(完整版)八年级数学《中心对称图形》知识点讲义

8年级下学期数学讲义05 ( 第九章中心对称图形)知识点：9.1 图形的旋转1.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

9.2 中心对称和中心对称图形2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

9.3 平行四边形3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。

4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

9.4 矩形、菱形、正方形5.矩形的四个角都是直角，对角线相等。

三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。

6.菱形的四条边相等，对角线互相垂直。

四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

7.有一组领边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。

9.5 三角形的中位线8.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

9.1 图形的旋转试题1．（2013•南昌）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．85°D．90°2．（2013•河池）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（）A．5对B．4对C．3对D．2对3．（2011•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（）A．45°B．30°C．25°D．15°4．（2009•漳州）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2008•庐阳区）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为___________．7．（2013•吉林）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___________度．8．（2008•厦门）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，则DE=___________cm，△ABC的面积=___________cm2．9．（2011•珠海）如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．10．（2006•三明）已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC上，将△BDC绕点D按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），使△BDC与△ADE重合（如图所示）．（1）求角α；（2）说明四边形EBCD是等腰梯形．9.2 中心对称和中心对称图形试题1．（2013•黔西南州）在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2013•抚顺）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2010•连云港）下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．①②B．②③C．②④D．①④4．把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组：①FRPJLG□②HIO□③NS□④BCKE□⑤VATYWU□，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z请你按原规律补上，其顺序依次为（）A．Q XZMD B．D MQZX C．Z XMDQ D．Q XZDM5．下列的正方体的平面展开图中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2011•曲靖）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距___________公里．7．（1997•安徽）如右图，线段AB关于点O（不在AB上）的对称线段是A′B′；线段A′B′关于点O′（不在A′B′上）的对称线段是A″B″．那么线段AB与线段A″B″的关系是___________．8．（2012•广陵区二模）如下图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是___________．9．（1）已知实数a，b满足a（a+1）-（a2+2b）=1，求a2-4ab+4b2-2a+4b的值．（2）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长？10．已知：如图所示，E是等腰梯形一腰CD的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：S梯形ABCD=AB•EF．9.3 平行四边形试题1．（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．A B∥DC，AD∥BC B．A B=DC，AD=BC C．A O=CO，BO=DO D．A B∥DC，AD=BC 2．（2013•乐山）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（）A．5B．7C．10 D．143．（2013•湖北）若平行四边形的一边长为2，面积为4根号6，则此边上的高介于（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间4．（2012•包头）如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．2S1=S25．（2009•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．12 D．246．（2012•眉山）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF=___________．7．（2011•天津）如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于___________．8．（2010•海南）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，∠BCD的平分线交AD于点E，则DE=___________cm．9．（2013•玉溪）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF=CE．10．2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．11．（2012•永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．9.4 矩形、菱形、正方形试题1．（2013•淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°2．（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．133．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相平分4．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12√3 D．16√35．（2012•西宁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（）A．45°B．120°C．60°D．90°6．（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___________．7．（2013•赤峰）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为___________cm．8．（2013•盐城）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．9．（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．10．．（2013•晋江市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．9.5 三角形的中位线试题1．（2013•西宁）如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为（）A．2B．4C．6D．82．（2013•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）A．9B．10.5 C．12 D．153．（2012•丹东）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm4．（2011•安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10 D．115．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．6．（2010•沈阳）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．7．（2008•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为AB、CD的中点．连接AF并延长，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADF≌△GCF；（2）若EF=7.5，BC=10，求AD的长．答案9.11，解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．2，解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．故选：B．3，解：由旋转的性质可知，AC=AC′，又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，∠CC′A=45°．∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，∴∠CC′B′=15°．故选D．4，解：根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，即∠AOC=80°，又∵∠A=110°，∠D=40°，∴∠DOC=30°，则∠α=∠AOC-∠DOC=50°．故选C．5，解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置∴∠BCB′=∠ACA′=20°∵AC⊥A′B′，∴∠BAC=∠A′=90°-20°=70°．故选C．6，解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．故答案为：1.6．7，解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=40°，在△ABB′中，∠ABB′=1/2（180°-∠BAB′）=1/2（180°-40°）=70°，∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB，∴∠BB′C′=90°-∠ABB′=90°-70°=20°．故答案为：20．8，解：∵点G是△ABC的重心，∴DE=GD=1/2GC=2，CD=3GD=6，∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE，∵CD为△ABC的中线，∴S△ACD=S△BCD，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2×1/2×BG×CD=18cm2．填：2，18．9，（1）解：∵∠ABC=120°，∴∠CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，∴旋转角为60°；（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB，∠C=∠C1，由（1）知，∠ABA1=60°，∴△A1AB是等边三角形，∴∠BAA1=60°，∴∠BAA1=∠CBC1，∴AA1∥BC，∴∠A1AC=∠C，∴∠A1AC=∠C1．10，解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵△BDC与△ADE重合，∴∠DBC=∠A=36°，∠AED=∠C=72°，∴∠ADE=∠BDC=180°-（72°+36°）=72°，∴α=180°-∠BDC=180°-72°=108°．（2）由（1）∠ADE=∠C=72°，∴DE∥BC，又BE与CD不平行，∴四边形EBCD是梯形，∵∠ABC=∠C=72°，∴四边形EBCD是等腰梯形．9.21，解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．故选：B．2，解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选A．3，解：由正多边形的对称性知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．4，解：①不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q；（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．故选D．5，解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形；D、不是中心对称图形，是轴对称图形．故选A．6，解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里．故答案为：4．7，解：中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是：平行且相等．故线段AB与线段A″B″的关系是：平行且相等．故答案为：平行且相等．8，解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为3．9，解：（1）∵a（a+1）-（a2+2b）=1，∴等式变形得：a-2b=1；原式=（a-2b）2-2（a-2b）=12-2=-1；（2）设AC=x，AB=2x，BB′=4x，在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2，∴（2x）2=x2+12，解得：x=±√3/3（负数舍去），∴AB=2×√3/3=2√3/3，∴BB′=4√3/3．10，证明：如图，连接AE交BC的延长线于G点，连接BE，∵AD∥CG，∴∠D=∠ECG，在△ADE和△GCE中∠D=∠ECG；DE=EC；∠DEA=∠CEG∴△ADE≌△GCE（ASA），∴AE=GE，∴可得：S△ABG=S梯形ABCD=2S△ABE=AB×FE．9.31，解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；故选D．2，解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥=AB，AD∥=BC，∵E为CD的中点，∴DE为△FAB的中位线，∴AD=DF，DE=1/2AB，∵DF=3，DE=2，∴AD=3，AB=4，∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．故选D．3，解：根据四边形的面积公式可得：此边上的高=4√6÷2=2√6，2√6介于4与5之间，则则此边上的高介于4与5之间；故选B．4，解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中；AD=BC，AB=CD，BD=DB∴△ABD≌△CDB，即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．故选C．5，解：通过观察结合平行四边形性质得：S阴影=1/2×6×4=12．故选C．6，解：如图，∵AE平分∠DAB，∴∠1=∠2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2=∠3，∠1=∠F，又∵∠3=∠4（对顶角相等），∴∠1=∠3，∠4=∠F，∴AD=DE，CE=CF，∵AB=5，AD=3，∴CE=DC-DE=AB-AD=5-3=2，∴CF=2．故答案为：2．7，解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为15．8，解：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，DC=AB，∴∠DEC=∠BCE，又CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∴∠DCE=∠DEC，即DE=DC=AB=6cm，故此题应填6．9，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE=CF．∴四边形AECF是平行四边形．∴AF=CE．10，（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵在△ADE与△BFE中，∠1=∠2，∠DEA=∠FEB，AE=BE∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF．11，证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠C，∵GF=GC，∴∠GFC=∠C，∴∠GFC=∠B，∴AB∥GF，又∵AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形．9.41，解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选B．2，解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=1/2BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=1/2AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．3，解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．4，解：如图，连接BE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°，∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°-60°=60°，在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2√3，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2√3×8=16√3．故选D．5，解：将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，即∠AOB是旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO=∠ABO=45°，∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，即旋转角是90°，故选D．6，解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE=√62+82=10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．7，解：设AB=x，则可得BC=10-x，∵E是BC的中点，∴BE=1/2BC=10−x/2，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（10−x/2）2=52，解得：x=4．即AB的长为4cm．故答案为：4．8，证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠EAD；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB，∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴AB=AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．9，证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，在△BCF和△CDE中，∠BCF=∠D，∠CBE=∠BFC=90°，BC=CD，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．10，证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵在△ABF和△CBE中，AF=CE，∠A=∠C，AB=CB，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF=BE．9.51，选A．2，解：∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=1/2（AD+BC），∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选C．3，解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO，又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=1/2AB=1/2×6=3cm．故选A．4，解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC=√BD2+CD2=5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=1/2BC=EF，EH=FG=1/2AD，∵AD=6，∴EF=HG=2.5，EH=GF=3，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．故选D．5，（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2√3，∴菱形的面积为4×2√3=8√3．6，证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点∴AE=1/2AB，AF=1/2AD （2分），又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴AE=AF （4分），又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴O为BD的中点，∴OE，OF是△ABD的中位线．（6分）∴OE∥AD，OF∥AB，∴四边形AEOF是平行四边形（8分），∵AE=AF，∴四边形AEOF是菱形．7，（1）证明：∵AD∥BC，（AD∥BG）∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．（2分）∵DF=CF，∴△ADF≌△GCF．（4分）（2）解法一：由（1）得△ADF≌△GCF，∴AF=FG，AD=CG．（5分）∵AE=BE，∴EF为△ABG的中位线．∴EF=1/2BG．（6分）∴BG=2×7.5=15．（7分）∴AD=CG=BG-BC=15-10=5．（8分）。

初二数学讲义第三讲 旋转对称图形与中心对称图形一、主要知识点1．把—个图形绕旋转中心旋转一定(小于周角)角度后，所得图形能够与自身重合，这种图形称为旋转对称图形。

2．中心对称图形是绕某一中心点旋转180°后能与自身重合的旋转对称图形，这个中心点叫做对称中心；3．中心对称图形是旋转对称图形的特例。

4．中心对称的特征：如果两个图形成中心对称，那么对称中心在对应点的连线上且平分这条线段．两个图形的对应角相等，对应线段平行且相等，两个图形的形状和大小都一样。

5．中心对称与中心对称图形：中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。

区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形。

(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看成—个整体，则成为中心对称图形。

6．常见的中心对称图形有：①线段；②相交直线；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。

既是轴对称图形，又是中心对称图形的有：①线段；②相交直线；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。

二、例题与练习例1．下列旋转对称图形中绕哪一个点旋转多少度与自身重合？答：例2．如图所示，该图按顺时针绕旋转中心旋转，可与自身重合的度数是 （ ） （A ）60°； （B ）180°； （C ）120°； （D ）320°。

答：（1）（3） （4） （5）例3．如图，△ABC 为等边三角形，D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置。

（1）旋转中心是点 ；（2）旋转角度是 ；（3）△ADE 是 三角形。

例4、如图，已知△ABC 和点O ，画出△A ’B ’C ’，使△A ’B ’C ’和△ABC 关于点O 成中心对称。

解：（1）连结 并延长 到 ，使 = ，于是得到点 的对称点 ；（2）同样画出点 和点 的对称点 和 ； （3）顺次连结 、 、 。

第三章 中心对称图形（二） 基础知识复习讲义【知识点 7】 矩形的定义：矩形的性质：（符号表示）矩形的判定：〖基础回顾〗1、下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直平分 C.对角线相等 D. .对角线互相平分且相等2、有下列说法:①四个角都相等的四边形是矩形.②两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形. ③对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形④一组对边平行,另一组对边相等并且有一个角是直角的四边形是矩形. 其中正确是3、如图,在△ABC 中,点D 在AB 上,且AD=CD=BD,DE 、DF 分别是∠BDC 、∠ADC 的平分线.四边形FDEC 是什么图形,并证明.【知识点 8】 菱形的定义：菱形的性质：（符号表示）菱形的判定：〖基础回顾〗1、在菱形ABCD 中，AB=2，∠B=60°，则AC= ，BD= ，S 菱形ABCD =.ABCDDABCDOACDAE2、如图２，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．153、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对 角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于 （ ） A 、80° B 、70° C 、65° D 、60°【知识点 9】 正方形的定义：正方形的性质：正方形的判定：〖基础回顾〗1. 正方形具有而菱形不一定具备的性质是（ ）A. 对角线平分每组对角B. 对角线互相垂直C.四边相等D. 四个角相等 2．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE=AC ，求∠E 的度数.3、如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE=AC ，求∠BCE 的度数.【知识点 10】内接中点四边形的形状与 有关。

知识点总结一、轴对称与轴对称图形:1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.注意：对称轴是直线而不是线段3。

轴对称的性质：(1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；(4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4。

线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.5。

角的平分线：(1）定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2）性质:①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意:根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

6。

等腰三角形的性质与判定：性质:(1)对称性:等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；(2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除三线合一外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如:①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.判定定理：如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边)。

中心对称图形1、中心对称：如果把一个图形绕一个点旋转180°后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这点成中心对称。

2、中心对称图形：把一个图形绕一个点旋转180°后能够与自身完全重合，那么这个图形是中心对称图形。

3、中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等的。

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

4、真命题：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称。

5、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

6、平行四边形性质：①平行四边形的对角相等。

②平行四边形的对边相等。

③平行四边形的对角线互相平分。

7、平行四边形判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

②对角线互相平分的四边形是平行四边形。

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

④真命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

⑤真命题：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

注意：假命题．．．：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。

（×）8、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。

9、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角。

②矩形的对角线相等。

10、矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形。

②对角线相等的平行四边形是矩形。

11、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。

12、菱形的性质：①菱形的四条边都相等。

②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

13、菱形面积等于对角线乘积的一半。

推而广之：（真命题）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半。

14、菱形的判定：①四边都相等的四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③真命题：一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。

15、正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形。

16、正方形性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

中心对称及中心对称图形专题讲义一、基本概念:1.图形的旋转：⑴。

定义：在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形变换称为图形的旋转.这个定点称为旋转中心。

旋转的角度称为旋转角。

如果图形上的点P经过旋转变为P＇,那么这两点叫做这个旋转的对应点。

2。

性质：由实验还可得出如下结论:①.旋转前、后的图形全等。

②。

对应点到旋转中心的距离相等.③。

每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。

例1.已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形。

3. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

关于中心对称的两个图形是全等形.4。

中心对称的性质:有一个对称中心点；成中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；中心对称的两个图形具有（一般地)旋转的一切性质。

5。

中心对称图形：平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点就是它的对称中心。

6。

中心对称图形:中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

7.中心对称与中心对称图形之间的关系：区别:(1)中心对称是指两个图形的关系,中心对称图形是指具有某种性质的图形.（2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系:若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体,则成为中心对称图形.8.轴对称图形与中心对称图形：9。

轴对称与中心对称：【中心对称和中心对称图形基础练习】1．判断题（1）三角形一定不是中心对称图形（）（2)中心对称图形的对称中心是唯一的（）（3)如果一个四边形是中心对称图形,那么这个四边形一定是平行四边形（）(4）一个四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，则这个四边形一定是矩形(）（5）如果关于中心对称的两个图形只有一个交点，那么这个点一定是对称中心（）2．选择题（1)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A．角B．等边三角形C．线段D．平行四边形（2）下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是(）．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形(3)已知下列命题：①关于中心对称的两个图形一定不全等②关于中心对称的两个图形是全等形③两个全等的图形一定关于中心对称其中真命题的个数是（)．A．0B．1C．2D．3（4）下列图形中，不是中心对称图形的是()．A．菱形B．矩形C．五角星D．线段(5）下列图形中，一定是轴对称图形,且一定不是中心对称图形的是（）．A．角B．射线C．三角形D．矩形3．如图4-81，矩形ABCD是一块木板，请画图找出它的对称中心O．图4-814．已知:四边形ABCD关于O点成中心对称，求证：四边形ABCD是平行四边形．5．按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．【针对性训练】1。