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高中数学 《函数的奇偶性》学案 新人教A版必修1

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函数的奇偶性

1.奇函数、偶函数的概念

1．奇函数、偶函数的定义

偶函数的定义：一般地，对于函数()fx的定义域内的( )，都有( ),那么()fx就叫做偶函数.

奇函数的定义：一般地，对于函数()fx的定义域内的( )，都有( )，那么()fx就叫做奇函数．

2．函数奇偶性的分类

对于我们所接触到的函数,如果我们利用函数的奇偶性的定义加以判断的话,可以发现,所有的函数分为了四类:有的函数是奇函数,有的函数是偶函数,也有的函数对于其定义域内的任意一个x,()()fxfx与()()fxfx能够同时成立,那么函数称为( );也有的函数对于其定义域内的任意一个x,()()fxfx与()()fxfx都不成立,那么函数称为( ).所有的函数均在这四类之中,无一例外.

【梳理·总结】 关于函数奇偶性质的几个未成文的规定

(1)奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称,如果定义域不关于原点对称,那么此函数既不是奇函数又不是偶函数;(2)判断函数的奇偶性,包括判断一个函数是奇函数,或者是偶函数,或者既是奇函数又是偶函数,或者既不是奇函数又不是偶函数,对于函数的奇偶性一定要判断清楚,不能似是而非.

典例1.判断下列函数的奇偶性.

(1)31()fxxx; (2)()|1||1|fxxx; (3)23()fxxx.

2.函数奇偶性的性质

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称. ③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx.

④若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数()Fx与一个偶函数()Gx的和（或差）”.如设)(xf是定义域为R的任一函数， 则()()()2fxfxFx，()()()2fxfxGx.

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0fx，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

典例2.已知函数21()(,,)axfxabcZbxc是奇函数,且(1)2,(2)3ff,求,,abc的值.

3.奇函数与偶函数的判断方法

1．定义法

根据函数奇偶性的定义直接加以判断,这种判断方法称之为定义法.利用定义法判断函数的奇偶性的步骤:(1)考察定义域是否关于原点对称;(2)验证()()fxfx或()()fxfx对定义域中的任意的值x是否成立;(3)得出结论.

2．利用定义的等价形式

从函数的奇偶性的概念可以发现, ()()fxfx是与()()0fxfx等价的,

()()fxfx是与()()0fxfx等价的,也就是说,判断()()0fxfx或()()0fxfx在定义域中是否为恒等式,也可以判断函数的奇偶性.上述两式也可以用()1(()0)()fxfxfx代替.另外,对于奇函数,若0在其定义域内,则一定有(0)0f;对于偶函数,有()()(||).fxfxfx

3．结合函数图象

由于奇偶函数的图象具有以下性质:若()fx为奇函数,则它的图象关于原点对称,反之也成立;若函数()fx为偶函数,则它的图象关于y轴对称,反之也成立.这个定理给我们提供了结合图象处理奇偶性问题的依据.

分段函数的奇偶性问题

典例3. 已知()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，2()2fxxx，求()fx的解析式.

【研析】设0x，则0x，由已知得22()()()22fxxxxx，

∵()fx是奇函数，∴2()()2fxfxxx，

∴当0x时，2()2fxxx；

又()fx是定义域为R的奇函数，∴(0)0f．

综上所述：222,0,()0,0,2,0.xxxfxxxxx

反思领悟 分段函数的奇偶性的判断应分段讨论,也就是“分段函数问题分段解决”.另外在解决分段函数问题时,一定要注意要根据x的范围的不同选取相应的函数表达式.

【拓展·变式】

2. 已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式．

练习

1.函数2()(2)2ayfxx是奇函数，则实数a的值是( )

A.2 B.2 C.2或2 D.无法确定

2.若()fx是定义在[5,5]上的奇函数,且(3)(1)ff,则( )

A.(1)(3)ff B.(0)(1)ff C.(1)(1)ff D.(3)(5)ff

3.已知()yfx与()ygx的图象如右图所示,则函数()()yfxgx的图象可能是( )

4.若函数()fx的定义域为R,当xR时,|()||()|fxfx,则()fx

( )

A.必是奇函数 B.必是偶函数

C.或为奇函数或为偶函数 D.不一定是奇函数,也不一定是偶函数

5.设函数(1)()()xxafxx为奇函数,则a .

6. 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，1||)(2xxxf，那么x<0时，f(x)= OxyOxyOxyOxy.A.B.C.DOxy()yfxOxy()ygx .

7. 判断下列函数的奇偶性

①xxy13； ②xxy2112；

③xxy4； ④)0(2)0(0)0(222xxxxxy.

8. 设函数f(x)对任意x,yR，都有)()()(yfxfyxf，且0x时，f(x)<0，f(1)=－2．

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)试问在33x时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.

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高中数学必修一(人教A版) 函数的奇偶性 教案3

高中数学必修一(人教A版) 函数的奇偶性 教案3

必修一 1.3.2函数的奇偶性

【教学目标】

1.知识与技能目标：

使学生了解函数奇偶性的概念和奇偶函数图像的对称性 ,并学会运用定义判断函数的奇偶性

2.过程与方法目标：

通过创设情境，对具体实例的对称性观察、并对具体函数的y与x的关系分析，利用多媒体呈现图像，让学生经历函数奇偶性概念形成的全过程，体验数学概念学习的方法中由特殊到一般、数形结合、类比等方法，积累数学学习的经验。

3.情感、态度与价值观目标：

通过绘制和展示优美的函数图象使学生体验数学的对称美；通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神；通过学生的自主探究,培养学生善于探索的思维品质

【重点难点】

1.教学重点：函数的奇偶性的概念和奇偶函数的图象特征

2.教学难点：函数奇偶性概念的形成及理解

【教学策略与方法】

1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．

2.教具准备：多媒体

【教学过程】

教学流程 教师活动 学生活动 设计意图

一、情境引入；

1. 让学生感受生活中的美：对称美

出示一组图片：蝴蝶、建筑物等

2.从数学中的对称出发，让学生画出两个已学过的函数图像，

（1）y=x2 (2) y=︱x︱

问题1：请你观察这两个函数图像有怎样的对称性？

让学生观察并回答图片中的对称属于轴对称还是中心对称

让学生说说，两个函数图像的共同特征 遵循学生的认知规律，从感性的图像入手来体会函数的对称性，进而为抽象出奇偶性的数学概念打下基础。

环节二：

二、观察思考，归纳抽象，形成概念；

1.以y=x2函数的图像为例，让学生填表并观察表格特点

问题2.在函数值对应表是如何体现这些特征的？

问题3.你能用符号语言描述你的发现吗？

1偶函数的定义：

设函数)(xfy的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有)()(xfxf，则这个函数叫做偶函数

偶函数的图像关于y轴对称

概念辨析1.观察下面的函数图象，判断函数是不是偶函数?

【公开课】高中数学人教A版(2019) 必修第一册第三章《函数的奇偶性》教案

【公开课】高中数学人教A版(2019) 必修第一册第三章《函数的奇偶性》教案

3.2.2函数奇偶性的教学设计

一、教材分析

《奇偶性》位于高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章3.3.2节。本节课是在学生学习函数单调性之后，教材从学生熟悉的函数图象情境出发，让学生从形的角度认识函数的奇偶性，从数的角度探究函数奇偶性的本质，再通过数形结合来解决函数的相应问题。

二、学情分析

本节课是面对普通班的学生进行讲解的,他们数学基础相对一般，但部分同学思维比较敏捷，大多数同学对数学比较热爱。学生对函数及对称图形有一定的知识储备，在前面经历过探究和学习函数单调性的过程，对于根据函数的图象转化为数字特征并抽象为数学概念有了初步认识，但是由于初步接触，有一定的困难，为了让大部分学生掌握本节课的知识与方法，能够实现教学目标，突出重点、突破难点，我制定了后面的教学方案。

三、教学目标

（一）学科目标

1.知识与技能：

了解函数的奇偶性的概念和几何意义；学会判断函数的奇偶性；学会运用奇偶性研究函数的图象。

2.过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合、分类讨论的思想。

3.情感态度与价值观：

展示优美的函数图象加强学生对数学美的体验。 （二）核心素养目标

1.数学抽象：函数的奇偶性的定义及图象的对称性；

2.逻辑推理：根据偶函数的探究过程，探究和总结奇函数的概念；

3.数学运算：判断函数奇偶性过程中的运算；

4.直观想象：根据函数解析式画出函数图象、根据函数关于y轴对称画出大致图像研究函数的性质。

5.数学建模：通过具体函数实例，培养学生发现问题解决问题的能力。

四、教学重难点

（一）重点：函数奇偶性的概念、简单性质及应用。

（二）难点：感悟数学奇偶性含义的数学抽象过程。

五、教学策略分析

（一）.通过观察所展示的函数图象及动态图象演示，让学生形成对奇（偶）函数的直观认识；通过数量关系刻画函数的对称性，得出奇（偶）函数的定义。是学生在函数奇偶性的数学抽象过程中在轻松愉快的环境下掌握，从而突破教学难点。

高中数学必修1指数函数与对数函数与函数的奇偶性学案

高中数学必修1指数函数与对数函数与函数的奇偶性学案

3、5、2指数函数与对数函数与函数的奇偶性（2）

第一部分 走进复习

【 复 习 】函数图象对称变换知识

1、一个函数图象自身对称。2、两个函数图象的对称。

第二部分 走进课堂

指出：本节课研究一下与函数奇偶性及函数图象对称变换相关的几个问题。

【探索新知】

例1、已知)(xf是定义在R上的偶函数，且)(1)2(xfxf，当10x时，14)(xxf，求)15(log2f。

例2、已知)(xf是定义在R上的奇函数)(xfy的图像关于直线1x对称，且当10x时，12)(xxf，求)24(log21f。

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问题：若题中“定义在R上的奇函数)(xfy的图像关于直线1x对称”改为“函数)(xfy的图像关于直线1x及2x对称”，此问题又如何解决呢？

反思总结:

练习：1、已知定义在R上的奇函数)(xfy的图像关于点)2,1(对称，当10x时，92)(xxf，求)15(log2f。

2、已知)(xf是定义在R上的奇函数，且))(2()(Zkkxfxf，当)1,0(x时，142)(xxxf

（1）当)(1212Zkkxk时，求)(xfy的解析式。

（2） 证明：)(xf在)1,0(上是减函数。

函数的奇偶性教学设计-优秀

函数的奇偶性教学设计-优秀

函数的奇偶性教学设计

一．教材分析

1 . 教材的地位与作用

 内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节;

 函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此 成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;

 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

2 . 学情分析

 已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；

 在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；

 高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；

 高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。

二．目的分析

 教学目标知识与技能目标：

……理解函数奇偶性的概念

……能利用定义判断函数的奇偶性

 过程与方法目标：

……培养学生的类比，观察,归纳能力 ……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再

从具体到一般的研究方法

 情感态度与价值观目标：

……对数学研究的科学方法有进一步的感受

……体验数学研究严谨性，感受数学对称美

重点与难点

 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断

 难点：函数奇偶性概念的探究与理解

三．教法、学法

教法

 借助多媒体和几何画板软件

 以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式

 遵循研究函数性质的三步曲

学法

 根据自主性和差异性原则