山东省普通高中学业水平考试数学试题带答案

山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试数学试卷一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。

每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)1．已知集合{}1,0,2A =-，{}0,1,2B =，则A B ⋂=（ ） A ．{}0B ．{}2C ．{}1,2D ．{}0,22．己知命题p ：0x ∃∈N ，00e sin 1xx ≤+．则命题p 的否定是（ ）A ．x ∀∈N ，e sin 1x x >+B ．x ∃∈N ，e sin 1x x ≤+C ．x ∀∉N ，e sin 1x x ≤+D ．x ∀∈N ，e sin 1x x >+3．口袋中共有2个白球2个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色不同的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．144．“0a >且0b >”是“0ab >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．sin30cos60cos30sin60︒︒+︒︒=（ ） A ．1B ．1-C ．14D ．346．若一个正方体的体对角线长为a ，则这个正方体的全面积为（ ）A ．22aB ．2C ．2D ．27．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，则n 为（ ） A ．16 B ．96 C ．192 D ．1128．已知1cos 3α=，且α为第四象限角，则sin α=（ ）A ．3- B ．C ．D 9．已知向量()()3,2,1,a b x =-=，若a b ∥，则x =（ ）A ．32B ．23C ．32-D ．23-10．函数sin(2)4y x π=+的图象的一个对称轴方程是（ ）A ．8x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．4x π=11．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形12．设a 、b 、c 表示三条直线，α，β表示两个平面，下面命题中不正确的是（ ）A ．//a a ⊥α⇒⊥βαβ⎫⎬⎭B ．a bb bc c a ⊥β⇒⊥β⎫⎪⎬⎪⎭在内是在内的射影C ．b cb c a c α⇒α⎫⎪⎬⎪⎭在内不在内D ．//a b b a α⇒⊥α⊥⎫⎬⎭13．函数54y x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．函数y 1x -的定义域为（ ） A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2]15．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数、中位数与平均数分别为（ ）A ．10、13、12；B ．12.5、13、12；C ．12.5、13、13；D ．12.5、15、12.16．若对于任意实数x ，230mx x m -+<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．32m <-B ．302m -<<C ．302m <<D ．32m >17．甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12,23，则谜题被破解的概率为（ ）A ．12B ．23C ．56D ．118．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<19．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．20．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上是增函数，()2=0f ，则不等式()210f x ->的解集为（ ）A ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题:本大题共5小题,每小题3分，共15分. 21．已知z ＝2+i （其中i 为虚数单位），则z =______．22．已知函数()24,1=2,>1x x f x x x ⎧-≤⎨-⎩，则()()3f f =__________.23．25cos 4π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 24．已知00x y >>，，且24x y +=，则xy 的最大值是___________.25．用一个平面去截直三棱柱111ABC A B C -，交1111,,,AC B C BC AC 分别于点,,,E F G H . 若111A A A C >，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形三、解答题:本题共3小题，共25分. 26．已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递减区间及其图象的对称中心；(2)已知函数()f x 的图象经过先平移后伸缩得到sin y x =的图象，试写出其变换过程．27．A ､B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩(单位：分)记录如下：B 同学的成绩不慎被墨迹污染(，分别用m ，n 表示).（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A ､B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由(不用计算)；（2）若B 同学的平均分为78，方差s 2=19，求m ，n .28．设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集； （2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试数学答案一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。

山东学考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. \( y = x^2 \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = \cos(x) \)D. \( y = \frac{1}{x} \)答案：B2. 已知向量\( \vec{a} = (3, -2) \)和\( \vec{b} = (1, 2) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为：A. 7B. -1C. 1D. -7答案：B3. 函数\( f(x) = x^3 - 3x \)的单调增区间为：A. \( (-\infty, 1) \)B. \( (-\infty, -1) \)C. \( (1, +\infty) \)D. \( (-1, +\infty) \)答案：C4. 已知双曲线\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)的焦点在x轴上，且\( a = 2 \)，\( b = \sqrt{3} \)，则该双曲线的离心率为：A. \( \sqrt{2} \)B. \( \sqrt{5} \)C. \( 2 \)D. \( \frac{\sqrt{5}}{2} \)答案：B5. 已知等比数列\( \{a_n\} \)的首项为1，公比为2，求该数列前5项的和为：A. 31B. 15C. 33D. 63答案：B6. 函数\( y = \ln(x) \)的图像关于直线\( x = 1 \)对称，该函数的反函数为：A. \( y = e^x \)B. \( y = \ln(x) \)C. \( y = e^{-x} \)D. \( y = \ln(-x) \)答案：A7. 已知圆\( x^2 + y^2 = 1 \)与直线\( y = kx \)相切，则实数k 的值为：A. \( \pm\sqrt{2} \)B. \( \pm1 \)C. \( \pm\frac{\sqrt{3}}{3} \)D. \( \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \)答案：D8. 已知函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，\( g(x) = x^2 \)，则\( f(g(x)) \)的表达式为：A. \( \frac{1}{x^2} \)B. \( x^2 \)C. \( \frac{1}{x} \)D. \( x \)答案：A9. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \)，\( \cos(\beta) =\frac{\sqrt{3}}{2} \)，且\( \alpha \)，\( \beta \)均为锐角，则\( \sin(\alpha + \beta) \)的值为：A. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{3}{4} \)答案：D10. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公比为3，求该数列的第5项为：\( \boxed{486} \)。

山东省高中学业水平考试（合格考）数学模拟卷（一） 2021.11.16一、选择题题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A ={1，2，3}，B ={-1，0，1}，则A ∩B =（ ） A ．∅B ．{1}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}2．函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．π2 D ．π43．函数y = ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,22,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．已知平面向量()1,2a =，()2,b m =-，且//a b ， 则m 的值为（ ） A ．1-B ．4-C ．1D ．45．“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()335f x x x =+-，则零点所在的区间可以为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()1,0- D ．()2,1-- 7．袋子中有6个相同的球，分別标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，则取出球的数字之和是8的概率为（ ） A ．16B ．536C ．115D ．2158．已知条件甲：05x <<，条件乙：323x -<-<，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若向量(1,2)a =，(3,2)b =-，则(2)a a b ⋅+=（ ）A ．3B ．-3C ．8D ．13 10．抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ）11．已知i 是虚数单位，则复数i 212i-=+（ ） A ．iB ．i -C ．43i 55--D ．43i 55-+12．若角α的终边经过点()1,2P -，则sin α的值为（ ） A 25B 5C ．5D ．2513．现将函数π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．π()sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()sin g x x =C ．π()sin 12g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 6πg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭14．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ． ,n αββ⊥⊂B ．//,n αββ⊥C ．,//n αββ⊥D ．//,m n m α⊥15．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本中的中年职工人数为（ ） A ．10B ．30C ．50D ．7016．下列函数中，既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递增的函数是（ ）A ．y x =-B ．y x =-C ．21y x =-D ．2y x=-17．设 1.20.43log 1,log 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 18．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x （x ∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（ ） A ．3年 B ．4年 C ．5年 D ．6年19．甲射击命中目标的概率是12，乙射击命中目标的概率是13，丙射击命中目标的概率是14.现在三人同时射击同一目标，则目标被击中的概率为（ ）A ．34B ．23C ．45D ．71020．长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．7π2B ．56πC ．14πD ．16π 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）21．已知函数()()21mf x m m x =+-是幂函数，且在()0,∞+上是减函数，则实数m 的值为______．22．已知单位向量a ，b ，若1a b +=，则a 与b 的夹角余弦的值为_________. 23．函数1(2)2y x x x =+>-的最小值是___________. 24．已知复数z 满足()1i 17i z +=-（i 是虚数单位），则z =__________． 25．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．该圆柱的体积与球的体积之比为______．三、解答题（本大题共3小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）26．（本小题满分8分）已知对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象经过点（9,2）. (1)求函数()f x 的解析式；（2）如果不等式(1)1f x +<成立，求实数x 的取值范围．27．（本小题满分8分）如图，已知△ABC中，AB，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．28．（本小题满分9分）如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD.（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若2-的PD=，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P ABCD体积.合格考模拟卷（一）参考答案1．B 【详解】因为集合A ={1，2，3}，B ={-1，0，1}，所以{}1A B =.故选：B. 2．B 【详解】根据三角函数的周期公式得函数的最小正周期为22T ππ==. 3．D 【详解】由题设可得210x -≥，故12x，故函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 4．B 【详解】因为()1,2a =，()2,b m =-，且//a b 所以122m ⨯=-⨯，解得4m =-. 5．C 【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.6．B 【详解】显然函数()335f x x x =+-在R 上单调递增，(2)(1)(0)(1)10f f f f -<-<<=-<，而(2)90f =>，所以零点所在的区间可以为(1,2).故选：B7．D 【详解】基本事件共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种，其中数字和为8的基本事件有2种，所以取出球的数字之和是8的概率为215，故选：D. 8．A 【详解】由题意得：条件乙：15x -<<．∵0515x x <<⇒-<<，但1505x x -<<⇒<<，∴甲是乙的充分不必要条件,故选：A9．A 【详解】由题意，向量(1,2)a =，(3,2)b =-，则2(7,2)a b +=-，所以(2)743a a b ⋅+=-=.故选：A.10．D 【详解】甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86, 87,88,88,89,90,92. 1080%8⨯=，这10次成绩的80%分位数为899089.52+=. 11．A 【详解】()()()()i 212i i 2i 224i 5ii 12i 12i 12i 145---+-+====++-+，故选：A.12．D 【详解】∵角α的终边经过点()1,2P -，∴1x =，2y =-，OP =，∴sinα==．故选：D ． 13．D 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，可得sin 2sin 2366y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，所以()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.14．B 【详解】A 选项，,n αββ⊥⊂，可能n 是两个平面的交线，不能得到n α⊥，A 错误. B 选项，//,n αββ⊥，则n α⊥，B 正确. C 选项，,//n αββ⊥，可能n ⊂α，C 错误. D 选项，//,m n m α⊥，可能n ⊂α，D 错误.故选：B15．A 【详解】由题意知，青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数＝350：250：150＝7：5：3．由样本中的青年职工为14人，可得中年职工人数为10． 16．D 【详解】选项A ，函数y x =-是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故A 不满足. 选项B ，对于函数y x =-，f (－x )＝-|－x |＝-|x |＝f (x )，所以y ＝-|x |是偶函数，故B 不满足；选项C ，21y x =-是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故C 不满足；选项D ，2y x=-是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故D 满足.17．D 【详解】因0.4log 10=，则0a =，函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，123<<，于是有3330log 1log 2log 31=<<=，即01b <<，函数2x y =在R 上单调递增，1.20>，则 1.20221>=，即1c >，所以,,a b c 的大小关系是c b a >>.故选：D18．C 【详解】由题意可设y =a (x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∴ 7=a (4－6)2+11，∴ a =－1．即y =－x 2+12x －25，∴ y x =12－(x +25x)≤12－=2，当且仅当x =5时取等号. 故选C ．19．A 【详解】由题可知，目标不被击中的概率是12312344⨯⨯=，所以目标被击中的概率为114-=34,故选：A20．C 【详解】设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，由题意得236ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，=, ∴2414S R ππ球＝＝．故选：C 21．2-【详解】由函数()f x 是幂函数，则211m m +-=，解得2m =-或1m =， 又因为()f x 在()0,∞+上是减函数，所以2m =-；故答案为：2-22．12-【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1a =，1b =，所以222222cos 1a b a a b b θ+=+⋅+=+=，解得1cos 2θ=-.故答案为：12-.23．4【详解】当2x >时，122242y x x =-++≥=-， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号. 故答案为：4. 24．34i --【详解】因为()1i 17i z +=-，所以()()()()2217i 1i 17i 68i34i 1i 1i 1i 11z -----====--++-+. 25．32【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，23π22πV R R R =⨯=圆柱，34π3V R =球，332π342π3V R V R ==圆柱球,故答案为：3226．（1）3()log f x x =； （2）12x -<<.【详解】（1）因为函数过点（9，2），所以log 92a =，即29a =，因为0a >，所以3a =. 所以函数()f x 的解析式为()3log f x x =;（2）()()31log 1f x x +=+. 由()11f x +<可得()3log 11x +<，即()33log 1log 3x +<， 即1013x x +>⎧⎨+<⎩，即12x -<<. 所以实数x 的取值范围是12x -<<. 27．（1）3，（2）7【详解】（1）如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AC ABABC ACB=∠∠,则sin 45sin 23sin sin 60AB ABC AC ACB ︒⋅∠===∠︒，（2）因为∠ACB ＝60°，所以120ACD ∠=︒, 在ACD △中，由余弦定理得，7AD ===. 28．（1）证明见解析；（2【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ， 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ， 又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角， 于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2， 所以菱形ABCD 的面积为sin 6023S AB AD =⋅⋅=故四棱锥P - ABCD 的体积13V S PD =⋅=.。

2023—2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（）A.12B.18C.20D.1202.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.36B.45C.72D.903.已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（）A.-2B.-1C.1D.24.已知等比数列的前项和，则（）A.-1B.1C.-2D.25.中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率为（附：）若，则，.B.0.9773C.0.8414D.0.5在上单调递增，则实数的取值范围为（A.0.99876.已知函数A ）.B.C.D.7.某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（）A. B. C. D.8.已知，且，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（）A.时，弹簧振子的位移为B.时，弹簧振子的瞬时速度为C.时，弹簧振子的瞬时加速度为D.时，弹簧振子的瞬时速度为10.已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（）A.变量的样本相关系数为正数B.经验回归直线恒过C.每增加1个单位，平均减少1.6个单位D.样本数据对应的残差的绝对值为0.211.设数列满足下列条件：，且当时，.记项数为的数列的个数为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中含项的系数为__________.13.若曲线与总存在关于原点対称的点，则的取值范围为__________.14.南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”微章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶､2阶､3阶､4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为，则阶科赫曲线的周长为__________；若阶科赫曲线围成的平面图形的面积为，且满足，则的最小值为__________.（本小题第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：成绩学生人数6102473选修读课程人数03953（1）根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联；获奖没有获奖合计选修阅读课程不选阅读课程合计（2）在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82816.（15分）已知函数.（1）当时，求过点且与图象相切的直线的方程；（2）讨论函数的单调性.17.（1.5分）已知数列是等差数列，且，数列满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，证明：.18.（17分）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.（1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率；（2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列；（3）记恰好在第次取出第二个白球的概率为，求.19.（17分）已知函数存在两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：.2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题 C C A D 二、 B D C A 选择题10.BCD 9.ABD 11.AC 三、填空题12.−80 113.(,]e −∞414.()n −1L 3L 2四、解答题15.解：（1）根据已知条件，可得：······················································3分零假设为H 0：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，根据列联表中数据计算得到，2 50(828212)25χ2=××−× ≈> =8.3337.879.×××203010403·······························6分根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H 0不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.····························7分（2）由题意可知X 的可能取值为1,2,3,则···································8分1231C C 82C 10 2137C C 82P X (1)===15，P X (2)===15C 10，C 8373P X (3)===15C 10，········································11分所以,随机变量X 的分布列为: 17712所以E X ()123=×+×+×=1515155. ··························13分2()(21)e 2′16.解：（1）当a =−2时，f x x x =−+x，所以f x x ()(1)e x . ·········1=−分x y 002设切点为(,)，则y x x =−+(21)e x0000 2，k x =−(1)e x00，获奖没有获奖合计 选修阅读课程81220不选阅读课程22830合计1040500 22000(21)e(1)e ()x x所以，切线方程为y x x x x x 0. ························3−−+=−−分2将(1,0)代入得(1)0，解得x 0=0或x 0=1. ·····························5x x 00−=分故过(1,)的切线方程为y =0或x y +−=10.················································70分′2()(2)e (1)e (1)(1)e （2）f x x a x ax x a x x x x . ·····················8=++++=+++分 ′=+2′当a =0时，f x x ()(1)e x ，恒有f x ()0，函数f x ()单调递增.·········10≥分a ′当a >0时，−−<−11，当x a ∈−∞−−(,1)，或x ∈−+∞(1,)时，f x ()0，>函′数f x ()单调递增，当x a ∈−−−(1,1)时，f x ()0，函数f x ()单调递减.····12<分a(1,)′当a <0时，−−>−11，当x ∈−∞−(,1)，或x a ∈−−+∞时，f x ()0，>函数′f x ()单调递增，当x a ∈−−−(1,1)时，f x ()0，函数f x ()单调递减.·······14<分a 综上，当a =0时，f x ()在R 上单调递增，当a >0时，f x ()在(,1)，−∞−−(1,)−+∞a −−−上单调递增，在(1,1)上单调递减，当a <0时，f x ()在(,1)，−∞−(1,) a−−+∞ a 上单调递增，在(1,1)上单调递减−−−.······························15分17.解：（1）由题意可知，b b a ，即b 2−=−11，故b 2=0. ························1212−=分由b b a ，可得a 3=1. ······················································2323−=分a n 所以数列{}的公差d =2，所以a n n 12(2)25. ······················3n =−+−=−分−n n n 1−=n n n 121−=由b b a ，b b a −−−， ，b b a 212−=，(1)(125)n n 2n n −−+−叠加可得b b a a a −=+++=123 ，2整理可得b n n n =−+≥44(2)；当n =1时，满足上式n ，2所以b n n =−+44················································································5n 分N m n ∗m n −=− 2(2)5n 2−+（2）不妨设a b m n =∈(,)，即25(2)2，可得m =，········6分=2 2924当n k 时，m k k 2=−+，不合题意，2当n k =−21时，m k k k k =−+=−+∈N ∗，································72672(3)7分 所以b 21在数列{}中均存在公共项a k −n ，135721又因为b b b b =<<< ，所以c n =b n =−(21)2.·································9n +分 514（3）当n =1时，T 1=<············································10，结论成立，分 2111111(21)(22)241n =<=−当n ≥2时，c n n n n n()，·····················12−−×−分1111111(1所以T n <+−+−++−n n 43351)− 114n 515444=+−1(1)n =−<，5.综上，T n <4··················································15分18.解：（1）记事件A =“第2次取出的小球为黑球”；事件B =“第1次取出的小球为白球”， 333311则P A ()=×+×=666520，············································2分333=× ()6 P ABP AB ()=6510，所以P B A (|)P A ()11==；··································4分（2）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，则··············································5分 3331P X (0)==××=6668， 33333333391P X (1)++==××××××=655665666200,32333233237P X (2)++==××××××=654655665100,3211P X (3)==××=65420，10分（3）由题意可知，前n −1次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：23233333332[()()()] 65665665n n n−−−P n =×+××++×× ···························12分 233232333333=[()()()()]××+×+×+65565656−−−−n n n n = 22213555()[1()()]55666×+++−−n n 51()136555 n −52131()n −2−−−n n 11n n ≥∈N 1−6*=×=×−2[()()](2,).····················16分31n n 11n n ≥∈N 52−−*所以P n =×−2[()()](2,).··································17分19.解：（1）函数f x ()定义域为(0,)+∞，11x x x+′()ln (1)1(ln )1f x a x a x a x =++⋅+=++，····································1分显然0a ≠，令()0f x ′=，可得11ln x x x a++=−， 令1()ln x t x x x +=+，由()f x 有两个不同极值点得1()t x a =−有两个不同的正根. ·· 3分 因为22111()x t x xx x−′=−=. 当(0,1)x ∈时，()0t x ′<，()t x 单减，(1,)x ∈+∞时，()0t x ′>，()t x 单增.················································································ 5分 所以()t x 的极小值即最小值(1)2t =，又当0x →时，()t x →+∞，且x →+∞时，()t x →+∞，所以12a−>，即102a −<<. ··········································· 6分（2）设12,x x 为函数()f x 的极值点，由（1），不妨设121x x <<，下证122x x +>.要证：2121x x >−>，只要证21()(2)t x t x >−.令()()(2)(01)g x t x t x x =−−<<. ···························· 8分因为22222114(1)()()(2)0(2)(2)x x x g x t x t x x x x x −−−−′′′=+−=+=<−−. ··········· 10分 所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0g x g >=，故21()(2)t x t x >−，即122x x +>. ························· 11分 由（1）可知，在1(0,)x 上，1()(())0f x a t x a′=+<，()f x 单调递减，在12(,)x x 上，()0f x ′>，()f x 单调递增，在2(,)x +∞上，()0f x ′<，()f x 单调递减，又因为(1)0f =，所以1()(1)0f x f <=， 因为102a −<<，所以12a <−，所以12e e 1a −<<，而11111(e )(e 1)ln e e 12e 0a a a a af a =++−=>，所以()f x 在11(e ,)ax 上存在点3x ，使得3()0f x =， ····························· 13分同理2()(1)0f x f >=，又12a−>，12e e 1a −>>， 1111(e )(e1)ln ee120aaaaf a −−−−=++−=−<，所以()f x 在12(,e )ax −上存在点4x ，使得4()0f x =， ····························· 14分故()f x 存在3个零点34,1,x x ， 注意到111111()(1)ln 1((1)ln 1)()f a a x x x f x x x x x x x =++−=−++−=−， · 15分所以341x x =，所以343312x x x x +=+>. ··································· 16分所以123415x x x x ++++>，即5m n +>. ···································· 17分。