高三函数练习题及答案
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高三函数练习题及答案
一、选择题
1. 已知函数y=f(x)的图像为一条抛物线，以下哪个函数的图像也是一条抛物线？
A. y=f(x)+a
B. y=f(kx)
C. y=f(x)+b
D. y=f(ax)
2. 若函数y=f(x)的动点M(x,f(x))的轨迹是抛物线，且f(-1)=4，f(1)=-2，那么该抛物线的顶点坐标是？
A. (-1, 3)
B. (1, 1)
C. (-1, 4)
D. (1, -2)
3. 当x∈[a,b]内时，函数y=f(x) 的最大值为 M，最小值为 m，若c∈(a,b)，则以下哪个不等式一定成立？
A. f(c) ≤ M
B. f(c) ≤ m
C. m ≤ f(c) ≤ M D. f(c) ≥ M
4. 已知函数y=f(x) 的图像关于原点对称，且对于任意的x∈R，f(x)>0，那么以下哪个图像是y=f(x) 的图像？
A. 抛物线
B. 三角函数曲线
C. 指数函数曲线
D. 反比例函数曲线
二、计算题
1. 已知函数y=f(x) 的图像是一条抛物线，顶点坐标为(-2, 5)，过点(1, 1)，那么该抛物线的方程是？
解：
因为抛物线的顶点坐标为(-2, 5)，所以抛物线的对称轴方程为x=-2。
又因为过点(1, 1)，所以抛物线的另一点的坐标为(4, 1)。
由对称性可知，抛物线的另外一个点坐标也为(x, 1)，则x=-6，那么该抛物线的方程为：y=a(x+2)^2+5，代入(1, 1)求得a=1/9。
所以，该抛物线的方程为y=(x+2)^2/9+5。
2. 已知函数y=f(x) 的图像是一条指数增长的曲线，且过点(0, 2)，那么该函数的解析式是？
解： 根据指数函数的特点，设函数的解析式为y=a^x，其中a>0且a≠1。
过点(0, 2)，则2=a^0=1，所以a=2。
所以，该函数的解析式为y=2^x。
3. 已知函数f(x)满足f(0)=1，对于任意的x∈R，f(x)>0，而且f'''(x)=x^2+1，求f(x)的解析式。
解：
由题意可知，f(x)的原函数为F(x)=(1/4)x^4+x+C，其中C为常数。
又因为f(0)=1，所以F(0)=C=1，即F(x)=(1/4)x^4+x+1。
由f'''(x)=x^2+1，可得f''(x)=(1/3)x^3+x，f'(x)=(1/12)x^4+(1/2)x^2+x+1，f(x)=(1/60)x^5+(1/12)x^3+(1/2)x^2+x+1。
三、证明题
已知函数f(x)=ax^2+bx+c是一个抛物线，并且该抛物线的顶点坐标为(H, K)。
证明：当x=H+a时，f(x)=K。
证明过程：
由函数f(x)=ax^2+bx+c，可得：f(H)=aH^2+bH+c=K。
当x=H+a时，代入f(x)得：f(H+a)=a(H+a)^2+b(H+a)+c。
展开式后，我们对比f(H)的表达式，可以看出： f(H+a)=a(H+a)^2+b(H+a)+c=a(H^2+2aH+a^2)+bH+ab+ac=aH^2+bH+c+2a^2H+a^2 。
由于f(H)=aH^2+bH+c=K，所以f(H+a)=K+2a^2H+a^2。
显然，2a^2H+a^2=0，所以f(H+a)=K。
根据以上证明过程，我们可以得出结论：当x=H+a时，f(x)=K。
答案:
1. A
2. A
3. C
4. A
计算题题解略。
证明题证明过程略。
本文介绍了高三函数练习题，并提供了选择题的答案。另外，还包括了计算题的求解和证明题的推导过程。希望这些练习能够帮助到你，提高你的函数知识和解题能力。
