三次函数与四次函数

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大连市红旗高中

王金泽 wjz9589＠

在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用

第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况

三 次 函 数 图 象 说 明

a对图象

的影响

可以根据极限的思想去分析

当a＞0时，在x+∞右向上

伸展，x-∞左向下伸展。

当a＜0时，在x+∞右向下

伸展，x-∞左向上伸展。

(可以联系二次函数a对开口的影响去联想三次函数右侧伸展情况)

与x轴有三个交点

若032acb,且0)()(21xfxf，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点

与x轴有二个交点

若032acb,且0)()(21xfxf，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点

与x轴有一个交点

1。存在极值时即032acb,且0)()(21xfxf，既两个极值同号，图象与x轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。 资源共享 交流学习

更上一层楼 QQ522286788 1.()0fx根的个数

三次函数dcxbxaxxf23)(

导函数为二次函数:)0(23)(2/acbxaxxf，

二次函数的判别式化简为：△=)3(412422acbacb，

(1) 若032acb，则0)(xf恰有一个实根；

(2) 若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf恰有一个实根；

(3) 若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf有两个不相等的实根；

(4) 若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf有三个不相等的实根.

说明(1)(2)0)(xf含有一个实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴只相交一次，即)(xf在R上为单调函数（或两极值同号），所以032acb（或032acb，且0)()(21xfxf）.

(3)0)(xf有两个相异实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032acb，且0)()(21xfxf.

(4)0)(xf有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴有三个公共点，即)(xf有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032acb且0)()(21xfxf.

2.极值情况：

三次函数dcxbxaxxf23)(（a＞0）,

导函数为二次函数)0(23)(2/acbxaxxf，

二次函数的判别式化简为：△=)3(412422acbacb，

(1) 若032acb，则)(xf在),(上为增函数；

(2) 若032acb，则)(xf在),(1x和),(2x上为增函数，)(xf在),(21xx上为减函数，其中aacbbxaacbbx33,332221.

证明：cbxaxxf23)('2, △=)3(412422acbacb， 资源共享

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当0

即032acb时，0)('xf在

R上恒成立，

即)(xf在),(为增函数.

(2)

当0

即032acb时，解方程0)('xf，得

aacbbxaacbbx33,332221

由0)('xf得1xx或2xx，)(xf在),(1x和),(2x上为增函数.

由0)('xf得21xxx，)(xf在),(21xx上为减函数.

总结以上得到结论:

三次函数)0()(23adcxbxaxxf,

(1) 若032acb，则)(xf在R上无极值；

(2)

若032acb，则)(xf在R上有两个极值；且)(xf在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值.

由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。

【例题1】：（2005全国二卷）设a为实数，函数32()fxxxxa．

（Ⅰ）求()fx的极值；

（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线()yfx与x轴仅有一个交点．

解：（I）fxxx'()3212 若fx'()0，则x131，

当x变化时，)(),('xfxf变化情况如下表：

x ()，13 13 ()131， 1 ()1，

fx'() ＋ 0 － 0 ＋

fx()  极大值  极小值 

所以f(x)的极大值是af275)31(，极小值是fa()11

（II）函数fxxxxaxxa()()()322111

由此可知x取足够大的正数时，有fx()0，x取足够小的负数时有fx()0，所以曲线yfx()与x轴至少有一个交点。结合f(x)的单调性可知：

当f(x)的极大值5270a，即a()，527时，它的极小值也小于0，因此曲线yfx()与x轴仅有一个交点，它在()1，上； 资源共享

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当f(x)的极小值a10，即a()1，时，它的极大值也大于0，因此曲线yfx()与x轴仅有一个交点，它在()，13上

所以当a()()，，5271时，曲线yfx()与x轴仅有一个交点。

（也可以直接用1()(1)03ff，）

[变式训练]：a为何值时f（x）的图象与直线y=1恰有一个交点

分析：令

极大值1275)31(af，或极小值11)1(af

第二部分：在四次函数中的应用

由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题

【例题2】(2008湖南文) 已知函数43219()42fxxxxcx有三个极值点。

（I）证明：275c；

（II）若存在实数c，使函数)(xf在区间,2aa上单调递减，求a的取值范围。

解：（I）因为函数43219()42fxxxxcx有三个极值点,

所以32()390fxxxxc有三个互异的实根.

设32()39,gxxxxc则2()3693(3)(1),gxxxxx

当3x时，()0,gx ()gx在(,3)上为增函数;

当31x时，()0,gx ()gx在(3,1)上为减函数;

当1x时，()0,gx ()gx在(1,)上为增函数;

所以函数()gx在3x时取极大值,在1x时取极小值.

因为()0gx有三个不同实根, 所以(3)0g且(1)0g.

即2727270c,且1390c,

解得27,c且5,c故275c.

（II）由（I）的证明可知，当275c时, ()fx有三个极值点.

不妨设为123xxx，，（123xxx），则123()()()().fxxxxxxx

所以()fx的单调递减区间是1(]x，,23[,]xx

若)(xf在区间,2aa上单调递减，

则,2aa1(]x，, 或,2aa23[,]xx,

若,2aa1(]x，,则12ax.由（I）知，13x,于是5.a

若,2aa23[,]xx,则2ax且32ax.由（I）知，231.x

又32()39,fxxxxc当27c时，2()(3)(3)fxxx;

当5c时，2()(5)(1)fxxx.

因此, 当275c时，313.x所以3,a且23.a

即31.a故5,a或31.a反之, 当5,a或31a时， 资源共享 交流学习

更上一层楼 QQ522286788 总可找到(27,5),c使函数)(xf在区间,2aa上单调递减.

综上所述, a的取值范围是(5)(3,1)，.

总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。可以归结为三次函数图象与x轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决

【例题3】(2008江西文)已知函数4322411()(0)43fxxaxaxaa

（1）求函数()yfx的单调区间；

（2）若函数()yfx的图像与直线1y恰有两个交点，求a的取值范围．

解：（1）因为322()2(2)()fxxaxaxxxaxa

令()0fx得1232,0,xaxxa

由0a时，()fx在()0fx根的左右的符号如下表所示

x (,2)a 2a (2,0)a 0 (0,)a a (,)a

()fx  0  0  0 

()fx  极小值  极大值  极小值 

所以()fx的递增区间为(2,0)(,)aa与

()fx的递减区间为(2)(0)aa，与，

（2）由（1）得到

45()(2)3fxfaa极小值，

47()()12fxfaa极小值

4()(0)fxfa极大值

要使()fx的图像与直线1y恰有两个交点，只要44571312aa或41a，

即4127a或01a.

只要我们掌握了三次函数的这些性质，在高考中无论是主观题还是客观题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。四次函数问题,应该先求导，转化为三次函数问题，一般通过极值等手段解决，这些对大家来讲都是很容易的。