2013年上海高考数学试题(理科) 解析
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1 2013年上海市秋季高考理科数学
一、填空题
1．计算:20lim______313nnn
【解答】根据极限运算法则,201lim3133nnn．
2．设mR，222(1)immm是纯虚数,其中i是虚数单位，则________m
【解答】2220210mmmm．
3．若2211xxxyyy,则______xy
【解答】2220xyxyxy．
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若22232330aabbc，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
【解答】2222222323303aabbccabab，故11cos,arccos33CC．
5．设常数aR，若52axx的二项展开式中7x项的系数为10，则______a
【解答】2515()(),2(5)71rrrraTCxrrrx，故15102Caa．
6．方程1313313xx的实数解为________
【解答】原方程整理后变为233238034log4xxxx．
7．在极坐标系中，曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为__________
【解答】联立方程组得15(1)12,又0，故所求为152．
8．盒子中装有编号为1，2，3,4,5，6，7，8，9的九个球,从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示)
【解答】9个数5个奇数,4个偶数，根据题意所求概率为252913118CC．
9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且4CBA，若AB=4，2BC，则的两个焦点之间的距离为________ 2 【解答】不妨设椭圆的标准方程为22214xyb，于是可算得(1,1)C,得2446,233bc．
10．设非零常数d是等差数列12319,,,,xxxx的公差，随机变量等可能地取值12319,,,,xxxx，则方差_______D
【解答】10Ex,2222222(981019)30||19dDd．
11．若12coscossinsin,sin2sin223xyxyxy，则sin()________xy
【解答】1cos()2xy，2sin2sin22sin()cos()3xyxyxy，故2sin()3xy．
12．设a为实常数，()yfx是定义在R上的奇函数，当0x时,2()97afxxx,若()1fxa对一切0x成立，则a的取值范围为________
【解答】(0)0f，故011aa；当0x时，2()971afxxax
即6||8aa，又1a，故87a．
13．在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(||1)yy作的水平截面,所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为__________
【解答】根据提示,一个半径为1，高为2的圆柱平放，一个高为2，底面面积8的长方体,这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为221228216．
14．对区间I上有定义的函数()gx，记(){|(),}gIyygxxI，已知定义域为[0,3]的函数()yfx有反函数1()yfx,且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)ff，若方程()0fxx有解0x，则0_____x
【解答】根据反函数定义,当[0,1)x时，()(2,4]fx；[1,2)x时，()[0,1)fx，而()yfx的 3 定义域为[0,3]，故当[2,3]x时，()fx的取值应在集合(,0)[1,2](4,)，故若00()fxx,只有02x．
二、选择题
15．设常数aR,集合{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa，若ABR，则a的取值范围为（ )
（A） (,2) （B） (,2] (C） (2,) (D） [2,)
【解答】集合A讨论后利用数轴可知，111aa或11aaa，解答选项为B．
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（)
（A）充分条件 (B）必要条件 （C)充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件
【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜,故选B．
17．在数列{}na中，21nna，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,ijijijaaaaa，（1,2,,7;1,2,,12ij）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
(A）18 (B)28 (C)48 (D）63
【解答】,21ijijijijaaaaa，而2,3,,19ij,故不同数值个数为18个，选A．
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,aaaaa；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,ddddd。若,mM分别为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}ijk,{,,}{1,2,3,4,5}rst，则,mM满足( ）。
(A) 0,0mM (B） 0,0mM (C) 0,0mM (D) 0,0mM
【解答】作图知，只有0AFDEABDC，其余均有0irad,故选D．
三、解答题
19.(本题满分12分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1，A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离。
【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故1111//,ABCDABCD，
故ABC1D1为平行四边形，故11//BCAD，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C;
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h
考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得111(12)1323V D1C1B1A1DCBA 4 而1ADC中，115,2ACDCAD，故132ADCS
所以，13123233Vhh，即直线BC1到平面D1AC的距离为23．
20．(6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x)，每小时可获得利润是3100(51)xx元。
(1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
【解答】（1）根据题意，33200(51)30005140xxxx
又110x，可解得310x
(2)设利润为y元，则4290031161100(51)910[3()]612yxxxx
故6x时，max457500y元．
21．（6分+8分)已知函数()2sin()fxx，其中常数0；
（1）若()yfx在2[,]43上单调递增，求的取值范围；
(2)令2,将函数()yfx的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()ygx的图像，区间[,]ab（,abR且ab）满足:()ygx在[,]ab上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]ab中，求ba的最小值．
【解答】(1）因为0，根据题意有
34202432
（2) ()2sin(2)fxx,()2sin(2())12sin(2)163gxxx
1()0sin(2)323gxxxk或7,12xkkZ，
即()gx的零点相离间隔依次为3和23，
故若()ygx在[,]ab上至少含有30个零点，则ba的最小值为2431415333．
5 22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12xCy，曲线2:||||1Cyx，P是平面上一点，若存在过点P的直线与12,CC都有公共点,则称P为“C1-C2型点"．
(1）在正确证明1C的左焦点是“C1-C2型点"时,要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证)；
(2）设直线ykx与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“C1—C2型点"；
(3)求证:圆2212xy内的点都不是“C1—C2型点”．
【解答】：（1）C1的左焦点为(3,0)F，过F的直线3x与C1交于2(3,)2，与C2交于(3,(31))，故C1的左焦点为“C1—C2型点”，且直线可以为3x；
（2）直线ykx与C2有交点,则
(||1)||1||||1ykxkxyx，若方程组有解，则必须||1k；
直线ykx与C2有交点，则
2222(12)222ykxkxxy，若方程组有解，则必须212k
故直线ykx至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”。
（3）显然过圆2212xy内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)ttt，则
:(1)()(1)0lytkxtkxytkt
直线l与圆2212xy内部有交点，故2|1|221tktk
化简得，221(1)(1)2ttkk。。..。..。。。。。①
若直线l与曲线C1有交点，则
2222211()2(1)(1)10212ykxkttkxktktxtktxy
