1试根据下标记号法和求和约定展开下列各式（式中i、j = x、y、z）：
① ijij ； ② jix；
2在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：x= 0，y= 0，z= 0，xy= 0，yz=3a，zx=4a，知0a。试求：
1 该点应力状态的主应力1、2和3；2 主应力1的主方向；3主方向彼此正交；
解：由式（2—19）知，各应力不变量为
、，
代入式（2—18）得：
也即 （1）
因式分解得：
（2）则求得三个主应力分别为。
设主应力与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为
、 、 。
将 及已知条件代入式（2—13）得：
（3）
由式（3）前两式分别得：
（4）
将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（2—15）得：
则知
； （5）
同理可求得主应力的方向余弦、、和主应力 的方向余弦、、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：
主方向为： ；（6）
主方向为： ；（7）
主方向为： ； （8）
若取主方向的一组方向余弦为 ，主方向的一组方向余弦为
，则由空间两直线垂直的条件知：
（9）
由此证得 主方向与主方向彼此正交。同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。
3一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力q，在柱体顶面作用均布压力p。试选取：
3232()yAxBxCxDxEx
做应力函数。式中A、B、C、D、E为待定常数。试求：
（1）上述式是否能做应力函数；
（2）若可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。
（3）写出应力分量表达式。（不计柱体的体力）
解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：
弹塑性⼒学
应⼒应变关系
应⼒应变都是物体受到外界载荷产⽣的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产⽣互相之间的⼒的作⽤，由于受到⼒的作⽤就会产⽣相应的变形；或者由于变形引起相应的⼒的作⽤。则⼀定材料的物体其产⽣的应⼒和应变也必然存在⼀定的关系。
在⼒学上由于平衡⽅程仅建⽴了⼒学参数（应⼒分量与外⼒分量）之间的关系，⽽⼏何⽅程也仅建⽴了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡⽅程与⼏何⽅程是两类完全相互独⽴的⽅程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应⼒和应变之间的关系。有了可变形材料应⼒和应变之间关系和⼒学参数及运动学参数即可分析具体的⼒学问题。由平衡⽅程和⼏何⽅程加上⼀组反映材料应⼒和应变之间关系的⽅程就可求解具体的⼒学问题。这样的⼀组⽅程即所谓的本构⽅程。讨论应⼒和应变之间的关系即可变为⼀定的材料建⽴合适的本构⽅程。
⼀．典型应⼒-应变关系
图1-1 典型应⼒-应变曲线1）弹性阶段（OC段）
该弹性阶段为初始弹性阶段OC（严格讲应该为CA’）,包括：线性弹性分阶段OA段，⾮线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC段。该阶段应⼒和应变满
⾜线性关系，⽐例常数即弹性模量或杨⽒模量，记作：εσE =，即在应⼒-应变曲线的初始部分（⼩应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。2）塑性阶段（CDEF 段）
CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所⽰，应⼒超过屈服极限，应变超过⽐例极限后，要使应变再增加，所需的应⼒必须在超出⽐例极限后继续增加，这⼀现象称为应变硬化。CDE 段的强化阶段在E 点达到应⼒的最⾼点，荷载达到最⼤值，相应的应⼒值称为材料的强度极限 （ultimate strength ），并⽤σb 表⽰。超过强度极限后应变变⼤应⼒却下降，直到最后试件断裂。这⼀阶段试件截⾯积的减⼩不是在整个试件长度范围发⽣，⽽是试件的⼀个局部区域截⾯积急剧减⼩。这⼀现象称为“颈缩”（necking ）。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直⾄在颈缩部位试件断裂破坏。这种应⼒降低⽽应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。
第五章 弹塑性力学问题的建立与求解
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第五章 弹塑性力学问题的建立与求解
弹塑性力学问题在数学上属边值问题，就是在给定边界条件下，确定物体内的应力场和应变场，而应变场与位移场密切相关。所求得应力场、应变场和位移场应该满足相应的基本方程和边界条件。
本章内容，除介绍弹性及弹塑性力学边值问题的建立之外，还将简单阐述弹塑性问题的解法。
5.1弹塑性力学边值问题
1.1弹塑力学的基本方程
弹塑性力学边值问题就是在给定载荷下确定物体内的应力场、应变场和位移场，它们应满足基本方程及给定的边界条件。而所谓“载荷”包括：体积力、面积力(即应力边界条件)及给定的边界位移(即位移边界条件)。由于在部分边界上给定的位移也是对物体的一种外部干扰，可归于广义的载荷。在笛卡儿坐标系下，弹塑性力学的基本方程为：
1).平衡方程
000ZzyxYzyxXzyxzzyzxyzyyxxzxyx (5.1-1a)
或用张量写为
),,,(0,zyxjiFijij (5.1-1b)
对于弹塑性力学问题，在小变形条件下，其平衡方程还可用率型式表示为
0,)(ijijF (5.1-1c)
2).几何方程
对于小变形，几何方程包括Cauchy应变张量 第五章 弹塑性力学问题的建立与求解
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xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx,,, (5.1-2a)
或
),,,(2/)(,,zyxjiuuijjiij (5.1-2b)
1
授 课 教 案
课程名称： 弹塑性力学及其应用
总 学 时：
32 总 学 分： 2
课程类别： 必修
任课教师： 易先中
单 位： 机械工程学院
职 称： 教授
授课专业： 机械
授课班级： 机械S121
2 201 ～201 学年 第 学期
课 题 接触问题
学 时 2
教学目标
与要求 本课程的目的主要是让学生在硕士学习期间在掌握了解接触应力所产生的应力效应，如：接触应力的边界效应等；了解工程实际中的几种典型接触问题，如：圆柱体之间的外接触、圆柱体之间的内接触和球体之间的接触等；了解工程实际中典型零件的接触问题，如：齿轮传动的接触问题，滚动轴承的接触问题，轴毂配合的接触问题。
重 点 1、掌握平面接触问题和空间接触问题的分析，以及半无限平面问题的求解；
2、研究两个平行轴圆柱的接触问题；
3、掌握一般情况下的弹性接触问题。
难 点 1、了解齿轮接触问题；
2、了解空间轴对称问题；
3、了解半空间体受几种典型载荷作用下的情况。
教学方法
与手段 多媒体
做习题
举例子
参考资料 1、徐秉业,黄炎,刘信声等编，弹塑性力学及应用，机械工业出版社，1989
2、（英）K.L.Johnson著，《Contact mechanics》，Cambridge University Press，First published 1985
3、（加）格拉德韦尔（Gladwell,G.M.L.）著, 《经典弹性理论中的接触问题》, 北京理工大学版社，1991年12月
4、吴家龙编著，《弹性力学》同济大学出版社，1987年8月
