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第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

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(完整版)《张量分析》报告

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一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。

写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。

1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。

这是一个约定，称为求和约定。

例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。

不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。

置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。

张量分析清华大学张量分析你值得拥有

张量分析清华大学张量分析你值得拥有

g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2

张量分析

张量分析

张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。

它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。

在数学中，张量是一种广义的向量概念。

它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。

例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。

张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。

对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。

张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。

张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。

这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。

在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。

例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。

在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。

在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。

张量分析的发展离不开数学家们的努力。

早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。

20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。

随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。

虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。

要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。

此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。

对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。

总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。

它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

张量分析书籍附详尽易懂

张量分析书籍附详尽易懂

n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。

第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式

非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）

x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量

正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji

N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )

反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵

二阶张量的行列式

张量分析第四章

张量分析第四章
AQ = Q ⋅ A ⋅ Q *
Q ⋅ F ⋅ Q* = F (Q ⋅ A ⋅ Q*)
例3： 试证明：
ε=
1+υ υ σ − (trσ ) I E E
是各向同性函数。 证： 1+υ υ Q ⋅ ε ⋅ Q* = Q ⋅ σ ⋅ Q * −Q ⋅ (tr σ ) I ⋅ Q * ∵ E E
β i1Lir ≤ A i1Lir ≤ α i1Lir
设 P是 Pr张量空间的开集。按第一章第四节的标量积可以 定义A,B∈ P的标量积： 〈 A, B〉 = A⊙ B = Ai Li Bi Li ; (i1 ,L , ir = 1, 2,3) （4.1-1） 容易证明 〈 , 〉 具有下列性质： i）对称性： 〈 A, B〉 = 〈 B, A〉 ; A⊙ B = B ⊙ A , A, B ∈ P （4.1-2） ii）线性性： 〈 A, B + C 〉 = 〈 A, B〉 + 〈 A, C 〉 ; A ⊙ ( B + C ) = A ⊙ B + A⊙ C , A, B, C ∈ P （4.1-3） 4.1-3 iii）正定性： 〈 A, A〉 > 0 , ∀A ≠ 0 ; A⊙ A > 0 , ∀A ≠ 0 （4.1-4） 对任意Pr中的张量 A, B∈ P 。由（4.1-1）式可引入张量的 模和两张量之间的距离。其定义如下：
i i Q
AQ = ( Aij i i i j ) Q = Aij (Q ⋅ i i )(Q ⋅ i j ) = Q ⋅ A ⋅ Q *
F ( A) = F (Q ⋅ A ⋅ Q*)
∴ iii） ∵ ∴
FQ ( A) = ( Fij i i i j ) Q = Fij (Q ⋅ i i )(Q ⋅ i j ) = Q ⋅ F ⋅ Q *

张量分析课件

张量分析课件

P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.

清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-张量_图文

清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-张量_图文
Appendix A.4
张量分析引论
矢量和张量的记法，求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量
Appendix A
张量代数&商判则
相等
若两个张量
和
相等
则对应分量相等
若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则 它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。
坐标与坐标转换
向新坐标轴 投影，即用 点乘上式两边，则左边： 右边：
Appendix A.3
坐标与坐标转换
由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式
Appendix A.3
坐标与坐标转换
坐标转换的矩阵形式(设新老 坐标原点重合)
Appendix A.3
特性 1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
Appendix A.2
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而自动消失。
Appendix A.3
坐标与坐标转换
笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
任意坐标系
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
概念 • 坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时， 空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 • 基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi

张量分析

张量分析

张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。

标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。

而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。

然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。

要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。

在概念上，张量和矢量有许多类同之处。

一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。

张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。

张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。

我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。

于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。

例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。

2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。

从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。

所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。

在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。

(完整版)《张量分析》报告

(完整版)《张量分析》报告

一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。

写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。

1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。

这是一个约定，称为求和约定。

例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。

不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。

置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。

张量分析总结

张量分析总结

一、知识总结1 张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例：333323213123232221211313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：i j ij B x A =(1.2)其中：i 为自由指标，j 为哑标。

特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。

在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kronecker 符号定义ij δ为：⎩⎨⎧≠==j i ji ij ,0,1δ(1.3)ij δ的矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001ij δ (1.4)可知3ij ij ii jj δδδδ===。

δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。

如：ij jk ikij jk kl ilδδδδδδδ==(1.5)ij δ的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci 符号为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：⎪⎩⎪⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk(1.6)图1.1 i,j,k 排列图ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。

Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。

第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件

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• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能 用加法分解，而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )

张量分析初学者必看

张量分析初学者必看

A 张量分析
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
坐标变换式
xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi , xi ) ii cos(xi , xi )
Aijk xi y j zk
代表27项 的和式
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11 x1 A12 x2 A13 x3 b1 A21 x1 A22 x2 A23 x3 b2 A31 x1 A32 x2 A33 x3 b3
筒写为
Aij x j bi
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同
A 张量分析
张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变
换关系的量称为张量
ijkl ii jjkk llijkl
张量的阶——自由指标的数目
不变性记法
ijkl ei e j ek el
§A-3 坐标变换与张量的定义
一、加(减)法
§A-4 张量的代数运算
四、两个张量的点积
A 张量分析
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brs t er es et ) Aijk Brs t ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
§ A-1 指标符号 三、 Kronecker- 符号和置换符号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义

张量分析在机器学习中的应用

张量分析在机器学习中的应用

张量分析在机器学习中的应用在近年来的机器学习领域中，张量分析作为一种强大的工具，被广泛应用于各种复杂的数据模型和算法中。

本文将探讨张量分析在机器学习中的应用，并分析其在不同领域中的优势和局限。

通过了解张量分析的基本概念和常见应用案例，我们可以更好地理解其在机器学习中的作用和价值。

一、张量分析的基本概念张量是一种多维数组，可以包含标量、向量、矩阵等数据类型。

在张量分析中，我们通常使用高阶张量来表示复杂的数据结构。

张量具有多个属性，如阶数、维度和元素等，这些属性可以为机器学习提供丰富的信息。

张量分析的基本概念包括张量的表示、运算和变换等，这些概念为机器学习提供了一种灵活和高效的数据处理方式。

二、1. 张量分解张量分解是一种重要的张量分析技术，可以将高阶张量分解为较低阶的张量，从而降低数据的复杂度。

在机器学习中，张量分解可以用于特征提取、降维和模型简化等任务。

通过张量分解，我们可以从高维数据中提取出有用的特征，减少冗余信息，提高学习算法的效果和效率。

2. 张量网络张量网络是一种基于张量分析的模型，可以用于处理复杂的数据结构和关系。

通过构建张量网络，我们可以将多个张量连接起来形成一个高效的数据流图，从而实现对复杂数据的处理和学习。

在机器学习中，张量网络可以用于图像识别、自然语言处理和推荐系统等任务，取得了很好的效果。

3. 张量分析算法张量分析算法是一种基于张量分析的算法思想，可以解决一些特定的机器学习问题。

例如，张量奇异值分解可以用于处理异常检测和异常值处理，张量回归可以用于处理多任务学习和关系建模等。

这些算法利用了张量分析的特性，将其应用于实际问题中，取得了一定的研究进展和应用效果。

三、张量分析在机器学习中的优势和局限1. 优势张量分析在机器学习中具有以下优势：(1) 多维数据处理：张量可以表示多维数据，可以更好地处理复杂的数据结构和关系。

(2) 特征提取和降维：张量分解可以从高维数据中提取有用的特征，减少数据的冗余信息。

第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

x2
A

• •
b
a
dF ( x) dx F (a ) F (b) dx
微分阶次降了一阶 域内转换到边界
l
x1
向二维扩展：Green定理
X 1 ( x1 , x 2 ) 1 2 1 2 1 dx dx X 1 ( x , x )dx 2 x A l X 2 ( x , x ) 1 2 dx dx 1 x A
gi ( x j ) gi ( x j x j )
gi gi ( x , x , x )
1 2 3
O
是坐标的非线性函数
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号 协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号 g j g j k k k ij gk ij i g 定义式 i x x
m Tim m T i j k
i i m T m T j mk m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度 特殊张量1：度量张量G
g ij;k 0 G G 0
两个张量的并AB的协变导数
1 ij gg i j x g x
2
张量场函数的散度和旋度
因此，Laplace算子的计算式：
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x
2
Euclid空间，只有一个最基本的一阶矢量微分算子， 即梯度算子。 Euclid空间，只有一个最基本的二阶标量微分算子， 即Laplace算子。
从而可得右梯度和左梯度：
T i T T (r ) i g x

补充-张量分析

补充-张量分析
3 3
4
哑标可以换用不同的字母指标
2.求导记号的缩写约定
( ), j ( ) x j
ui ui , j x j
2 ( ) ( ),ij xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
二维问题 平衡微分方程的指标表示
3.自由指标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
δi1 δi 2 ei e j δ j1 δ j 2 e1 e2 δi 3 δ j 3 er s t δi r δ j s et e3
ei j t et ei j k ek
a11 a31 a12 a32 a13 a23 ei j k a1i a2 j a3k ） a33
（比较： A a21 a22
T Tij ei e j Tk 'l' ek' el'
1
上述表达式具有不变性特征；
2
3
张量分量 Tij 与坐标系有关；
Tij 在坐标变换时遵循相同的变换规律
自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的 平衡方程） 坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了 物理本质，并且相关表达式冗长
引入张量方法
xi ik xk
ij j k ik
' '
互为逆矩阵
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律
e i ij e j e i ije j
2
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi ij v j
vi ij v j
3. 三维情况 (三维坐标系旋转)
自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间， 张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。

张量分析答案完整版

张量分析答案完整版
证明： ∂ν m ∂ν n − ∂x n ∂x m ∂x m 则由 vm ' = β m = ' ' v m vm ∂x m m ∂v ' ∂x m ∂v m ∂x n ∂x m 可知: m ' = + ' ' ' ' vm n ∂x m ∂x ∂x n ∂x m ∂x n ∂x n ∂v ' ∂x n ∂v n ∂x m ∂x n 同理可得： n ' = + ' ' ' ' vn m ∂x m ∂x n ∂x ∂x m ∂x m ∂x n ∂v ' ∂v ' ∂x m ∂v m ∂x n ∂x m 则 T( m ' . n ' ) = m ' − n ' = + ' ' ' ' n ∂x n ∂x m ∂x m ∂x ∂x n ∂x m ∂x n 令 T ( m .n ) = 由于： ∂x m
T i j k = βri βs j βt k T rst T
' ' i 'j k ' ' '
' ' '
'
'
'
= β ir β js β kt Trst
' ' ' ' ' ' '
T..ik j = βri βs j β kt T..trs T. ij k = βri β s βt T r j k .st
∴T 与S具有相同的主不变量。
2.4 求证： （1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ] + [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
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张量场函数的散度和旋度
★矢量场函数F(r)的旋度
F F g k g k k Fi g i x mki gm k Fi
k
kim
gm k Fi
g1 1 1 g F1
g2 2 F2
g3 3 F3
张量场函数的散度和旋度
★矢量场函数F(r)的旋度
F g
张量分量对坐标的协变导数
★矢量场函数的梯度
F j i j i j F g F g g F g g 则右梯度： ;j i i; j j x 左梯度： F g j F F i g j g F g j g i ;j i i; j j x
引入新符号 j ; j 来表示矢量分量的协变导数
ki , j kj ,i ij ,k ik , j
jk ,i ji ,k
xi g ki x j
l ij kl
ij ,k
1 g jk gik gij i j k 2 x x x
g ij ,k
定义Laplace算子： 2 ( ) ( ) 即先求梯度，再计算散度。
张量场函数的散度和旋度 若矢量 F ，为标量，则
1 g i x g i i 而 F ，可推导出
2

i

F g x j
i ij
因此，可得
从而可得右梯度和左梯度：
T i T T (r ) i g x
T T g i x
i
由此可得： dT (T ) dr dr (T )
张量分量对坐标的协变导数
为了计算
T ，则必须引入协变导数 x i
★矢量场函数的梯度
F ( F i gi ) F i i gi j gi F j j x x x x j F i k j gi F i ij gk x i F 矢量分量的协变导数 j gi F k ikj gi x i F i k i j F kj gi ;j i x
梯度的几何意义！ 取弧元ds，有方向导数：
r r xi
df dr f f t t f ds ds

张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得 dT T i T (r ) i g dr x
k
Hale Waihona Puke g km k Tij gm g i g j mTij gm g i g j
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x m m m ( ) m ( )
2
积分定理

从牛顿-莱布尼兹公式说起
第4章 曲线坐标张量分析
2015年4月18日
主要内容
基矢量的导数，Christoffel符号 张量场函数对矢径的导数、梯度 张量分量对坐标的协变导数 张量场函数的散度和旋度 积分定理
Riemann-Christoffel张量（曲率张量）
张量方程的曲线坐标分量表示方法
非完整系与物理分量
F i j j i F g F g g F g g ;j i i; j j x j F i g j gi j Fi g j g i
j
张量分量对坐标的协变导数
★矢量场函数的梯度 特殊矢量：矢径r，有
r r G
i ;j i ,j
注：只有在笛卡尔坐标系下才有 F F
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号
逆变基矢量的导数
g i i k jk g j x
g 对坐标的导数， jji 的计算公式
g g1 , g2 , g3 g1 g2 g3

g j g ji i x
k
★矢量场函数F(r)的散度
F k i i divF F F k g F;i i F x
张量场函数的散度和旋度
★张量场函数T(r)的散度
T k k ij k ij T k g Tij g g g T g T ;k i j ;k i j ; j gi x T k ij k ij ij T g k g T;k gi g j i T;k g j T;i g j x
从定义式，可探讨性质：
由于
g j
i i x x
r j x
2 2 gi r r i j j i j x x x x x
k ij kji
ij 共有18个独立的分量，且 ij 不是张量分量。 可证明，
k k
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号
第一类Christoffel符号 g j l l k l k k ij gk ij glk g ij ,k g ij ,k ij glk glk ij i x g j 定义式： ij , k gk 性质： ij ,k ji ,k i x g j k k 比较： ij g i x
x2
A

• •
b
a
dF ( x) dx F (a ) F (b) dx
微分阶次降了一阶 域内转换到边界
l
x1
向二维扩展：Green定理
X 1 ( x1 , x 2 ) 1 2 1 2 1 dx dx X 1 ( x , x )dx 2 x A l X 2 ( x , x ) 1 2 dx dx 1 x A
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算
gij gi g j
gij x k g jk
gij
g j gi k g j gi k k x x x
k
kim
gm k Fi
e k Fi
mki
1 mki 1 F e gm k Fi 1 g g F1
g1
g2 2 F2
g3 3 F3
张量场函数的散度和旋度
★张量场函数T(r)的旋度 T T k g k T ij ;k gi g j g k T ij ;k kjm gi gm x T k T g k g k Ti ;kj g i g j kimTi ;kj gm g j x
j mki mki j emki k Fi emki k Fi Fj ki e F e F k i j ki
F F g k g k k Fi g i x 1 mki mki gm k Fi e gm k Fi g
m Tim m T jk mj ik

T x
i j k
i i m T m T j mk m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度 特殊张量1：度量张量G
g ij;k 0 G G 0
两个张量的并AB的协变导数
k
左梯度：
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
其中
T
ij ;k
T ij im j mj i k T mk T mk x
Tij ;k
Tij
x k j Ti j j m j Ti ;k k Tm ik Ti m mk x T
i j ;k
正交曲线坐标系中的物理分量
基矢量的导数，Christoffel符号

张量场函数：T(r)
r r x
i

T(r)之所以被称为场函数，是因为它是矢径r的函数。 在曲线坐标系下，基矢量gi并不是常矢量，如何描 述gi随坐标的变化而变化？
r 基矢量 gi i 本身重要！ x
r
r r
1 ij gg i j x g x
2
张量场函数的散度和旋度
因此，Laplace算子的计算式：
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x
2
Euclid空间，只有一个最基本的一阶矢量微分算子， 即梯度算子。 Euclid空间，只有一个最基本的二阶标量微分算子， 即Laplace算子。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T T ij gi g j Ti j gi g j T ij gi g j Tij gi g j
右梯度：
T k ij k j i k T k g T ;k gi g j g Ti ;k g g j g x T ij ;k gi g j g k Tij ;k g i g j g k T ij k j k i T g T g g g T g g gj ;k i j i ;k k x i k j k i j T j ;k g gi g Tij ;k g g g


j ji
g g x
i

ln g xi

1 ln g
2 xi
张量场函数对矢径的导数、梯度
标量场函数f (r)的梯度 f f i i j df i dx i g g j dx x x j f i g dx 其中， i g 定义为f (r)的梯度 f ； j 即 dr 。 x f k k f df f d r 因此， f k g g x x k