第２１卷
Ｖｌ０１．２ｌ 第３期
Ｎｏ．３ 重庆工学院学
Ｊｏｕｒｎａｌ ０ｆ Ｃｈｏｎｇｑ￣Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｉ 报（自然科学版）
０ （ ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） ２０ｃｒ７年３月
Ｍａｒ．２００ｒ７
【机械与材料】
基于Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法神经网络求解弹塑性
力学有限元问题。
李海滨，王 亮，尚凡华，段志信
（内蒙古工业大学理学院，呼和浩特０１００５１）
摘要：根据人工神经网络的基本优化机理，研究了基于Ｌ丑ｇｒａＩ 乘子法神经网络求解弹塑性力学
有限元问题．该神经网络对弹塑性力学有限元问题模型的不等式约束直接进行处理，无需添加松
弛变量，降低了网络模拟和硬件实现的复杂程度．还分析了该神经网络的收敛性和稳定性．最后
对一个简单弹塑性问题进行了数值仿真，计算结果表明了该神经网络求解弹塑性力学有限元问
题的可行性． 关键词：神经网络；弹塑性；有限元法；Ｉａｇｒａｎｇｅ乘子
中图分类号：０３４４．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—０９２４（２Ｏ０ｒ７）０３—００１６一ｏ４
Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｅ Ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ
Ｅｌａｓｔｏ．Ｐｌａｓｔｉｃ Ｍｅｃｈａｎｉｃ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ
ＬＩ Ｈａｉ－ｂｉｎ，ＷＡＮＧ Ｈａｎｇ，ＳＨＡＮＧ Ｆａｎ－ｈｕａ，ＤＵＡＮ Ｚｈｉ－ｘｉｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｏｈｈｏｔ０１００５１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ，ｔｈｅ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄ—
ｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌ ｒａｎ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｅｌａｓｔ￣ｐｌａｓｔｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｄｅｍｅｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，Ｉｔ ｉｓ ｎｏ
1试根据下标记号法和求和约定展开下列各式（式中i、j = x、y、z）：
① ijij ； ② jix；
2在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：x= 0，y= 0，z= 0，xy= 0，yz=3a，zx=4a，知0a。试求：
1 该点应力状态的主应力1、2和3；2 主应力1的主方向；3主方向彼此正交；
解：由式（2—19）知，各应力不变量为
、，
代入式（2—18）得：
也即 （1）
因式分解得：
（2）则求得三个主应力分别为。
设主应力与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为
、 、 。
将 及已知条件代入式（2—13）得：
（3）
由式（3）前两式分别得：
（4）
将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（2—15）得：
则知
； （5）
同理可求得主应力的方向余弦、、和主应力 的方向余弦、、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：
主方向为： ；（6）
主方向为： ；（7）
主方向为： ； （8）
若取主方向的一组方向余弦为 ，主方向的一组方向余弦为
，则由空间两直线垂直的条件知：
（9）
由此证得 主方向与主方向彼此正交。同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。
3一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力q，在柱体顶面作用均布压力p。试选取：
3232()yAxBxCxDxEx
做应力函数。式中A、B、C、D、E为待定常数。试求：
（1）上述式是否能做应力函数；
（2）若可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。
（3）写出应力分量表达式。（不计柱体的体力）
解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：
弹塑性⼒学
应⼒应变关系
应⼒应变都是物体受到外界载荷产⽣的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产⽣互相之间的⼒的作⽤，由于受到⼒的作⽤就会产⽣相应的变形；或者由于变形引起相应的⼒的作⽤。则⼀定材料的物体其产⽣的应⼒和应变也必然存在⼀定的关系。
在⼒学上由于平衡⽅程仅建⽴了⼒学参数（应⼒分量与外⼒分量）之间的关系，⽽⼏何⽅程也仅建⽴了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡⽅程与⼏何⽅程是两类完全相互独⽴的⽅程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应⼒和应变之间的关系。有了可变形材料应⼒和应变之间关系和⼒学参数及运动学参数即可分析具体的⼒学问题。由平衡⽅程和⼏何⽅程加上⼀组反映材料应⼒和应变之间关系的⽅程就可求解具体的⼒学问题。这样的⼀组⽅程即所谓的本构⽅程。讨论应⼒和应变之间的关系即可变为⼀定的材料建⽴合适的本构⽅程。
⼀．典型应⼒-应变关系
图1-1 典型应⼒-应变曲线1）弹性阶段（OC段）
该弹性阶段为初始弹性阶段OC（严格讲应该为CA’）,包括：线性弹性分阶段OA段，⾮线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC段。该阶段应⼒和应变满
⾜线性关系，⽐例常数即弹性模量或杨⽒模量，记作：εσE =，即在应⼒-应变曲线的初始部分（⼩应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。2）塑性阶段（CDEF 段）
CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所⽰，应⼒超过屈服极限，应变超过⽐例极限后，要使应变再增加，所需的应⼒必须在超出⽐例极限后继续增加，这⼀现象称为应变硬化。CDE 段的强化阶段在E 点达到应⼒的最⾼点，荷载达到最⼤值，相应的应⼒值称为材料的强度极限 （ultimate strength ），并⽤σb 表⽰。超过强度极限后应变变⼤应⼒却下降，直到最后试件断裂。这⼀阶段试件截⾯积的减⼩不是在整个试件长度范围发⽣，⽽是试件的⼀个局部区域截⾯积急剧减⼩。这⼀现象称为“颈缩”（necking ）。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直⾄在颈缩部位试件断裂破坏。这种应⼒降低⽽应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。
1弹塑性力学
第五章弹性力学的平面问题
1弹
第五章弹性力学的平面问题
一、平面问题及其分类
三维问题（空间问题）
二
维
问柱形杆问题
平面问题弹
性
体
的
力柱形杆弯曲
平面应力
广义平面应力反平面问题柱形杆扭转
广义平面应变平面应变
柱形体
2题
回转体问题
板壳问题（板壳力学）学
问
题
一维问题（弹性力学简单问题及材料力学问题）轴对称问题
变截面轴纯弯曲变截面轴扭转
2弹性力学平面问题：z
一、平面问题及其分类第五章弹性力学的平面问题
z
1.几何上是柱形体（等截面）
2.只承受沿轴向均布的面内载荷
可以在二维域上描述其几何和承载
的全部信息z
3()
2111,xxuu=
()
211111,xxεε
=()
2122,xxuu=
()
212222,xxεε
=()
211212,xxεε
=
()
211111,xxσσ
=()
212222,xxσσ
=()
211212,xxσσ
=0
2313==εε
0
2313==σσ
?
3=u
?
33=ε
?
33=σ
一、平面问题及其分类第五章弹性力学的平面问题
1.1 平面应变和平面应力
端面条件是关键！()
2111,xxuu=
()
211111,xxεε
=()
2122,xxuu=
()
212222,xxεε
=()
211212,xxεε
=
()
211111,xxσσ
=()
212222,xxσσ
=()
211212,xxσσ
=?
3=u
?
33=ε
?
33=σ
4平面应变状态
什么情况会产生平面应力状态？lxu ,0 0
33==0 0
33≠=
33σε
lx ,0 0
333==σ
0 0
3≠≠
33uε
平面应力状态0
33=σ
可能
3一、平面问题及其分类第五章弹性力学的平面问题
1.2 平面应变问题
x
1x
2x
2
x
3无限长柱形体任意截
面均为对称面：
0
2313==σσ
0
3=u
5光滑接触面
刚性墙0
2313==σσ
0
3=u
无论垂直于平面方向的尺寸大小均为平面应变问题
垂直于平面方向无限长的问题也是平面应变问题
一、平面问题及其分类第五章弹性力学的平面问题
1.2 平面应变问题
大坝长度很长，在远
