专题7 泰勒公式及其应用
(一) 泰勒公式
定理1（皮亚诺型余项泰勒公式） 如果)(x f 在点0x 有直至n 阶的导数，则有
],)[())((!
1
))((!21))(()()(000)(200000n n n x x o x x x f n x x x f x x x f x f x f −+−++−′′+
−′+=L 常称n
n x x o x R )()(0−=为皮亚诺型余项.
若00=x ，则得麦克劳林公式：
).()0(!
1
)0(!21)0()0()()(2n n n x o x f n x f x f f x f +++′′+
′+=L 定理2（拉格朗日型余项泰勒公式）
设函数)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时有
200000))((!
21
))(()()(x x x f x x x f x f x f −′′+
−′+= ),())((!
100)
(x R x x x f n n n n +−+
+L 其中10)1()(1)
()(++−)!
+(=
n n n x x n f x R ξ，这里ξ介于0x 与x 之间，称为拉格朗日型余项. 几个常用的泰勒公式
)(!
!21)1(2n n
x
x o n x
x x e +++++=L
)()!
12()1(!3sin )2(12121
3−−−+−−++−=n n n x o n x x x x L
)()!2()1(!21cos )3(222n n n x o n x x x +−++−=L )()1(2)1ln()4(12n n
n x o n
x x x x +−++−=+−L )(!
)
1()1(!
2)
1(1)1()5(2n n x x n n x x x οααααααα++−−+
+−+
+=+L L
(二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点
1. 本质（相同点）
1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系
2. 不同点
1）条件不同
皮亚诺型余项： )(x f 在点0x 有直至n 阶的导数
拉格朗日型余项：)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数
2）余项不同
皮亚诺型余项： n
n x x o x R )()(0−=；定性；局部.
拉格朗日型余项：10)1()(1)
()(++−)!
+(=
n n n x x n f x R ξ；定量；整体. (三) 泰勒公式的应用
1.利用高阶导数研究函数性态
【例1】若,0)()()(0)
1(00===′′=′−x f x f x f n L )2(0)(0)(≥≠n x f n ，则当n 为偶数
时)(x f 在0x 处有极值.其中0)(0)
(>x f
n 时极小，0)(0)()(x f 在0x 处无极值.
【例2】设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且,1)(,0)0(,1)0(≤′′=′=x f f f 试证：)(x f 在]1,0[上的最大值不超过.2
3
2.计算函数近似值
【例1】计算e 的近似值，使误差不超过.106
−
【解】 )(!
!212x R n x
x x e n n
x
+++++=L
1
1)!
1()!1()(+++<+=n x
n n x n e x n e x R ξ
取1=x ，得 !
1
!2111n e ++++≈L 其误差 )!
1(3)!1(+<+=
n n e R n
当10=n 时，误差不超过.106
−得.718282.2≈e
3.求极限
【例1】 ;cos lim 4
2
02
x e x x x −
→− 12
1
(−
【例2】设)(x f 在0=x 的某邻域内二阶可导，且0)(3sin lim 230=⎟⎠⎞
⎜
⎝⎛+→x x f x
x x （1）求);0(),0(),0(f f f ′′′ ]9)0(,0)0(,3)0([=′′=′−=f f f
（2）求.)(3lim 220⎟⎠⎞
⎜⎝
⎛+→x x f x x
]2
9
[
4.求高阶导数
【例1】(2015年2) 函数x
x x f 2)(2
=在0=x 处的n 阶导数.________)0()
(=n f
])2)(ln 1([2
−−n n n
5.证明不等式
【例1】设1)
(lim
,0)(30
)
4(=>→x
x f x f x ，试证：)0()(3≠>x x x f .
【例2】（1996年1,2）设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件
a x f ≤|)(|,
b x f ≤′′|)(|,其中b a ,都是非负常数,
c 是(0,1)内任一点.
（1）写出)(x f 在点c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； （2）证明 .2
2|)(|b a c f +
≤′ 【证】（1） 2)(!
2)
())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+
−′+=ξ （2）在以上泰勒公式中，分别令0=x 和1=x 则有
21)0(!2)
()0)(()()0(c f c c f c f f −′′+
−′+=ξ （1） 22)1(!
2)
()1)(()()1(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （2）
（2）式减（1）式得
])()1)(([21
)()0()1(2122c f c f c f f f ξξ′′−−′′+′=−
]|)(|)1(|)([|2
1)1()0(|)(|2
122c f c f f f c f ξξ′′+−′′++≤′
])1[(2
22
2c c b a +−+≤
