三次函数与导数

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考题全解密之试题调研篇(内部资料)

1 高考真题360全解密

考点十四 导数与三次函数问题

[真题1] （2009年安徽卷）设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是（ ）

[命题探究] 考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断，

直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、图像的观察等等，不仅需要

扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。

[知识链接]

1.三次函数32()(0)fxaxbxcxda图象

a>0 a<0

>0 0 >0 0

图

象

2．函数32()(0)fxaxbxcxda单调性、极值点个数情况。'()fx=232axbxc，

记=224124(3)bacbac，（其中x1,x2是方程'()fx=0的根，且x1

a>0 a<0

>0 0 >0 0

单

调

性 在12(,),(,)xx上,是增函数；

在12(,)xx上,是减函数； 在R上是增函数

在12(,)xx上，是增函数；

在12(,),(,)xx上，是减函数； 在R上是减函数

极值点个数 2 0 2 0

《规范解答》

x x1 x2 x0 x x1 x2 x x0 x 把握考情 优化复习

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2 [真题2]（2010江西卷）设函数32()63(2)2fxxaxax.

（1）若()fx的两个极值点为12,xx，且121xx，求实数a的值；

（2）是否存在实数a，使得()fx是(,)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明

理由.

.[命题探究] 三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围.破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数要的分布求解,或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。

《规范解答》

[考题再现]（06福建文21）已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区

间1,4上的最大值是12。

（I）求()fx的解析式；（II）是否存在自然数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有

且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

《规范解答》

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3 [抢分秘题]

1．已知函数),,()(23为常数dcbdcxbxxxf，当(,0)(5,)k时，0)(kxf只有一个实数根；当(0,5),()0kfxk时有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数)(xf有2个极值点； ②函数()fx有3个极值点；③方程()5fx的根小于()0fx的任意实根； ④()0fx和()0fx有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ ）。

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2010北京卷）

设定函数32()(0)3afxxbxcxda，且方程'()90fxx的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()yfx过原点时，求()fx的解析式；

（Ⅱ）若()fx在(,)无极值点，求a的取值范围。

3．（2009江西卷）设函数329()62fxxxxa．

（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值；

（2）若方程()0fx有且仅有一个实根，求a的取值范围．

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4 4．已知函数32()1fxxaxx，aR．

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．

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5 参考答案:

[解析]/()(32)yxaxab，由/0y得2,3abxax，∴当xa时，y取极大值0，当23abx时y取极小值且极小值为负。故选C。

或当xb时0y，当xb时，0y选C

[解析]2()186(2)2fxxaxa

（1）由已知有12()()0fxfx，从而122118axx，所以9a；

（2）由2236(2)418236(4)0aaa，

所以不存在实数a，使得()fx是R上的单调函数.

[解析]本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。

（I）解：()fx是二次函数，且()0fx的解集是(0,5),

可设()(5)(0).fxaxxa()fx在区间1,4上的最大值是(1)6.fa

由已知，得612,a

22,()2(5)210().afxxxxxxR

（II）方程37()0fxx等价于方程32210370.xx

设32()21037,hxxx

则2'()6202(310).hxxxxx

当10(0,)3x时，'()0,()hxhx是减函数；

当10(,)3x时，'()0,()hxhx是增函数。

101(3)10,()0,(4)50,327hhh

方程()0hx在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)内没有实数把握考情 优化复习

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6 根，所以存在惟一的自然数3,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不同的实数根。

1.C

2

3．解：(1) '2()3963(1)(2)fxxxxx,

因为(,)x,'()fxm, 即 239(6)0xxm恒成立,

所以 8112(6)0m, 得34m，即m的最大值为34

(2) 因为 当1x时, '()0fx;当12x时, '()0fx;当2x时, '()0fx; 把握考情 优化复习

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7 所以 当1x时,()fx取极大值 5(1)2fa;wwwk5uom

当2x时,()fx取极小值 (2)2fa;

故当(2)0f 或(1)0f时, 方程()0fx仅有一个实根. 解得 2a或52a.

4．解：（1）32()1fxxaxx求导：2()321fxxax

当23a≤时，0≤，()0fx≥，()fx在R上递增

当23a，()0fx求得两根为233aax

即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，

233aa，递增

（2）2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥