因式分解的四种方法(讲义)

因式分解的多种方法

编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。

1】提取公因式

这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

例一：2x^2-3x=0

解：x(2x-3)=0

x1=0,x2=3/2

这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

这对我们后面的学习有帮助。

2】公式法

将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：x^2-4分解因式

分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2

解：原式=(x+2)(x-2)

3】十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果

例三： 把2x^2-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1 ╳

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

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因式分解

知识点一：因式分解的概念及注意事项

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

知识点二：因式分解基本方法

方法一·提公因式法

1、提公因式法分解因式的一般形式，如:

ma+mb+mc=m（a+b+c）.

这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的整式.

2、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.

3、找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

4、注意事项：

多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。

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题型展示：

1、将下列各式分解因式：

（1）y)2b(x-y)3a(x;

（2）32)(18)(12nmnm;

（3）3)2(6)2(3xyyx;

（4）22222)(83)(41pqabqpba;

2、下列分解因式结果正确的是( )

因式分解的多种方法

1】提取公因式

这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

例一：2x^2-3x=0

解：x(2x-3)=0

x1=0,x2=3/2

这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

这对我们后面的学习有帮助。

2】公式法

将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：x^2-4分解因式

分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2

解：原式=(x+2)(x-2)

3】十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果

例三： 把2x^2-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1

=5 1 3

╳

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)

=-5

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)

=-7

文本解读新课程NEWCURRICULUM

“四法”搞定因式分解

曹德文

（甘肃省泾川县合道初级中学）

一、提公因式法

多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。通

过观察我们可以发现：一个多项式的公因式实质上是取各项系

数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。

【典型例题】把下列多项式分解因式：

（1）8a3b2原12ab3c；（2）原2m3垣4m2垣2m；

（3）6（x原2）垣x（2原x）；（4）18b（a原b）2原12（a原b）3。

【解析】（1）8a3b2原12ab猿c=4ab2（2a2原3bc）；

（2）原2m3垣4m2垣2m=原2m（m2原2m原1）；

（3）6（x原2）垣x（2原x）=6（x原2）原x（x原2）=（x原2）（6原x）；

（4）18b（a原b）2原12（a原b）3=6（a原b）2［3b原2（a原b）］=6（a原b）2

（5b原2a）。

二、运用公式法

初中阶段主要涉及两类三个公式，平方差公式：a2原b2=（a垣b）

（a原b）；完全平方公式：a2垣2ab垣b2=（a垣b）2；a2原2ab垣b2=（a原b）2；

1.平方差公式：a2原b2=（a垣b）（a原b）。

【典型例题】把下列各式分解因式：

（1）1原25b2；（2）（x垣p）2原（x垣q）2；

（3）16（a原b）2原9（a垣b）2；（4）x4原y4。

【解析】（1）1原25b2=12原（5b）2=（1垣5b）（1原5b）；

（2）（x垣p）2原（x垣q）2=［（x垣p）垣（x垣q）］［（x垣p）原（x垣q）］

=（2x垣p垣q）（p原q）；

（3）16（a原b）2原9（a垣b）2=［4（a原b）］2原［3（a垣b）］2

=［4（a原b）垣3（a垣b）］［4（a原b）原3（a垣b）］

=（7a原b）（a原7b）；

（4）x4原y4=（x2）2原（y2）2=（x2垣y2）（x2原y2）=（x2垣y2）（曾垣赠）（曾原赠）。

2.完全平方公式：a2垣2ab垣b2=（a垣b）2；a2原2ab垣b2=（a原b）2。