大学物理第六章 机械波

1 u
2

2
t
2
ξ——质点的位移
2013-5-31
P.10/37
机械波
§6.3 波的能量
1.介质元的能量
6.3.1 波动能量的传播
1) 质元的振动动能：
dV Sdx
dWk
v y t
dm Sdx
dm v
2
1 2
A sin( t
2 2 2
x u
)
波动表达式： y A cos (t )
两边积分得 A A 0 e
A0 : x 0 处的振幅
P w uS
u


T
.
T
2π

I A
2

∴ 平面简谐波强度的衰减规律为：
u
Hale Waihona Puke 2πwSI I0 e
2x
P

2π
I 0 : x 0 处的波强
2013-5-31
P.14/37
机械波
§6.4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射
波速
又称相速。 机械波速取决于弹性媒质的物理性质。
波线
相位)的传播速度，
波面
波线
球面波
平面波
最前面的那个波面称为 波前。 波在传播过程中波面有无穷多个。 在各向同性介质中波线和波面垂直。
2013-5-31
注意：波速是振动能量或振动形式的传播， 不是质点的振动速度 ； 波速由弹性介质性质决定，频率 (或周期)则由波源的振动特性决定。
子波波源 6.4.1 惠更斯原理 介质中波传播到的各点，都可以看作 是发射子波的波源，在其后的任一时刻， 这些子波波面的包迹决定了原波动的新 的波前。
波前
子波
2013-5-31
P.15/37
机械波
6.4.2 波的衍射
衍射：波在传播的过程中遇到障碍 物或小孔后，能够绕过障碍物的边 缘继续传播的现象。
u
2013-5-31
x
dWk
1
A sin (t ) dV 2 u

P.11/37

x
机械波
2) 质元的弹性势能：
x dWp dWk A sin (t ) dV 2 u 1
2 2 2
2. 波的能量密度
1) 能量密度：单位体积中波的能量
质点的振动速度：
A sin[ ( t x u
)]
质点的振动加速度：
a
2
v t

y
2
t
2
A cos[ ( t
2
x u
)]
y
B
A
x
x
2
A

u
2 2
cos[ ( t
x u
)]
由上两式可得：
y
2
解： A点为坐标原点
y 3 cos 4 π ( t x 20 ) (SI)
P.5/37
机械波 §6.2 平面简谐波的波函数 P点的振动表达式：
x y P A cos t u
6.2.1平面简谐波波函数的建立
——描述波传播到的各点的质点的 振动状态，也叫波动表达式。
y f x, t
即t=x/u时，P点的振动状态与O点 t=0时的状态相同。 P为任意点，所以波动表达式为：
原点振动表达式： yo A cos( t )
t 0时， cos 0

2


2
此时， v 0 0 ,
yo 0.01 cos( π t
π 2
)
x
(SI)
π 2
波动表达式：
y 0.01 cos[ π ( t
)
] (SI)
解：由图可知 波速：
u
平衡位置处 y 0, Ek Ep
2013-5-31
x dV u
——周期性变化
w
1
A
2
2
Emax
P.12/37
机械波
6.3.2 波的能流和能流密度
6.3.3 波能量的吸收
波在介质中传播时，介质总要吸收 一部分能量。吸收的能量转换为介质 的内能和热。因此，波的振幅要减小、 波的强度将减弱，这种现象称之为
机械波——一群质点， 以弹性力相联系。其中 一个质点在外力 作用 下振动，引起其他质点 也相继振动. 波源
2013-5-31
P.3/37
机械波 6.1.2 横波与纵波 横波： 质点的振动方向与波的传播方向垂直 纵波： 质点的振动方向与波的传播方向平行 质点振动方向 软绳 波的特征： 横波存在波腹和波谷。 纵波存在相间的稀疏和稠密区域。
x y A cos t u
平面波在传播过程中，波线上的各质 点都作同频率同振幅的简谐运动—— 叫做平面简谐波。 设波源的振动表达式为（x＝0）：
yO A cos t
——平面简谐波的波函数 如果波沿x轴的负方向传播，则P点 的相位要比O点的相位超前t=x/u
α：吸收系数(由介质自身性质决定)
2013-5-31
P.13/37
机械波
dx
例6-4: 在截面积为S的圆管中，有一 列平面简谐波，其波动的表达式为 y = Acos( t -2x/)。管中波的平均能 量密度为 ，则通过截面S的平均能 流是多少？
O
dA
x
x
d A A d x
解：
x
0.04m
x1 x0 t
0.02
A点振动表达式：
0.01 12 0.02m s
2π T π
1
y A 0.01 cos[ π ( t
0.01 0.02
)
π 2
]
T

u

0.04 0.02
2s

0.01cos π t
(SI)
2013-5-31
P.9/37
x y A cos t u
波动表达式为 P点处质点的振动比o点的振动落后 u
2013-5-31
x y A cos t u
x 时间
P.6/37
机械波 若波源在 x＝x0处，则
x x0 y A cos t u
P.7/37
2013-5-31
机械波 y
A
u λ
x1 x2
O
x
c.从某一时刻的波形图，经一段时 间t后的波形图： 将波形沿波速方向平移。 d.各质点的振动速度的方向： y
A O x1
u λ
x2
波形图的分析： a.可表示振幅A， 波长λ； b.波形图中 x1 和 x2 两质点的相位差:
x y1 A cos t ( 1 ) u x 1 1 u x y2 A cos t ( 2 ) u x 2 2 u Δx Δx Δ 2 1 2π u
w dW dV A sin (t
2 2 2
3) 体元的总能量：
x dW dWk dWp A sin (t ) dV u
2 2 2
x u
)
2) 平均能量密度：
w
结论： (1) 介质元dV的总能量：
A sin t
机械波
例6-2: 一平面简谐波在介质中以速 度 u = 20 m/s，沿Ｏx轴的负向传播。 已知A点的振动方程为y = 3cos 4t ， (1) 以A点为坐标原点求波函数；(2) 以距A点5m处的B为坐标原点求波函 数。 y u y
§6.2.2 波动方程 波动表式
v y t
y A cos[ ( t x u )]
2 2 2
T
1
T
A sin (t )dt
2 2 2
x
0
u


2 (2) 介质元的动能、势能变化是同周 单位是 J · － ３ ． m 期的，且相等。 结论： (3) 机械能不守恒，因为不是孤立体系， 机械波的能量与振幅的平方、频 有能量传播。 率的平方以及介质的密度成正比。 Ek Ep 0 (4) 峰值处
机械波
波动的共同特征： 具有一定的传播速度，且都伴有能 量的传播。能产生反射、折射、干涉 和衍射等现象。
水波
波动的种类 机械波：机械振动在弹性介质中的传播 过程 电磁波：交变电磁场在空间的传播过程
天 线 发 射 出 电 磁 波
声波
物质波：微观粒子的运动，其本身具 有的波粒二象性
2013-5-31
P.2/37
二、波函数的物理意义
x y ( x, t ) A cos t u
(1) 当 x = x 0 (常数) 时，
x y (t ) A cos t 0 u x A cos t ( 0 ) u
机械波
§6.1 机械波的产生、传播和描述
6.6.1机械波产生的形成：
u
1. 波源——被传播的机械振动 任意质点离开平衡位置会受到弹性力 作用。在波源发生振动后，由于弹性力 作用，会带动邻近的质点也以同样的频
2. 弹性介质——能够传播机械振动得介质。
x
Y
0
媒质
率振动。这样，就把振动传播出去。 故机械振动只能在弹性介质中传播。
能流：单位时间内通过介质中某面积 的波的能量。