数学奥林匹克初中训练题_78_
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3a +2b + c =3n , 2 c + b + 3 d = 3 n.
1 ,即 2
① ②
1 < 2
n< k+
1 2
由式 ①、 ② 消去 n 得
b- c = - 3. a- d
Ζ k2 - k + 1 < n < k2 + k + 1 4 4 Ζ k2 - k + 1 ≤n ≤k2 + k . 这说明 ,当 n 取 k2 - k + 1 , k2 - k + 2 , …, k2 + k 这 2 k 个自然数时 ,与 n 最接近的整数 an 都是 k . 由于 442 + 44 = 1 980 ,则有 a1 980 = 44. 又 1 981 = 45 - 45 + 1 2 < 2 005 < 45 + 45 = 2 070 , 故 a1 981 = a1 982 = …= a2 005 = 45. 由此可知 , a1 , a2 , …, a2 005 中有 2 个 1 ,4 个 2 , …,88 个 44 和 25 个 45. 于是 ,有 1 1 1 + + …+
x y - | x - 2 x| + y + | x - 1| < 2
2
1 >0, 2
=
1- a , 2
x+ a
-
x - a + 2 = - 2. 则 a 的 取 值 范 围 是
( ). (A) a ≤ 1 ( C) a ≤- 1
2
(B) - 1 ≤a ≤ 1 (D) - 1 ≤a ≤ 0
3. 在 △ABC 中 , ∠C = 90° , 点 D 在边 AB
x
故 m6 + n6 = ( m2 + n2 ) ( m4 - m2 n2 + n4 ) 2 2 2 2 2 2 = [ ( m + n) - 2 mn ] [ ( m + n ) - 3 m n ] 2 2 = (28 - 8) [ (28 - 8) - 3 × 4 ] = 7 040. 又 0 < n < 1 ,所以 , 6 [ a ] = [ m ] = 7 039. 6. A. 令 ∠B = ∠C = α, ∠B EF = 2β, ∠CFE = 2γ. 由 于 四 边 形 BCFE 的内角和为 360° ,即 图3 α+α+ 2 β+ 2γ= 360° , 故 α+ β+ γ = 180° . 在 △BOE 中 ,易得 ∠BOE = γ = ∠EFO . 由弦切角定理的逆定理知 , OB 与 △OEF 的外 接圆相切 ,且 O 为切点 . 又 AO ⊥OB ,所以 , AO 通过 △OEF 的外接圆圆心 . 二、 1. (0 ,0) , (1 ,1) , (2 ,0) . 1 由 y - | x2 - 2 x | + >0得 2 1 ≥ 1 2 y > | x - 2 x| ; 2 2 由 y + | x - 1| < 2 得 y < 2 - | x - 1| ≤ 2. 所以 , 1 < y < 2. 2
令 m = 7 + 3 , n = 7 - 3 ,则有
m + n = 2 7 , mn = 4.
| x - 1| < 1. 解得整数 x = 1. 故原不等式的整数解为 (0 ,0) , (2 ,0) , (1 ,1) . 2. 1∶ 1. 如图 4 , 延长 CD 到 E 、 延 长 AB 到 F , 使 DE = DP , B F = BC . 联 结 EP 、 CF. 由 于 图4 △PBC 与 △PCD 等周 ,所以 ,有 PB + BC = PD + DC . 于是 , PF = EC. 又 DC ∥AB ,即 EC ∥ PF , 故四边形 PFCE 为平
1. 满足不等式组
( 25 分 ) 设 a n 表示与 n ( n 是正整 三、 1
a2 005
的
值.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
a1 a2 a2 005
2
第 二 试
一、 由式 ① 得- 5< x<
1 ,其整数解为 2
x = - 4 , - 3 , - 2 , - 1 ,0.
记 f ( x ) = x2 + (3 k + 1) x + 2 k + 1. 则由图像知 , 不等式 ② 的唯一整数解只可能是 - 4 或 0.
(1) 若不等式组的整数解为 - 4 ,则
上 ,且 CD = AD ・ DB . 则点 D 的位置存在 ( ) 种情况 . (A) 1 (B) 2 ( C) 3 (D) 无数 1 2 4. 方程 - 2 = x - 2 x 实根的情况是
x
的所有整数对 ( x , y ) = . 2. 梯形 ABCD 中 , DC ∥AB 且 AB = 2 DC , 点 P 在 AB 上 . 若 △PBC 、 △PCD 、 △PDA 的 周长都相等 ,则 A P∶ PB = . 3. 点 D 在 △ABC 的内部 ,已知 AB = ab , BC = bc , CA = ca , AD = ad , BD = bd , CD = cd ( a、 b、 c、 d 都是正数 ) . 则 ∠ABD + ∠ACD = . 4. 把 1 ,2 , …,2 n 这 2 n 个自然数随意放 置在一个圆周上 . 据统计 ,在所有相邻的三个 数中 ,三个数全为奇数的有 a 组 , 三个数恰 有两个为奇数的有 b 组 , 三个数中只有一个 为奇数的有 c 组 , 三个数都是偶数的有 d b- c 组 . 如果 a ≠d ,那么 , 的值为 . a- d 第 二 试
f ( - 4) = - 10 k + 13 > 0 , f ( - 3) = - 7 k + 7 ≤ 0, f (0) = 2 k + 1 ≤ 0.
无解 .
(2) 若不等式组的整数解为 0 ,则
f ( - 4) = - 10 k + 13 ≤ 0, f ( - 1) = - k + 1 ≤ 0, f (0) = 2 k + 1 > 0.
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40
中 等 数 学
13 解得 k ≥ . 10 13 综上可得 , k ≥ . 10
行四边形 . 此时 , ∠E = ∠F. 易知 ∠PDC = 2 ∠E = 2 ∠F = ∠PBC. 则 ∠DPB = 180° - ∠PDC = 180° - ∠PBC = ∠DCB . 所以 ,四边形 PBCD 为平行四边形 . 1 因此 , PB = DC = AB . 2 3. 60° . 如图 5 , 作 △ACK∽ △ABD ,则 △ADK∽ △ABC. 此时 ,
kn - k| <
图6
CK = cd = CD ; DK ad 同样 , = ,即 bc ab DK = cd = CD .
故 △CDK 为正三角形 . 则 ∠ABD + ∠ACD
= ∠ACK + ∠ACD = ∠DCK = 60° . 4. - 3.
若每个数都数 3 次 , 共数了 6 n 个数 ( 3 n 个奇 数 ,3 n 个偶数) ,则可列方程组
1
x
和抛物线 y2 = ( x - 1 ) 2 + 1 的图像 . 此时 , 方程的解 转化为两图像交点的横坐标 . 显然 ,两图像只在第一 象限有一个交点 . 5. C. 依题意知 , a 、 b为方程 t2 - 2 7 t + 4 = 0 的两 实根 . 解此方程可得
6 6 a = ( 7 + 3) , b = ( 7 - 3 ) . 6 6
2
故 y = 0 或 1. 当 y = 0 时 ,有
| x - 2 x| < | x - 1| <1 时 ,有
| x - 2 x| <
2
3 , 2
令 y1 =
1
x
2 , y2 = ( x - 1) + 1.
在同一坐标系中分别作出反比例函数 y1 =
6. 在 △ABC 中 , AB = AC , 半 圆 O 与
AB 、 AC皆相切 ,且圆心 O 在边 BC 上 ,直线与
半圆相切且分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F. 则 AO ). 通过 △OEF 的 ( (A) 外心 (B) 内心 ( C) 重心 (D) 垂心 二、 选择题 ( 每小题 7 分 ,共 28 分)
2. C.
因
x=
(1 - a) 2 1- a≥ 0 ,故 a ≤ 1 ,且 x = . 2 4
x+ a=
于是 , 所以 ,
| 1 + a| , 2
x - a+2 =
3- a . 2
| 1 + a| 3 - a = - 2 ,即 2 2 | 1 + a| = - ( 1 + a) .
故1+ a≤ 0 , a ≤- 1. 3. B. 如图 2 , 作 CD′ ⊥ AB 于 D′ . 令 AD = a , DD′ = b , D′ B = c . 于是 ,有 2 2 CD - CD′ 图2 = a ( b + c) - ( a + b) c 2 2 = b ( a - c) = DD′ = b . 所以 , b ( a - c) - b2 = 0 ,有 b ( a - b - c) = 0. (1) 当 b = 0 时 , D 与 D′ 重合 ; (2) 当 a = b + c 时 , D 为 AB 的中点 . 故点 D 的位置存在 2 种情况 . 4. C. 1 原方程变形为 = ( x - 1) 2 + 1.
1 ,即 2
① ②
1 < 2
n< k+
1 2
由式 ①、 ② 消去 n 得
b- c = - 3. a- d
Ζ k2 - k + 1 < n < k2 + k + 1 4 4 Ζ k2 - k + 1 ≤n ≤k2 + k . 这说明 ,当 n 取 k2 - k + 1 , k2 - k + 2 , …, k2 + k 这 2 k 个自然数时 ,与 n 最接近的整数 an 都是 k . 由于 442 + 44 = 1 980 ,则有 a1 980 = 44. 又 1 981 = 45 - 45 + 1 2 < 2 005 < 45 + 45 = 2 070 , 故 a1 981 = a1 982 = …= a2 005 = 45. 由此可知 , a1 , a2 , …, a2 005 中有 2 个 1 ,4 个 2 , …,88 个 44 和 25 个 45. 于是 ,有 1 1 1 + + …+
x y - | x - 2 x| + y + | x - 1| < 2
2
1 >0, 2
=
1- a , 2
x+ a
-
x - a + 2 = - 2. 则 a 的 取 值 范 围 是
( ). (A) a ≤ 1 ( C) a ≤- 1
2
(B) - 1 ≤a ≤ 1 (D) - 1 ≤a ≤ 0
3. 在 △ABC 中 , ∠C = 90° , 点 D 在边 AB
x
故 m6 + n6 = ( m2 + n2 ) ( m4 - m2 n2 + n4 ) 2 2 2 2 2 2 = [ ( m + n) - 2 mn ] [ ( m + n ) - 3 m n ] 2 2 = (28 - 8) [ (28 - 8) - 3 × 4 ] = 7 040. 又 0 < n < 1 ,所以 , 6 [ a ] = [ m ] = 7 039. 6. A. 令 ∠B = ∠C = α, ∠B EF = 2β, ∠CFE = 2γ. 由 于 四 边 形 BCFE 的内角和为 360° ,即 图3 α+α+ 2 β+ 2γ= 360° , 故 α+ β+ γ = 180° . 在 △BOE 中 ,易得 ∠BOE = γ = ∠EFO . 由弦切角定理的逆定理知 , OB 与 △OEF 的外 接圆相切 ,且 O 为切点 . 又 AO ⊥OB ,所以 , AO 通过 △OEF 的外接圆圆心 . 二、 1. (0 ,0) , (1 ,1) , (2 ,0) . 1 由 y - | x2 - 2 x | + >0得 2 1 ≥ 1 2 y > | x - 2 x| ; 2 2 由 y + | x - 1| < 2 得 y < 2 - | x - 1| ≤ 2. 所以 , 1 < y < 2. 2
令 m = 7 + 3 , n = 7 - 3 ,则有
m + n = 2 7 , mn = 4.
| x - 1| < 1. 解得整数 x = 1. 故原不等式的整数解为 (0 ,0) , (2 ,0) , (1 ,1) . 2. 1∶ 1. 如图 4 , 延长 CD 到 E 、 延 长 AB 到 F , 使 DE = DP , B F = BC . 联 结 EP 、 CF. 由 于 图4 △PBC 与 △PCD 等周 ,所以 ,有 PB + BC = PD + DC . 于是 , PF = EC. 又 DC ∥AB ,即 EC ∥ PF , 故四边形 PFCE 为平
1. 满足不等式组
( 25 分 ) 设 a n 表示与 n ( n 是正整 三、 1
a2 005
的
值.
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a1 a2 a2 005
2
第 二 试
一、 由式 ① 得- 5< x<
1 ,其整数解为 2
x = - 4 , - 3 , - 2 , - 1 ,0.
记 f ( x ) = x2 + (3 k + 1) x + 2 k + 1. 则由图像知 , 不等式 ② 的唯一整数解只可能是 - 4 或 0.
(1) 若不等式组的整数解为 - 4 ,则
上 ,且 CD = AD ・ DB . 则点 D 的位置存在 ( ) 种情况 . (A) 1 (B) 2 ( C) 3 (D) 无数 1 2 4. 方程 - 2 = x - 2 x 实根的情况是
x
的所有整数对 ( x , y ) = . 2. 梯形 ABCD 中 , DC ∥AB 且 AB = 2 DC , 点 P 在 AB 上 . 若 △PBC 、 △PCD 、 △PDA 的 周长都相等 ,则 A P∶ PB = . 3. 点 D 在 △ABC 的内部 ,已知 AB = ab , BC = bc , CA = ca , AD = ad , BD = bd , CD = cd ( a、 b、 c、 d 都是正数 ) . 则 ∠ABD + ∠ACD = . 4. 把 1 ,2 , …,2 n 这 2 n 个自然数随意放 置在一个圆周上 . 据统计 ,在所有相邻的三个 数中 ,三个数全为奇数的有 a 组 , 三个数恰 有两个为奇数的有 b 组 , 三个数中只有一个 为奇数的有 c 组 , 三个数都是偶数的有 d b- c 组 . 如果 a ≠d ,那么 , 的值为 . a- d 第 二 试
f ( - 4) = - 10 k + 13 > 0 , f ( - 3) = - 7 k + 7 ≤ 0, f (0) = 2 k + 1 ≤ 0.
无解 .
(2) 若不等式组的整数解为 0 ,则
f ( - 4) = - 10 k + 13 ≤ 0, f ( - 1) = - k + 1 ≤ 0, f (0) = 2 k + 1 > 0.
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中 等 数 学
13 解得 k ≥ . 10 13 综上可得 , k ≥ . 10
行四边形 . 此时 , ∠E = ∠F. 易知 ∠PDC = 2 ∠E = 2 ∠F = ∠PBC. 则 ∠DPB = 180° - ∠PDC = 180° - ∠PBC = ∠DCB . 所以 ,四边形 PBCD 为平行四边形 . 1 因此 , PB = DC = AB . 2 3. 60° . 如图 5 , 作 △ACK∽ △ABD ,则 △ADK∽ △ABC. 此时 ,
kn - k| <
图6
CK = cd = CD ; DK ad 同样 , = ,即 bc ab DK = cd = CD .
故 △CDK 为正三角形 . 则 ∠ABD + ∠ACD
= ∠ACK + ∠ACD = ∠DCK = 60° . 4. - 3.
若每个数都数 3 次 , 共数了 6 n 个数 ( 3 n 个奇 数 ,3 n 个偶数) ,则可列方程组
1
x
和抛物线 y2 = ( x - 1 ) 2 + 1 的图像 . 此时 , 方程的解 转化为两图像交点的横坐标 . 显然 ,两图像只在第一 象限有一个交点 . 5. C. 依题意知 , a 、 b为方程 t2 - 2 7 t + 4 = 0 的两 实根 . 解此方程可得
6 6 a = ( 7 + 3) , b = ( 7 - 3 ) . 6 6
2
故 y = 0 或 1. 当 y = 0 时 ,有
| x - 2 x| < | x - 1| <1 时 ,有
| x - 2 x| <
2
3 , 2
令 y1 =
1
x
2 , y2 = ( x - 1) + 1.
在同一坐标系中分别作出反比例函数 y1 =
6. 在 △ABC 中 , AB = AC , 半 圆 O 与
AB 、 AC皆相切 ,且圆心 O 在边 BC 上 ,直线与
半圆相切且分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F. 则 AO ). 通过 △OEF 的 ( (A) 外心 (B) 内心 ( C) 重心 (D) 垂心 二、 选择题 ( 每小题 7 分 ,共 28 分)
2. C.
因
x=
(1 - a) 2 1- a≥ 0 ,故 a ≤ 1 ,且 x = . 2 4
x+ a=
于是 , 所以 ,
| 1 + a| , 2
x - a+2 =
3- a . 2
| 1 + a| 3 - a = - 2 ,即 2 2 | 1 + a| = - ( 1 + a) .
故1+ a≤ 0 , a ≤- 1. 3. B. 如图 2 , 作 CD′ ⊥ AB 于 D′ . 令 AD = a , DD′ = b , D′ B = c . 于是 ,有 2 2 CD - CD′ 图2 = a ( b + c) - ( a + b) c 2 2 = b ( a - c) = DD′ = b . 所以 , b ( a - c) - b2 = 0 ,有 b ( a - b - c) = 0. (1) 当 b = 0 时 , D 与 D′ 重合 ; (2) 当 a = b + c 时 , D 为 AB 的中点 . 故点 D 的位置存在 2 种情况 . 4. C. 1 原方程变形为 = ( x - 1) 2 + 1.
