课程教案
2011~2012学年第一学期
课程编号
课程名称工程数学主讲教师胡丽姣职称助教
系(部)名称公共课部
20XX年09月28日
题目:数列极限的定义 函数的极限 课时:2
教学目的、要求:
理解数列极限的概念,会用数列极限的性质求一些数列的极限,理解函数极限的概念;会用函数极限的定义和性质求一些函数在某点处的极限;
重点:数列极限的定义,用数列极限的性质求一些数列的极限,函数极限的定义,求函数在某点处的极限;
难点:计算数列极限,函数在无穷远处的极限的概念的理解。 内容: 1.数列的定义 无穷多个数
,,,,,321n x x x x 按某些规律一个一个地进行排列,
n
x 为数列的第n 项,又
是通项。
例:(1) ,1,,41,31,21,1:n 1n ??????; 趋近于0 0
1lim n =∞→n (2 ,11,,411,311,211,2:n 11n ++++????
??
+; 趋近于1 111lim n =???
??+∞→n
(3){} ,2,,8,6,4,2:2n n
(4)(){} ,0,2,,0,2,0,2:1
11
--+n
(5){}()
是常数C C C C C ,,,,:C
C =∞
→n lim
分析以上五个数列的特性,得出数列的极限概念。 2、极限的定义:设有数列
{}n x ,A 为常数,当n 无限增大时,n x 无限趋近于A ,则数列极限存在或收敛,极限是A 或
{}n x 收敛于A 。记为
()
∞→→=∞
→n A A x n n x lim n 或
若
{}n x 极限不存在,则{}n x 发散。
数列的几何解释:将A 及
,,,,,321n x x x x 在数轴上一一表示出来,当n 无限增大时,数
列
{}n x 对应的点n x 聚集在A 点附近且无限趋近于A 点。
单调数列:
{}
n n x x x x x 321,则 ≤≤≤≤≤单调增加;
{}n n x x x x x 321,则 ≥≥≥≥≥单调减少; {}
n n x x x x x 321,则 <<<<<严格单调增加; {}
n n x x x x x 321,则 >>>>>严格单调减少。
例,??????n 1
3、数列极限的性质:(1)若收敛,则极限唯一。 (2)若数列收敛,则有界。
注:有界数列不一定有极限,如(){}1
1
1--+n 。
(3)单调有界数列必存在极限。 4、收敛数列运算法则:(1)若
,
lim lim B y A x n n n n ==∞
→∞
→,则
B
y x x n n n n n n n +=+=+∞
→∞
→∞
→A lim lim )y (lim 。
例:1lim
+∞→n n
n
(2)若,
lim lim B y A x n n n n ==∞
→∞
→,则B
y x x n n n n n n n A )lim )(lim ()y (lim ==∞
→∞
→∞
→。
例:23lim
n n ∞→ 推广:)
k (;lim 为正整数为常数,c n c
k
n ∞→。
(3)若,
0lim lim ≠==∞
→∞
→B y A x n n n n ,则
B A y x y n n n n n
n
n ==∞
→∞→∞→lim lim )x (lim 。
例
1
232lim 22+-+∞→n n n n ,
.
0,0a n ),,2,1,0,,2,1,0(,),,,(,lim 002211022110≠≠==≤N ∈+++++++++
----∞→b m j k i b a m k m k b n b n b n b a n a n a n a j i m m m m k k k k n 无关的常数,是与
.0x x →时函数)(x f 的极限
讨论抛物线2x y =在2=x 处的切线的斜率问题。
定义:设函数)(x f 在0x 的附近(在点0x 也可以无意义)有定义,A 是一个
确定的常数.若当x 无限趋近于0x 时,函数)(x f 无限趋近于常数A ,则称A 是
函数)(x f 在点0x 的极限(或)(x f 在点0x 的极限存在),记为
A x f x x =→)(lim 0
或)( )(0x x A x f →→.
两个常用结论:(1)()
为常数C C C x x =→0
lim ;
(2)0x lim 0
x x x =→.
例:(1)16x 4-x lim 24-→x (2)sinx
lim a →x (3)x
x 1
sin lim 0→ 2.单侧极限
左极限 如果函数)(x f 当x 从0x 的左侧(即0x x <)趋于0x 时以A 为极限,则A 称为)(x f 在0x 的左极限.记作
A x f x x =-
→)(lim 0或A x f =-)0(0.
右极限 如果函数)(x f 当x 从0x 的右侧(即0x x >)趋于0x 时以A 为极限,则A 称为)(x f 在
0x 的右极限.记作
A x f x x =+
→)(lim 0或A x f =+)0(0.
左极限与右极限皆称为单侧极限,它与函数极限(双侧极限)有如下关系:
A x f x x =→)(lim 0
的充要条件是A x f x f =+=-)0()0(00.
3.∞→x 时函数)(x f 的极限 例。讨论函数x
x 1
)(f =,当(1)()+∞∈,0x ;(2)()0,∞-∈x ;(3)()+∞∞-∈,x 的变化情况。
函数在正无穷远处的极限:A x f x =+∞
→)(lim 或者)( )(+∞→→x A x f 。
函数在负无穷远处的极限:A x f x =∞
→)(lim -或者)-( )(∞→→x A x f 。
函数在负无穷远处的极限:A x f x =∞
→)(lim 或者)( )(∞→→x A x f 。
题目:无穷大与无穷小,函数极限的运算法则,符合函数的极限,两个重要极限。 课时:2
重点:掌握极限的性质及四则运算法则。
了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 难点:无穷小的比较方法,两个重要极限的灵活运用。 内容:
1. 无穷小的定义:如果在自变量x 的某种趋向下,函数)(x f 以0为极限,则称在x 的这种趋向下,函数)(x f 是无穷小量。(书中例子)
注意:无穷小时一个以0为极限的函数,不能把它与很小的常数等同,在常数中(除0外)没有无穷小 无穷小的性质:
(1) 有限个无穷小的代数和是无穷小。 (2) 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。
2. 无穷大的定义:如果在自变量x 的某种趋向下,函数)(x f 的绝对值以∞为极限,则称在
x 的这种趋向下,函数)(x f 是无穷大量。(书中例子)
注:这时函数的极限不存在但仍记做∞=→)(lim 0
x f x x ,表示函数在x 的变化过程中的变化趋
势。
无穷大的性质:
(1) 两个无穷大的乘积仍然是无穷大。 (2) 有界函数与无穷大的和是无穷大; (3)无穷小和无穷大的关系
在自变量的同一变化过程中,如果)(x f 为无穷大,则
)
(1
x f 为无穷小;反之,如果)(x f 为无穷小,且0)(≠x f 则
)
(1
x f 为无穷大 即:非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系:当
≠n x 时:有
∞=?=∞→∞
←n
x x x 1
lim
0lim
3. 无穷小的比较:
设)(x f 和)(x g 都是同一变化过程下的无穷小,且0)(≠x g 。
(1) 若0)
()
(lim
=x g x f ,则称)(x f 是关于)(x g 的高阶无穷小,记为))((()(x g x f ο=,也称)(x g 是关于)(x f 的低阶无穷小;
(2) 若0)()
(lim
≠=a x g x f ,则称)(x f 和)(x g 是同阶无穷小,特别当1)
()(lim
=x g x f ,则称)(x f 和)(x g 是等价无穷小,记为)()(x g x f ~。
分析书中例题。 4. 函数极限的运算法则
定理1.9 若A x f x x =→)(lim 0
,B x g x x =→)(lim 0
,则有:
B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim ))()((lim 0
;
AB x g x f x g x f x x x x x x =?=?→→→)(lim )(lim ))()((lim 0
;
)0)(lim ()(lim )(lim )()(lim 0
00≠===???? ??→→→→B x g B A x g x f x g x f x x x
x
x x x x 。
推论1.3
黑板演示书中例题1.10,1.11,1.12. 5.复合函数的极限运算法则 回忆初等函数,复合函数的概念
设函数)}([x g f y =是由函数)(u f y =与)(x g u =复合而成,)]([x g f 在点0x 的 某去心邻域内有定义,若0)(lim 0
u x g x x =→,A u f u u =→)(lim 0
,且存在00>δ,当),(000
δx u x ∈
时,
有0)(u x g ≠,则
A
u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0
6.两个重要极限
通过书中的表格分析推出该结论。 (1)1sin lim
0=→x
x
x
例:
x x x tan lim
0→2
0cos 1lim x x
x -→
x
x x arcsin lim 0→ (2)x
x x
)11(lim +
∞
→ 例:x
x x
)11(lim -∞→,x x 1
0)x 1(lim +→
分析书中例题。
题目:函数的连续性 课时:2
重点:理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、 最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 难点:判别函数间断点的类型,应用函数的性质解题。 内容:
1.左连续,右连续
左连续的定义:若函数f 在点0x 有)()0(00x f x f =-,则称函数f 在点0x 左连续; 右连续的定义:若函数f 在点0x 有)()0(00x f x f =+,则称函数f 在点0x 右连续; 连续的定义:函数f 在点0x 连续,当且仅当该点的函数值)(0x f 、左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 三者相等:
)0()()0(000+==-x f x f x f
或者:当且仅当函数f 在点0x 有极限且此极限等于该点的函数值 。
)()(lim 00
x f x f x x =→
函数在区间(a,b )连续指:区间中每一点都连续。
函数在区间[a,b ]连续指在区间(a,b )连续,且在左端点处右连续,在右端点处左连
续。
注:左右连续,在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 连续函数的四则运算:
1).)()(lim
00
x f x f x x =→且)()(lim 00
x g x g x x =→,
?{
})()()()(lim 000
x g x f x g x f x x ?+?=?+?→βαβα 2).)()(lim
00
x f x f x x =→且)()(lim 00
x g x g x x =→,
?{})()()()(lim 000
x g x f x g x f x x *=*→
3).)()(lim
00
x f x f x x =→且0)()(lim 00
≠=→x g x g x x ,
?)
()
()()(lim
000
x g x f x g x f x x =→ 2.反函数连续定理:如果函数f D x x f y f ∈=)(:是严格单调增加(减少)并且连续的,
则存在它的反函数1
-f :f D y y f
x ∈=-)
(1
并且1
-f
也是严格单调增加(减少)并且
连续的。
注: 1)反函数的定义域就是原来的值域。
2)通常惯用X 表示自变量,Y 表示因变量。反函数也可表成
1
)
(1
-∈=-f D x x f
y
3. 复合函数的连续性定理:
设函数f 和g 满足复合条件g ?f D ?,若函数g 在点x 0连续;00)(u x g =,又若函数f 在点0u 连续,则复合函数g f 在点0x 连续。
注:复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换:
))(lim ())((lim 0
x g f x g f x x x x →→=
从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合,得到的种种函数统称为初等函数,并且:初等函数在其定义区间内连续。 4.间断点
若:)0()()0(000+==-x f x f x f 中有某一个等式不成立,就间断,分为:
1、 第一类间断点:
)0()0(00-≠+x f x f
即函数在点的左右极限皆存在但不相等,曲线段上出现一个跳跃。 例:见教材。
2 、第二类间断点0x :左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 两者之中至少有一个不存在 例:见教材。
3.若)0()0(00+=-x f x f ,但)()0(00x f x f ≠-,且)()0(00x f x f ≠+,则称0x 是函数)(x f 的可去间断点。 例:见教材。
5.闭区间上连续函数的性质
1)、(有界性定理):如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则它在[]b a ,上有界。 2).(最大、最小值定理)设函数:D x x f y ∈=,
)(在上有界,现在问在值域
{}D x x f y y D ∈==),(1
中是否有一个最大的实数?如果存在,譬如说它是某个点D x ∈0的函数值 )(00x f y =,则记{})(max 0x f y D
x ∈=叫做函数在D 上的最大值。
类似地,如果 f D 中有一个最小实数,譬如说它是某个点f D x ∈2的函数值
)(22x f y =,则记{})(min 2x f y f
D
x ∈=称为函数在上的最小值 。 零点定义:若x 0使0)(0=x f ,则称x 0为函数的零点
3).( 零点定理):如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续,且f 在区间[]b a ,的两个端点异号:
0)(*)(
4).(中值定理):如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则f 在[]b a ,上能取到它的最大值 和最小 值 之间的任何一个中间值。 作业:见课后各章节练习。
题目:导数的概念 课时:2
教学目的、要求:
理解导数的概念和函数变化率的思想,会用导数定义求一些简单函数的导数,基本初等函数的导数。 教学重点、难点
重点:导数的定义,用导数的定义求一些函数的导数
难点:导数作为变化率的概念的理解
引入:物体沿直线运动的在某一时刻的瞬时速度问题
设某点沿直线运动,于时刻t 在直线上的位置的坐标为s ,这样,运动完全由某个函数)(t f s =所确定,这个函数称为位置函数。对于最简单的情形,即该动点在某一时间内做匀速直线运动,那么它的速度就是
所花的时间
经过的路程
,如果
运动不是匀速的,首先取从时刻0t 到t 这样的一个时间间隔,在这段时间内,动点从位置)(00t f s =移动到)(t f s =的平均速度就是
000)
()(t t t f t f t t s s =-=--,如果时间间隔很短,这个比值也可用来说明动点在时刻0t 的速度。但对于动点在时刻0t 的速度的精确概念来说,这样做是不够的,而更确切的应当这样:令0t t →,取上式的极限,如果这个极限存在,设为v ,即0
0)
()(lim 0
t t t f t f v t t --=→,v 称为动点在
时刻0t 的(瞬时)速度。
1.导数的定义从上面讨论的问题看出,非匀速直线运动的速度和切线的斜率问题都归结为如下的极限:
0)
()(lim
x x x f x f x x --→,
(*)
这里0x x -和)()(0x f x f -分别是函数)(x f 的自变量的增量x ?和函数的增量
y ?:0x x x -=?,)()()()(000x f x x f x f x f y -?+=-=?,
因0x x →相当于0→?x ,故(*)式也可以写成
x y
x ??→?0lim
或x
x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000。 由以上内容,我们得出函数的导数概念。
定义:设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,当自变量x 在0x 处取得增量
x ?(点x x ?+0仍在该邻域内)时,相应的函数取得增量)()(00x f x x f y -?+=? 如果y ?和x ?之比当0→?x 时的极限存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并称这个极限为函数)(x f y =在点0x 处的导数,记为)(0x f ',即
x
x f x x f x y
x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim
)(00000,
也可记作0x x y =',
x x dx
dy
=或
)(x x dx
x df =。
注:(1)可导的等价概念
函数)(x f 在点0x 处可导?函数)(x f 在点0x 具有导数或导数存在。 (2)导数常见的不同形式的定义式
h
x f h x f x f h )
()(lim
)(000
0-+='→或000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→。
(3)如果极限不存在,就说函数函数)(x f 在点0x 处不可导。 2.由定义求导数的步骤:
);()()1(00x f x x f y -?+=?求增量
;)
()()2(00x
x f x x f x y ?-?+=??算比值
.lim
)3(0x
y
y x ??='→?求极限
习题:求一些函数的导数。 (1)、)()(为常数C C x f =
(2)、求函数)()(+∈=N n x x f n 在a x =处的导数。 (3)、)sin()(x x f =
3.函数的变化率问题
因变量增量与自变量增量之比
x
y
??是因变量y 在以0x 和x x ?+0为端点的区间上的平均变化率,而导数)(0x f '则是因变量在点0x 处的变化率,它反应了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 4.导函数的概念
如果函数)(x f y =在开区间I 内的每一点处都可导,就称函数)(x f 在开区间
I 内可导。这时,对于任一I x ∈,都对应着)(x f 的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做原来函数)(x f y =的导函数。
导函数的定义式
x x f x x f y x ?-?+='→?)()(lim
或h
x f h x f x f h )
()(lim )(0-+='→
可导与连续的关系:若函数)(x f 在0x 处可导,则函数)(x f 在点0x 处连续,反之不然,函数)(x f 在不连续点上一定不可导。 5.基本初等函数的导数: (1)、)()(为常数C C x f =
(2)、求函数)()(+∈=N n x x f n 在a x =处的导数。 (3)、)sin()(x x f = (4)、)10(a y x ≠>=a a 且
题目:导数的四则运算,复合函数、反函数求导法则 课时:2
教学目的、要求:
熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,了解导数的四则运算法则和一阶了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的n 阶导数,会求反函数的导数。 教学重难点:
重点:用导数的四则运算法则计算函数的导数 难点:复合函数的导数,反函数的导数 内容:
1.导数的四则运算法则:
和的求导法则:设函数)(),(x v x u 在点x 处都可导,则函数)()(x v x u y +=在点x 处可导,且导数为)()('+'='x v x u y 或)()())()(('+'='+x v x u x v x u 。
积的求导法则:设函数)(),(x v x u 在点x 处都可导,则函数)()(x v x u y =在点x 处可导,且导数为)()()()(x u x v x v x u y '+'='。
商的求导法则:设函数)(),(x v x u 在点x 处都可导,且0)(≠x v 则函数)
()
(u x v x y =
在点x 处可导,且导数为)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u y '
-'='
???
? ??='。 2.反函数的求导法则:设函数)(x f y =在点x 的某个邻域内连续且严格单调增加(减少),)(x f '存在,且0)(≠'x f ,则函数)(x f y =的反函数)(y x ?=在点y 处可导,且)
(1
)(x f y '=
'?,即反函数的导数是其原函数导数的倒数。 3.导数基本公式表(见教材)。
4.复合函数的导数:()x u ?=在X 有导数dx
du ,()u f y =在对应点u 有导数du
dy ,
则复合函数()[]x f
y ?=在X 处也有导数,即()()x u f dx
du du dy dx dy //??=?=。
注:熟练掌握复合函数求导运算方法后,中间变量可以不写出,只要分清函数的复合关系并暗记心中,就能直接计算出复合函数的导数。
对数求导法:有些函数用对数求导法求导非常简便,其原理和方法由接下来的例题说明。
5.高阶导数:二阶导数:
()()x
x f x x f x x dx y d x f x ?-?+===
'
'→?0/0/0
22lim
)( ()()00//x x x x x f x f lim
--=→
同理函数)(x f ''在点x 处的导数为函数)(x f y =的三阶导数记为)(x f '''。 以此类推,函数)(x f y =在点x 处的1n -阶导数的导数为函数)(x f y =在点x 处
的n 阶导数。
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 例:自由落体运动瞬时速度和加速度的问题。
题目:微分 课时:2
教学目的,要求
理解导数和微分的概念与微分的关系,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的
不变性,会求函数的微分。
重点:微分的概念,微分的运算法则。
难点:微分与导数的关系,一阶微分形式不变性 内容:
1.微分:讨论当0→?x 时,)(0x x f ?+的近似求法.
先看一个例子:设2
)(x x f y ==,在点0x 的领域内给一增量x ?,计算)(x f 的增量y ?。
.
03)()(33)()()(2
3
2020303000)(当→???≈?+??+??=-?+=-?+=?x x x x x x x x x x x x f x x f y
这是因为0])(3[lim )()(3lim
2003
200=?+??=??+??→?→?x x x x
x x x x x 。即320)()(3x x x ?+??是关于x ?的高阶无穷小(当0→?x )。亦即3
2020)()(33x x x x x y ?+??=??-?是无穷小(当0→?x ),用x x ??203代替y ?,计算方便且误差很小。
定义2.2 若)(x f y =在点0x 的领域内给一增量x ?,相应的函数)(x f y =的增量y ?可表示为:
.0)()()(00)(→??+??=-?+=?x x x A x f x x f y ο
其中,A 是与x ?无关的常数,0)
(lim
=??→?x
x x ο,
)(x ?ο是关于x ?的高阶无穷小(0→?x )。则称函数)(x f 在点0x 处可微,x A ??称为函数)(x f 在点0x 处的微分,记为dy 或)(x df ,即x A dy ??=。
注意 x A ??是关于x ?的一次函数,当0→?x 时,x A dy y ??=?~,x A ??也称为
)(x x A y ?+??=?ο的线性主要部分。
可微与可导的关系
设)(x f y =在点0x 出可微,则有
)(x x A y ?+??=?ο,
所以
x
x A x y ??+
=??)
(ο,
A x x A x x A x y x x x x =??+=??+=??→?→?→?→?)(lim lim ))((lim lim
0000οο。
由导数的定义,则有
A x f =)(0'
从而有
x x f x A dy ?=??=)(0'。
反过来,若)(lim
0'0x f x y x =??→?,则有α+=??)(0'x f x
y
。当(0→?x 时,0→α;这是收
敛极限的一个定理,仅在此说明)
所以x x x f y ??+?=?α)(0'
。(当0→?x 时,0→α)
因为0lim lim
==???→?→?ααx x x
x
,由微分定义,有
.)(0'x x f dy ?=
综合以上情况,归纳出以下定理。
定理2.3 函数)(x f y =在点0x 可微的充要条件是)(x f y =在点0x 可导,且
.)(0'x x f dy ?=
解析例2.23
一般地,函数)(x f y =在任意点x 的微分.)(0'
x x f dy ?=称为函数的微分。
解析例 7
5x y =
微分的几何意义。(见教材)
2.微分的运算法则和公式见教材。
3.一阶微分形式的不变性:
设复合函数)(),(x u u f y ?==,于是按复合函数的求导公式,有
)()]([)()(''''x x f x u f dx
du du dy dx dy ???==?=, 所以
du u f dx u u f dx x x f dy )()()()](['''''=?==??.
可以看出,不论是自变量u ,还是函数)(x u ?=,都有du u f dy )('
=,这一特征称为一阶微分形式的不变性。这在不定积分的凑微分法中常需用到。 注: 可导?可微 解析例2.24
题目:中值定理与洛必达法则 课时:2
教学目的与要求:
掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
教学重点:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理的运用。 难点:中值定理的灵活运用。
一、中值定理,泰勒公式(放入泰勒级数中讲) 1.(罗尔定理):如()x f
满足:(1)在[]b ,a 连续. (2)在()b ,a 可导. (3)
()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈
ξ,使()0f /=ξ
例设()()()()1x 31x 21x x x g -++=,则 在区间(-1,0)内,方程()0x g /=
有2个实根;在(-1,1)内()0x g //=有2个根 2.(拉格朗日中值定理):如()x f
满足:①在[]b a ,连续;②在()b a ,连续,
则存在()b ,a ∈
ξ,使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。
推论:如果在区间I 上()0x f /≡,则()c x f
=。
注:在拉格朗日中值定理中,如果()()a f b f ≡,则拉格朗日中值定理就转化成了罗尔中值定理,所以罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。
3.(柯西中值定理)如果函数()x f ,()x g 满足:(1)在闭区间[]b a ,上连续;(2)在开区间()b a ,内可导且()0/≠x g ,则在开区间()b a ,内至少存在一点()b ,a ∈ξ,使得
)
()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=
--。
显然,当()x x g =/时,柯西中值定理即为拉格朗日中值定理,所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。
4.洛必达法则:如下的函数极限都是未定形。
1、
型: 如:x x x x x --→tan sin lim 0型:
2、
∞
∞
型: 如:0ln lim >+∞→a x x a
x
3、∞*0型: 如:0ln lim >?+∞
→a x
x a x
4、∞-∞型:如:)1sin 1(
lim 0
x
x x -→ 5、0
0 型: 如:x x x arctan 0
lim
+→
6、0
∞ 型: 如:x
x ctgx ln 10
)
(lim +→
7、∞
1 型: 如:2
1
0)sin (lim x x x
x → 它们的计算不能用函数极限的四则运算法则,
且它们只表示类型,没有具体意义。 1)、
00(∞
∞
)型的洛必达法则a x →(同理∞→x ) 定理:对函数()x f ,()x g ,如果: (1)
0)(lim )
(=∞→→x f x a x , 0)(lim )
(=∞→→x g x a x
(2)在某个邻域),(δa N 内(X x >后)有导数'f 和'g ,且0)('≠x g ; (3))
(')
('lim
)
(x g x f x a x ∞→→存在(或无穷),则成立: )()
(lim )
(x g x f x a x ∞→→=)(')('lim )(x g x f x a x ∞→→
2)、其它类型
1) 0
11
,
0∞
→
∞
?∞
2) 0
0000101?-→-→
∞-∞ 3)
)0(0
ln 0ln 00型∞??=→=y y
4) 0,1∞==∞
y y 解法同3)
定理:对函数()x f ,()x g ,如果: