专题2小题提分限时训练1(原卷版)-2021年新高考数学小题限时提分训练(45分钟)

2021届新高考小题狂练（1）-答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】B 【解析】{}2,3,5A =,{}2,5U B =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算. 2. 【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 考点：全称命题与特称命题 3. 【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=：则1z =：故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4. 【答案】C 【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．5. 【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 6. 【答案】A 【解析】分析：先求出A：B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴：y 轴交于A ：B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2：0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 7.【答案】C 【解析】分析：首先根据g ：x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解：将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-：并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时：满足y x a=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-：之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤：即1a ≥-：故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 8. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 【答案】ABD 【分析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项.【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题. 10. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题. 11. 【答案】AC【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB 为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项， 由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤； 即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质，考查学生识图能力，属于中档题. 12. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误；对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤， 故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】16 【解析】 分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意：没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解】由360a b -+=可知36a b -=-：且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ：20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.【综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15.【答案】 (1). 1- (2). 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=：解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±：由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，：222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.【答案】 【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得sin 22x x =-=-代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==，所以()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.。

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与方差分别为（）A ．5,4-B ．5,16-C ．4,16D ．4,42．已知向量()1,2a = ，3b = ，2a b -= ，则向量a 在向量b 上的投影向量的模长为（）A ．6B ．3C ．2D ．53．已知在等比数列{}n a 中，23215a a +=，234729a a a =，则n n S a -=（）A ．1232n -⨯-B ．()11312n --C ．23n n ⨯-D ．533n ⨯-4．已知三棱锥A BCD -中，6,3,AB AC BC ===三棱锥A BCD -的体积为2，其外接球的体积为500π3，则线段CD 长度的最大值为（）A ．7B ．8C ．D ．105．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（）A ．60种B ．68种C ．82种D ．108种6．已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，，则（）A ．a b c ＜＜B ．c b a ＜＜C ．b a c ＜＜D ．b c a ＜＜7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>，抛物线2C 的准线过双曲线1C 的焦点F ，过点F 作双曲线1C 的一条渐近线的垂线，垂足为点M ，延长FM 与抛物线2C 相交于点N ，若34ON OF OM += ，则双曲线1C 的离心率等于（）A1+BCD1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（）A ．若复数1i 1i-=+z （i 为虚数单位），则741z =-B ．若复数z 满足z z =，则z ∈RC ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若复数z 满足112z z -++=，则复数z 对应点的集合是以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆10．设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（）A ．当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B ．存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为2D ．当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤11．如图所示，一个圆锥SO 的底面是一个半径为3的圆，AC 为直径，且120ASC ∠=︒，点B 为圆O 上一动点（异于A ，C 两点），则下列结论正确的是（）A ．SAB ∠的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦B ．二面角S BC A --的平面角的取值范围是ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点A 到平面SBC 的距离最大值为3D ．点M 为线段SB 上的一动点，当SA SB ⊥时，6AM MC +>第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是．13．已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11ABB A 为菱形，160A AB ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，N 为1BB 的中点，则三棱锥11C A MN -的外接球的表面积为.14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，其中2,a b c =+=，且sin A C =.(1)求c 的值；(2)求tan A 的值；(3)求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（15分）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 边上的一点，90APC PMA ∠=∠=︒，cosCAB ∠=2AB PC =PA =(1)证明：AC ⊥平面PBM ；(2)设点Q 为边PB 的中点，试判断三棱锥P ACQ -的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.19．（17分）给定整数3n ≥，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3,1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +≥；(3)当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.。

选填训练1一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合 A ={x∣ x 2−x −6≤0}，B ={x∣ x −1<0}，则 ( )A. (−∞,3]B. (−∞,2]C. (−∞,1)D. [−2,1) 2. 若复数 z 满足 z (1+i )=−2i （其中 i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是 ( ) A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i3. 设 x ∈R ，则“2x >4”是“lg (∣x ∣−1)>0”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857，因为 142857×2=285714，142857×3=428571，⋯，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857=999，571+428=999，⋯．若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数 x ，则 999−x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为 ( )A. 45B. 35C. 25D.3105. 已知函数 f (x )={xlnx,x >0x ex ,x ≤0，则函数 y =f (1−x ) 的图象大致是 ( ) A. B.C. D.6. 若抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点到准线的距离为 2，过焦点的直线与抛物线交于 A ，B 两点，且 ∣AB ∣=8，则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 ( ) A. 2B. 3C. 4D. 67. 已知函数 f (x )=lg(√x 2+1+x)+12，则 f (ln5)+f (ln 15)= ( )A. 0B. 12C. 1D. 28. 若 F 为双曲线 C ： x 24−y 25=1 的左焦点，过原点的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A ，B 两点，则 1∣FA∣−4∣FB∣ 的取值范围是 ( )A. [14,15] B. [−15,15] C. (−14,0] D. [−14,15]二、选择题（共4小题；共20分）9. 习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知利润=收入−支出，根据该折线图，下列说法正确的是( )A. 该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B. 该企业2019年第一季度的利润约是60万元C. 该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D. 该企业2019年11月份的月利润最大10. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+ 12sin2x，则下列结论正确的是( )A. 2π是f(x)的一个周期B. f(x)在[0,2π]上有3个零点C. f(x)的最大值为3√34D. f(x)在[0,π2]上是增函数11. 给定两个不共线的空间向量a⃗与b⃗⃗，定义叉乘运算：a⃗×b⃗⃗．规定：①a⃗×b⃗⃗为同时与a⃗，b⃗⃗垂直的向量；②a⃗，b⃗⃗，a⃗×b⃗⃗三个向量构成右手系（如图1）；③∣∣a⃗×b⃗⃗∣∣=∣a⃗∣∣∣b⃗⃗∣∣sin⟨a⃗,b⃗⃗⟩．如图2，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，则下列结论正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗)×AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的体积 V =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗×AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗12. 若实数 a ，b 满足 2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是 ( )A. 0<a <b <1B. b <a <0C. 1<a <bD. a =b三、填空题（共4小题；共20分） 13. 已知 sin (α−π3)=−3cos (α−π6)，则 tan2α 的值为 ．14. (2x −y )5 的展开式中，含 x 3y 2 项的系数为 （用数字作答）．15. 平行四边形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，点 N 满足 BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 λ+μ 的值为 ．16. 如图，矩形 ABCD 中，AB =2√3，AD =2，Q 为 BC 的中点，点 M ，N 分别在线段 AB ，CD 上运动（其中 M 不与 A ，B 重合，N 不与 C ，D 重合），且 MN ∥AD ，沿 MN 将 △DMN 折起，得到三棱锥 D −MNQ ，则三棱锥 D −MNQ 体积的最大值为 ；当三棱锥 D −MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为 ．选填训练2一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合M={x∣ f(x)=log2(x2−2x)}，集合N={x∣ 3x>1}，则M∩N=( )A. (2,+∞)B. (0,2)C. [2,+∞)D. (3,+∞)2. 已知复数z=1+i1−i+3i，则复数z的虚部是( )A. 4iB. 2iC. 2D. 43. 已知向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量(a⃗−2b⃗⃗)⊥a⃗，∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣，则a⃗，b⃗⃗的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A. 24里B. 48里C. 96里D. 192里5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=√32b，且a>b，则∠B=( )A. π3B. π6C. 2π3D. 5π66. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60∘的直线l交抛物线于A，B两点，且∣AF∣>∣BF∣，则∣AF∣∣BF∣=( )A. 2B. 3C. 43D. 327. 考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，⋯，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857=999，571+428=999，⋯，若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则999−x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为( )A. 45B. 35C. 25D. 3108. 如图所示的三棱柱ABC−A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=2，当四棱锥B−A1ACC1体积最大时，三棱柱ABC−A1B1C1外接球的体积为( )A. 163π B. 4√23π C. 8√23π D. 43π二、选择题（共4小题；共20分）9. 习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入−支出，根据该折线图，下列说法正确的是( )A. 该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B. 该企业2019年第一季度的利润约是60万元C. 该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D. 该企业2019年11月份的月利润最大10. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+ 12sin2x，则下列结论正确的是( )A. 2π是f(x)的一个周期B. f(x)在[0,2π]上有3个零点C. f(x)的最大值为3√34D. f(x)在[0,π2]上是增函数11. 在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点．设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x)，则对函数y=f(x)的判断正确的是( )A. 函数 y =f (x ) 是奇函数B. 对任意的 x ∈R ，都有 f (x +4)=f (x −4)C. 函数 y =f (x ) 的值域为 [0,2√2]D. 函数 y =f (x ) 在区间 [6,8] 上单调递增12. 如图，正方形 ABCD 中，E ，F 分别是 AB ，BC 的中点，将 △ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿 DE ，DF ，EF 折起，使 A ，B ，C 重合于点 P ．则下列结论正确的是 ( )A. PD ⊥EFB. 平面PDE ⊥平面PDFC. 二面角 P −EF −D 的余弦值为 13D. 点 P 在平面 DEF 上的投影是 △DEF 的外心三、填空题（共4小题；共20分） 13. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且满足 f (x +2)=−f (x )，则 f (−2)= ． 14. 已知 (2x −1)(x +a )6 的展开式中 x 5 的系数为 24，则 a = ．15. 双曲线 x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点为 F 1，过点 F 1 作斜率为 √2 的直线与 y 轴及双曲线的右支分别交于 A ，B 两点，若 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则双曲线的离心率为 ．16. 已知函数 f (x )=x 2cosπx 2，数列 {a n } 中，a n =f (n )+f (n +1)(n ∈N ∗)，则数列 {a n } 的前 100项之和 S 100= ．选填训练3一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知复数 z 1，z 2 在复平面内对应的点分别为 z 1(1,1)，z 2(0,1)，则 z1z 2= ( )A. 1+iB. −1+iC. −1−iD. 1−i2. 设 a ∈R ，则“sinα=cosα”是“sin2α=1”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 向量 b ⃗⃗，a ⃗ 满足 ∣a ⃗∣=1，∣∣b ⃗⃗∣∣=√2，(a⃗+b ⃗⃗)⊥(2a ⃗−b ⃗⃗)，则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 ( ) A. 45∘ B. 60∘ C. 90∘ D. 120∘ 4. 已知点 M (2,4) 在抛物线 C:y 2=2px (p >0) 上，点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是 ( ) A. 4B. 3C. 2D. 15. 在 △ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，若 EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 ( ) A. y =2xB. y =−2xC. x =2yD. x =−2y6. 已知数列 {a n } 中，a 3=2，a 7=1．若 {1a n} 为等差数列，则 a 5= ( )A. 23B. 32C. 43D. 347. 已知双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，∣∣PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2∣∣PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2m (m >0)，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m 2，则双曲线 C 的渐近线方程为( )A. y =±12xB. y =±√22x C. y =±x D. y =±√2x8. 已知奇函数 f (x ) 是 R 上增函数，g (x )=xf (x )，则 ( )A. g (log 314)>g (2−32)>g (2−23) B. g (log 314)>g (2−23)>g (2−32)C. g (2−32)>g (2−23)>g (log 314)D. g (2−23)>g (2−32)>g (log 314)二、选择题（共4小题；共20分）9. 要得到函数 y =cos2x 的图象 C 1，只要将 y =sin (2x +π3) 图象 C 2 怎样变化得到?( )A. 将 y =sin (2x +π3) 的图象 C 2 沿 x 轴方向向左平移 π12 个单位 B. 将 y =sin (2x +π3) 的图象 C 2 沿 x 轴方向向右平移 11π12 个单位C. 先作 C 2 关于 x 轴对称图象 C 3，再将图象 C 3 沿 x 轴方向向右平移 5π12 个单位D. 先作 C 2 关于 x 轴对称图象 C 3，再将图象 C 3 沿 x 轴方向向左平移 π12 个单位10. 如图，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，则下列四个命题正确的是：( )A. 直线 BC 与平面 ABC 1D 1 所成的角等于 π4B. 点 C 到面 ABC 1D 1 的距离为 √22 C. 两条异面直线 D 1C 和 BC 1 所成的角为 π4 D. 三棱柱 AA 1D 1−BB 1C 1 外接球半径为 √3211. 已知集合 M ={(x,y )∣y =f (x )}，若对于 ∀(x 1,y 1)∈M ，∃(x 2,y 2)∈M ，使得 x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合 M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：M 1={(x,y )∣y =x 2+1}；M 2={(x,y )∣∣y =√x +1}；M 3={(x,y )∣y =e x}；M 4={(x,y )∣y =sinx +1}．其中是“互垂点集”集合的为 ( ) A. M 1B. M 2C. M 3D. M 412. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805∼1859）在数学领域成就显著．19 世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y =f (x )={1,x ∈Q0,x ∈∁R Q，其中 R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数 f (x ) 有如下四个命题其中真命题是：( ) A. 函数 f (x ) 是偶函数B. ∀x 1,x 2∈∁R Q ，f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2) 恒成立C. 任取一个不为零的有理数 T ，f (x +T )=f (x ) 对任意的 x ∈R 恒成立D. 不存在三个点 A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))，C(x 3,f (x 3))，使得 △ABC 为等腰直角三角形三、填空题（共4小题；共20分）13. 已知直线 x −y +a =0 与圆 O:x 2+y 2=2 相交于 A ，B 两点（O 为坐标原点），且 △AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为 ．14. 已知直线 y =x +2 与曲线 y =ln (x +a ) 相切，则 a 的值为 ．15. 2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t （单位：年）的衰变规律满足 N =N 0⋅2−r5730（N 0 表示碳 14 原有的质量），则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 37 至 12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到 年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）16. 已知 △ABC 的顶点 A ∈平面α，点 B ，C 在平面 α 异侧，且 AB =2，AC =√3，若 AB ，AC 与α 所成的角分别为 π3，π6，则线段 BC 长度的取值范围为 ．选填训练4一、选择题（共8小题；共40分）1. 集合 A ={x ∈R ∣x 2−x −2<0}，集合 B ={x ∈R∣e x ≥e }，则 A ∩B = ( ) A. (1,2)B. (1,2]C. [1,2]D. [1,2)2. 已知 i 是虚数单位，复数a+i 1+i(a ∈R ) 为纯虚数的充要条件是 ( )A. a =2B. a =1C. a =−1D. a =−23. 某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于 60 分到 140 分之间（满分 150 分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取 100 名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这 100 名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组 [60,70)，第二组 [70,80)，第三组 [80,90)，⋯⋯ 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．则第七组的频数为 ( )A. 8B. 10C. 12D. 164. 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，满足 f (x +2)=2f (x )，且 f (x )={2x+1,x ∈(0,1)ln (x +2),x ∈[1,2]．则 f (e )=( )A. 2e+1B. 2eC. 2e−1D. ln (e +2)5. 在直角梯形 ABCD 中，AB =4，CD =2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 为 BC 的中点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)= ( ) A. 20B. 16C. 12D. 86. 已知函数 f (x )=x 1+∣x∣，则不等式 f (x −3)+f (2x )>0 的解集为 ( )A. (−∞,−3)B. (−∞,1)C. (−3,+∞)D. (1,+∞)7. 三棱锥 P −ABC 的底面 △ABC 是边长为 √3 的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在半径为 2 的球上，则三棱锥 P −ABC 的体积最大值为 ( ) A.2√3−34B. 3√34C. 3+2√34D.9+6√348. 已知定义在 R 上函数 f (x ) 的图象是连续不断的，满足 f (1−x )=f (1+x )，f (−x )=−f (x )，且 f (x ) 在 [0,1] 上单调递增，若 a =f (log 23)，b =f(√10)，c =f (2020)，则 ( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <b <aD. b <c <a二、选择题（共4小题；共20分）9. 已知点 F (1,0) 为曲线 C 的焦点，则曲线 C 的方程可能为 ( )A. y 2=4xB. x 2=4yC.x 2cos 2θ+y 2sin 2θ=1(0<θ<π2) D.x 2cos 2θ−y 2sin 2θ=1(0<θ<π2)10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点 M 在棱 CC 1 上，则下列结论正确的是 ( )A. 直线 BM 与平面 ADD 1A 1 平行B. 平面 BMD 1 截正方体所得的截面为三角形C. 异面直线 AD 1 与 A 1C 1 所成的角为 π3D. ∣MB ∣+∣MD 1∣ 的最小值为 √511. 对于函数 f (x )=√3sin (ωx −π3)+1（其中 ω>0），下列结论正确的是 ( )A. 若 ω=2，x ∈[0,π2]，则 y =f (x ) 的最小值为 −12B. 若 ω=2，则函数 y =√3sin2x +1 的图象向右平移 π3个单位可以得到函数 y =f (x ) 的图象C. 若 ω=2，则函数 y =f (x ) 在 (0,π2) 上单调递增D. 若函数 y =f (x ) 的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 π4，则 ω=212. 如图 A (2,0)，B (1,1)，C (−1,1)，D (−2,0)，CD⏜ 是以 OD为直径的圆上一段圆弧，CB⏜ 是以 BC 为直径的圆上一段圆弧，BA⏜ 是以 OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线 W ．则下述正确的是 ( )A. 曲线 W 与 x 轴围成的面积等于 2π；B. 曲线 W 上有 5 个整点（横纵坐标均为整数的点）；C. CB⏜ 所在圆的方程为：x 2+(y −1)2=1；D. CB⏜ 与 BA ⏜ 的公切线方程为：x +y =√2+1．三、填空题（共4小题；共20分） 13. 若命题“∃x 0∈R ，x 02−2x 0−a =0”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．14. 已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3−3S 2+2S 1=0，则 a2a 1= ．15. 若二项式 (1−3x )n (n ∈N ∗) 的展开式中所有项的系数和为 −32，则 n = ；该二项式展开式中含有 x 3 项的系数为 ．16. 黄金分割比 ω=√5−12≈0.618 被誉为“人间最巧的比例”．离心率 e =√5−12的椭圆被称为“优美椭圆”，“优美椭圆”C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左右顶点分别为 A ，B ，“优美椭圆”C 上动点 P （异于椭圆的左右顶点），设直线 PA ，PB 的斜率分别为 k 1，k 2，则 k 1k 2= ．选填训练5一、选择题（共9小题；共45分）1. 命题：“∀x ∈(−∞,0)，3x ≥4x ”的否定为 ( ) A. ∃x 0∈[0,+∞)，3x 0<4x 0 B. ∃x 0∈[0,+∞)，3x 0≤4x 0 C. ∃x 0∈(−∞,0)，3x 0<4x 0 D. ∃x 0∈(−∞,0)，3x 0≤4x 02. i 是虚数单位，若复数 z =2i−1，则 z 的虚部为 ( )A. −1B. 0C. −iD. 13. 设 A ={x∣ x 2−8x +15=0}，B ={x∣ ax −1=0}，若 A ∩B =B ，求实数 a 组成的集合的子集个数有 ( ) A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 8 个4. 在 △ABC 中，若 AB =√13，BC =3，∠C =120∘，则 AC = ( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 a ，b 是任意实数，且 a >b ，则 ( )A. a 2>b 2B. ba <1C. lg (a −b )>0D. (12)a<(12)b6. 古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 30 尺，则至少需要 ( )A. 6 天B. 7 天C. 8 天D. 9 天7. 已知 cos (π2−α)=2cos (π+α)，且 tan (α+β)=13，则 tanβ 的值为 ( )A. −7B. 7C. 1D. −18. 已知函数 f (x )=asin2x −√3cos2x 的图象关于直线 x =−π12 对称，若 f (x 1)⋅f (x 2)=−4，则 a∣∣x 1−x 2∣ 的最小值为 ( )A. π4B. π2C. πD. 2π9. 已知函数 f (x )={(x +1)2,x ≤0∣log 2x ∣,x >0，若方程 f (x )=a 有四个不同的解 x 1，x 2，x 3，x 4，且 x 1<x 2<x 3<x 4，则 (x 1+x 2)⋅x 3+1x 32⋅x 4的取值范围是 ( )A. [−1,1]B. (−1,1]C. [−1,1)D. (−1,1)二、选择题（共3小题；共15分）10. 对于任意的平面向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，下列说法错误的是 ( ) A. 若 a ⃗∥b ⃗⃗ 且 b ⃗⃗∥c ⃗，则 a ⃗∥c ⃗ B. (a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗⋅c ⃗C. 若 a ⃗⋅b ⃗⃗=a ⃗⋅c ⃗，且 a ⃗≠0⃗⃗，则 b ⃗⃗=c ⃗D. (a⃗⋅b⃗⃗)⋅c⃗=a⃗⋅(b⃗⃗⋅c⃗)11. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，−π3为f(x)的一个零点，x=π6为f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在(0,π)上有且仅有7个零点，下述结论正确的是( )A. φ=π6B. ω=5C. f(x)在(0,π)上有且仅有4个极大值点D. f(x)在(0,π42)上单调递增12. 设定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=x2，且当x≤0时，fʹ(x)<x．已知存在x0∈{x∣ f(x)−12x2≥f(1−x)−12(1−x)2}，且x0为函数g(x)=e x−√ex−a（a∈R，e为自然对数的底数）的一个零点，则实数a的取值可能是( )A. 12B. √e2C. e2D. √e三、填空题（共4小题；共20分）13. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足：∣a⃗∣=3，∣∣b⃗⃗∣∣=2，∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣=4，则∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣=．14. 设命题p:2x−1x−1<0，命题q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，若p是q的充分不必要条，则实数a的取值范围是．15. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sinB=sinA+sinC，cosB=35，且S△ABC=6，则b=．16. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为√3，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为，若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为．选填训练6一、选择题（共9小题；共45分）1. 已知集合 A ={x∣ x 2−2x −3<0}，B ={x∣ −2<x <2}，若 A ∩B = ( ) A. (−2,2)B. (−2,1)C. (−1,3)D. (−1,2)2. 已知命题 p ：∃x ∈R ，e x −x −1≤0，则命题 ¬p ( )A. ∀x ∈R ，e x −x −1>0B. ∀x ∉R ，e x −x −1>0C. ∀x ∈R ，e x −x −1≥0D. ∃x ∈R ，e x −x −1>03. 要得到函数 y =sin (2x +π3) 的图象，只要将函数 y =sin2x 的图象 ( )A. 向左平移 π3 个单位 B. 向右平移 π3 个单位 C. 向左平移 π6 个单位D. 向右平移 π6 个单位4. 函数 f (x )=log a x (a >0,a ≠1) 是增函数的一个充分不必要条件是 ( )A. 0<a <12B. 0<a <1C. a >1D. 2<a <45. 函数 f (x )=x 3−(12)x的零点所在区间为 ( )A. (−1,0)B. (0,12)C. (12,1)D. (1,2)6. 已知数列 {a n } 满足 a n+1=a n +2 且 a 2+a 4+a 6=9，则 log 3(a 5+a 7+a 9)= ( )A. −3B. 3C. −13D. 137. 若 a >0，b >0，lga +lgb =lg (a +2b )，则 2a +b 的最小值为 ( )A. 9B. 8C. 7D. 68. 泉城广场上矗立着的“泉标”成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 45∘，沿点 A 向北偏东 30∘ 前进 100 m 到达点 B ，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为 30∘，则“泉标”的高度为 ( )A. 50 mB. 100 mC. 120 mD. 150 m9. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 (−π2,π2)，其导函数为 fʹ(x )，当 0<x <π2时，有 fʹ(x )cosx +f (x )sinx <0 成立，则关于 x 的不等式 f (x )<√2f (π4)⋅cosx 的解集为 ( ) A. (π4,π2)B. (−π2,−π4)∪(π4,π2)C. (−π4,0)∪(0,π4)D. (−π4,0)∪(π4,π2)二、选择题（共3小题；共15分）10. 下列函数中，既是偶函数，又在 (0,+∞) 上单调递增的是 ( ) A. y =x 2 B. y =x −2 C. y =e ∣x∣ D. y =lgx 211. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 以 Ox 为始终，终边经过点 P (1,m )(m <0)，则下列各式一定为正的是 ( )A. sinα+cosαB. cosα−sinαC. sinαcosαD. sinαtanα12. 已知函数 f (x )=xlnx +x 2，x 0 是函数 f (x ) 的极值点，以下几个结论中正确的是 ( )A. 0<x 0<1e B. x 0>1eC. f (x 0)+2x 0<0D. f (x 0)+2x 0>0三、填空题（共4小题；共20分） 13. 已知 tanα=13，则sin2α−sin 2α1+cos2α的值为 ．14. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 1≠x 2 时，有 [f (x 1)−f (x 2)](x 1−x 2)<0 恒成立，若 f (3x +1)+f (2)>0，则 x 的取值范围是 ．15. 设等差数列 {a n } 前 n 项和为 S n ，若 a 2=10，S 5=40，则 a 5= ，S n 的最大值为 ．16. 已知函数 f (x )={2√x,0<x ≤12x,x >1，若方程 f (x )=−x +a 有三个不同的实根，则实数 a 的取值范围是 ．训练1答案第一部分1. A2. D3. A4. C5. B6. B7. C8. D第二部分9. A， C10. A， B， C11. A， C， D12. A， B， D第三部分13. −4√314. 8015. 1216. 1，25π3训练2答案第一部分1. A2. D3. B4. C5. A6. B7. C8. C 第二部分9. A， C10. A，B， C【解析】A选项：f(x+2π)=sin(x+2π)+12sin(x+2π)⋅2=sinx+12sin2x=f(x)，故A正确．B选项：fʹ(x)=cosx+12cos2x⋅2=2cos2x−1+cosx．令cosx=t∈[−1,1]，所以fʹ(t)=(2t−1)(t+1)，cosx=−1时，x=π，当t∈[−1,12]时，fʹ(t)<0，f(t)在[−1,12]上单减，cosx=12时，x=π3或5π3，当t∈[12,1]时，f(t)>0，f(t)在[12,1]上单增，则f(x)在[0,π3]上单增，[π3,5π3]上单减，[5π3,2π]上单增，f(0)=sin0+12sin2×0=0，f(5π3)=sin5π3+12sin10π3=−√32+1−√32⋅2=−3√34<0，f(2π)=sin2π+12sin4π=0，所以f(x)在[0,2π]上有个零点．C选项，由A，B可得：f(x)的最大值为f(π3)=sinπ3+12sin2⋅π3=3√34，故C正确．D选项：由A，B可得：f(x)在[0,π3]上单增，在[π3,π2]上单减，故D错误．故选A，B，C．11. B， C， D【解析】当−4≤x<−2时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的14圆；当−2≤x<2时，B的轨迹是以D为圆心，半径为2√2的14圆；当2≤x<4时，B的轨迹是以C为圆心，半径为1的14圆；当4≤x<6时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的14圆．所以函数的周期是8，因此最终形成的图象如下：由图象的对称性，可知函数f(x)是偶函数，故A选项错误；由图象即分析可知函数的周期是8，即f(x+8)=f(x)，所以f(x+4)=f(x−4)．故B选项正确；由图象可得f(x)的值域为[0,2√2]．故C选项正确；由图象可得：f(x)在区间[6,8]上单调递增．故D选项正确．故正确的选项有B，C，D．12. A， B， C【解析】如图，由已知可得PE，PF，PD三条侧棱两两互相垂直，则PD⊥平面PEF，所以PD⊥EF，故A正确；PE ⊥平面PDF ，而 PE ⊂平面PDE ， 所以 平面PDE ⊥平面PDF ， 故B 正确；取 EF 最低 G ，连接 PG ，DG ，可得 PG ⊥EF ，DG ⊥EF ， 得 ∠PGD 为二面角 P −EF −D 的平面角，设正方形 ABCD 的边长为 2，则 PD =2，PG =12EF =√22，DG =3√22， 所以 cos∠PGD =√223√22=13，即二面角 P −EF −D 的余弦值为 13，故C 正确；过 P 作 PO ⊥DG ，则 O 为 P 在底面 DEF 上的射影， 因为 PE <PD ， 所以 OE <OD ，则 O 不是 △DEF 的外心， 故D 错误． 第三部分 13. 0【解析】因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (0)=0，在等式 f (x +2)=−f (x ) 中令 x =−2，得 f (−2)=0． 14. 1 或 −45【解析】因为 (2x −1)(x +a )6=2x (x +a )6−(x +a )6，所以 (2x −1)(x +a )6 的展开式中 x 5 的系数为 2⋅C 62⋅a 2−C 61a 1=30a 2−6a ，所以 30a 2−6a =24，解得 a =1 或 a =−45， 则 a =1 或 a =−45， 故答案为：1 或 −45．15. √2+√3【解析】F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y B =2y A ，即 A 为 F 1B 中点， 则 AO 为中位线，所以 BF 2⊥F 1F 2， 所以tan∠BF 1F 2=BF 2F 1F 2=b 22ac=√2⇒c 2−a 2−2√2ac =0⇒e =√2+√3.16. 10200【解析】因为 f (x )=x 2cosπx 2，所以a n=f(n)+f(n+1)=n2cos nπ2+(n+1)2cos(n+1)π2，a4n−3=(4n−3)2cos4n−32π+(4n−2)2cos4n−22π=−(4n−2)2，同理可得：a4n−2=−(4n−2)2，a4n−1=(4n)2，a4n=(4n)2．所以a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4n=−2(4n−2)2+2(4n)2=8(4n−1)．所以数列{a n}的前100项之和S100=8×(3+7+⋯+99)=10200．第一部分1. D2. C3. A4. B5. A6. D7. C8. D第二部分9. A， D10. A， C， D11. A， D12. B， C， D第三部分13. a<−114. 215. 5，−27016. 1−√52第一部分1. D2. C3. C4. A5. D6. C7. D8. B第二部分9. A， B， C10. A， B， D11. B， D12. C， D第三部分13. ±√214. 315. 1，6876216. [√7,√13]训练5答案第一部分1. C【解析】命题的否定，把 ∀ 改成 ∃，≤ 改为 <． 2. A【解析】由题意可得： z =2i−1=2(i+1)(i−1)(i+1)=2i+2i 2−1=2i+2−2=−1−i ．故虚部为：−1．3. D 【解析】A ={x∣ x 2−8x +15=0}={3,5}，因为 A ∩B =B ， 所以 B ⊂A ，且 B 中最多只有一个元素，因此 B =∅,{3},{5}，对应实数 a 的值为 0，13，15，其组成的集合的子集个数有 23=8．4. A 【解析】设 AC =x ，由余弦定理得：cos120∘=x 2+9−132⋅x⋅3=−12， x 2−4=−3x ⇒x 2+3x −4=0，x =1或−4（舍），所以 AC =1．5. D6. C 【解析】由题意知，这是一个等比数列问题，已知等比数列 {a n } 的公比 9=2，S 5=5，求 S n ≥30 的最小正整数， 因为 a 1(1−25)1−2=5， 所以 a 1=531， 所以 531⋅1−2n 1−2≥30， 2n ≥187，所以 n ≥8．故选C ．7. B 【解析】因为 cos (π2−α)=sinα，cos (π+α)=cosα， 所以 cos (π2−α)=2cos (π+α) 即 sinα=−2cosα，所以 tanα=−2，又因为 tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−2+tanβ1+2tanβ=13，解得 tanβ=7． 故选B ．8. B 【解析】由辅助角公式知 f (x )=√a 2+3sin (2x +φ)，φ∈[0,2π)，f (x ) 图象类似于 sinx ，可判断 x =−π12时取最值， sin (2⋅(−π12)+φ)=±1，φ−π6=π2或32π，φ=23π或53π，而 sinφ=√3√a 2+3，于是 φ=53π， cosφ=√a 2+3=cos 53π， 解得 a =1， f (x )=2sin (2x +53π)，f (x 1)⋅f (x 2)=−4 只有一个取 2，一个取 −2，最大值点与最小值点 ∣x 1−x 2∣min =T 2=2π2ω=π2，于是 a∣∣x 1−x 2∣min ≥π2． 综上，选B ．9. B 【解析】由图象可得 x 1+x 2=−2，x 3x 4=1，x 3∈[12,1)， 因此 x 3⋅(x 1+x 2)+1x 32⋅x 4=−2x 3+1x 3， y =−2x +1x 在 [12,1) 上单调递减，从而 x 3⋅(x 1+x 2)+1x 32⋅x 4∈(−1,1]．故选B ．第二部分10. A ， C ， D 11. C ， D【解析】① −π3ω+φ=k 1π，k ∈Z ，② π6ω+φ=π2+k 2π，k ∈Z ， ② − ①得 π2ω=π2+k 3π，k 3∈Z ， ω=2k 3+1，k 3∈Z ，因为 f (x ) 在 (0,π) 上有且仅有 7 个零点，所以 6π<ωπ<8π，6<ω<8，所以 ω=7，代入①得 −73π+φ=k 1π， φ=73π+k 1π，k 1∈Z ，因为 0<φ<π2， 所以 φ=π3，所以 f (x )=sin (7x +π3)，所以 f (0)=sin π3，f (π)=sin 223π， 易知，对于 y =sinx ，从 π3 到 223π 会出现 4 个极大值点，f (π42)=sin π2， 易知，对于 y =sinx ，从 π3 到 π2 是单调递增的， 所以AB 错，CD 对．12. B ， C ， D【解析】因为令函数 T (x )=f (x )−12x 2， 因为 f (−x )+f (x )=x 2，所以 T (x )+T (−x )=f (x )−12x 2+f (−x )−12(−x )2=f (x )+f (−x )−x 2=0，所以 T (x ) 为奇函数，当 x ≤0 时，Tʹ(x )=fʹ(x )−x <0，所以 T (x ) 在 (−∞,0] 上单调递减，所以 T (x ) 在 R 上单调递减，因为存在 x 0∈{x∣ T (x )≥T (1−x )}，所以得 T (x 0)≥T (1−x 0)，x 0≤1−x 0，即 x 0≤12，因为 g (x )=e x −√ex −a (x ≤12)，因为 x 0 为函数 y =g (x ) 的一个零点，因为当 x ≤12 时，gʹ(x )=e x −√ex ≤0，所以函数 g (x ) 在 x ≤12 时单调递减，由选项知 a >0，取 x =√e <12， 又因为 g √e )=e √e>0， 所以要使 g (x ) 在 x ≤12 时有一个零点，只需 g (12)=√e −12√e −a ≤0， 解得 a ≥√e 2， 所以 a 的取值范围为 [√e 2,+∞)． 故选：BCD ．第三部分13. √10【解析】因为∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣=4，所以(a⃗+b⃗⃗)2=16，∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗⃗+∣∣b⃗⃗∣∣2=16．所以2a⃗⋅b⃗⃗+13=16，所以2a⃗⋅b⃗⃗=3，所以(a⃗−b⃗⃗)2=∣a⃗∣2−2a⃗⋅b⃗⃗+∣∣b⃗⃗∣∣2=9+4−3=10．所以∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣=√10．14. [0,12]【解析】由题意得，p:2x−1x−1<0，解得12<x<1，所以p:12<x<1，由q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，解得a≤a≤a+1，即q:a≤a≤a+1，要使得p是q充分不必要条件，则{a+1≥1,a≤12,解得0≤a≤12，所以实数a的取值范围是[0,12]．15. 4【解析】已知等式2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理可化简得：2b=a+c，因为2b=a+c，所以cosB=35，所以sinB=√1−cosB2=45，所以S△ABC=12ac⋅sinB=12ac×45=6，解得：ac=15，由余弦定理得：b2=a2+c2=−2accosB=(a+c)2−2ac(1+cosB)=4b2−2×15×(1+35).解得b=4．16. 3，9√35【解析】设新的底面半径为r，由V旧圆锥+V旧圆柱=V新圆锥+V新圆柱，1 3×9×π×52+8×π×(√3)2=13×9⋅πr2+8πr2，解得r2=9，r=3，如图正三棱柱ABC−A1B1C1内接于该圆锥，设 △A 1B 1C 1 边长为 a ，外接圆半径 R =a 2sin60∘=√33a ， 由比例知上半个圆锥高 ℎ1 满足ℎ19=R 3， ℎ1=3R =√3a ，AA 1=9−ℎ1=9−√3a ，正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 的，S 表=2S △A 1B 1C 1+3S A 1ABB 1,=2⋅√34a 2+3⋅a(9−√3a),=−√52√3a 2+27a, 在 a =−2⋅(−52√3) 时取到最大值， 即 a =9√35．训练6答案第一部分1. D 【解析】集合 A ={x∣ x 2−2x −3<0}={x∣ −1<x <3}，集合 B ={x∣ −2<x <2}，所以 A ∩B ={x∣ −1<x <3}∩{x∣ −2<x <2}={x∣ −1<x <2}．2. A 【解析】因为命题 p ：∃x ∈R ，e x −x −1≤0，所以 ¬p ：∀x ∈R ，e x −x −1>0． 3. C 【解析】y =sin (2x +π3)=sin2(x +π6)， 故要得到 y =sin (2x +π3) 的图象， 只需将函数 y =sin2x 的图象向左平移 π6 个单位．故选C ．4. D5. C【解析】因为函数 f (x )=x 3−(12)x ， 所以 f (−1)=(−1)3−(12)−1=−1−2=−3<0，f (0)=0−1=−1<0，f (12)=(12)3−(12)12<0，f (1)=13−(12)1=12>0，因为 f (12)⋅f (1)<0， 故函数 f (x ) 的零点所在区间为 (12,1)．6. B 【解析】因为数列 a n+1=a n +2，所以数列为等差数列且 d =2，又因为 a 2+a 4+a 6=9，即 3a 1+9d =3a 1+18=9，所以 a 1=−3，所以 a 5+a 7+a 9=3a 1+18d =−9+36=27，所以 log 3(a 5+a 7+a 9)=log 327=3．7. A 【解析】因为 lga +lgb =lgab =lg (a +2b )，所以 ab =a +2b ， 所以 1=1b +2a ，所以 2a +b =(2a +b )(1b +2a )=2a b +1+4+2b a =5+2(b a +a b )， 因为 a >0，b <0，所以 b a >0，a b <0，所以2a+b≥5+4√ba ⋅ab=9，当且仅当ba =ab时，即a=b时等号成立，所以2a+b的最小值为9，故答案选A．8. A 【解析】如图所示，AO⊥平面OCD，CD=100，∠ACO=30∘，∠ADO=45∘，∠ODC=60∘，设OA=ℎ上，在R△OAD，则OD=ℎ，同理可得：OC=√3ℎ，在△OCD，OC2=OD2+CD2−2OD⋅CD⋅cos60∘，所以(√3ℎ)2=ℎ2+1002−2×ℎ×100×12，化简得：ℎ2+50ℎ−5000=0，解得ℎ=50，因此“泉标”的高度为50m．故选：A．9. B 【解析】根据题意，设g(x)=f(x)cosx，其导函数为gʹ(x)=fʹ(x)cosx+f(x)sinxcos2x，又当0<x<π2时，fʹ(x)cosx+f(x)sinx<0，则有gʹ(x)<0，则函数g(x)在(0,π2)上为减函数，又f(x)在(−π2,π2)上是偶函数，所以g(−x)=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx=g(x)，则函数g(x)为偶函数，所以f(x)<√2f(π4)cosx⇒f(x)cosx<√2f(π4)⇒f(x)cosx<f(π4)cosπ4⇒g(x)<g(π4),又由 g (x ) 为偶函数且在 (0,π2) 上为减函数， 且其定义域为 (−π2,π2)， 则有 ∣x ∣>π4，解得 −π2<x <−π4 或 π4<x <π2， 即不等式的解集为 (−π2,−π4)∪(π4,π2)．第二部分10. C ， D11. B ， D【解析】由已知得 r =∣OP ∣=√1+m 2，则 sinα=√1+m 2，cosα=√1+m 2，tanα=1m ， 所以A 选项，sinα+cosα=√1+m 2， 因为 m <0，所以 1+m 正负不确定，故A 错误．B 选项，cosα−sinα=√1+m 2， 因为 m <0，所以 1−m >0，所以 cosα+sinα>0，故B 正确．C 选项，sinα−cosα=√1+m √1+m 2=m 1+m 2， 因为 m <0，所以 sinα⋅cosα<0，故C 错误．D 选项，sinαtanα=√1+m 2⋅m =2√1+m 2>0，故D 正确， 综上，答案为BD ．12. A ， D 【解析】因为函数 f (x )=xlnx +x 2(x >0)，所以 f ′(x )=lnx +1+2x ，易得 f ′(x )=lnx +1+2x 在 (0,+∞) 上递增，所以 f ′(1e )=ln 1e +1+2⋅1e =2e>0， 因为当 x 趋近于 0 时，f ′(x )=lnx +1+2x 趋近于 −∞，即 f ′(0)<0，所以 0<x 0<1e ，故A 正确，B 错误；因为 lnx 0+1+2x 0=0，所以f(x0)+2x0=x0lnx0+x02+2x0=x0(lnx0+x0+2)=x0(−1−x0+2)=x0(1−x0),由A得0<x0<1e，所以1−x0>0，所以x0(1−x0)>0，即f(x0)+2x0>0，故C错误，D正确；综上，答案为AD．第三部分13. 518【解析】因为sin2α−sin2α1+cos2α=2sinα⋅cosα−sin2α2cos2α=2sinα−cosα2cos2α−sin2α2cos2α=tanα−12tan2α,又因为tanα=13，所以sin2α−sin2α1+cos2α=tanα−12tan2α=13−12×19=518,故答案为518．14. (−∞,−1)【解析】因为函数f(x)满足x1≠x2时，[f(x1)−f(x2)](x1−x2)<0，所以f(x)为R上的单调递减，不等式f(3x+1)+f(2)>0等价于f(3x+1)>−f(2)，又因为函数f(x)为奇函数，所以−f(2)=f(−2)，即不等式满足f(3x+1)>f(−2)，由f(x)的单调性可得：3x+1<−2，解得：x<−1，故x的取值范围为：(−∞,−1)．15. 4，42【解析】设等差数列首次为a，公差为d，则 {a 2=a 1+d =10,S 5=5a 1+10d =40,解得 {a 1=12,d =−2,所以 a n =12+(n −1)×(−2)=14−2n ，所以 a 5=14−2×5=4，所以S n=ℎa 1+n (n−1)2d =12n −n 2+n =−n 2+13n =−(n −132)2+1694,因为 n 为整数，所以 S nmax =S 6=S 7=42．16. (2√2,3)【解析】因为函数 f (x )={2√x,0<x ≤12x,x >1，其函数图象如图所示：若方程 f (x )=−x +a 有三个不同实根，则 f (x ) 和 y =−x +a 在图象上有 3 个交点，当 a 最小时，即 y =−x +a 截距最小时应在 y =−x +a 和 f (x )=2x 相切时，令 fʹ(x )=2−x 2=−1，解得 x =√2，所以切点坐标为 (√2,√2)，所以 a min =x +y =2√2，当 a 最大时，即 y =−x +a 截距最大时应在 (1,2) 处，所以 a min =x +y =3，所以 a 的范围为 (2√2,3)．故答案为：(2√2,3)．。

专题7新高考数学小题提分限时训练6（解析版）一、单选题1．已知集合{12}A x x =-≤<∣，{13}B x x =<≤∣，则A B =（ ）A ．{12}xx ≤≤∣ B ．{12}xx <<∣ C ．{13}xx -<<∣ D ．{13}xx -≤≤∣ 【答案】D 【分析】由题中条件，根据并集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为集合{12}A xx =-≤<∣，{13}B x x =<≤∣， 所以{13}A B xx ⋃=-≤≤∣. 故选：D.2．设i 是虚数单位，若复数1iz i=+，则|z |＝（ ）A ．12B C ．1D【答案】B 【分析】 直接根据|||1|i z i =+进行计算，即可得答案； 【详解】|||1|2i z i ===+， 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，考查运算求解能力，属于基础题.3．在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i=1,2,…,n)都在直线y=12x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A ．－1B ．0C ．12D ．1【答案】D 【分析】所有样本点（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ）都在直线112y x =+上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1. 【详解】由题设知，所有样本点（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ）都在直线112y x =+上， ∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.4．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.5．ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，1a =，2b =，则AD =（ ) A ．1133a b - B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 【答案】D 【详解】试题分析：由0a b ⋅=，1a =，2b =可知5BD =()144555BD BA AD AB a b ∴=∴==- 6．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524【答案】A【解析】在ABC ∆中,由正弦定理可知:2sin 2847,cos ,cos cos 22cos 1.sin 5525B c BC B B B b ==∴=∴==-= 【考点定位】本题考查解三角形，考查学生灵活应用正弦定理和二倍角公式的解题能力 7．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m + n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞ 【答案】D【解析】直线与圆相切，则有221, 1.,(),24m n t mn m n m n t mn +=∴=+++=≤=设221,440,4t t t t t ∴+≤∴--≥∴∈),222[]222,(+∞+⋃--∞【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系和均值不等式，考查学生的转化能力和换元法的应用8．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)yx =上，则PQ 最小值为（ ） A ．1ln2- B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+【答案】B 【详解】由题意知函数y ＝12e x与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离的2倍．设y ＝12e x 上点(x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x平行．则1=12x e ，∴x 0＝ln 2，y 0＝1， ∴点(x 0，y 0)到y ＝x(1－ln 2)， 则|PQ |的最小值为2(1－ln 2)×2(1－ln 2)．二、多选题9．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB 上取一点C ，使得,AC a BC b ==，过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD .下面不能由OD CD ≥直接证明的不等式为（ ）A ．(00)2a bab a b +≤>>， B ．2(00)abab a b a b≥>>+， C ．222(00)a b ab a b +≥>>， D ．22(00)22a b a b a b ++≤>>，【答案】BCD 【分析】由,AC a BC b ==，得到()12OD a b =+，然后利用射影定理得到2CD ab =判断. 【详解】因为,AC a BC b ==， 所以()12OD a b =+, 因为90ADB ∠=，所以由射影定理得2CD ab =， 因为OD CD ≥， 所以2a bab +≤，当且仅当a b =时取等号， 故选：BCD10．已知函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，函数()y f x =图象关于直线x c =成轴对称图形的充要条件是函数()y f x c =+为偶函数，则（ ） A ．函数32()3f x x x =+的对称中心是(1,2)P - B ．函数32()3f x x x =+的对称中心是(1,4)PC ．函数222()22x xf x x x -=-+有对称轴D ．函数222()22x xf x x x -=-+无对称轴【答案】AC【分析】A 选项，判断函数(1)2y f x =--是否为奇函数，即可得出其正误；B 选项，判断函数(1)4y f x =+-是否为奇函数，即可得出其正误； CD 选项，判断(1)y f x =+是否为偶函数，即得出这两项的正误. 【详解】A 选项，因为32()3f x x x =+，所以()()323(1)213123f x x x x x --=-+--=-， 令3()3g x x x =-，x ∈R ，其定义域关于原点对称，且3()3()g x x x g x -=-+=-，所以3()3g x x x =-是奇函数，即函数(1)2y f x =--是奇函数，根据题中条件，可得函数32()3f x x x =+的对称中心是(1,2)P -，即A 正确； B 选项，因为32()3f x x x =+，所以()()3232(1)4131469f x x x x x x +-=+++-=++，令32()69g x x x x =++，x ∈R ，其定义域关于原点对称，但32()69()g x x x x g x -=-+-≠-，所以32()69g x x x x =++不是奇函数，所以函数32()3f x x x =+的对称中心不是(1,4)P ；即B 错；CD 选项，因为()()2222112()2211x x x f x x x x ---==-+-+，所以221(1)1x f x x -+=+，令221()1x g x x -=+，x ∈R ，其定义域关于原点对称，且2222()11()()()11x x g x g x x x ----===-++，所以221()1x g x x -=+是偶函数，因此函数222()22x xf x x x -=-+关于直线1x =对称，即C 选项正确；所以D 错；故选：AC. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中条件，由题中条件可知，要判断函数的对称中心和对称轴，只需验证对应函数的奇偶性，进而即可求解.11．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A ．λ1e +μ2e (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e +μ2e 的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ11e +μ12e 与λ21e +μ22e 共线，则有且只有一个实数λ，使得λ11e +μ12e =λ(λ21e +μ22e )D ．若实数λ，μ使得12λμ+=0e e ，则λ=μ=0 【答案】BC 【分析】根据平面向量基本定理可以判定ABD ，取向量λ1e +μ2e 与λ21e +μ22e 均为零向量或者λ21e +μ22e 为零向量的特殊情况，可以判定C. 【详解】由平面向量基本定理可知，A ，D 是正确的.对于B ，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C ，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ11e +μ12e 为非零向量，而λ21e +μ22e 为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在. 故选:BC . 【点睛】本题考查平面向量基本定理，属基础题，要准确全面掌握平面向量的基本定理的内容和意义.判定C 时要注意考虑问题要周密.12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点()1F 和)2F 连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）A ．E 的方程为2213x y -=B ．EC ．E 的渐近线与圆2221x y 相切 D ．满足AB =l 有2条【答案】CD【分析】13=，即可得E的方程为221,3xy x-=≠E的离心率，利用圆心到E的渐近线距离判断圆与E 的渐近线的位置关系，联立直线l与曲线E，结合12|AB x x=-求k值的个数，由此即可判断各选项的正误.【详解】令(,)P x y13=，即得221,3xy x-=≠∴A错误，又2a c==，即3e=，故B错误，由E的渐近线为3y x=±，而2221x y圆心为(2,0)，半径为1，∴(2,0)到y x=距离为1d==，故E的渐近线与圆2221x y相切，故C正确，联立曲线E与直线l的方程，整理得：2222(13)123(41)0k x k x k-+-+=，210k∆=+>，∴22121222123(41),3131k kx x x xk k++==--，而12|AB x x=-=代入整理：22)|||31|kABk+==-21k=或20k=(由0y=与221,3xy x-=≠)，故1k=±，∴D正确.故选：CD【点睛】易错点睛：（1）两点式表示斜率时要保证分母不为0，从而确定曲线E 的轨迹要去掉3x ≠±. （2）由2121||23AB k x x =+-=求得k 值要考虑曲线E 的轨迹不包含3x ≠±的情况舍掉增根.三、填空题13．设,x y 满足约束条件：,0{13x y x y x y ≥-≥-+≤，则2z x y =-的取值范围为__________．【答案】【解析】解析：画出不等式1{30,0x y x y x y -≥-+≤>>表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线1122y x z =-分别经过点(3,0),(1,2)A B 时z 取最大值和最小值分别为3,3-，所以 [3,3]z ∈-，应填答案[3,3]-．点睛：本题在求解时，先画出不等式组1{30,0x y x y x y -≥-+≤>>表示的平面区域，然后巧妙地运用数形结合思想平行移动动直线1122y x z =-，从而将问题进行转化与化归为求目标函数1122y x z =-的最大值和最小值问题．最后结合图形求出目标函数经过点(3,0),(1,2)A B 时z 取最大值和最小值分别为3,3-，进而使得问题获解．求解的过程体现了转化与化归的数学思想、数形结合的数学思想与方法的灵活运用14．某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _____【答案】【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12， ∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A B ＋A B ＋AB)C. ∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P ＝111111222222⎛⎫⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭×12＝38.15．已知()(2)(3),()22=-++=-x f x m x m x m g x ，若同时满足条件：①,()0∀∈<x R f x 或()0<g x ；②(,4),()()0∃∈-∞-<x f x g x .则m 的取值范围是________________. 【答案】()4,2∈--m 【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--． 【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉试卷第11页，总11页 及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．16．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为____【答案】1830【解析】试题分析：()()11121211n nn n n n a a n a n a +++--∴---＝，＝，令1414243444143434242412n n n n n n n n n n n b a a a a a a a a a a +++++++++++=++++=+--=，（）（），424444434342168n n n n n n a a a a a a n +++++++=-++=+（）（），则14142434443424141616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+，即数列{}n b 是以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为即为数列{b n }的前15项和1123415141010151618302b a a a a S ⨯=+++=∴⨯+⨯=＝ 考点：数列递推式，数列求和【名师点睛】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，属难题.解题时要注意等差数列的求和公式的应用，解题的关键是有已知条件的特征构造等差数列，利用等差数列求和.。