几何中的射影定理及其应用举例

５８　数学获啦研究　第２９卷第５期２ｏ１０年５月　向量在射影几何中的应用举例　郑　平　宋雪梅　（兰州城市学院数学学院，甘肃兰州　７３００７０）　摘要：归纳总结了向量在射影几何中直线方程的建立、Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理的证明、Ｐａｐｐｕｓ定理的证明　等方面的应用．　关键词：向量；齐次坐标；齐次方程　中图分类号：Ｏ１８５　向量本身是数与形完美结合的典范．用　向量解决射影几何中直线方程的建立、Ｄｅｓ—　ａｒｇｕｅｓ定理的证明、Ｐａｐｐｕｓ定理的证明等问　题，方法简洁，有其独到之处．　１　齐次坐标的基本结论　在射影平面上，点与直线都有齐次坐标　和齐次方程．由向量代数　知一点Ｍ与它的　向径　之间是一一对应的，并且一点Ｍ与　它的向径　的坐标是相同的．　设点的齐次坐标为Ａ（ａ１，口２，口３），Ｂ（６ｌ，　６２，　），Ｃ（ｃｌ，ｃ２，　），则　＝＝＝口＝（ｎｌ，　，ａ３），　＝６＝（６１，６２，　），（　一ｃ一（ｆ１，ｃ２，Ｃ３）．　１．两点Ａ与Ｂ重合的充分必要条件是：　ａ＝Ａｂ司　口１：ｎ２：口３—６ｌ：ｂ２：ｂ３．　２．三点Ａ，Ｂ，Ｃ共线的充分必要条件是：　ｌ口＋　２６＋　３ｃ＝Ｏ，　｝＋　；＋　；≠０，或（ａｂｃ）＝　ｌ吼　ｎ２　铂ｌ　０，或Ｊｂ１　ｂ２　ｂ３　ｌ＝０．　Ｉ　。　。　ｆ　３．三点Ａ，Ｂ，Ｃ（其中Ａ与Ｂ不重合）共　线的充分必要条件是：ｃ：Ａａ＋　，　＋　≠０，　或Ｃ－￣＂ａ＋ｋｂ．　２直线的齐次方程Ｄ］　相异两点Ａ与Ｂ的连线ＡＢ的齐次方　’　Ｉ　Ｘ２铂ｌ　程是（ｘａｂ）一。或ｌ　ｎ１　ｎ２口。ｌ＝ｏ。连线ＡＢ　ｆ　ｂｌ　ｂ２　ｂ３　ｌ　的齐次坐标为口×ｂ（注：ａ×ｂ表示两向量窿　与ｂ的叉积）．　对偶地，相异两直线ａ与ｂ的交点ｎ×ｂ　｛　蚝ｌ　的齐次方程是（ｕａｂ）一０或Ｉ口ｔ口ｚ口ｓ　Ｉ＝　ｌ　ｂｌ　ｂ２　ｂ３　ｆ　Ｏ．交点口Ｘ　ｂ的齐次坐标为ａ×６（注：ａ与ｂ　又表示直线的齐次坐标构成的向量）．　３笛沙格定理的证明　Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理　在ＡＡＢＣ和△Ａ　Ｂ　Ｃ　中，若对应顶点的连线ＡＡ　，ＢＢ　，ＣＣ　共点　Ｓ，则对应边的交点Ｐ＝ＢＣ￣Ｂ　Ｃ　，Ｑ＝ＣＡｘ　Ｃ　，Ｒ＝ＡＢ×Ａ　Ｂ　共线．　证明　由条件ＡＡ　，ＢＢ　，ｃｃ＇三线共点　于Ｓ，则　＝　０－－３；＋。　，　＝　商＋　，　＝ｙ　＋ｙ　，得　一　菌一一￣ｇ－Ｏ－Ｒ一　）＝礞，　’，　一　一一（　一　留）＝　，　卢　一ｙ　＝一（　－７　）＝　．　所以　＋　＋　一ｏ，即　，　，　线性相关，因此三点Ｐ，Ｑ，Ｒ共线．　收稿日期：２０１０—０１—０４　作者简介：郑平（１９６２一），女，浙江平阳人，副教授，主要从事基础数学（几何方向）的研究．

梅内劳斯定理及其在解直线形

几何问题中的运用举例

数学科杨永根

不少教师在碰到下面例1的平面几何证题中,

总喜欢引导学生作各种补助线(一般是作

平行线),

然后再加以证明。

(如图l)D是BC延长线上的点,

E是AC的中点,

连DE引长交AB于F

BùA

F-

EBǐ

C

r

D例1:

证明:

证明:

由已知

则

又过C作EF

的平行线交AB于G

AE=CE

AF二GF

DB_

DC

DB_

DCFB

FG

FB

FA图1

当然,

这一命题的证明过程中依赖于“

平行线截得比例线段”

这一定理,

证明过程中添

加的辅助线也很有启发性,

揭示了解决比例线段一类证题的一种普遍性方法(即:

作适当的

平行线,

寻找比例项的思考方法),

但仅局限于这一思考方法是不够的。

从这一类型的命题

来考虑,

如能采用中学数学统编教材《几何》第一册P235(26)题的结论去证,

那证

法将更加简单,

且能形成一般通式,

这题就是著名的“

梅内劳斯”

定理。

本文,

就“

梅内劳

斯”

定理出发,

谈谈它在解直线形几何题中的运用。

梅内劳斯定理:

如果三角形ABC的边BC、

CA、

AB与一直线l交于点L、

M、

N,

则在

各边上所确定的线段有下列关系(图2)

一一A一BN一N

人LB

LC

证明:、

B、

C分别作l的垂线,

并令其

扫

三式以一刀

一一长为以

则、

日、

丫

LB_

刀MC_Y

〔-

己一

不’

丽兀~一

瓜气,

口

以一刀

兰试刀一丫色两边相乘得

工卫目.

丛卫.

丝生=

LCMANB

州

\tt、、在教学中,

我们要提醒学生注意如下几个

问题。

(l)如图3的三个外分点的情况定理仍

然成立。

丫月

C工AM一

(2)若截线l通过三角形顶点,

等式将

不成立。七

(3)若截线C、

图3

l平行于BC边(图3),\、

点L可以看作是无穷远点,

而比

畏可以看作是

`,

即

畏=`,

这时结论为

兴二

箫一

即平

行截割定理,

这就是说,

平行截割定理是梅内劳

斯定理的特殊情况。

梅内劳斯定理的逆定理是成立的。

逆定理:

如果在三角形ABC的边BC、

CA、

AB上取三个点L、

M、

N满足关系式

则这三点L、

M、

N共线

一A一B一N

.l.

B

LCMC

2018.No46󰀹󰀶摘 要：在初中几何会讲到很多的定理，有些定理很基础，无论课本如何改编都必须学习，有些定理则可利用基础定理推导出来，在课本改编时可能会删去，但是在解题中如果能直接应用这些定理，题目的难度就会大大降低，从而提高学生的解题速度。满足双垂直模型的射影定理就是一个能极大帮助学生解题的定理。本文中笔者将根据自己在初中数学教学中的经验，总结出双垂直模型在初中几何解题中的应用优点。关键词：双垂直模型；射影定理；初中几何；解题应用射影定理在几何的证明及计算中的应用很广泛，学生能够灵活应用这个定理将能够起到事半功倍的效果。以下为射影定理的主要内容和简单图示：如图1，已知：△ABC是直角三角形，AD为斜边BC上的高．则有结论：AB2=BD•BC，AC2=CD•BC，AD2=BD•CD．通常，我们将满足射影定理的基本图形称为“双垂直模型”。此模型经常与其它模型结合起来考察学生解决数学问题的综合能力。例如，在三角形中证明线段之间的关系，圆中证明线段之间的关系或求线段的长度等等。在此，举例说明射影定理在解题中的应用：一、求解三角形中线段长度关系射影定理在求解三角形中的线段长度时发挥着重要的作用．如果仅根据勾股定理计算直角三角形中线段的长度，学生能够很快地解决，但是当直角三角形中的线段比较多，需要利用线段之间的关系计算时，学生经常找不到入手点，不知道该如何进行计算。在教学中笔者发现，学生不会计算是因为对线段之间的数量关系不明确，对图形不敏感。笔者建议，在教学中教师应对学生进行适当的引导，复习射影定理的图示及结论，锻炼学生利用图形进行分析，帮助学生寻找突破口。比如：如图，已知：线段CE为直角三角形斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点为点P，然后连接AP。作BG垂直于AP，垂足为G，与CE相交于点D。求证：CE²=PE•DE。此题中图形比较复杂，线段较多，学生刚看题时可能会无从下手。如果教师能够通过类似题目强化训练射影定理的应用，学生容易证明Rt△ACE∽Rt△CBE，得出CE2=AE•BE；再证明△AEP∽△BED，得出AE•BE= PE•DE，联立两式即可得出本题的结论。此题在双垂直模型的帮助下能很快得到解决，提升了学生解题的速度。二、求解圆中线段长度很多学生在初学相似三角形时并没觉得有太大难度，但是当相似三角形与圆相结合时就会出现很多困难。如果学生没掌握射影定理，不熟悉双垂直模型，一些线段的关系根本看不出来，从而很难解决问题。比如：教师在课堂上引用2018年南京的中考题：浅谈“双垂直模型中的射影定理”在初中几何解题中的应用黄德诚(广西省桂林市宝贤中学 541003)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE。过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G。(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径。【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；(2)连接CG，首先证明CG是直径，再利用射影定理等知识求出CG即可解决问题；【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理、射影定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型。三、求解圆中线段的数量关系在求解圆中线段的数量关系时存在很多的复杂因素，导致学生不理解题意所表达的关系，有些学生根本看不出线段之间的关系。出现问题是因为学生不理解圆与三角形结合的一些定理，如：射影定理。比如：教师在课堂上引用2016年长沙的中考题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF。(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC=2DE，求tan∠ABD的值。【分析】(1)直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；(2)直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案； (3)利用相似三角形的性质结合射影定理、勾股定理表示出AD、DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值。【点评】此题主要考查了直角三角形中勾股定理、射影定理以及圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，根据题意表示出AD、DC的长是解题关键。综上所述，利用射影定理可以解决很多中考问题，让学生少走很多的弯路，让学生在解决几何题中由“山穷水尽疑无路”变成“柳暗花明又一村”。虽然射影定理在初中几何课本中并没有大篇幅的讲解，但是在解决几何问题时会有很大的帮助。因此，笔者建议：在教学中教师应向学生详细补充讲解此射影定理及其应用，训练学生在复杂图形中抽象出双垂直模型的基本图示。教师只有让学生熟练地掌握、应用射影定理，才能帮助学生突破解题过程中的难点，让题目迎刃而解，从而激发学生的学习兴趣，提升学生的数学思维能力。参考文献：[1] 蒋俊.初中数学课堂教学中“双垂直模型”的应用技巧探究[J].学生之友(高中半),2016(02).[2] 张小丁.浅析初中数学教学中“双垂直模型”在几何中的应用[J].科技风,2017(13).

●匪　

微分中值定理及其应用举例　陈　平　万祥兰　（１湖北省公安县第一中学数学组，湖北公安４３４３００；２湖北工业大学理学院，湖北武汉４３００６８）　摘要：高等数学的微分中值定理是微分学的基本内容，是研究函数的重要工具，也是导数应用的理论基础．本文介绍了三　种微分中值＆定理的简单应用．　关键词：微分中值定理　罗尔定理拉格朗日定理柯西中值定理　一、微分中值定理基本内容　微分中值定理建立了导数与函数之间的联系．几个主要　微分中值定理如下：　１．罗尔定理　如果函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可　导，且在区间端点ｆ（ａ）＿ｆ（ｂ），那么在（ａ，ｂ）内至少存在一点∈　（ａ＜毫＜ｂ），使得ｆ，（∈）＝Ｏ．　２．拉格朗日中值定理　如果函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可　导，那么在（ａ　９ｂ）内至少存在一点∈（ａ＜∈＜ｂ），使ｆ，（§）＝　ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）　ｂ－ａ　３．柯西中值定理　函数ｆ（ｔ），Ｆ（ｔ）在闭区间［ａ　７ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内　可导，且Ｆ　（ｔ）在（ａ，ｂ）内不为０，那么在（ａ，ｂ）内至少存在一点∈　＝器．　二、三个微分中值定理之间的关系　三个微分中值定理不是相互独立的，之间有着密切的关　系．罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例（当ｆ（ａ）－－ｆ（ｂ）时）；拉　格朗日中值定理是柯西中值定理的特例（当ｇ（ｘ）＿ｘ时）；当函数　用参数方程表示时。拉格朗日定理就变成柯西定理．　三√Ｌ何描述　三个微分中值定理概括起来有着相同的几何本质：　在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）可导的曲线上至少存在一点，过　该点的切线与曲线两个端点联结形成的割线平行．　四　应用举例　微分中值定理在解题中的应用十分广泛、灵活，在此仅举　几例．　１．证明恒等式　例１：求证：ａｒｃｓｉｎｘ＋ａｒｃｃｏｓｘ＝　．（ｘ∈［一１，１］）　Ｚ　证明：设ｆ（ｘ）＝ａｒｃｓｉｎｘ＋ａｒｃｃｏｓｘ，则ｆ（ｘ）在［一１，１］上连续，在　（一１，１）内可导，且ｆ，（ｘ）＝—　一—　＝Ｏ，　Ｖ１一ｘ‘　、／１一ｘ‘　从而ｆ（ｘ）在［一ｌ，１］上为常数，ｌｉＯｆ（ｘ）＝ｆ（Ｏ）＝—＇　ｉＴ．　所以在『一１，１］＿ｌ＝ａｒｃｓｉｎｘ＋ａｒｃｃｏｓｘ＝一＂ＩＴ．　２　２．证明不等式　例２：求证：当ｘ＞Ｏ时，　＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ．　１＋ｘ　分析：原不等式等价于　＜ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎｌ＜１．　１＋ｘ　ｌ＋ｘ－ｌ　证明：令ｆ（ｔ）＝ｌｎｔ，显然ｆ（ｔ）在［１，１＋ｘ］（ｘ＞Ｏ）满足拉格朗日　中值定理的条件，于是存在∈Ｅ（１，ｌ＋ｘ），使　＝÷，　而１＜《＜１＋ｘ，故÷＜÷＜１，　ｌ十ｘ　毛　从而—Ｉ＿＜ｌｎ（１＋ｘ）＜１，　ｌ＋ｘ　所以当ｘ＞Ｏ时，　＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ．　１＋ｘ　３．讨论函数的零点　例３：求证：４ａｘ　＋３ｂｘ‘＋２ｃｘ＝ａ＋ｂ＋ｃ在（０，１）内至少一个实根．　证明：令ｆ（ｘ）＝４ａｘ　＋３ｂｘ‘＋２ｃｘ一（ａ＋ｂ＋ｃ），即要证ｆ（ｘ）在（０，　１）内至少有一个实根．　ｆ（ｘ）是Ｆ（ｘ）：ａｘ　＋ｂＸ３＋Ｃｘ２＿（ａ＋ｂ＋ｃ）ｘ的导函数，ＲＰＦ，（ｘ）：　ｆ（ｘ），又Ｆ（０）＝Ｆ（１），显然Ｆ（ｘ）在（Ｏ，１）上满足罗尔定理的条　件，故在（０，１）内至少存在一点∈，使得Ｆ　（专）＝ｆ（∈）＝Ｏ，￣ｌｌｆ（ｘ）在　（０，１）内至少有一个实根．　微分中值定理应用广泛，以上仅介绍了几种常见的应用．　通过对微分中值定理的研究。加深对定理的理解，提高学生解　决问题的能力和创新能力。激发学习数学的兴趣．　参考文献：　［１］同济大学数学系．高等数学第六版上册［Ｍ］．北京：高　等教育出版社．２００７：１２８—１３３．　［２］柴长建．微分中值定理的教学实践与探索［Ｊ］．高等数　学研究，２０１０，１３（５）：２－５．　往直前，不轻言放弃。　数学学习是一项艰苦复杂的脑力劳动。在三角函数学习　过程中，教师应该潜心研究各种教学策略。扫除转化学生遇到　的各种学习障碍，优化课堂教学结构，提高课堂的有效性。　参考文献：　【１］王工一．强化数学语言训练提高数学课教学质量的实　验研究［Ｊ］．数学教育学报，１９９９（４）：７８—８１．　［２］吴有昌．数学语言障碍初探［Ｊ］．数学教育学报，２００２，　１１（２）：６８．　［３］曹才翰，蔡金法．数学教育学概论［Ｍ］．南京：江苏教育　出版社，１９８９：８８—８９．　［４］郑君文，张恩华．数学学习论［Ｍ］．南宁：广西教育出版　社．１９９６：１５３—１５５．