4.第四讲 函数的迭代(俞佑润11.21)
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第四讲 函数迭代
一、函数迭代的定义
函数迭代：对于函数)(x f ，
令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x f f x f x f f x f x f x f n n -=== ),2(N n n ∈≥，我 们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代。
思考：设)()(x f a n n =，则)(1-=n n a f a ，x a =0，)(1x f a =，转化为数列递推。
若()f x x c =+，则()n f x =
若3()f x x =，则()()n f x =
若()f x ax b =+，则()()n f x =
例1 已知()f x 为一次函数，且
(10)10241023f x x =+，
求()f x 的解析式
例2 ()f n 是定义在N +上的函数，并且满足
（1）(())49f f n n =+,n N +∈;
（2）{}1(2)23,0k k f k N ++=+∈⋃
求(1789)f 的值
例3 ()32,f x x =+证明：存在m N +∈，使(100)()f m 也能被2005整除
例4 设n 是不小于3的正整数，以()f n 表示不是n 的因数的最小正整数（例如(12)5f =）.如果()3,f n ≥又可作(())f f n ，类似的如果(())3f f n ≥，又可作((()))f f f n 等等.如果()()2k f n =,就将k 称为n 的“长度”，记为n l .试对任意,3,n N n +∈≥求n l ，并证明
二、()()n f x 的求法
（1）数学归纳法
步骤：①当0n n =时，命题成立；
②设0()n k k n =≥时命题成立，可推出1n k =+命题仍然成立，则对于一切 0n n ≥的任何整数，都有命题成立
例5 若()f x ax b =+，用数学归纳法求()()n f x
例6 已知(),x f x a bx
=
+求()()n f x
（2）递归法
递归法：设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知且0,a D ∈1(),1n n a f a n -=≥.一方面，若已求得
()()()n f x g x =，则(2)12()()n n n a f a f a --===…()0()n f a =，即{}n a 的通项公式；另一方面，如果如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0,(),n a x a g x ==而1()n n a f a -==…()()0()()n n f a f x =，从而()()(),n f x g x =即()()n f x 的表达式
由上述原理知，可通过构造数列的方法求函数的n 次迭代，其步骤为
①设()0,();n n a x a f x ==
②由()1()(),n n n a f x f a -==求出0()n a g a =；
③()0()()()n f x g a g x ==
尝试用递归法解答例1、例2
例7设33()3(1)1f x x x x =+++，求()()n f x
（3）相似法
若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1
()x ϕ-，使得 1()((()))f x g x ϕϕ-=，
我们称()f x 与()g x 相似，记~f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数.
相似关系是一个等价关系，满足
①~f f (自身性)；
②若~f g ，则~g f （对称性）；
③若~,~f g g h ，则~f h
若1()((()))f x g x ϕϕ-=，则()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=（自己证明）
例8若()f x ax b =+，用相似法求()()n f x
例9设()1x f x ax
=
+，求()()n f x
例10 设2()21,[1,1]f x x x =-∈-求()()n f x （提示：2cos 22cos 1x x =-，且cos y x =的反函数为arccos y x =）
例11 求一个函数()p x ，使得82()2p x x x =+.
（4）不动点法
定义：方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.
性质：（1）若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点;
（2）设1()((()))
f x
g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=.若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，0()x ϕ是()g x 的不动点
小提示：利用不动点，把一些简单的函数先变形再迭代，最后用数学归纳法证之. 例12 设2()1993f x x =+，求()()n f x
利用不动点寻找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不
动点0x 映射成g 的不动点0()x ϕ.通常为了求()
()n g x ，()g x 通常取23,,,ax x a ax ax +等，
这时()g x 的不动点为0或∞，此时若()f x 只有唯一不动点α，则可考虑取()x x ϕα=-或1x α-，这时()0(ϕα=或∞)；若()f x 有两个不动点α、β，则可考虑取()x x x αϕβ-=-，此时()0ϕα=，()ϕβ=∞. 例13 设2
()21
x f x x =-，求()()n f x .
三、函数迭代在竞赛中的应用
例14 M 是形如()(,)f x ax b a b R =+∈的实变量x 的非零函数集，且具有下列相纸：
（1）若(),(),f x g x M ∈则(())g f x M ∈；
（2）若,f M ∈则1(0)f M a -∈≠；
（3）对M 中每一个f ，存在一个,i x R ∈使()i i f x x =；
求证：总存在一个k ∈R ，对所有的,f M ∈均有()f k k =
例15 设:f N N ++→，且对每个n N +
∈，均有 (1)(())f n f f n +>
求证：每个正整数均为f 的不动点.。
