量子力学试题
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一、填空题
1.玻尔的量子化条件为。
2.德布罗意关系为。
3.用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4.波函数的统计解释:_____________________________________
__________________________________________________________
5.为归一化波函数,粒子在方向、立体角内出现的几率
为 ,在半径为,厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6.波函数的标准条件
为。
7.,为单位矩阵,则算符的本征值为__________。
8.自由粒子体系,__________守恒;中心力场中运动的粒子
___________守恒。
9.力学量算符应满足的两个性质就
是。
10.厄密算符的本征函数具
有。
11.设为归一化的动量表象下的波函数,则的物理意义为
_______________________________________________。
12、______;_______;_________。
28.如两力学量算符有共同本征函数完全系,则___。
13.坐标与动量的测不准关系就是____________________________。
14.在定态条件下,守恒的力学量就是_______________________。
15.隧道效应就是指__________________________________________。
16.量子力学中,原子的轨道半径实际就是指____________________。
17.为氢原子的波函数,的取值范围分别
为。
18.对氢原子,不考虑电子的自旋,能级的简并度为,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时,能级的简并度为,如再考虑自旋与轨道角动量的耦合,能级的简并度为。
19.设体系的状态波函数为,如在该状态下测量力学量有确定的值,则力学量算符
与态矢量的关系为__________。
20.力学量算符在态下的平均值可写为的条件为
____________________________。
21.量子力学中的态就是希尔伯特空间的____________;算符就是希尔伯特空间的____________。
21.设粒子处于态,为归一化波函数,为球谐函数,则系数c 的取值为,的可能值为
,本征值为出现的几率为。
22.原子跃迁的选择定则
为。
23.自旋角动量与自旋磁矩的关系为。
24.为泡利算符,则,,。
25.为自旋算符,则,,。
26.乌伦贝克与哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设就是 ________________________,
_______________________________。
27.轨道磁矩与轨道角动量的关系就是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系就是
______________。
27.费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,
玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。
27. 考虑自旋后,波函数在自旋空间表示为(已归一化),则在态下,自旋
算符对自旋的平均可表示为_______________;对坐标与自旋同时求平均的结果可表示为______________________。
27. 考虑自旋后,波函数在自旋空间表示为(已归一化),则
的意义为_____________________;
_________________。
二、问答题
1.电子在均匀电场中运动,哈密顿量为,试判断各量中哪些就是守恒量,为什么？
2.经典的波与量子力学中的几率波有什么本质区别？
3.量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵就是什么形式？
4.什么就是全同性原理与泡利不相容原理,二者就是什么关系？
5.表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？
6.乌伦贝克关于自旋的的基本假设就是什么？
7.什么就是塞曼效应,对简单塞曼效应,没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？
8.什么就是光谱的精细结构？产生精细结构的原因就是什么？考虑精细结构后能级的简并度就是多少？
9.什么就是斯塔克效应？
10.不同表象之间的变换就是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？
11.量子力学中如何判断一个力学量就是否就是守恒量,量子力学中的守恒量与经典力学的守恒量定义有什么不同？
12.什么就是定态？定态有什么性质？
13.量子力学中的守恒量就是如何定义的？守恒量有什么性质？
14.简述力学量与力学量算符的关系？
15.轨道角动量与自旋角动量有什么区别与联系？
16.简述量子力学的五个基本假设。
17.简述量子力学中的态叠加原理,它反映了什么？
18.什么就是光电效应？光电效应有什么规律？
19.什么就是光电效应？爱因斯坦就是如何解释光电效应的。
20.简述波尔的原子理论,为什么说玻尔的原子理论就是半经典半量子的。
21.简述波函数的统计解释,为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
22.能量的本征态的叠加还就是能量本征态不？为什么？
23.原子的轨道半径在量子力学中就是如何解释的？
三、计算题
1.在与的共同表象中,算符与的矩阵分别为
, 。
求它们的本征值与归一化本征函数,并将矩阵与对角化。
2.一维运动粒子的状态就是
其中,求
(1) 粒子动量的几率分布函数;(2)粒子的平均动量。
(利用公式)
3.设在表象中,的矩阵表示为
其中,试用微扰论求能级二级修正。
(10分)
4.在自旋态中,求。
(10分)
5.各就是厄密算符。
试证明,也就是厄密算符的条件就是对易。
6.在动量表象中角动量的矩阵元与的矩阵元。
7.求自旋角动量在方向的投影
的本征值与所属的本征函数。
8.转动惯量为,电偶极矩为的空间转子处在均匀电场
中,如果电场很小,用微扰论求转子基态能量的二级修正。
(10分)
(基态波函数,利用公式
)
9.证明下列关系式:
1., 2、
3、,
4、
(其中为角动量算符,,为泡利算符,为动量算符)
10. 设时,粒子的状态为,求此时粒子的平均动量与平均动能。
11.为厄密算符,(为单位算符),。
(1)求算符的本征值;(2)在A表象下求算符的矩阵表示。
12. 已知体系的哈密顿量,试求出(1)体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。
(2)将H对角化,并给出对角化的么正变换矩阵。
13.一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,
, b为小量,用微扰法求粒子的能级(近似到一级)。
14.证明下列算符的对易关系。
1.;
2、()
3、设算符与它们的对易式对易,即:,证明:
15.设有两个电子,自旋态分别
, ,证明两个电子处于自旋单态()及三重态()的几率分别为:(20分)。
16.求自旋角动量在方向的投影
的本征值与所属的本征函数(20分)。
17.由任意一对已归一化的共轭右矢与左矢构成的投影算符。
试证明(1)就是厄密算符;(2)有;(3)的本征值为0与1(20分)。
18. 设在表象中,的矩阵表示为,其中,试用微扰论求能级二级修正(14分)。
19.证明下列算符的对易关系(24分):
1.
2、()
3、设算符与它们的对易式对易,即:,证明:
20.一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用。
玻色子只有
两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
21.求证在的共同本征态下,角动量沿与z轴成角的方向的分量的平均值为。
22.证明如算符有共同的本征函数完备集,则对易。
23.求及的本征值与所属的本征函数。
