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三角形边角关系专题

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DABCEABDFC图13DIEACB三角形的边角关系专题

例1.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是 ．

例2.下列说法中错误的是( )

A.三角形的一个外角大于任何一个内角 B.有一个内角是直角的三角形是直角三角形

C.任意三角形的外角和都是360o D.三角形的中线、角平分线，高线都是线段

例3.如图,∠A=65o,∠B=75o,将纸片的一角折叠,使点C•落在△ABC内,若∠1=20o,则∠2的度数为______.

例4.如图,在△ABC中,∠ACB=90o,CD是AB边上的高,且AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm,求:(1)△ABC的面积;(2)CD的长.

例5.如图,在ΔABC中,AD是角平分线,∠B=70o,∠C=40o,求∠BAD和∠ADC的度数. 例6.如图,DF⊥AB,∠A=43o,∠D=42o,求∠ACB的度数.

例7.一个等腰三角形的两边长分别是4 cm和6 cm,则它的周长是________cm.

例8.如果∠α的补角加上30o后,等于它的余角的4倍,则这个角是_________.

例9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,点E在线段BD上,且AE平分∠BAC,若∠B=40o,∠C=78o,则∠EAD=______o.

例10.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:2:1,求它们的度数. 例11.在△ABC中,∠A=12∠B=13∠C,求△ABC各内角的度数.

例12.在具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( )A.∠A-∠B=∠C; B.∠A=3∠C,∠B=2∠C; C.∠A=∠B=2∠C; D.∠A=∠B=12∠C

例13.已知三角形的两边分别为5cm和7cm,第三边的长为整厘米数,那么这样的三角形共有几个?

例14.如图,在ΔABC,角平分线BD、CE相交与I,则∠BIC与∠A有什么关系?如果设∠A为求∠BIC(用α表示).利用上述关系,计算:(1)当∠A=50o时,求∠BIC;(2)当∠BIC=130o时,求∠A.

例15.在下列图中,分别画出三角形的三条高:

EBDACEBACCABCABCABEEEB A

C D E 练习

1.如图,AD是∠CAE的平分线,∠B=30o,∠DAE=55o,则∠ACD等于( )A.80o B.85o C.100o D.110o

2.一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.

如果∠ADF=100o,那么∠BMD为( )A.95o B.85o C.90o D.100o

3.若等腰三角形的周长为26cm,一边长为11 cm,则腰长为 .

4.一个角的余角与补角的和等于这个角的4倍,则这个角是多少度?

5.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=80o,AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,∠B=60o;求∠AEC的度数.

6.若△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:4,则△ABC一定是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.任意三角形

7.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=90o-∠B;④∠A=∠B=12∠C中,

能确定△ABC是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.(1)已知∠A=2∠B=3∠C,则∠A= ° (2)若△ABC中,∠B=∠C=2∠A,则∠A= .

9.两根木棒的长分别是7cm和10cm,要选择第三根木棒,将它们钉成三角形,第三根木棒长的范围应是_________.

10.在△ABC中,∠A=80o,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC=________度.

11.在下图中,

正确画出AC

边上高的是

( ).

A B C D

12.已知a,b,c是△ABC的三边长,化简|a-b+c|+|c-a-b|= .

13.如图,将一副三角尺的直角顶点重合在一起,(1)若∠DOB与∠DOA的度数比是2:11,求∠BOC的度数;(2)若叠合所成的∠BOC=no(0

14.三角形有一个角的度数是46o角的余角，另一个角是144o角的补角，那么这个三角形是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形

15.如果三角形三个内角之比为3:4:5,那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.上述三角形都可能

16.三角形的三边长为3,a,7,则a的取值范围是 ;如果这个三角形中有两条边相等,那么它的周长是 ;

17.如图,在△ABC中,∠A=96o,延长BC到点D，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线

相交于点A2,依此类推,∠A4BC的平分线与∠A4CD的平分线相交于点A5,则∠A5的度数为( )A.3o B.6o C.8o D.12o

18.已知:△ABC中,AB=AC,BD为∠ABC的平分线,∠BDC=75o,则∠A的度数为( ) A.25o B.30o C.40o D.20o

19.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=6cm,则△DEB的周长为( )A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm

20.下列图形中有稳定性的是( ) A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形

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中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析附答案解析

中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析附答案解析

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一、直角三角形的边角关系

1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【答案】．

【解析】

试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．

试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线．

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20

【解析】

试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；

（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．

试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

直角三角形边角关系专题复习(修改

直角三角形边角关系专题复习(修改

直角三角形边角关系专题复习

一. 知识体系：

1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中

①的对边的斜边tan

②的对边的斜边sin

③的邻边的斜边cos

在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中

2. 特殊角的三角函数值，可用表格来说明

sinα cosα tanα

30° 12 32 33

60° 32 12 3

45° 22 22 1

注：此表可借助特殊直角三角形三边的关系来记忆

3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）

41234.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它

二中考要求及命题趋势

1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值；

2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应、的锐角 ；

3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

2008年将继续考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题

三应试对策

1要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值，

2掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题

四. 例题分析

例1．如图，在ABC△中，90ACB，CDAB于D，若23AC，32AB，则tanBCD的值为（ ）

例2计算：22sin45cos30tan60(3)

直角三角形的边角关系(含答案)

直角三角形的边角关系(含答案)

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悠悠数学网系列资料 版权所有@悠悠数学网 1 第十四章 直角三角形的边角关系

基础知识梳理

1．锐角三角函数．

在Rt△ABC中，∠C是直角，如图所示．

（1）正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=AA的对边的邻边．

（2）正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=A的对边邻边．

（3）余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=A的邻边邻边．

（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

（5）锐角的正弦和余弦之间的关系．

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos（90°-A）=cosB；cosA=sin（•90•°-•A）•=sinB．

（6）一些特殊角的三角函数值（如下表）．

三角函数

角 sin cos tan

30° 12 32 33

45° 22 22 1

60° 32 12 3

（7）已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，•已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小． 悠悠数学网-初中数学资源网站

悠悠数学网系列资料 版权所有@悠悠数学网 2 （8）三角函数值的变化规律．

①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．

②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（•或增大）．

（9）同角三角函数的关系．

①sin2A+cos2A=1；②tanA=sincosAA．

2．运用三角函数解直角三角形．

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案

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一、直角三角形的边角关系

1．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．

【答案】32．4米．

【解析】

试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．

试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形，

∴CE=AB=12m，

在Rt△CBE中，cot∠CBE=BECE，

∴BE=CE•cot30°=12×3=123，

在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，

得DE=BE=123．

∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．

2．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：

（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；

（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=

，CF= ．

【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣

【解析】

【分析】

(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；

（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，