2018年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学解析版本试卷均为非选择题(第1题～第20题，共20题)．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．参考公式：锥体的体积V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A ＝{0，1，2，8}，B ＝{－1，1，6，8}，那么A ∩B ＝________．{1，8} 【考查目标】 本题主要考查集合的交运算，考查考生对概念的理解和应用，考查的核心素养是数学运算．【解析】 由集合的交运算可得A ∩B ＝{1，8}．【命题分析】 本题难度较小，运算的依据是A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．2．若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．2 【考查目标】 本题主要考查复数的概念、运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 复数z ＝1＋2i i＝(1＋2i)(－i)＝2－i 的实部是2. 【答题模板】 确定复数的实部和虚部，首先要利用复数的运算法则将复数化为z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则a 是实部，b 是虚部．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________.90 【考查目标】 本题主要考查茎叶图、平均数，考查考生对统计图和平均数的理解和应用，考查的核心素养是数据分析．【解析】由茎叶图可得分数的平均数为89＋89＋90＋91＋915＝90.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．8【考查目标】本题主要考查伪代码，考查考生对伪代码的理解和应用，考查的核心素养是数学运算．【解析】该伪代码运行3次，第1次，I＝3，S＝2；第2次，I＝5，S＝4；第3次，I＝7，S＝8，结束运行．故输出的S的值为8.【方法总结】当伪代码的运行次数较少时，一般利用列举法求解，即逐次列出运行结果，直到运行结束．5．函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．[2，＋∞)【考查目标】本题主要考查函数的定义域，考查考生对基本概念的理解和应用，考查的核心素养是数学运算．【解析】要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)．【误区警示】二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，不能忽略等号，另外函数的定义域要写成集合或区间的形式．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．310【考查目标】 本题主要考查古典概型，考查考生对数学知识的应用意识，考查的核心素养是数学运算．【解析】 记2名男生分别为A ，B ，3名女生分别为a ，b ，c ，则从中任选2名学生有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab ，ac ，bc ，共3种情况，故所求概率为310. 【误区警示】 古典概型中基本事件的计数一般利用列举法，注意列举要按照一定的顺序，避免重复和遗漏．7．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________． －π6【考查目标】 本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查考生的应用意识，考查的核心素养是数学运算．【解析】 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2＜φ＜π2，所以π6＜2π3＋φ＜7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6. 【方法总结】 正弦函数、余弦函数的图象在对称轴处的函数值取得最大值或最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． 2 【考查目标】 本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能力和应用意识，考查的核心素养是数学运算．【解析】 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，所以|bc |a 2＋b2＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2. 【拓展结论】 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .9．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx 2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．22【考查目标】 本题主要考查函数的周期性、分段函数，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. 【误区警示】 利用函数的周期性将自变量化为已知解析式的区间内的值，再代入相应的解析式，看清自变量的取值范围．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．43【考查目标】 本题主要考查空间几何体的体积，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2，则该正八面体的体积为13×(2)2×2＝43. 【举一反三】 求几何体的体积时，先确定几何体的形状，再利用相应的体积公式求解．11．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．－3 【考查目标】 本题主要考查导数的几何意义，考查考生的化归与转化能力，考查分类讨论思想，考查的核心素养是数学运算．【解析】 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a 3，由f ′(x )＜0得0＜x ＜a 3，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.【方法总结】 利用导数求函数的最值时，首先利用导数研究函数的单调性、极值，再与区间端点的函数值比较大小．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．3 【考查目标】 本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 【命题分析】 本题考查直线与圆的位置关系，利用等价转化思想将问题转化为两直线的交点问题．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．9 【考查目标】 本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a sin 60°＋12c sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a ＞0，c ＞0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9.【方法总结】 应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件．14．已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为________．27 【考查目标】 本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1＜12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3＜12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6＜12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10＜12a 5＝60，不符合题意；……；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503＜12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546＞12a 28＝540，符合题意．故使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为27.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .【考查目标】 本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．【解题思路】 (1)利用平行六面体的性质得线线平行，再利用线面平行的判定定理证明．(2)利用平行六面体的性质和线面垂直、面面垂直的判定定理证明．【解析】 (1)在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C .(2)在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B .又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC .又因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC .因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .【解题关键】 熟记直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．16．(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【考查目标】 本题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)的正切公式及二倍角的余弦公式，考查运算求解能力．【解题思路】 (1)利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解．(2)利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求解．【解析】 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α. 因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以cos 2 α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211. 17．(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【考查目标】 本题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．【解题思路】 (1)利用三角函数的概念建立目标函数；(2)利用导数与函数的单调性和最值求解．【解析】 (1)连接PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH ＝10.过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK ＝KN ＝10.连接OG ，令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π6. 当θ∈⎣⎡⎦⎤θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1.答：矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600(cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k ＞0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k (sin θcosθ＋cos θ)，θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2. 设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2，则 f ′(θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ－sin θ＝－(2sin 2 θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f ′(θ)＝0，得θ＝π6， 当θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π6时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)为增函数； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)为减函数，因此，当θ＝π6时，f (θ)取到最大值． 答：当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点⎝⎛⎭⎫3，12，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2. (1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 【考查目标】 本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．【解题思路】 (1)利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程．(2)①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解；②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解．【解析】 (1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)，(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0. 由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0. (*)因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0.因为x 0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1. 因此，点P 的坐标为(2，1)．②因为三角形OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 20（x 20－2）2（4x 20＋y 20）， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 20y 20·48y 20（x 20－2）（4x 20＋y 20）2. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16（x 20－2）（x 20＋1）2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0， 解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12，因此P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22. 综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋3 2.19．(本小题满分16分)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数．若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”．(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数f (x )＝－x 2＋a ，g (x )＝b e xx.对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”，并说明理由．【考查目标】 本题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力．【解题思路】 (1)利用“S 点”的定义证明即可；(2)利用新定义建立方程组求解；(3)利用函数的零点及新定义求解．【解析】 (1)函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”．(2)函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x. 设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1，(*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12（e －12）2＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”． 因此，a 的值为e 2. (3)对任意a ＞0，设h (x )＝x 3－3x 2－ax ＋a .因为h (0)＝a ＞0，h (1)＝1－3－a ＋a ＝－2＜0，且h (x )的图象是不间断的，所以存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0.令b ＝2x 30e x 0（1－x 0），则b ＞0. 函数f (x )＝－x 2＋a ，g (x )＝b e x x， 则f ′(x )＝－2x ，g ′(x )＝b e x （x －1）x 2. 由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎨⎧－x 2＋a ＝b e x x，－2x ＝b e x（x －1）x 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋a ＝2x 30e x 0（1－x 0）·e x x，－2x ＝2x 30e x 0（1－x 0）·e x（x －1）x 2，(**) 此时，x 0满足方程组(**)，即x 0是函数f (x )与g (x )在区间(0，1)内的一个“S 点”．因此，对任意a ＞0，存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”．20．(本小题满分16分)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围；(2)若a 1＝b 1＞0，m ∈N *，q ∈(1，m 2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．【考查目标】 本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．【解题思路】 (1)利用等差数列、等比数列的通项公式建立不等式求解；(2)利用等差数列、等比数列的知识，结合推理、导数在研究函数性质中的应用等求解．【解析】 (1)由条件知：a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1，因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，即|(n －1)d －2n －1|≤1对n ＝1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得73≤d ≤52， 因此，d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，52.(2)由条件知：a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1.若存在d ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)成立，即|b 1＋(n －1)d －b 1q n －1|≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)，即当n ＝2，3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1. 因为q ∈(1，m 2]，则1＜q n －1≤q m ≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －1n －1b 1＞0，对n ＝2，3，…，m ＋1均成立． 因此，取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大值和数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小值(n ＝2，3，…，m ＋1)． ①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n （n －1）＝n （q n －q n －1）－q n ＋2n （n －1）， 当1＜q ≤21m 时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －q n －1)－q n ＋2＞0.因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1单调递增， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大值为q m －2m . ②设f (x )＝2x (1－x )，当x ＞0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x ＜0，所以f (x )单调递减，从而f (x )＜f (0)＝1.当2≤n ≤m 时，q n n qn －1n －1＝q （n －1）n ≤21n ⎝⎛⎭⎫1－1n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＜1， 因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1单调递减， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小值为q m m .因此，d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b 1（q m －2）m ，b 1q m m .。