高考数学一轮复习 第7章 不等式 2 第2讲 一元二次不等式及其解法教案 理-高三全册数学教案

第2讲 一元二次不等式及其解法

1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集

(1)当a>0时，解集为xx>ba；

(2)当a<0时，解集为xx

2．三个“二次”间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx

＋c(a>0)的

图象

一元二次方

程ax2＋bx

＋c＝0(a>0)

的根 有两相异实

根x1，x2(x1

根x1＝x2

＝－b2a 没有实

数根

ax2＋bx＋c

>0(a>0)

的解集 {x|x>x2

或x

ax2＋bx＋c

<0(a>0)

的解集 {x|x1

3.分式不等式的解法

(1)f（x）g（x）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；

(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f（x）g（x）≥0（≤0），g（x）≠0. 4．绝对值不等式的解法

(1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2；

(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；

(3)|f(x)|

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )

答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√

(教材习题改编)不等式2x2－x－3>0的解集为( )

A.x－1

B.xx>32或x<－1

C.x－32

D.xx>1或x<－32 解析：选B.2x2－x－3>0⇒(x＋1)(2x－3)>0，

解得x>32或x<－1. 所以不等式2x2－x－3>0的解集为

xx>32或x<－1.

不等式x－12x＋1≤0的解集为( )

A.－12，1

B.－12，1

C.－∞，－12∪[1，＋∞)

D.－∞，－12∪[1，＋∞)

解析：选A.由不等式x－12x＋1≤0，

可得（x－1）（2x＋1）≤0，2x＋1≠0，

解得－12

所以不等式的解集为－12，1.

设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为x－1

解析：由不等式ax2＋bx＋1>0的解集为x－1

由根与系数的关系知－1＋13＝－ba，－13＝1a，

所以a＝－3，b＝－2，ab＝6.

答案：6

若不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．

解析：因为不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，

所以Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.

所以a>4或a<－4.

答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)

一元二次不等式的解法(高频考点)

一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下三个命题角度：

(1)解不含参数的一元二次不等式；

(2)解含参数的一元二次不等式；

(3)已知一元二次不等式的解集求参数． [典例引领]

角度一 解不含参数的一元二次不等式

(1)解不等式：－x2－2x＋3≥0；

(2)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x<0，解不等式f(x)>3.

【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.

方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.

而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．

(2)由题意x≥0，x2＋2x>3或x<0，－x2＋2x>3，解得x>1.

故原不等式的解集为{x|x>1}．

角度二 解含参数的一元二次不等式

(分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．

【解】 因为12x2－ax>a2，

所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.

①当a>0时，－a4

解集为xx<－a4，或x>a3；

②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}； ③当a<0时，－a4>a3，

解集为xx－a4.

综上所述：当a>0时，不等式的解集为xx<－a4，或x>a3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为xx－a4.

角度三 已知一元二次不等式的解集求参数

已知不等式ax2－bx－1>0的解集是x－12

【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.

即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，

解得x≥3或x≤2.

【答案】 {x|x≥3或x≤2}

(1)解一元二次不等式的方法和步骤

(2)解含参数的一元二次不等式的步骤

①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

[通关练习]

1．(2018·陕西西安模拟)若集合A＝xxx－1≤0，B＝{x|x2<2x}，则A∩B＝( )

A．{x|0

C．{x|0

解析：选A.因为A＝xxx－1≤0＝{x|0≤x<1}，

B＝{x|x2<2x}＝{x|0

所以A∩B＝{x|0

2．(2018·广东清远一中模拟)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3)

C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)

解析：选C.关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1

3．不等式0

x2－x－2>0，x2－x－2≤4，即x2－x－2>0，x2－x－6≤0，

即（x－2）（x＋1）>0，（x－3）（x＋2）≤0，解得x>2或x<－1，－2≤x≤3.

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2

答案：[－2，－1)∪(2，3]

一元二次不等式恒成立问题(高频考点)

一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：

(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；

(2)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围；

(3)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围．

[典例引领]

角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定

参数的范围

若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

【解析】 当a－2＝0，即a＝2时不等式为－4<0，

对一切x∈R恒成立． 当a≠2时，则a－2<0，Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）<0，

即a<2－2

所以实数a的取值范围是(－2，2]．

【答案】 (－2，2]

角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围

(转化与化归思想)若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．

【解析】 由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，

所以只需f（m）＝m2＋m2－1<0，f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，

即2m2－1<0，2m2＋3m<0，

解得－22

【答案】 －22，0

角度三 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围

求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．

【解】 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.