人教版高中数学必修五课时作业2：1.2 应用举例(一)
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人教版高中数学必修五
1 1.2 应用举例(一)
一、基础达标
1．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是
( )
A．103
n mile
B.1063
n mile
C．52 n mile D．56 n mile
答案 D
解析 由题意知，在△ABC中AB＝10，A＝60°，B＝75°，则C＝180°－A－B＝45°.
由正弦定理，得BC＝ABsin Asin C＝10sin 60°sin 45°＝56(n mile)．
2．甲骑电动自行车以 24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是
( )
A．6 B．33 C. 32 D．3
答案 C
解析 由题意知，AB＝24×14＝6 km，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，得BS＝ABsin ∠BASsin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝32.
3．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．
人教版高中数学必修五
2 答案 60 m
解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.
∴AC＝AB＝120 (m)．
如图，作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
由正弦定理得ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，
∴120sin 90°＝CDsin 30°，∴CD＝60(m)∴河的宽度为60 m.
4．如图，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
解 在△ABS中，AB＝32.2×0.5＝16.1 n mile，∠ABS＝115° ，
根据正弦定理，ASsin∠ABS＝ABsin65°－20°，
AS＝AB×sin ∠ABSsin65°－20°＝AB×sin∠ABS×2 人教版高中数学必修五
3 ＝16.1×sin 115°×2，
S到直线AB的距离是d＝AS×sin 20°＝16.1×sin 115°×2×sin
20°≈7.06(cm)．由于7.06＞6.5，所以这艘船可以继续沿正北方向航行．
5．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
解 如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，
∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝3 (km)．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝3sin 75°sin 60°＝6＋22 (km)．
△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝(3)2＋6＋222－23×6＋22×cos 75°
＝3＋2＋3－3＝5，
∴AB＝5 (km)．∴A、B之间的距离为5 km.
二、能力提升
6．一架飞机从A地飞到B地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km远了多少？ 人教版高中数学必修五
4
解 在△ABC中，AB＝700 km，∠ACB＝180°－21°－35°＝124°，
根据正弦定理，700sin 124°＝ACsin 35°＝BCsin 21°，
AC＝700·sin 35°sin 124°，BC＝700·sin 21°sin 124°，
AC＋BC＝700·sin 35°sin 124°＋700·sin 21°sin 124 °≈786.89(km)，
786．89－700＝86.89.
答 所以路程比原来远了约86.89 km.
7．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解 由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，
由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝2331，则sin2C＝1－ cos2C＝432312， sin
C＝12331，所以sin∠MAC＝sin(120°－C)＝sin120°cos C－cos120°sin C＝35362. 人教版高中数学必修五
5 在△MAC中，由正弦定理，得MC＝ACsin
∠MACsin ∠AMC＝3132×35362＝35.从而有MB＝ MC－BC＝15.
答 汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站．
三、探究与创新
8．如右图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km到达D，看到A在他的北偏东45°方向，B在其的北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．
解 依题意得，DC＝30，
∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，
∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.
在△BDC中，由正弦定理可得，
BC＝DCsin
∠BDCsin DBC＝30·sin 30°sin 120°＝10，
在△ADC中，由正弦定理可得，AC＝DCsin ∠ADCsin ∠DAC＝30·sin 60 °sin 45°＝35，
在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB＝5.
答 这两座建筑物之间的距离为5 km.
