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大学物理 机械波及波的形式波长 波线及波面 波速

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大学物理机械波

大学物理机械波


y
A
cos t
x u
——平面简谐波的波函数
2024/10/13
机械波
y
式
T
y Acos[2π(t x ) ]
波函数的 其它形式
y Acos[2π( t x ) ]
T
y Acos[ 2π (ut x) ]
如果波沿x 轴的负方向传播，则P点的相位要比
Acos[4π
(t
x1 u
1)] 8
波函数为:
y(x,t) Acos[4π (t x x1 1)] u8
(3) 以 A 为原点：
y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
以 B 为原点：
y(x,t) Acos[4π (t x x1 1)] u8
2024/10/13
机械波
ul
E
E— 固体棒的杨氏模量
— 固体棒的密度
2024/10/13
c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：
ut
G
G — 固体的切变弹性模量
— 固体密度
机械波
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出:
ul
B
B — 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为:
RT p
机械波
6.1.3 波的几何描述 波线: 沿波的传播方向作的有方向的线. 波面: 在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位
相同的点构成的曲面. 波前: 波传播过程中, 某一时刻最前面的波面.
注意 在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面.
2024/10/13
机械波
6.1.4 波速 波长 周期（频率）
波长（）: 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间的
机械波及波的形式波长波线及波面波速

机械波及波的形式波长波线及波面波速

机械波及波的形式波长波线 及波面波速
2
一 机械波的形成
1 波源 作机械振动的物体 （声带、乐器等）
2 介质 能传播机械振动的媒质 （空气、水、钢铁等）
注意
波是运动状态的传播，介 质的质点并不随波传播.
4
特点： 波传播方向上各点的振动方 向与波传播方向垂直
2 纵波（又称疏密波） 例如：弹簧波、 声波
负号表示压强增大(减小)时体积缩小(增大)
6
由理想气体绝热方程 取微分，得
常量
又
7
（2） ℃时空气中声速
℃时声速
8
四 波线 波面 波前 1 波线 波的传播方向 2 波阵面 振动相位相同的点组成的面称为波阵面
任一时刻波源最初振动状态在各方向 上传到的点的轨迹. 波前是最前面的波阵面
9
性质 （1）同一波阵面上各点振动状态相同. （2）波阵面的推进即为波的传播. （3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.
（1）若视空气为理想气体，试证声速
与压强 的关系为
，与温度 的
关系为
. 式中
为气体
的摩尔热容之比， 为密度， 为摩尔气体常
数， 为摩尔质量.
（2）求 ℃和 ℃时，空气中的声速.
（空气的
，
）
5
已知:绝热过程，证
，
求 ℃， ℃时的声速
解 （1）气体中纵波波速为 式中体积模量 被定义为压强增量 与体积 应变（ ）的比，即
6
3 复杂波 例如：地震波 特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成
简谐波 特点：波源及介质中各点均作简谐振动
（本章研究对象）
7
三 波长 波的周期和频率 波速
1 波长 波传播方向上相邻两振动状态完全相同 的质点间的距离（一完整波的长度）.
大学物理 第7章 机械波

大学物理 第7章 机械波

上某点A的简谐运动方程为y =3cos4πt (SI).
(1)以点A为坐标原点,写出波动方程. (2)以距点A为5m处的点B为坐 标原点,写出波动方程; (3)写出传播方向上点C、点D的简谐运动方 程; (4)分别求出BC和CD两点间的相位差.
u • C 8m • B 5m • A 9m

u
解:已知 u=20m/s
频率与周期的关系为:
波速（u） : 振动状态在媒质中的传播速度.
波速与波长、周期和频率的关系为:
1 T
u

T

7.1.4、球面波和平面波
波场--波传播到的空间。
波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。
波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.
x ut y( x x , t t ) A cos[ ( t t ) 0 ] u x A cos[ ( t ) 0 ] u
t时刻的波形方程
u
y( x x , t t ) y( x , t )
例题1: 一平面简谐波以速率u = 20m/s沿直线传播. 已知在传播路径
机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波 波动是一切微观粒子的属性，
与微观粒子对应的波称为物质波。
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性， 有类似的波动方程。
7.1.1 机械波的产生
(1)有作机械振动的物体，即波源
(2)有连续的媒质 y
v x 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力， 则称为弹性波。
p I wu S
1 2 2 I A u 2
大学物理第15章机械波

大学物理第15章机械波

2222???????????????????22cosyxatxuu???????222cosyxa?ttu?????????????????????222221yyxut?????这就是一维谐波满足的微分关系
第四篇
波动与光学
§15.1
波动
机械波的产生与传播
振动状态(相位）的传播称为波动，简称波。
y ( m)
0.01
y ( m)
0.01
u
x ( m)
0 .2
t (s)
0 .1
a
b
第四篇
波动与光学
直接读出振动特征量:
解
y ( m)
0.01
t (s)
0 .1
A 0.01m T 0.1 s 20 (rad / s)


2 ya (t ) 0.01 cos( 20t
第四篇
波动与光学
二、波动微分方程
1.一维波动方程的导出 对于一维波动方程：
可分别对自变量x、t求偏导得：
x y x, t A cos t u
2 y 2 x A 2 cos t 2 x u u 2 y x 2 A cos t 2 t u
频率 波速

u
uT
u

讨论
①波的周期、频率与介质无关，由波源确定。 ②不同频率的波在同一介质中波速相同。
③波在不同介质中频率不变（由波源决定）。
第四篇
波动与光学
六、弹性介质与波的传播
在一种弹性介质中能够传播的是横波还是纵波，波速能够有多大， 都与介质的弹性有关。 1.长变变形 应力 单位截面上的受力称为应力。
机械波及波的形式波长 波线及波面 波速

机械波及波的形式波长 波线及波面 波速


波谷----波谷 波谷 波谷
λ
纵波： 波疏----波疏 纵波：相邻 波疏 波疏
波密----波密 波密 波密
第十章 波动
10
物理学
第五版
2 周期 T 波传过一波长所需的时间， 波传过一波长所需的时间，或一完整 波通过波线上某点所需的时间. 波通过波线上某点所需的时间
10-1 机械波的几个概念 -
T =λ
10-1 机械波的几个概念 -
分类（ ） 分类（1）平面波 （2）球面波 ）
波面 波线
波面
波线
第十章 波动
22
物理学
第五版
3 波形曲线 描述某时刻，波线上各点位移（广义） 描述某时刻，波线上各点位移（广义）分布
10-1 机械波的几个概念 -
对横波： 直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置， 对横波： 直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置，
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念 -
振动和波动的关系： 振动和波动的关系： 波动--振动的传播 波动--振动的传播 -振动--波动的成因 振动--波动的成因 -波动的种类： 波动的种类： 机械波、电磁波、 机械波、电磁波、物质波
1
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念 -
一 机械波的形成
ψ
o
λ
2
r u
λ
x
思考： 对纵波，波形曲线是不是实际波形？ 思考： 对纵波，波形曲线是不是实际波形？ 波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点 的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？ 的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
第十章 波动
23
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念 -
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件-第七章 机械波

中国矿业大学(北京)《大学物理》课件-第七章 机械波


y
Acos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为 横坐标，
y
u
波形方程
x
给出 t1 时刻空间各
点的位移分布。
给出：t1时刻 波线上各个质点偏离各自平衡位置 的位移所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
y
Acos
t1
2
x
0
x
A，波形曲线为余弦曲线，其 “周期” 为 。
B，沿波线（x轴）方向，两个距离相隔的质点的 振动的相位差为：2。
Physics
第7章 机械波
Physics
§7-1 机械波的产生和 传播
§7-1 机械波的产生和传播
波动是振动的传播过程。
机械波：机械振动在介质中的传播过程。
eg，声波、水波、地震波
1、机械波产生的条件
波源 弹性介质
产生机械振动的振源 传播机械振动的介质
注：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中 的传播，介质的质点并不随波前进。eg,裙摆
求：1)振幅，2)波长，3)波的周期，4)弦上任一质点的 最大速率，5)图中a、b两点的相位差，6) 3T/4时的波 形曲线。
y / cm
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
中国矿业大学（北京）
M1
a
10 20
M2
b
30 40
50 60
70 x / cm t =0
18/23
补充例题2
波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波 面即是波前。波前只有一个。
平面波：波阵面为平面的波动
球面波：波阵面为球面的波动
柱面波：波阵面为柱面的波动
中国矿业大学（北京）
大学物理下册课件 第15章 机械波

大学物理下册课件 第15章 机械波


已知振动状态以速度 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 ，
振动状态与原点在
时刻的振动状态相同。
点的
因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为
这就是沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。
15.2.1 平面简谐波的波函数
沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程
t = 7T / 8
t = T
在同一坐标系
XOY 中
正向波
反向波
驻波
点击鼠标，观察在一个周期T 中不同时刻各波的波形图。
每点击一次，
时间步进
合成驻波
15.4.3 驻 波
为简明起见，
设
改写原式得
并用
由
正向波
反向波
驻 波 方 程
注意到三角函数关系
得
驻 波 方 程
驻 波 方 程
波节
波腹
波腹处振幅最大
固体的容变弹性模量
液体和气体:液体可以产生容变,其容变弹性模量如固体一致
对于密度为 的固体,在其中传播横波和纵波的速度为
液体和气体中传播纵波的波速为
15.1.3 波的特征量
关于波速问题: 波速取决于媒质的弹性(弹性模量)和媒质的惯性(密度)
细长棒:沿着棒的长度方向传播纵波的波速取决于杨氏弹性模量及其惯性
上下
抖动
振速 最小
振速 最大
形变最小
形变最大
时刻波形
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，
具有 弹性势能
各体积元以变化的振动速率 上下振动，
具有振动动能
总能量
15.3 波的能量
动能
动能计算
势能计算
10-0 教学基本要求

10-0 教学基本要求


第十章 波动
6
4
物理学
10-0 教学基本要求
第五版
3 了解惠更斯原理和波的叠加原理. 理解波的相干条件，能应用相位差和波 程差分析、确定相干波叠加后振幅加强 和减弱的条件；
4 理解驻波及其形成，了解驻波和 行波的区别；
第十章 波动
5
物理学
10-0 教学基本要求
第五版
5 了解机械波的多普勒效应及其产 生的原因.在波源或观察者沿二者连线 运动的情况下，能计算多普勒频移.
应用专题:声波的应用 多普勒效应及应用
第十章 波动
3
物理学
10-0 教学基本要求
第五版
1 掌握描述简谐波的各物理量及各 量间的关系；
2 理解机械波产生的条件.掌握由 已知质点的简谐运动方程得出平面简 谐波的波函数的方法.理解波函数的物 理意义.解波的能量传播特征及能流、 能流密度概念.
第十章 波动
物理学
第五版
第 第十十 章章 波波 动动
第十章 波动
1本要求 10-1 机械波及波的形式 波长 波线及波面 波速 10-2 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度 10-4 惠更斯原理 波的衍射 干涉
第十章 波动
2
物理学
第五版
本章目录
10-5 驻波 10-6 多普勒效应 10-7 平面电磁波 附 本章练习
大学物理第六章 机械波

大学物理第六章 机械波

x
x 0
t
x /4
t
x /2
t
x 3 / 4
t
3.当 t c（常数）时，
y t 0
o
x
y f (x为) 某一时刻各质
点的振动位移.
y t T /4
o
x
不同时刻波线上各质点的位
y t T /2
移分布，称为波形图。
o
x
y t 3T / 4
o
x
4. 当 u 与 x 轴反向时取 u
y
A
cos
t
x u
③ 在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在振幅处 动能和势能为零。在回到平衡位置时从相邻质元吸 收能量，离开时放出能量。
二、能量密度
1、能量密度 单位体积内的能量 w dE
dV
dE (dV )A 22 sin 2 (t x / u )
w A 22 sin 2 (t x / u )
2.平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值。
称为波面。
波前: 某时刻处在最前面的波面。
球面波
波线
平面波
波线
波面
波面
在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.
第二节
平面简谐波的 波函数
用数学表达式表示波动----函数y(x,t)，称为波函数。
一、平面简谐波的波函数
·································
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
波面上的两点，A、B点达到界 面发射子波，
经t后， B点发射的子波到达界
面处D点， A点的到达C点，
i
B
A
大学物理机械波及波的形式波长波线及波面波速

大学物理机械波及波的形式波长波线及波面波速

1 波长
*
横波：相邻 波峰——波峰 波谷—— 波谷
添加标题
纵波：相邻 波疏——波疏 波密——波密
添加标题
02
01
*
2 周期 T
波传过一波长所需的时间，或一完整波通过波线上某点所需的时间.
3 频率
单位时间内波向前传播的完整波的数目. （1 内向前传播了几个波长）
在水中的波长
解
由 ，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在
空气中的波长
*
1 波线
波线 波面 波前 波的传播方向
2 波阵面
振动相位相同的点组成的面称为波阵面 任一时刻波源最初振动状态在各方向上传到的点的轨迹. 波前是最前面的波阵面
*
性质
添加标题
添加标题
添加标题
同一波阵面上各点振动状态相同.
纵波（又称疏密波）
例如：弹簧波、 声波
*
特点：质点的振动方向与波传播方向一致
纵波
*
3 复杂波
（本章研究对象）
特点：波源及介质中各点均作简谐振动
特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成
例如：地震波
简谐波
*
三 波长 波的周期和频率 波速
O
y
A
A
-
波传播方向上相邻两振动状态完全相同的质点间的距离（一完整波的长度）.
*
波动——振动的传播
波动的种类：
振动和波动的关系：
202X年12月20日
一 机械波的形成
能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）
2 介质
作机械振动的物体（声带、乐器等）
1 波源
波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.
机械波第二讲

机械波第二讲


差恒定的两列波
相遇时，使某些 地方振动始终加
强，而使另一些
地方振动始终减
弱的现象，称为
波的干涉现象.
波的干涉演示1
波的干涉之 模拟演示图
波的干涉演示2
波的干涉之 模拟演示图
s1 s2
r1
r2
波的相干条件
*
P
1）频率相同；
2）振动方向平行；
y 1 A1 cos( t 1 )
3）相位相同或相位差恒定.
振动始终减弱
其他
A1 - A 2 A A1 A 2
例1 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波 源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波 峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B 发出的两列波传到点P 时干涉的结果.
P 解 BP

15
y y( x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 的平衡位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐振动时，在介质中形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
1. 波函数（正向波和负向波）
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点x0 的初相 为 ,其振动方程 yO A cos t
I P S wu
2 2
udt
S
I
1 2
A u
例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等.
1 uS 1 2 uS
2
2
s2
s1
r1
r2
即
1 2 A1

大学物理课件波的基本概念

y(x,t)Aco2s([tx)]
y(x,t)Aco2 s[(xu)t] y (x ,t) A co k (x s u [)t]2/T
u/T
9
2(x x )
y (x x ,tt) A co ( t st) [
0 ]
A co t s2 [x 2 (u t x ) 0 ]
若这两处相位相同，则有：
u
y31 0 4co4st (x')
5
8米
5米 x
C
B
A
u
ox
y3104co4s(tx)米 ( ）
BC4 u (xCxB)
u
B点相位落后C点相位 4(13 5） 8
与坐标选取无关。
20
5
15
二、 波的能量，能流密度
•
媒质中单位体积中的能量
有一行波： yAc
os[(t
x)] u
质元的速度 yAsin[(tx)]
y (x ,t) A co k (x s u [) t0 ]
11
例题：
一条长线的质量线密度为 1.5102kg/m今用
一水平力 F6N将它张紧，并使其上产生横波 向左传播，在t =0的波形如图所示
A 4.0 1 2 0 m , 0.4m
求：振幅，波长，波速和波的周期
波函数及质元振动速度表达式
解：
波线 波面
波线
6.2 波的周期性和波速 一、 波长、波速和频率：
波面
波长——振动相位相同的两个相邻波 阵面之间的距离是一个波长。或振动 在一个周期中传播的距离，称为波长，
用表示。
4
显然，这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时， 相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它 分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒 质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上 限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播

大学物理 机械波及波的形式波长 波线及波面 波速


Y
O
P
x
X
平面简谐波函数的一般形式应为：
y A cos t ( x )
第七章 机械波
关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相(x)。
22
波动是振动 相位的传播
u
a
沿波的传播方向 , 各质元 的振动相位依次落后。
传播方向
b
L
x
沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的 振动相位差如何？ 图中b点比a点的相位落后
1 x一定，t 变化 令

x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第七章 机械波
28
波线上各点的简谐运动图
第七章 机械波
29
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
（本章研究对象）
第七章 机械波
10
结 论 (1) “ 上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (2) 质元并未“随波逐流”，波的传播不是媒 质质元的传播，是振动的传播。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于 “下游”某处出现，波动是振动状态 —— 振 动相位的传播。 同相点----质元的振动状态相同。
分类（1）平面波 （2）球面波
第七章 机械波
13
四 波长 周期和频率 波速
1 波速
u
波在介质中传播的速度 例如，声波在空气中 340 m s 1 水 中 1 500 m s 1

波长和波速

波长和波速波长和波速是物理学中两个重要的概念，它们在描述波动现象和传播速度方面起着关键作用。

本文将详细介绍波长和波速的定义、计算方法以及它们在不同领域的应用。

一、波长的定义和计算方法波长是指波动现象中相邻两个相位相同的点之间的距离。

在波动现象中，波长通常用λ表示，单位是米（m）。

波长的计算方法取决于波的性质和传播介质的性质。

1. 机械波的波长计算机械波是指需要介质传播的波动现象，如水波、声波等。

对于机械波，波长的计算方法如下：λ = v / f其中，λ表示波长，v表示波速，f表示频率。

波速是指波在介质中传播的速度，单位是米每秒（m/s）。

频率是指波动现象中单位时间内波动的次数，单位是赫兹（Hz）。

2. 电磁波的波长计算电磁波是指由电场和磁场相互作用而产生的波动现象，如光波、无线电波等。

对于电磁波，波长的计算方法如下：λ = c / f其中，λ表示波长，c表示光速，f表示频率。

光速是指光在真空中传播的速度，约为3.00×10^8米每秒（m/s）。

二、波速的定义和计算方法波速是指波在介质中传播的速度，它是波长和频率的乘积。

波速的计算方法也取决于波的性质和传播介质的性质。

1. 机械波的波速计算对于机械波，波速的计算方法如下：v = λ × f其中，v表示波速，λ表示波长，f表示频率。

2. 电磁波的波速计算对于电磁波，波速的计算方法如下：v = λ × f其中，v表示波速，λ表示波长，f表示频率。

三、波长和波速的应用波长和波速在物理学、工程学和其他领域中有着广泛的应用。

1. 物理学中的应用在物理学中，波长和波速被广泛应用于描述和研究各种波动现象，如声波、光波、电磁波等。

通过测量波长和波速，可以计算出波的频率和能量，从而深入理解波动现象的特性和行为。

2. 工程学中的应用在工程学中，波长和波速被应用于无线通信、声学工程、光学工程等领域。

通过控制波长和波速，可以实现信号传输、声音放大、光学成像等技术和应用。

大学物理 机械波


2
22 2
B点的初周相： B
xB u
3.5 2.5
22 2
AB B A 0.75
可见，A点比B点超前 0.75
【例7-5】 图(a)表示t＝0时刻的波形图；图(b)表示原点x=0处质元的 振动曲线，试求此波的波函数，并画出x＝2m处质元的振动曲线。
解 由(a)可以看出 =4m，由图(b)可以看出，每个质元振动的周期
式中，x，y以m计；t以s计。求：(1)该波的振幅、频率、波速与
波长；(2)距原点8.00m处的质点在t 105s时间间隔内的相位差;
(3)在波传播方向上相位差为 的两点间的距离。
3
解 (1)把波动方程改写成
y＝1.2×10
3
cos(
2
2
105
t
2
x
)
110
得波源的振幅A＝1.2×10m3，波的周期 T 2 10 5 (s)
Acos[2 ( t x ) ] T
讨论：
（1）若t是变量，而x取一定值（x x1），则
y Acos[t ( x1 )]
u
可见，y仅随t变化，表示 x1 处p点随不同时刻的振动 位相移落，后此o点时波xu动1 方程y 转x换为xp1点的振动方程。且初周
t
（y2）若Axc是o变s[量(，t1而t取一) 定值ux（] t t1 ），则
x 故，波线上任一点的振动方程，即波动方程为：
u y 4 cos[ (t x ) ]
u2
4 cos[ (t x) ]
22
（4）B点的振动方程，以 x 3.5cm 代入上式得：
yB
4 cos[ (t
3.5) 2
] 2
4 cos( t 2.5 )

大学物理机械波课件-PPT


2、t=t0为定值,y=y(x)
• 表示t0时刻波线上各质点离开各自平衡位置 得位移分布情况,称为该时刻得波形方程
• 对于横波,波形图就就是该时刻各质点在空 间得真实分布
• 对于纵波,波形图仅表示质点得位移分布
3、t与x都在变化
• 波动方程给出了各个质点在不同时刻得位
y 移,或者说包含了不同时刻得波形
结论:机械波传播得就是波 源得振动状态与能量
三、波线与波面
• 波传播到得空间——波场 • 波场中代表波传播方向得射线——波线 • 某时刻振动位相相同得点得轨迹——波面 • 最前方得波面——波前或波阵面 • 横波中,质元振动得轨迹与波线垂直,二者构
成得面——振动面或偏振面
波线
波线
平面波 球面波
波面
• P点t时刻得振动位移与原点 动位移相同
• P点振动方程为
时刻得振
沿x轴正向传播得平面简谐波得波函数
• 也就是x处质点得振ຫໍສະໝຸດ 方程沿x轴负向传播得平面简谐波得波函数
• 常用得波动表达式
(1)如图,已知 P 点得振动方程:
yP
A
y
cos( u
t
0
)
px Q x
O
x
求波动方程即波函数。
(2)如图,已知 P 点得振动方程:
平面简谐波——波面为平面得简谐波
？问题
• 如何用数学表达式描述一个前进中得波动？
• 如何描述各质点得振动位移y随平衡位置x与
t得变换规律
波函数
一、波函数得推导
• 平面简谐波沿x轴正方向传播 • 设原点得振动方程为
• 设平衡位置为x得P点在t时刻得振动位移为y • P点得振动落后于原点,晚了 • 也就就是原点得振动状态传到P点所需得时间 • P点在t时刻将重复原点在 时刻得振动状态
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第七章 机械波
6
第七章 机械波
7
二 横波与纵波 1 横波
特点： 波传播方向上各点的振动方 向与波传播方向垂直 (峰或谷的移动)
第七章 机械波
8
2 纵波（又称疏密波） 纵波
特点：质点的振动方向与波传播方向一致
(疏或密状态的移动)
第七章 机械波
9
3 复杂波 例如：地震波 特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成 简谐波 特点：波源及介质中各点均作简谐振动
右行波
这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程 P点在t时刻的位移等于原点处质点 在
第七章 机械波
时刻的位移
25
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以
p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第七章 机械波
26
波函数的几种常用形式
第七章 机械波
27
二
波函数的物理含义
2π
2 πx y A cos t
第七章 机械波
33
2）利用波函数研究质点的运动
任意 x 处质点的运动方程为：
该质点的速度和加速度分别为：
该质点的振动初相位为：
第七章 机械波
34
2、建立平面简谐波的波函数 已知质元的振动情况，确定波函数。 难点是确定坐标原点的初相 例3 已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、 周期T、波速u。t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向 位移的负方向运动。试求该波的波函数。 解 确定坐标原点的振动初相0 由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
Y A A/2
0 -A
u=100m/s
1
X(m)
由图知：t=0时，x=1m 处的质点位于平衡位置 处且向位移负方向运动
第七章 机械波
40
0
T /u 0.024s 2/T 250/3(rad/s)
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 250π x π A cos[ (t ) ](SI) 3 100 3
44
第七章 机械波
11
三、波面和波线
波面 在波传播过程中，振动相位相同的 点联结成的面。 波线 沿波的传播方向的直线。 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
波面
波线
波线
波线 波 面 球面波
第七章 机械波
波面
柱面波
12
性质
（1）同一波阵面上各点振动状态相同. （2）波阵面的推进即为波的传播. （3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.
平面简谐波的波函数
(2) 它广泛适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；
(3) 若物理量是在三维空间中以波 的形式传播，波动方程为
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z u t
复
习
第七章 机械波
43
作业
• 大作业： • 预习7.5波的干涉
第七章 机械波
第七章 机械波
37
例4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播.图 （a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0 t/s
t=5s时质点第一次回到平衡 位置所以
t=5 t 0.2 0.4 o y/m t=0
38
x=1m处质点的运动方程为
等幅平面简谐波 ：介质不吸收波动的能量，介质中
的质元都作振幅相等的简谐振动 波线
平面简谐波
第七章 机械波
波面
21
一、（等幅）平面简谐波的波函数
波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t) 右行波:沿x轴正向传播 介质中所有质点均作同频率、 左行波:沿x轴负向传播 同振动方向、同振幅的简谐振动。
y
o
第七章 机械波
x
30
3. t 与 x 都发生变化
y y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
波在t时刻x处的相位经t时间后传到x+x处， 传播的距离是u t, x ut
总之：当t, x都发生变化时，波函数就描述了波 的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.
第七章 机械波
31
三、有关波函数的应用
π , 2.4m, u 100(m/s) 3
第七章 机械波
41
四、平面波的波动微分方程
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 2 y x 2 A cos[ (t ) 0 ] 2 t u 2 y 1 2 y 2 2 2 2 2 y x x u t A 2 cos[ (t ) 0 ] 2 x u u 说明 2 y (1)上式适用于一切沿x方向传播平面波， 2 系数倒数的平 t 方根是传播速度；
3、波的叠加与干涉 为波动光学的干涉和衍射打下基础。
第七章 机械波
5
7.1 机械波的产生和传播 一 机械波的产生
1 波源
能够产生机械振动的任何物体。 由弹性力相互作用的连续介质。
2 弹性介质
注意
波源的振动通过弹性介质中的弹性力，在介质中 传播开去，从而形成机械波。波动是振动状态的 传播，是能量的传播，而不是质元的传播。
（本章研究对象）
第七章 机械波
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结 论 (1) “ 上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (2) 质元并未“随波逐流”，波的传播不是媒 质质元的传播，是振动的传播。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于 “下游”某处出现，波动是振动状态 —— 振 动相位的传播。 同相点----质元的振动状态相同。

T
u
单位时间内通过与波传播方向垂直的平面的 完整波形数。在数值上等于波源振动的频率。
1 T
第七章 机械波
17
u
四个物理量的联系
1 T
注意
u

T

u Tu
周期或频率只决定于波源的振动 波速主要决定于介质的性质
第七章 机械波
18
说明
(1) 波长反映了波的空间周期性。周期表征了波的时间周期性； (2) 波的频率 与媒质的性质无关； (3) 波速u 大小主要决定于媒质的性质。 a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为
Y
O
P
x
X
平面简谐波函数的一般形式应为：
y A cos t ( x )
第七章 机械波
关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相(x)。
22
波动是振动 相位的传播
u
a
沿波的传播方向 , 各质元 的振动相位依次落后。
传播方向
b
L
x
沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的 振动相位差如何？ 图中b点比a点的相位落后
分类（1）平面波 （2）球面波
第七章 机械波
13
四 波长 周期和频率 波速
1 波速
u
波在介质中传播的速度 例如，声波在空气中 340 m s 1 水 中 1 500 m s 1
1
钢铁中 5 000 m s
决定于介质的弹性（弹性模量）和惯 性（密度）
第七章 机械波
14
2 波长
a点的振动传到b点需时间：
在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量 又转过的角度）为：
第七章 机械波
23
沿波线上相距为一个波长的两点，振动的 相位差为2。
设原点振动表达式为：
第七章 机械波
24
为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知. P点与O点的相位差为：
P点的振动 初相位： 所以，p 点的振动方程为：
ut
T

——
Y ——
T —— 张力
线密度
b. 均匀细棒中，纵波的波速为：
ul
Y
固体棒的杨氏模量 固体棒的密度

——
c. 固体媒质中传播的横波速率
ut
G
G——
固体的切变弹性模量
固体密度

——
d. 液体和气体只能传播纵波，波速
ul
B
B ——
流体的容变弹性模量 流体的密度

——
1、已知波函数—即 均为已知.
1) 从波函数表达式中求: 利用比较法:将所给的波函数化为标准形 式,再与标准式比较,得到所求.
第七章 机械波
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例1
已知某一简谐波的波函数为：
求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相 解 将原式变形为标准形式： 立即可得： y( x , t )
x A cos[ ( t ) 0 ] u
e. 稀薄大气中的纵波波速为
ul
RT
M p —— 气 Nhomakorabea摩尔热容比
—— M R ——
气体摩尔质量 气体摩尔常数
7.2 平面简谐波
简谐波（harmonic waves): 波源的振动是简谐
振动，介质中的质元都作简谐振动。
平面简谐波（plane harmonic waves）
波面是平面的简谐波。
第七章 机械波
把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式
并与x=1.0m处的运动方程作比较，得 波动方程为
第七章 机械波
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例5 已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的 波形曲线如图所示。试求该波的波函数
解 确定坐标原点的 振动初相0
由图知：t=0时，x=0 处的质点位于A/2处 且向位移正方向运动
第七章 机械波
1
第第 十 章 七 章