|＝( B )A ．1e2B ．1C ．e 2D ．以上答案均不正确【解析】 令|PF 1|·|PF 2|＝m ，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，所以PF 21＋PF 22＝4a 2－2m ，由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1→＋PF 2→＝2PO →，PF 1→－PF 2→＝F 2F 1→，所以PF 1→2＋PF 2→2＋2PF 1→·PF 2→＝4PO →2①，PF 1→2＋PF 2→2－2PF 1→·PF 2→＝F 2F 1→2②则①＋②可得8a 2－4m ＝4PO →2＋4c 2，解得PO→2＝2a 2－c 2－m ，所以|PM |·|PN |＝(r －|PO |)(r ＋|PO |)＝r 2－|PO |2＝a 2＋b 2－(2a 2－c 2－m )＝m ，故|PM |·|PN ||PF 1|·|PF 2|＝1，故选B.7. (2024·全国高三专题练习)2024年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目起先后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中心，非常壮丽．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年探讨的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形起先，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM →·ON →的值为( A )A ．24B ．6C ．6 3D ．6 2【解析】 在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，|OM →|＝4，OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4cos π3，4sin π3＝(2,23)，|MP →|＝83，即MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，0，|PN →|＝23，由分形知PN ∥OM ，所以PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，33，所以ON →＝OM →＋MP →＋PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5，733，所以OM →·ON →＝2×5＋23×733＝24.故选A ．8. (2024·广东深圳)享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，y ＝[x ]被称为“高斯函数”，其中x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.1]。