2014年上海市高考数学试卷及解析(理科)

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2014年上海市高考数学试卷（理科）

一、填空题（共14题，满分56分）

1、（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是

、

2、（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=

、

3、（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 、

4、（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为 、

5、（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 、

6、（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为

（结果用反三角函数值表示）、

7、（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 、

8、（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= 、

9、（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 、

10、（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）、

11、（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= 、

12、（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= 、

13、（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 、

14、（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为 、

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二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分

15、（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件

C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

16、（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

17、（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）

A、无论k，P1，P2如何，总是无解

B、无论k，P1，P2如何，总有唯一解

C、存在k，P1，P2，使之恰有两解

D、存在k，P1，P2，使之有无穷多解

18、（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）

A、[﹣1，2] B、[﹣1，0] C、[1，2] D、[0，2]

三、解答题（共5题，满分72分）

19、（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V、

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20、（14分）设常数a≥0，函数f（x）=、

（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由、

21、（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β、

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）、

22、（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线、

（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；

（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；

（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线、

23、（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1、

（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围、

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（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差、

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参考答案与试题解析

一、填空题（共14题，满分56分）

1、（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是

、

题目分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期、

试题解答解：y=1﹣2cos2（2x）

=﹣[2cos2（2x）﹣1]

=﹣cos4x，

∴函数的最小正周期为T==

故答案为：

点评：本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题、

2、（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 、

题目分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可、

试题解答解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，

则（z+）•=

=（1+2i）（1﹣2i）+1

=1﹣4i2+1

=2+4

=6、

故答案为：6

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查、

3、（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=﹣2 、

题目分析：由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重

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合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程

试题解答解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），

又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，

故=2得p=4，

∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2、

故答案为：x=﹣2

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题、

4、（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为

（﹣∞，2] 、

题目分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围、

试题解答解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；

当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；

当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；

∴a≤2，

故答案为：（﹣∞，2]、

点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题、

5、（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2 、

题目分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得、

试题解答解：∵xy=1，

∴y=

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∴x2+2y2=x2+≥2=2，

当且仅当x2=，即x=±时取等号，

故答案为：2

点评：本题考查基本不等式，属基础题、

6、（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为

arccos

（结果用反三角函数值表示）、

题目分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角、

试题解答解：设圆锥母线与轴所成角为θ，

∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，

∴==3，

即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，

故圆锥的轴截面如下图所示：

则cosθ==，

∴θ=arccos，

故答案为：arccos

点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键、

7、（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交

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点到极点的距离是

、

题目分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离、

试题解答解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，

∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=、

故答案为：、

点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键、

8、（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=

、

题目分析：由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值、

试题解答解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，

a1=（a3+a4+…an）

=（﹣a1﹣a1q）

=，

∴q2+q﹣1=0，

解得q=或q=（舍）、

故答案为：、

点评：本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用、

9、（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 （0，1） 、

题目分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可、

试题解答解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，