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• Central Composite Designs (CCDs)
22
一階 Model 之 RSM 設計
• 考慮因素: 直交 (Othogonal) • 2k + nc center point • 2k-p + nc center point, 但必須為解析度III以上,
Why?
• Simplex Design
– k 個因子, 使用 k+1 次(頂點)實驗
23
則已在最佳點附近. • 取係數之絕對值最大者; 選定其Step Size xi. • 其他因子之Step Size =>
xi / bi = xk / bk
• 將xi換算成Natural Variable; 回到第一步驟.
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Second-order Model 之分析
• 當非常接近最佳點時, First-order Model 便不再適用; 此時應用 Second-order Model 或更高階之Model來趨近真實反 應曲面的曲線(曲面)情形.
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Example 之 ANOVA Table
9
Example之分析結果
• 實驗所得之回歸模式(Regression Model)為 y = 40.44 + 0.775x1 + 0.325x2
• x1與x2之係數(0.775 and 0.325)相對於係數之 standard error = sqrt(MSE/d.f.e) = 0.10大的多; 故 兩係數均顯著.
3
反應曲面 - Example
4
The Method of Steepest Ascent
• 目的: 為能快速達到最佳反應變數值之鄰近區 域.
• 假設: 在遠離最佳反應變數值的地方, 一般而言, 使用 First-order Model 已經足夠.
• Steepest Ascent 是一種沿著最陡峭的路徑(亦即 反應變數增加最快之方向), 循序往上爬升的方 法.
-ANOVA
• 實驗所得之回歸模式(Regression Model)為 y = 78.97 + 1.00x1 + 0.50x2
• 需進一步之實驗以求取最佳點.
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Steepest Ascent 步驟
• 2k + nc center point 或 CCD 或 其他 • First-order Model 顯著, 且Curvature不顯著; 否
• 目的: 如何設定因子之水準(區間), 使反應變數 達到最佳值.
2
RSM之基本原理
• 真正的函數關係 Y = f(x1, x2) + e 反應曲面(Response Surface) = f(x1, x2)
• 若因子之區間縮小, 則 f(x1, x2) 可用多項式來趨近. 如: Y = b0+b1x1+b2x2+…+bkxk+e (first order) Y = b0+bixi+biix2i+ bijxixj+e (second order)
Simplex Design
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設計之比較 - Example
• 23
– 無法估算 Pure Error
- 4 d.f. 之 Lack-of-fit
– 缺點 : Model是否合適無法得知
• 23-1 + 4 center point
– 3 d.f. 之 Pure Error
- 1 d.f. 之 Curvature
• 下次實驗之移動方向:
– 以移動係數最大之因子一個單位 (以Coded Variable 為基礎), 故選擇 x1 = 1, 則x2 = (0.325/0.775) x1 = 0.42
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Example 之後續實驗結果(一)
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Example 之後續實驗結果(二)
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Example 之後續實驗結果(三)
– 缺點: 交互作用無法得知
• 23-1, n = 2
– 4 d.f. 之 Pure Error
- 無法估算 Lack-of-fit
– 缺點: 交互作用及二次項無法得知
• 最好用23 + 4 center point
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二階 Model 之 RSM 設計(1/4)
• 考慮因素: 直交 (Orthogonal) 與 可旋轉性 (Rotatable)
• 若用以求極小值, 則稱為 Steepest Descent.
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Steepest Ascent
- 圖解
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Steepest Ascent - Example
• “525.DX5” • 因子: 1: 反應時間 (35 min.)
2: 反應溫度 (155 oF) 反應變數 Y: 平均產出水準 (40%)
• Coded Variable (X1;X2) = (-1 ~ 1; -1 ~ 1) • Natural Variable ( 1; 2) = (30 ~ 40; 150 ~ 160)
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Example 525 之實驗數據
• 重複中心點 – Error 之估算 – First-order Model 是否合適 ( Fit? )
Part II: 反應曲面技術
- 設計之選擇 - Optimization - EVOP
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反應曲面技術選擇設計之原則
• 在試驗區間內, 提供合理的資料點分布 • 允許 Model 適合度之分析 (Lack of Fit) • 允許區隔化 (Blocking) • 允許高階 Model 被循序漸近式的建立起來 • 提供自然誤差 (Pure Error) 之估計 • 較少的實驗次數 • 較少的因子水準數 • 估計 Model 參數之計算過程應儘量簡單
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Central Composite Design (CCD) Example
• “534.DX5”
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CCD 結構圖
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CCD Example 之 ANOVA
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CCD Example 之反應曲面
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CCD Example 之反應曲面_Contour Plot
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Chapter 11
Chapter 11
Part I :反應曲面技術
(Response Surface Methodology)
1
Why/When to Use RSM?
• 已知此反應變數(Response Variable)受數個因子 之影響.
– 必須經wenku.baidu.com實驗設計所證實.
• 吾人想知道此反應變數之最佳值
• 目標值 • 最大值 • 最小值
