高考数学(理)一轮专题讲义：7.2一元二次不等式及解法

第七章 不等式

第02节 一元二次不等式及解法

【考纲解读】

考 点 考纲内容 五年统计 分析预测

一元二次不等式 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系

3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 2016课标1理2016课标II理

一元二次不等式解法

备考重点：

1. 含参数的二次不等式；

2. 有关二次不等式的恒成立、有解问题

【知识清单】

1.一元二次不等式的解法

对于一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，设acb42，它的解按照0，0，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc(0)a的图像与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc(0)a或20axbxc(0)a的解集.

24bac 0 0 0

二次函数

cbxaxy2（0a）的图象

20(0)axbxca的根 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221 无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或

abxx2 R

的解集)0(02acbxax 21xxxx  

对点练习

已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )

A．(2，3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)

C.13，12 D.－∞，13∪12，＋∞

【答案】A

2.与一元二次不等式有关的恒成立问题

由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论

(1)不等式20axbxc＋＋对任意实数x恒成立⇔ a＝b＝0，c>0，或 a>0，Δ<0.

(2)不等式20axbxc＋＋对任意实数x恒成立⇔ a＝b＝0，c<0，或 a<0，Δ<0.

当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值．

对点练习

若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为( )

A．(－∞，3) B．(－1，3)

C．[－1，3] D．(－1，3]

【答案】D

【解析】当a＝3时，－4＜0恒成立；

当a≠3时，a＜3，Δ＝4（a－3）2＋16（a－3）＜0，

解得－1＜a＜3，所以－1＜a≤3.

【考点深度剖析】

1．若二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不

为零时的情形，以便确定解集的形式．

2．当0时，易混20(0)axbxca的解集为R还是.

【重点难点突破】

考点1 一元二次不等式的解法

【1-1】已知函数f(x)＝x＋2， x≤0，－x＋2， x＞0，则不等式f(x)≥x2的解集为( )

A．[－1，1] B．[－2，2]

C．[－2，1] D．[－1，2]

【答案】 A

【解析】 方法一 当x≤0时，x＋2≥x2，

∴－1≤x≤0；①

当x＞0时，－x＋2≥x2，∴0＜x≤1.②

由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．

方法二 作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1，1]．

【1-2】不等式－x2＋|x|＋2＜0的解集是( )

A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}

C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}

【答案】 B

【解析】 原不等式化为|x|2－|x|－2＞0，

所以(|x|－2)(|x|＋1)＞0.

因为|x|＋1＞0，所以|x|－2＞0，即|x|＞2，

解得x＜－2或x＞2.故选B.

【1-3】解不等式2221xaxa

【解析】22210[()1][()1]011xaxaxaxaaxa

∴原不等式的解集为{|11}xaxa.

【领悟技法】

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；

2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集

与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.

【触类旁通】

【变式一】已知)(xf是定义域为R的偶函数，当0x时，xxxf2)(2，那么，不等式3)2(xf的解集是 .

【答案】15xx

【变式二】 【2018江苏高邮模拟】已知不等式210axbx的解集为2,3，则ab_______．

【答案】5-36

【解析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系结合题意可得：

一元二次方程210axbx的根为： 122,3xx，

据此可得： 12125{ 16bxxaxxa，解得： 16{ 56ab，

则： 1556636ab.

考点2 一元二次不等式恒成立问题

【2-1】若不等式的解集是R，则m的范围是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0.

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）时，只需，所以，，选A.

【2-2】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a时， 24420xaxa恒成

立，则实数x的取值范围是_____________.

【答案】,13,

【解析】试题分析：设2244gaxaxx，由于24420xaxa恒成立，所以0ga，因此10{ 10gg，整理得22560{ 320xxxx，解得13xx或.

【2-3】若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立，则实数a的最小值为( )

A．0 B．－2 C．－52 D．－3

【答案】C

【解析】解法一：不等式可化为ax≥－x2－1，由于x∈0，12，

∴a≥－x＋1x.∵f(x)＝ x＋1x在0，12上是减函数，

∴－x－1xmax＝－52.∴a≥－52.

解法二：令f(x)＝x2＋ax＋1，对称轴为x＝－a2.

①－a2≤0，f（0）≥0 ⇒a≥0.(如图1)

②0＜－a2＜12，f－a2≥0⇒－1＜a＜0.(如图2)

③－a2≥12，f12≥0 ⇒－52≤a≤－1.(如图3)

图1 图2 图3

综上 ①②③，a≥－52.故选C.

【领悟技法】

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．

【触类旁通】

【变式一】对任意实数x，若不等式4x－m·2x＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围是( )

A．(－∞，2) B．(－2，2)

C．(－∞，2] D．[－2，2]

【答案】 A

【变式二】【2015届北京东城区示范校高三上学期综合能力测试】已知,0,32,0,3422xxxxxxxf不等式xafaxf2在1,aa上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A. 2, B. 0, C. 2,0 D. 0,2

【答案】D

【解析】

试题分析：xf为R上的减函数，故xaaxxafaxf22，从而ax2，所以aa12，得2a.

考点3 一元二次不等式的应用

【3-1】(2015·河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成．要求售价不能低于成本价．

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

【解析】 (1)由题意得y＝1001－x10·1001＋850x.

∵售价不能低于成本价，∴1001－x10－80≥0.

∴y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]．

(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.∴x的取值范围是12，2.

【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)车速x(km/h)之间有如下关系：20.10.01sxx甲＝＋，20.050.05sxx乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？

【答案】A

【解析】由题意列出不等式组 0.1x＋0.1x2>12，0.05x＋0.005x2>10，

分别求解，得 x<－40或x>30，x<－50或x>40.

由于0x，从而可得30 /40 /xkmhxkmh甲乙，.

经比较知乙车超过限速，应负主要责任．

【领悟技法】

不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．

【触类旁通】

【变式一】 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．