高中数学 3.2.1直线的方向向量与平面的法向量教案 新人教版选修1-1

高中数学《3.2立体几何中的向量方法》教案新人教A版选修2-1

3.2 立体几何中的向量方法空间距离

利用向量方法求解空间距离问题， 能够回避此类问题中大批的作图、 证明等步骤， 而

转变为向量间的计算问题．

例１如图， 已知正方形 ABCD的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD的中点， GC⊥平面 ABCD，

且 GC＝ 2，求点 B 到平面 EFG的距离．

剖析：由题设可知 CG、 CB、 CD两两相互垂直，能够由此成立空间直角坐标系．用向

量法求解，就是求出过 B 且垂直于平面 EFG的向量，它的长即为点 B到平面 EFG的距离．

解：如图，设 CD 4i ， CB 4j ， CG 2k，以 i 、 j 、k 为坐标向量成立空间直

角坐标系 C－ xyz ．

由题设 C(0,0,0) ，A(4,4,0) ，B(0,4,0) ，D(4,0,0) ，

E(2,4,0) ，F(4,2,0) ， G(0,0,2) ．

uuur uuur (4, 2,0) ， ∴ BE (2,0,0) ， BF

uuuur (0, 4, 2) uuur (2, 4, 2) ，

BG ， GE

uuur

(2, 2,0)

EF ．

设 BM 平面 EFG，M为垂足，则 M、 G、E、F 四点

共 面 ， 由 共 面 向 量 定 理 知 ， 存 在 实 数 a 、 b 、 c ， 使 得 uuuur uuur uuur uuuur

(a b c 1) ， BM aBE bBF cBG

uuuur

a(2,0,0) b(4, 2,0) c(0, 4,2) ＝ (2 a+4b, － 2b－ 4c,2 c) ． ∴ BM

由 BM 平面 EFG，得 BM GE， BM EF ，于是

精品文档 用心整理

资料来源于网络 仅供免费交流使用 直线的方向向量与平面的法向量

： ：

【学习目标】

1. 理解直线的方向向量与平面的法向量，并会求直线的方向向量、平面的法向量；

2. 掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；

3. 掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题.

【要点梳理】

要点一：直线的方向向量

若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量。

要点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。

要点二：平面的法向量

1.平面的法向量定义：

已知平面，直线l，取l的方向向量a，有a，则称为a为平面的法向量。

要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。

2.平面的法向量确定通常有两种方法：

（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

（i）设出平面的法向量为n=xyz，，； 精品文档 用心整理

资料来源于网络 仅供免费交流使用 （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a111abc，，，b222abc，，；

（iii）根据法向量的定义建立关于xyz，，的方程0,0.nanb

（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．

要点三：三垂线定理

1.三垂线定理

描述：

例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法

一、学习任务

1.

理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．

2.

能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．

3.

能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和

垂直关系．

4.

能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．

二、知识清单

异面直线所成的角 线面角 二面角

三、知识讲解

1.异面直线所成的角

设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线

所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a,bOa,b,a′b′,a′

b′

a,ba,b

如图，在正方体 中，求：

（1）异面直线 与 所成的角；

（2） 与 所成的角．

解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所

成角为 ．

（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为

与 所成的角．

又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为

，即 与 所成的角为 ．ABCD−A

1B

1C

1D

1

ABA

1D

1

AD

1DC

1

∥ABA

1B

1⊥A

1D

1A

1B

1⊥ABA

1D

1ABA

1D

1

90∘

AB

1B

1D

1A∥DB

1C

1AB

1AD

1

DC

1AD

1

A=A=D

1B

1B

1D

1△AB

1

D

1AD

1AB

1

60∘

AD

1DC

160∘

描述：

例题：2.线面角

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平

面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足

和斜足

的直线

叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条

直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则称直线和平面所成的角是；一条直线和

平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是．A

1 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)

2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点)

3．平面法向量的设法．(易错点)

[基础²初探]

教材整理1 直线的方向向量

阅读教材P99上半部分，完成下列问题．

我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．

已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.

【解析】 AB→＝(－1,0,1)，由题意知，a∥AB→，则存在实数λ，使a＝λAB→，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即 2＝－λ，x＝λ，∴λ＝－2，x＝－2.

【答案】 －2

教材整理2 平面的法向量

阅读教材P99中间部分，完成下列问题．

如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．

1．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝________.

【解析】 易知a²n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1. 2 【答案】 1

2．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________.

【导学号：09390079】

【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，

则 n²AB→＝z＝0，n²AC→＝－x＋y＋z＝0，

令x＝1，则y＝1，z＝0，

即n＝(1,1,0)，

则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．

【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)

[质疑²手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

直线的方向向量及其应用

(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.