重庆市中考数学真题试题(A卷,含解析)

2020年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题（共12个小题）.1．（4分）下列各数中，最小的数是()A．3-B．0C．1D．22．（4分）下列图形是轴对称图形的是()A．B．C．D．3．（4分）在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为()A．3⨯D．50.2610⨯2.610⨯C．4⨯B．326102.6104．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()A．10B．15C．18D．215．（4分）如图，AB是O的切线，A为切点，连接OA，OB，若20∠=︒，则AOB∠的B度数为()A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒6．（4分）下列计算中，正确的是()A ．235+=B ．2222+=C ．236⨯=D ．2323-=7．（4分）解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是( ) A ．3(1)12x x +=- B ．2(1)13x x +=- C ．2(1)63x x +=- D ．3(1)62x x +=-8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为( )A ．5B ．2C ．4D ．259．（4分）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45CD m =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28︒，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53)(︒≈ )A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m10．（4分）若关于x 的一元一次不等式组313,2x x x a-⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x a ；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A ．7 B ．14- C ．28 D ．56-11．（4分）如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD ∆沿着AD 翻折，得到AED ∆，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG ∆的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )A ．55B ．255C ．455D ．43312．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分OAE ∠，反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF EF =，ABE ∆的面积为18，则k 的值为( )A ．6B ．12C ．18D ．24二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．（4分）计算：0(1)|2|π-+-= ．14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．15．（4分）现有四张正面分别标有数字1-，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ．则点(,)P m n 在第二象限的概率为 ．16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为 ．（结果保留)π17．（4分）A ，B 两地相距240km ，甲货车从A 地以40/km h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止．两车之间的路程()y km 与甲货车出发时间()x h 之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示．其中点C 的坐标是(0,240)，点D 的坐标是(2.4,0)，则点E 的坐标是 ．18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（10分）计算：（1）2()(2)x y x x y ++-；（2）229(1)369m m m m m --÷+++． 20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：年级平均数众数中位数8分及以上人数所占百分比七年级7.5a745%八年级7.58b c根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C 作AE BD⊥，CF BD∠．⊥，垂足分别为E，F．AC平分DAE（1）若50AOE∠的度数；∠=︒，求ACB（2）求证：AE CF=．22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261x y x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；x ⋯ 5- 4- 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 5 ⋯261x y x =+ ⋯ 1513- 2417-125- 3- 03 125 2417 1513⋯（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴．②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-．③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大．（3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211x x x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2)．23．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数-- “差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14524÷=⋯，14342÷=⋯，所以14是“差一数”；19534÷=⋯，但19361÷=⋯，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a ．求a 的值． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中(3,4)A --，(0,1)B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB ∆面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD绕点A逆时针旋转90︒，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：22CF AD=；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当2BD CD=时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA PB PC++的值最小．当PA PB PC++的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2020年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）下列各数中，最小的数是()A．3-B．0C．1D．2解：3012-<<<，∴这四个数中最小的数是3-．故选：A．2．（4分）下列图形是轴对称图形的是()A．B．C．D．解：B、C、D都不是轴对称图形，A是轴对称图形，故选：A．3．（4分）在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为()A．3⨯D．5⨯2.6100.2610⨯C．42610⨯B．32.610解：4=⨯，26000 2.610故选：C．4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()A．10B．15C．18D．21解：第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数312=+，第③个图案中黑色三角形的个数6123=++，⋯⋯++++=，∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1234515故选：B．5．（4分）如图，AB是O的切线，A为切点，连接OA，OB，若20∠的∠=︒，则AOBB度数为()A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒解：AB是O的切线，A为切点，∴∠=︒，A90∠=︒，B20∴∠=︒-︒=︒，902070AOB故选：D．6．（4分）下列计算中，正确的是()A235==D．2323+=C236+=B．222解：A23B．22不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；=⨯=，此选项计算正确；C23236D．23与2-不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C ．7．（4分）解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是( ) A ．3(1)12x x +=- B ．2(1)13x x +=- C ．2(1)63x x +=- D ．3(1)62x x +=- 解：方程两边都乘以6，得：3(1)62x x +=-，故选：D ．8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为( )A 5B ．2C ．4D ．25解：以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，而(1,2)A ，(3,1)C ，(2,4)D ∴，(6,2)F ，22(26)(42)5DF ∴=-+-=故选：D ．9．（4分）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45CD m =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28︒，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53)(︒≈ )A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m 解：如图，由题意得，28ADF∠=︒，45CD=，60BC=，在Rt DEC∆中，山坡CD的坡度1:0.75i=，∴140.753 DEEC==，设4DE x=，则3EC x=，由勾股定理可得5CD x=，又45CD=，即545x=，9x∴=，327EC x∴==，436DE x FB===，602787BE BC EC DF∴=+=+==，在Rt ADF∆中，tan280.538746.11AF DF=︒⨯≈⨯≈，46.113682.1AB AF FB∴=+=+≈，故选：B．10．（4分）若关于x的一元一次不等式组313,2xxx a-⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x a；且关于y的分式方程34122y a yy y--+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是() A．7B．14-C．28D．56-解：不等式组整理得：7xx a⎧⎨⎩，由解集为x a ，得到7a ，分式方程去分母得：342y a y y -+-=-，即32y a -=， 解得：23a y +=， 由y 为正整数解，且2y ≠得到1a =，7 177⨯=，故选：A ．11．（4分）如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD ∆沿着AD 翻折，得到AED ∆，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG ∆的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )A 55B 255C 455D 433解：DG GE =，2ADG AEG S S ∆∆∴==，4ADE S ∆∴=，由翻折可知，ADB ADE ∆≅∆，BE AD ⊥，4ABD ADE S S ∆∆∴==，90BFD ∠=︒， ∴1()42AF DF BF +=， ∴1(3)242DF +=， 1DF ∴=，2222125DB BF DF ∴=+=+=设点F 到BD 的距离为h ，则有1122BD h BF DF =， 255h ∴=， 故选：B ．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分OAE ∠，反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF EF =，ABE ∆的面积为18，则k 的值为( )A ．6B ．12C ．18D ．24解：如图，连接BD ，OF ，过点A 作AN OE ⊥于N ，过点F 作FM OE ⊥于M ．//AN FM ，AF FE =，MN ME ∴=，12FM AN ∴=， A ，F 在反比例函数的图象上，2AON FOM k S S ∆∆∴==， ∴1122ON AN OM FM =， 12ON OM ∴=， ON MN EM ∴==，13ME OE ∴=， 13FME FOE S S ∆∆∴=，AD 平分OAE ∠，OAD EAD ∴∠=∠，四边形ABCD 是矩形，OA OD ∴=，OAD ODA DAE ∴∠=∠=∠，//AE BD ∴，ABE AOE S S ∆∆∴=，18AOE S ∆∴=，AF EF =，192EOF AOE S S ∆∆∴==， 133FME EOF S S ∆∆∴==， 9362FOM FOE FME k S S S ∆∆∆∴=-=-==， 12k ∴=． 故选：B ．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：0(1)|2|π-+-= 3 ．解：0(1)|2|123π-+-=+=，故答案为：3．14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ． 解：设这个多边形的边数为n ，依题意，得：(2)1802360n -︒=⨯︒，解得6n =．故答案为：6．15．（4分）现有四张正面分别标有数字1-，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ．则点(,)P m n 在第二象限的概率为 316． 解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点(,)P m n 在第二象限的结果数为3，所以点(,)P m n 在第二象限的概率316=． 故答案为316． 16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为4π- ．（结果保留)π解：四边形ABCD 为正方形，2AB BC ∴==，90DAB DCB ∠=∠=︒，由勾股定理得，2222AC AB BC =+=，2OA OC ∴==，∴图中的阴影部分的面积2290(2)224360ππ⨯=-=-， 故答案为：4π-．17．（4分）A ，B 两地相距240km ，甲货车从A 地以40/km h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止．两车之间的路程()y km 与甲货车出发时间()x h 之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示．其中点C 的坐标是(0,240)，点D 的坐标是(2.4,0)，则点E 的坐标是(4,160) ．解：根据题意可得，乙货车的速度为：240 2.44060(40/)km h ÷-=，∴乙货车从B 地到A 地所用时间为：240604÷=（小时）， 当乙货车到底A 地时，甲货车行驶的路程为：404160⨯=（千米），∴点E 的坐标是(4,160)．故答案为：(4,160)．18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1:8 ．解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ，由题意可得：72220105b a x b a x -=⎧⎨-=⎩， 解得：63x a xb ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 7∴月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比(55):201:8b a b =-=，故答案为：1:8．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（10分）计算：（1）2()(2)x y x x y ++-；（2）229(1)369m m m m m --÷+++． 解：（1）2()(2)x y x x y ++-，22222x xy y x xy =+++-，222x y =+；（2）229(1)369m m m m m --÷+++， 23(3)()33(3)(3)m m m m m m m ++=-⨯+++-， 3333m m m +=⨯+-， 33m =-． 20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a ，b ，c 的值；（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？解：（1）七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，7a ∴=，由条形统计图可得，(78)27.5b =+÷=，(523)20100%50%c =++÷⨯=，即7a =，7.5b =，50%c =；（2）八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；（3）从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格， ∴参加此次测试活动成绩合格的学生有(202)(202)120010802020-+-⨯=+（人)， 即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．21．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．AC 平分DAE ∠．（1）若50AOE ∠=︒，求ACB ∠的度数；（2）求证：AE CF =．【解答】（1）解：AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒，50AOE ∠=︒，40EAO ∴∠=︒，CA 平分DAE ∠，40DAC EAO ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，40ACB DAC ∠=∠=︒，（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，AE BD ⊥，CF BD ⊥，90AEO CFO ∴∠=∠=︒，AOE COF ∠=∠，()AEO CFO AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261x y x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴．②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-．③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大．（3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211x x x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2)．解：（1）补充完整下表为：x⋯5- 4- 3- 2- 1-0 1 2 3 4 5⋯261xy x =+ ⋯ 1513-2417-95- 125-3-0 3 12595 2417 1513⋯画出函数的图象如图：；（2）根据函数图象：①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴，说法错误；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-，说法正确；③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大，说法正确．（3）由图象可知：不等式26211xx x >-+的解集为1x <-或0.3 1.8-<．23．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14524÷=⋯，14342÷=⋯，所以14是“差一数”；19534÷=⋯，但19361÷=⋯，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．解：（1）49594÷=⋯，但493161÷=⋯，所以49不是“差一数”；745144÷=⋯，743242÷=⋯，所以74是“差一数”．（2）大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，其中除以3余数为2的有314，327，344，359，374，389．故大于300且小于400的所有“差一数”有314，327，344，359，374，389．24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a和2%a．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a．求a的值．解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得，10010 2.4()21600y xx y-=⎧⎨⨯+=⎩，解得：400500xy=⎧⎨=⎩，答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）202.440010(1%) 2.4(1%)50010(12%)21600(1%)9a a a a ⨯⨯+++⨯⨯+=+， 解得：0.1a =， 答：a 的值为0.1．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中(3,4)A --，(0,1)B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB ∆面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得4931b c c -=-=⎧⎨=-⎩，解得41b c =⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：241y x x =+-；（2）设直线AB 的表达式为：y kx t =+，则431k t t -=-+⎧⎨=-⎩，解得11k t =⎧⎨=-⎩，故直线AB 的表达式为：1y x =-， 过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点2(,41)P x x x +-，则(,1)H x x -， PAB ∆面积221139()(141)(03)2222B A S PH x x x x x x x =⨯⨯-=---+⨯+=--， 302-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为278；（3）抛物线的表达式为：2241(2)5y x x x =+-=+-， 则平移后的抛物线表达式为：25y x =-， 联立上述两式并解得：14x y =-⎧⎨=-⎩，故点(1,4)C --；设点(2,)D m -、点(,)E s t ，而点B 、C 的坐标分别为(0,1)-、(1,4)--； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即21s -+=且3m t +=①或21s --=且3m t -=②，当点D 在E 的下方时，则BE BC =，即2222(1)13s t ++=+③， 当点D 在E 的上方时，则BD BC =，即22222(1)13m ++=+④，联立①③并解得：1s =-，2t =或4-（舍去4)-，故点(1,3)E -； 联立②④并解得：1s =，46t =-±，故点(1,46)E -+或(1,46)--； ②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：12s -=-且41m t --=+⑤， 此时，BD BE =，即22222(1)(1)m s t ++=++⑥， 联立⑤⑥并解得：1s =，3t =-， 故点(1,3)E -，综上，点E 的坐标为：(1,2)-或(1,46)-+或(1,46)--或(1,3)-．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ． （1）求证：22CF AD =； （2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长．【解答】证明：（1）AB AC =，90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，把AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AE ， AD AE ∴=，90DAE BAC ∠=︒=∠， BAD CAE ∴∠=∠，2DE =，又AB AC =，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆， 45ABD ACE ∴∠=∠=︒， 90BCE BCA ACE ∴∠=∠+∠=︒，点F 是DE 的中点， 1222CF DE AD ∴==； （2）26AG BC =， 理由如下：如图2，过点G 作GH BC ⊥于H ，2BD CD =，∴设CD a =，则2BD a =，3BC a =，90BAC ∠=︒，AB AC =，3222BC AB AC ∴===， 由（1）可知：BAD CAE ∆≅∆， 2BD CE a ∴==， CF DF =， FDC FCD ∴∠=∠， tan tan FDC FCD ∴∠=∠， ∴2CE GHCD CH==， 2GH CH ∴=，GH BC ⊥，45ABC ∠=︒， 45ABC BGH ∴∠=∠=︒， BH GH ∴=，2BG BH ∴=3BH CH BC a +==， CH a ∴=，2BH GH a ==，22BG a ∴=，222226AG BG AB a CD BC ∴=-===； （3）如图31-，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到BNM ∆，连接PN ，BP BN ∴=，PC NM =，60PBN ∠=︒， BPN ∴∆是等边三角形， BP PN ∴=，PA PB PC AP PN MN ∴++=++，∴当点A ，点P ，点N ，点M 共线时，PA PB PC ++值最小，此时，如图32-，连接MC ，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到BNM ∆，BP BNPBN CBM∠=︒=∠，=，60∴=，BC BM∆是等边三角形，BPN∴∆是等边三角形，CBM=，∴∠=∠=︒，BM CMBPN BNP60=，BM CM=，AB AC∴垂直平分BC，AM∠=︒，BPD⊥，60AD BCBD∴=，⊥，BAC∠=︒，AD BCAB AC=，90∴=，AD BD=+，∴PD AP∴=，PD∴==，BD由（1）可知：CE BD==．。

重庆市中考数学A卷真题及答案(解析)重庆市中考数学A卷真题及答案(解析)第一题：某公司今年的收入与去年相比增加了20%，如果去年的收入是x万元，今年的收入是多少万元？解析：根据题意，今年的收入是去年收入的1.2倍。

所以今年的收入为1.2x万元。

第二题：一个长方体的长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm，它的体积是多少立方厘米？解析：长方体的体积等于长乘以宽乘以高。

所以这个长方体的体积为5cm × 4cm × 3cm = 60立方厘米。

第三题：若ab = 3，bc = 4，ac = 5，求a、b、c的值。

解析：由已知条件可以得到以下等式组：a *b = 3b *c = 4a * c = 5将第一个式子两边同时除以b，得到a = 3/b。

将第三个式子两边同时除以a，得到c = 5/a。

将这两个式子代入第二个式子，可得：(3/b) * (5/a) = 4化简得到：ab = 15 = 3所以，b = 1。

代入第一个式子可得：a * 1 = 3，所以，a = 3。

代入第三个式子可得：3 * c = 5，所以，c = 5/3。

综上所述，a = 3，b = 1，c = 5/3。

第四题：已知x+1/y = -2，y - 1/x = 1，求x和y的值。

解析：根据已知条件，可以得到以下等式组：x + 1/y = -2y - 1/x = 1将第一个式子两边同时乘以x，得到：x^2 + x/y = -2x将第二个式子两边同时乘以y，得到：y^2 - y/x = y将这两个式子相加，得到：x^2 + y^2 + x/y - y/x = -2x + y移项并整理可得：x^2 + y^2 + (x^2 - y^2)/(xy) = -2x + y化简得到：2x^2 - xy + y^2 = -2x + y移项并整理可得：2x^2 + 2x + 2y - xy + y^2 + y = 0将方程进行因式分解，得到：(x + y)(2x + y - 1) = 0根据因式分解，得到两个方程：x + y = 02x + y - 1 = 0解第一个方程得到：x = -y代入第二个方程得到：2(-y) + y - 1 = 0-y - 1 = 0y = -1代入x + y = 0得到：x + (-1) = 0x = 1综上所述，x = 1，y = -1。

2024重庆中考数学试卷一、下列实数中，是无理数的是：A. 3.14B. √2 （答案）C. 0D. -1/3二、若a//b，b//c，则a与c的关系是：A. a//c （答案）B. a⊥cC. a与c相交但不垂直D. a与c无法确定关系三、在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 70°，则∠C的度数是：A. 50°B. 60° （答案）C. 70°D. 80°四、下列运算正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. (a2)3 = a5C. a6 ÷ a3 = a3 （答案）D. a2 · a4 = a6 （此选项也正确，但题目要求单选，故不作为答案）五、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)有两个相等的实数根，则判别式Δ = b2 - 4ac的值是：A. Δ > 0B. Δ < 0C. Δ = 0 （答案）D. Δ无法确定六、在平面直角坐标系中，点P(-3,4)到x轴的距离是：A. -3B. 3C. 4 （答案）D. 5七、下列函数中，是一次函数的是：A. y = x2 + 1B. y = 1/xC. y = 2x - 1 （答案）D. y = √x八、若圆的半径为r，则圆的面积S与r之间的函数关系是：A. S = πrB. S = 2πrC. S = πr2 （答案）D. S = 2πr2九、在比例尺为1:50000的地图上，两城市间的图上距离为2cm，则这两城市间的实际距离为：A. 1kmB. 100mC. 1000m （答案）D. 10km十、已知数据x₁，x₁，…，x₁的平均数为5，若每个数据都加3，则新数据的平均数为：A. 2B. 5C. 8 （答案）D. 10。

重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1.2的相反数是（）A.12- B.12 C.2 D.2-【答案】D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D ．2.计算63a a ÷的结果是（）A.63a B.52a C.62a D.53a 【答案】D【解析】【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题．【详解】解：63a a ÷=53a ，故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3.不等式2x ≤在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示，把已知解集表示在数轴上即可．【详解】解：不等式2x ≤在数轴上表示为：．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键．4.如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9【答案】A【解析】【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．5.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（）A.80°B.100°C.110°D.120°【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C=180°-∠A=100°，【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6.）A.7B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；===故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．7.如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断△ABC ≌△DEF 的是（）A.AB =DEB.∠A =∠DC.AC =DFD.AC ∥FD【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解： BF =EC ，BC EF∴=A.添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E=∠=∠ ()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B.添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E=∠=∠ ()ABC DEF AAS ∴ ≌故B 不符合题意；C.添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D.添加一个条件AC ∥FDACB EFD∴∠=∠又,BC EF B E=∠=∠ ()ABC DEF ASA ∴ ≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s ．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y （单位：m ）与无人机上升的时间x （单位：s ）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（）A.5s 时，两架无人机都上升了40mB.10s 时，两架无人机的高度差为20mC.乙无人机上升的速度为8m /sD.10s 时，甲无人机距离地面的高度是60m【答案】B【解析】【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y （米）和上升的时间x （分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．【详解】解：设甲的函数关系式为y ax =甲，把(5，40)代入得：405a =，解得8a =，∴8y x =甲，设乙的函数关系式为y kx b =+乙，把(0，20)，(5，40)代入得：20540b k b =⎧⎨+=⎩，解得420k b =⎧⎨=⎩，∴420y x =+乙，A 、5s 时，甲无人机上升了40m ，乙无人机上升了20m ，不符合题意；B 、10s 时，甲无人机离地面810⨯=80m ，乙无人机离地面41020⨯+=60m ，相差20m ，符合题意；C 、乙无人机上升的速度为402045-=m /s ，不符合题意；D 、10s 时，甲无人机距离地面的高度是80m ．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键．9.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 做ON ⊥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】先证明()MAO NDO ASA ≅ ，再证明四边形MOND 的面积等于，DAO 的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】解：在正方形ABCD 中，对角线BD ⊥AC ，90AOD ∴∠=︒ON OM⊥ 90MON ∴∠=︒AOM DON∴∠=∠又45,MAO NDO AO DO∠=∠=︒= ()MAO NDO ASA ∴≅ MAO NDOS S ∴= 四边形MOND 的面积是1，1DAO S ∴= ∴正方形ABCD 的面积是4，24AB ∴=2AB ∴=故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（） 1.73≈≈）A.9.0mB.12.8mC.13.1mD.22.7m【答案】C【解析】【分析】分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．【详解】解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，∴:1:1.25DE EF =，解得40m DE =，∴5258ND DE m ==，∴65NE ND DE m =+=，∵60MCB ∠=︒，30m BC =，∴tan 60MB BC =⋅︒=，∴顶端M 与顶端N的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11.若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y +-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A.5B.8C.12D.15【答案】B【解析】【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到562a +<解得7a <，再解分式方程得到5=2a y +，根据分式方程的解是正整数，得到5a >-，且5a +是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和．【详解】解：()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩①②解不等式①得，6x ≥，解不等式②得，5+2ax > 不等式组的解集为：6x ≥562a +∴<7a ∴<解分式方程238211y a y y y+-+=--得238211y a y y y +--=--2(38)2(1)y a y y ∴+--=-整理得5=2a y +，10,y -≠ 则51,2a +≠3,a ∴≠- 分式方程的解是正整数，502a +∴>5a ∴>-，且5a +是2的倍数，57a ∴-<<，且5a +是2的倍数，∴整数a 的值为-1,1,3,5,11358∴-+++=故选：B ．【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0k y x x =>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOF S = ，则k 的值为（）A.73B.214 C.7 D.212【答案】A【解析】【分析】延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H ，则可得△DEA ≌△AGO ，从而可得DE =AG ，AE =OG ，若设CE =a ，则DE =AG =4a ，AD =DC =DE +CE =5a ，由勾股定理得AE =OG =3a ，故可得点E 、A 的坐标，由AB 与x 轴平行，从而也可得点F 的坐标，根据EOF EOG FOH EGHF S S S S =+- 梯形，即可求得a 的值，从而可求得k 的值．【详解】如图，延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H∵四边形ABCD 是菱形∴CD =AD =AB ，CD ∥AB∵AB ∥x 轴，AE ⊥CD∴EG ⊥x 轴，∠D +∠DAE =90゜∵OA ⊥AD∴∠DAE +∠GAO =90゜∴∠GAO =∠D∵OA =OD∴△DEA ≌△AGO (AAS )∴DE =AG ，AE =OG设CE =a ，则DE =AG =4CE =4a ，AD =AB =DC =DE +CE =5a在Rt △AED 中，由勾股定理得：AE =3a∴OG =AE =3a ，GE =AG +AE =7a∴A （3a ,4a ），E (3a ,7a )∵AB ∥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴∴四边形AGHF 是矩形∴FH =AG =3a ，AF =GH∵E 点在双曲线()0k y x x=>上∴221k a =即221a y x =∵F 点在双曲线221a y x=上，且F 点的纵坐标为4a ∴214ax =即214a OH =∴94aGH OH OG =-=∵EOF EOG FOHEGHF S S S S =+- 梯形∴1191211137(74)4224248a a a a a a a ⨯⨯++⨯-⨯⨯=解得：219a =∴217212193k a ==⨯=故选：A ．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA ≌△AGO ，从而求得E 、A 、F 三点的坐标．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13.计算：()031p --=_______．【答案】2．【解析】【分析】分别根据绝对值的性质、0指数幂的运算法则计算出各数，再进行计算即可．【详解】解：()031312p --=-=，故答案是：2．【点睛】本题考查的是绝对值的性质、0指数幂，熟悉相关运算法则是解答此题的关键．14.在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是_______．【答案】14【解析】【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果，再由概率公式即可求得答案．【详解】画树状图如图：共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4个，∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率=41164=．故答案为：14．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．15.若关于x 的方程442xa -+=的解是2x =，则a 的值为__________．【答案】3【解析】【分析】将x =2代入已知方程列出关于a 的方程，通过解该方程来求a 的值即可．【详解】解：根据题意，知4242a -+=，解得a =3．故答案是：3．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．16.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，∠CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．【答案】45π【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA =OC =OB =OD =2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且BD =4，∴AC=BD ＝4，OA =OC =OB =OD =2，∴22362423605AOE S S ππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：45π．【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．17.如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．【答案】53【解析】【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF 是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴3tan 60CFAF ==︒∴3AG =∴四边形ADFE 的面积为1232DE AG ⋅⨯=，故答案为：3．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．18.某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的115，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________．【答案】9 10【解析】【分析】设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x，A种饮料的单价y．B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%，总销售额为m，可求A饮料销售额为3xy+115 m，B饮料的销售额为91210xy m+，C饮料销售额：171420xy m+，可求=15m xy，六月份A种预计的销售额4xy，六月份预计的销售数量103x，A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比103:3x x计算即可【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．,设A种饮料的单价y．B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m，A饮料增加的销售占六月份销售总额的1 15A饮料销售额为3xy+115 m，A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，B 饮料的销售额为31913=215210xy m xy m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B 饮料的销售额增加部分为3134215xy m xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴C 饮料增加的销售额为131342215xy m xy ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴C 饮料销售额：13117134+42215420xy m xy xy xy m ⎡⎤⎛⎫+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴191171315210420xy m xy m xy m m +++++=∴=15m xy六月份A 种预计的销售额1315415xy xy xy +⨯=，六月份预计的销售数量()1041+20%y 3xy x ÷=∴A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比1093:9:10=310x x =故答案为910【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键三、解答题：（本大题7个小题，没小题10分，共70分）19.计算（1）()()22x y x x y -++；（2）2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭．【答案】（1）222x y +；（2）22a -【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和整式的乘法运算法则计算即可；（2）根据分式混合运算的运算法则计算即可．【详解】解：（1）()()22x y x x y -++=x 2﹣2xy +y 2+x 2+2xy=2x 2+y 2；（2）2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭=22(2)(2))22(2)a a a a a a a ++--÷+++（=22(2)2(2)(2)a a a a +⨯++-=22a -．【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．20.“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg ），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x 表示，共分为四个等级：A ．1x <，B ．1 1.5x ≤<，C ．1.52x ≤<，D ．2x ≥），下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．八年级10个班的餐厨垃圾质量中B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差A 等级所占百分比七年级 1.3 1.1a 0.2640%八年级1.3b1.00.23m %根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a ，b ，m 的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）0.8, 1.0,20a b m ===；（2）6个；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解a ，b 的值，由扇形统计图可解得m 的值；（2）先计算在10个班中，八年级A 等级的比例，再乘以30即可解题；（3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可．【详解】解：（1）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中，0.8出现的此时最多，即众数是0.8；由扇形统计图可知%150%10%20%20%m =---=，八年级的A 等级的班级数为10×20%=2个，八年级共调查10个班，故中位数为第5个和第6个数的平均数，A 等级2个班，B 等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0，故八年级10个班的餐厨垃圾质量的中位数为（1.0+1.0）÷2=1.020m ∴=0.8, 1.0,20a b m ∴===；（2）∵八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A 等级的百分比是20%，∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数为：30×20%＝6（个）；答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数为6个．（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0；②七年级各班餐厨垃圾质量A 等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A 等级的20%；八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1；②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21.如图，在ABCD 中，AB >AD ．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；（2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90 即可得出答案．【详解】解：（1）解：如图所示：E，F即为所求；（2）△CDP是直角三角形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∴∠CED=∠ADE=12∠ADC．∵CP平分∠BCD，∴∠DCP=12∠BCD，∴∠CDE+∠DCP=90°．∴∠CPD=90°．∴△CDP 是直角三角形．【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数2241x y x -=+的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；x…－5－4－3－2－112345…2241x y x -=+…－2126－1217－123240…（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；（3）已知函数332y x =-+的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式2234321x x x --+>+的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】（1）从左到右，依次为：311221,,,221726--，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；（3）0.3,12x x <-<<【解析】【分析】（1）直接代入求解即可；（2）根据函数图象，写出函数的性质即可；（3）根据图象交点写出解集即可．【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：311221,,,221726--．函数图象如图所示．；（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当0x =，函数取得最大值4；③当0x <是，y 随x 的增大而增大；当0x >是，y 随x 的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可）（3）当0.2x =-时，33 3.32x -+=，224 3.81x x -≈+；当0.4=-x 时，33 3.62x -+=，224 3.311x x -≈+；所以0.3x =-是2234321x x x --+=+的一个解；由图象可知1x =和2x =是2234321x x x --+=+的另外两个解；∴2234321x x x --+>+的解集为0.3,12x x <-<<．【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．23.某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元，1件A 产品与1件B 产品售价和为500元．（1）A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a %；B 产品产量将在去年的基础上减少a %，但B 产品的销售单价将提高3a %．则今年A 、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925a %．求a 的值．【答案】（1）A 产品的销售单价为300元，B 产品的销售单价为200元；（2）20【解析】【分析】（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为（x +100）元，根据题意列出方程解出即可；（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意根据题意列出方程()()()293001%20013%1%5001%25a t a t a t a ⎛⎫+⋅++⋅-=⋅+ ⎪⎝⎭解出即可；【详解】解：（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为（x +100）元．根据题意，得()100500x x ++=．解这个方程，得200x =．则100300x +=．答：A 产品的销售单价为300元，B 产品的销售单价为200元．（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意，得()()()293001%20013%1%5001%25a t a t a t a ⎛⎫+⋅++⋅-=⋅+ ⎪⎝⎭设a %=m ，则原方程可化简为250m m -=．解这个方程，得121,05m m ==（舍去）．∴a=20．答：a 的值是20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．24.如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“合分解”．例如6092129=⨯ ，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609∴是“合和数”．又如2341813=⨯ ，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234∴不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M A B =⨯．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为()P M ；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为()Q M ．令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被4整除时，求出所有满足条件的M ．【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；（2）M 有1224，1221，5624，5616．【解析】【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，再判断168，621是否是“合和数”；（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示A 个位及十位上的数，同时也可以用来表示B ．然后整理出：()()()P M G M Q M =，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M ．【详解】解：（1）168不是“合和数”，621是“合和数”．1681214=⨯ ，2410+≠，168∴不是“合和数”，6212327=⨯ ，十位数字相同，且个位数字3710+=，621∴是“合和数”．（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n （m ，n 为自然数，且39m ≤≤，19n ≤≤），则10,1010A m n B m n =+=+-．∴()10210,()()(10)210P M m n m n m Q M m n m n n =+++-=+=+-+-=-．∴()()21054()2105P M m m G M k Q M n n ++====--（k 是整数）．39m ≤≤ ，8514m ∴≤+≤，k 是整数，58m ∴+=或512m +=，①当58m +=时，5851m n +=⎧⎨-=⎩或5852m n +=⎧⎨-=⎩，36341224M ∴=⨯=或3733=1221M =⨯．②当512m +=时，51251m n +=⎧⎨-=⎩或51253m n +=⎧⎨-=⎩，76745623M ∴=⨯=或78725616M =⨯=．综上，满足条件的M 有1224，1221，5624，5616．【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【答案】（1）2712y x x =--；（2）t =2时，△PDE 周长取得最大值，最大值为24558+，点P 的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标，设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，则E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，证明△PDE ∽△AOC ，根据周长之比等于相似比可得()()22355651024522828555l t t ++⎡⎤=⋅--+=--++⎣⎦，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线；②若AB 是平行四边形的边，1）当MN ∥AB 时；2）当NM ∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．【详解】解（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点A （0，﹣1），点B （4，1），∴11641c b c =-⎧⎨++=⎩，解得721b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴该抛物线的函数表达式为2712y x x =--；（2）∵A （0，-1），B （4，1），∴直线AB 的函数表达式为112y x =-，∴C （2，0），设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，∵点E 在直线112y x =-上，PE ∥x 轴，∴E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∠OCA =∠DEP ，∴PE =()2228228t t t -+=--+，∵PD ⊥AB ，∴∠EDP =∠COA ，∴△PDE ∽△AOC ，∵AO =1，OC =2，∴AC∴△AOC 的周长为令△PDE 的周长为l，则3AC l PE+=，∴()()2251022828555l t t ++⎡⎤=⋅--+=--++⎣⎦，∴当t =2时，△PDE周长取得最大值，最大值为58+，此时点P 的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为24y x x =-，对称轴为直线2x =．①若AB 是平行四边形的对角线，当MN 与AB 互相平分时，四边形ANBM 是平行四边形，即MN 经过AB 的中点C （2，0），∵点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为（2，-4）；②若AB 是平行四边形的边，1）MN ∥AB 时，四边形ABNM 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M 的坐标为（﹣2，12）；2）当NM ∥AB 时，四边形ABMN 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2+4=6，∴点M 的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）26.在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转至AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒．（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，连接BE ，交AC 于点F ．若BE 平分ABC ∠，2BD =，求AF 的长；（2）如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ．猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG ，CE ．若120BAC ∠=︒，当BD CD >，150AEC ∠=︒时，请直接写出BD DG CE-的值．【答案】（12；（2）12AG CD =，证明见解析；（3）62BD DG CE -=．【解析】【分析】（1）连接CE ，过点F 作FH BC ⊥，垂足为H ，证明ABF HBF ≌，得：AF HF =，再在等腰直角FHC 中，找到22FH CF =，再去证明FCE △为等腰三角形，即可以间接求出AF 的长；（2）作辅助线，延长BA 至点M ，使AM AB =，连接EM ，在BEF 中，根据三角形的中位线，得出12AG ME =，再根据条件证明：△ADC≌△AEM ，于是猜想得以证明；（3）如图（见解析），先根据旋转的性质判断出ADE 是等边三角形，再根据180ABC AEC ∠+∠=︒证出,,,A B C E 四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的和差可得CDE △是等腰直角三角形，设2CE DE a ==，从而可得2,2AD a CD a ==，根据三角形全等的判定定理与性质可得120BDP BAP ∠=∠=︒，从而可得90AGD GDP APD ∠=∠=∠=︒，根据矩形的判定与性质可得四边形AGDP 是矩形，DG AP =，最后根据等量代换可得BD DG AC AP CP CE CE CE--==，解直角三角形求出6CP a =即可得出答案．【详解】解：（1）连接CE ，过点F 作FH BC ⊥，垂足为H ．BE 平分ABC ∠，90BAC ∠=︒，FA FH ∴=．AB AC = ，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，22FH ∴=，180BAC DAE ∠∠︒+= ，90BAC DAE ∴∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △和ACE 中，=AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴ ≌，2BD CE ∴==，45ABD ACE ∠=∠=︒，90BCE ∴∠=︒，BE 平分ABC ∠，ABF CBF ∴∠=∠.AFB BEC ∴∠=∠，AFB EFC ∠=∠ ，BEC EFC ∴∠=∠，CEB EFC ∴∠=∠．222AF ∴=（2）12AG CD =延长BA 至点M ，使AM AB =，连接EM．G 是BE 的中点，12AG ME ∴=．180BAC DAE BAC CAM ∠+∠=∠+∠=︒ ，DAE CAM ∴∠=∠，DAC EAM ∴∠=∠，在ADC 和AEM △中，AD AE DAC EAM AC AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC AEM SAS ∴ ≌，CD ME ∴=，12AG CD ∴=．（3）如图，设,AC BE 交于点P ，连接,DE DP ，。