四校自招-数学·上中卷

自主招生真题方程与方程组1（2014交附）方程组21731423142172x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为________．2（2014上中）设1p 、2p 、1q 、2q 为实数，则12122()p p q q =+，若方程甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则( )A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定3（2014复附）如果关于x 的方程()221210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是________．4（2011华二）已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =________．5（2014复附）已知273a a =-，273b b =-，且a b ≠，则22b a a b +=________．6 (2014复附) 方程1122111x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为________．7（2104复附）已知x 、y 、z 为实数，且5x y z ++=，3xy yz zx ++=则z 的取值范围为________．8 (2014复附)设1232007,,,,x x x x 为实数，且满足 123200712320071232007123200620071x x x x x x x x x x x x x x x x x =-=-==-=， 则2000x 的值是 .9（2013上中）若方程()()k x x =--4122有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k =________．10（2013华二）对于满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ，令x y最大，则这个最大值为________．11（2011华二）关于x 、y的方程组1x y x y x y -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有________组解．12（2013复附）已知⎩⎨⎧=+=++661722xy y x y x xy ，求432234y xy y x y x x ++++的值。

2021年漳州市高中自主招生四校联考数学试卷参考答案及评分标准一、选择题〔本大题共有10小题，每题4分，共40分〕二、填空题〔本大题共有8小题，每题4分，共32分〕11．0；； 13．36； 14．； 15．； 16．；17或； 18①或②〔选择题、填空题没有中间分〕三、解答题〔本大题共有6小题，第19题8分；第20211题每题12分；第22题14分；第23、24题每题16分；共78分〕19．解：……………………………………………2分…………………………………………4分………………………………………………………………………6分当时原式…………………………………………………………8分20211〕证明：连结，那么……………2分，解:由得………………………………………4分1当时,由上可得原不等式的解为……………………………………………6分2依题意,得……………………………………………9分………………………………………12分说明:第1题,直接把代入求解,各得2分;第2小题不等式没写等号,后面的解答无错误,给3分22．解：1 树状图或列表如下………3分有6种可能结果：A，D，〔A，E〕，〔B，D〕，〔B，E〕，〔C，D〕，〔C，E〕．……4分注：用其它方式表达选购方案且正确给1分2 因为选中A品牌衣服有2种方案，即A，D〔A，E〕，………………………5分所以A品牌衣服被选中的概率是…………………………………………………7分3中选用方案〔A，D〕时，设购置A品牌衣服、D品牌裤子分别为，件，依题意，得…………………………………………………9分解得…………………………………………………………………………10分中选用方案〔A，Ｅ〕时，设购置A品牌衣服、Ｅ品牌裤子分别为，件，依题意，得………………………………………………12分解得………………………………………………………………………13分答：温馨家购得的A品牌衣服为2件或3件．…………………………………14分解法二：由2可知，中选用方案〔A，D〕时，设购置A品牌衣服件，那么D品牌裤子为件，依题意，得…………9分解得，……10分,以下略23解:1把和代入得A的坐标为-1,1,B的坐标为2,4…………………………………1分在二次函数的图象上……………………………………………………………2分解得…………………………………………………………………3分二次函数的表达式为……………………………………………4分2如图,设四边形的面积为S,点C的坐标为,分别过点作轴的垂线,垂足依次为,那么……………………5分于是,…………………………6分=== ………………………9分当时,的最大值为4即四边形的面积的最大值为4 ………10分3可求得…………11分………………………………12分过点作于由得…………13分…………………………………………14分圆与直线相交…………………………………………………………16分24．解：〔1〕,…………………………………………3分2，,又………………………………………………………………………………5分设直线的表达式为,那么,直线的表达式为…………………………………………………6分过点作于，四边形为等腰梯形，，在中，……………8分过点作于，在中，，即点到腰的距离为……………………………………………………10分证法二：利用相似可以求得过点作于，过点作于，四边形为等腰梯形，，在中，在中，…………………………………8分由∽得即，即点到腰的距离为…………………………………10分3 过点作于，依题意,得于是；……12分①不可能为直角…………………………………………13分②假设,那么, =整理得解得或舍去……………………………………………………14分③假设,那么, =整理得解得或舍去…………………………………………………15分综上,当或时,为直角三角形………………………………16分。

2019年成都四中⾃主招⽣数学考试真题成都四中2019年外地⽣招⽣考试数学试题⼀、选择题：（本题共10⼩题，每⼩题5分，共50分）01、若⼀个三⾓形有⼀个⾓为30?（）A 、锐⾓三⾓形B 、直⾓三⾓形C 、钝⾓三⾓形D 、不能确定02、若⼆次函数22()9y x h =--+，当5x ≤时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，则h 的取值范围是（）A 、5h =B 、5h >C 、5h ≥D 、5h ≤03、如图，已知ABC ?中，90C ∠=?，D 是AC 上⼀点，12cos 13A =，4tan 3BDC ∠=，11AD =，求BC 的长为（）A 、6B 、203C 、223D 、804、⽯室中学⽂庙校区⼀共有在校学⽣1732⼈，现学校要通过电话将⼀个紧急通知尽快通知到所有学⽣，每个电话通知需要2分钟时间，同学接到电话可以相互通知，若假设每次电话都正常接通，你作为学⽣会主席，设计最优的通知⽅案，能使所有同学都接到通知需要的时间为（）A 、20分钟B 、22分钟C 、24分钟D 、26分钟05、试估算6的⼤致范围（）A 、800850B 、850900C 、900950D 、9501000 06、如图，AB 是O 的直径，点C 为左半圆上⼀点，CAB ∠的平分线与圆交于点D ，连接CB 交AD 于点N ，若ND NB =时，则cos ADC ∠的值为（）A 、35B 、45C D07、试化简的结果为（）A B 、+C D 08、在矩形ABCD 内取⼀点N ，使得NA a =，NB b =，NC c =，若a b c 、、满⾜222a c b =-，则ND 的值为（）A B 、C D )a b c +-09、求使222160220193906(39)(39)aa a a a a -+--=--成⽴的整数a 的个数为（）A 、3B 、4C 、5D 、610、关于x 的⼆次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像与x 轴交于A B 、两点，若(3)M m -，为该抛物线上⼀点，求当90AMB ∠=?时，a 的值为（）A 、3B 、C 、13D 、3⼆、填空题：（本题共8⼩题，每⼩题6分，共48分）11、若点12373(5)()()22A yB yC y --，、、，为⼆次函数224y x x c =++（c 为常数）的图像上的三点，则123y y y 、、的⼤⼩关系是__________.12、在Rt ABC ?中，90C ∠=?，取AB 中点M ，连接CM ，若ABC ?周长为30，CM 长度为7，求此三⾓形⾯积为________.13、若对于任意实数x ，代数式2523c x x c ++-总有意义，则c 的取值范围是________.14、关于x 的⽅程2x ax b =+可以表⽰为()()0x a x b ++=，求满⾜条件的a 和b 的值_____.15、将⼀个平⾏四边形放⼊平⾯直⾓坐标系中，它的四个顶点坐标表⽰信息如下：(80)(04)()()A B C n n D a b -，、，、，、，，其中a b n 、、为任意满⾜条件的实数，则线段CD 长的最⼩值为________. 16、如图，在ABC ∠内部有⼀点M ，过M 作MA //BC交AB 边于点A ，作MC //BC 边交AB 于点C ，若45ABC ∠=?，AB =，6BC =，点D 为AB 的中点，点P 为线段BC 上⼀动点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90?⾄'DP ，连接''MP CP 、，则'+'MP CP 的最⼩值是______.17、如图，将等腰直⾓三⾓形AOC 和有⼀个锐⾓（B ∠）为30?的Rt AOB ?的⼀条长为2的直⾓边AO 重叠摆放后，把Rt AOB ?绕直⾓顶点O 按顺时针⽅向旋转，使斜边AB 恰好经过等腰直⾓三⾓形的顶点C ，得''A OB ?，AB 分别与'''A B A O 、相交于点D E 、，那么此时四边形OCDE 的⾯积为________.18、由平⽅⾮负性可知，对于任意正实数a b 、均有20≥，即a b +≥当a b=时等号成⽴.请⽤此原理解决如下问题：如图，已知直线22AB y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，N 为反⽐例函数9y x =第⼀象限图像上任意⼀点，过点N 作ND y ⊥轴于点D ，则五边形ABCND 的最⼩值为__________.三、解答题：（本⼤题共5⼩题，共52分）19、（10分）（1）如图所⽰是某篮球队员进⾏投篮训练时篮球运⾏轨迹在平⾯直⾓坐标系中的⽰意图，在地⾯O A 、两个视频拍摄点测得篮筐C 的仰⾓分别为αβ、，已知1OA =，9tan 28α=，3tan 8β=，该篮球队员在O 点正上⽅53的D 点处向篮筐C 进⾏投篮.若该篮球运动轨迹为开⼝向下的抛物线，且运⾏达到地⾯最⼤⾼度3时，相应的⽔平距离为4（即图中E 点）.请问本次投篮是否能投中，并⽤学过的数学知识说明理由.。

上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=.2．不等式3102x x +≤-的解集是．3．已知,R b c ∈，关于x 的不等式20x bx c -+<的解集为()3,2-，则b c +=．4．已知方程22430x x +-=的两实根为12,x x ，则12x x -的值为．5．若:||1x m α-<是:04x β<<的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是．6．化简：211133221566425a b a b a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.（其中0a >，0b >）7．已知,0x y >且31x y +=，则11x y+的最小值为8x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的整数m 的和是．9．已知实数a b c >>，且0a b c ++=，则c a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为.11．已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数a b +，b c +，c a +，下列说法正确的是（把所有正确选项都填上）①可能均为有理数②可能均为无理数③可能恰有一个为有理数④可能恰有两个为有理数12．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，若集合{()0,13}A xf x x ==≤≤∣中恰有两个元素，则(2)f a 的取值范围为．二、单选题13．下列结论中错误的有（）A ．若a ，b 为正实数，a b >，则3322a b a b ab +>+B ．若a ，b ，m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若22a b c c >，则a b >；D ．当0x >时，2xx+的最小值为14．下列问题中，a ，b 是不相等的正数，比较x ，y ，z 的表达式．下列选项正确的是（）问题甲：一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨，面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙：某人散步，第一圈的速度是a ，第二圈的速度是b ，这两圈的平均速度为y ；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a （天平平衡），放右边时左边砝码质量为b （天平平衡），物体的实际质量为z ．A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x>>15．设1237 A A A A 、、、、是均含有2个元素的集合，且171(1,2,3,,6)i i A A A A i +=∅==∅ 、，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．716．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S ∈，则当且仅当(a m n =+其中,m n S ∈且)m n ≠，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ∉∈且)p q ≠.现有如下两个命题:①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+∈⊆.则下列选项中正确的是（）A ．①是真命题，②是真命题；B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题；D ．①是假命题，②是假命题.三、解答题17．设集合{}260P x x x =--<，{}23Q x a x a =≤≤+.(1)若Q P Q P ≠∅= 且，求实数a 的取值范围；(2)若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.18．已知函数()y f x =满足2()21f x x a x a =-+-+(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x 元，公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价．20．已知a b c d ,,,为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题.（1）请根据基本不等式2a b +≥（,a b R +∈），证明：4a b c d +++≥；（2）请利用（1）的结论，证明：3a b c ++≥（3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，在这层一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？21．对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.。