射影几何定理

关于射影定理 第 1 页 共 3 页 ABCDabcpqh关于射影定理

【知识要点】

射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB

则，1．CD2＝AD·BD

2．BC2＝BD·AB

AC2＝AD·AB

很容易推出：ADBDACBC22．

AC·BC＝AB·CD．

BC2＋AC2＝AB2．

222111CDACBC．

AC＋BC＜AB＋CD．

用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：

① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ qpba22 ；⑤ ab＝ch ；

⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ 222111hba；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．

利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边．参考几何第二册P.262页11题）．

（由于现行教材中没有讲射影定理，所以在使用该定理时应注明：“由射影定理得”几个字）

【例题与练习】

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，CD⊥AB，E为BC上任意一点，CF⊥AE于F．

求证：△ADF∽△AEB

2．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB，E为DC延长线上任意一点，BM⊥AE于M交CD于F．

求证：CD2＝DE·DF （定值问题）

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，CD⊥AB，M为BC中点，延长DM交AC延长线于N．

面积射影定理

射影定理是我们初中时就接触了的几何定理，它是由古希腊数学家欧几里得提出的一个重要定理，在它的帮助下我们不仅可以证明勾股定理，还可以快捷地解决许多几何问题。在这里我想介绍一下同样由他提出的一个重要定理——面积射影定理。

定理的叙述如下：平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。（即原射SScos）。

相信大家对这个定理一定不会感到陌生，因为在学习立体几何时我们就曾用它来求二面角的余弦值。但是定理的相关证明并没给出，所以在这里提供一种方法（可能不是很靠谱-_-）。

本着由特殊到一般的理念，我们就先从三角形开始吧。（如图）从图中我们可以看到两个三角形所在平面成角，而为了方便，不妨将它们平移至θ

特殊位置。（如图）于是易知cosDECEABDSABCS。而对于无法平移至一边重合的三角形，我们可以采用延长一边的办法补全两个三角形，再结合相似知识，同样可以得证，（如图）

接下来我们开始讨论一般图形了，一般图形所具有的特点是没有明显的高和宽，这就迫使我们不得不转变思路。所以，我们可以尝试将图形分割，并且可以想象，当图形被等分成无限多块时，如果每一小块都符合定理，那么整个图形也就同样符合了。因此，我们以一个不规则图形为例进行说D

B θ

A C

E

明。（如图）

在图示的心形图形中，我们将图形用正方形网格进行分割，当网格数趋于无穷大时，图形将被分割为无限多块面积相等的小正方形（就如同构成影像的像素），所以证明一般图形就转为证明正方形了。在证明正方形时我们则可以将正方形分成两个三角形，再结合上开头的结论，这样，证明就完成了。

关于面积射影定理的应用，当属大家所熟知的求二面角余弦值了。但是在其他地方它也可以大显身手，比如求椭圆的面积。

我们知道椭圆是圆柱体被一斜平面所截时产生的图形，

（如图）所以由图可知椭圆面与圆柱底面成角，由面积射影定理得cos圆椭圆SS，即cos2rS椭圆。又因为rbra22,cos22,所以ababrScoscoscos2椭圆

湖北大学

硕士学位论文

射影几何几个重要定理关系的研究

姓名：廖小勇

申请学位级别：硕士

专业：基础数学

指导教师：李光汉

20080501摘要

Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理、Ｃｅｖａ定理、Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理、Ｐａｐｐｕｓ定理、Ｐａｓｃａｌ定理和Ｂｒｉａｎｃｈｏｎ定理等，都是射影几何中重要而著名的定理，也是研究平面和空间几何中点共线或线共点等问题的有力工具．长期以来，在各种版本的几何学专著或教材中，这些重要定理均独立表述，少有阐述它们关系的介绍说明．近几年，关于Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理和Ｃｅｖａ定理等的应用研究，已经取得了不少研究成果；也有不少学者应用代数几何、拓扑或微分

流形等工具，研究Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理、Ｐａｐｐｕｓ定理、Ｐａｓｃａｌ定理和Ｂｒｉａｎｃｈｏｎ定理等定理的一些推广与应用问题．但仍有若干问题有待进一步探讨，深入理解和揭示这些重要定理的关系及其内涵，有其理论和实际研究意义．本文就射影几何的上述重要定理，对它们之间的关系作一些探索，主要工作是：探讨了Ｃｅｖａ定理和Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理的～致性，分析研究了Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理和Ｃｅｖａ定理的统一性，同时给出这两个定理的统一形式——Ｍ．Ｃ定理，并揭示了Ｍ．Ｃ定理与Ｐａｓｃａｌ

定理和Ｂｒｉａｎｃｈｏｎ定理（包括退化情形）之间的内在联系；利用Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理，对Ｐａｐｐｕｓ定理、Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理和Ｐａｓｃａｌ定理（关于圆的情形）进行了统一形式的证明；对Ｐａｐｐｕｓ定理、Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理和Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理作了一定的推广．以此认清这些定理之间的关系，揭示它们在射影几何中的重要地位与作用．

关键词：射影几何；Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理；Ｃｅｖａ定理；Ｄｅｓａｒｇｕｅｓ定理；Ｐａｓｃａｌ定理；Ｂｒｉａｎｃｈｏｎ

定理；点共线；线共点Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｍｅｎｅｌａｕｓｔｈｅｏｒｅｍ，Ｃｅｖａｔｈｅｏｒｅｍ，Ｄｅｓａｒｇｕｅｓｔｈｅｏｒｅｍ，Ｐａｐｐｕｓｔｈｅｏｒｅｍ，ＰａｓｃａｌｔｈｅｏｒｅｍａｎｄＢｒｉａｎｃｈｏｎｔｈｅｏｒｅｍｎｏｔｏｎｌｙａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔａｎｄｗｅｌｌ—ｋｎｏｗｎｉｎｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ

1 射影定理◆总复习 认真解答,一定要细心哟!

定义：射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项

例如：公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下

(1)(AD)^2;=BD·DC,

(2)(AB)^2;=BD·BC ,

(3)(AC)^2;=CD·BC 。

例题1：

1、ABC中，90A，ADBC于点D，AD=6，BD=12，则CD=，AC= ，22:ABAC= 。

2、如图1-1，在RtABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长

3、如图2-1，在RtABC中，90ACB，CDAB，AC=6，AD=3.6，则BC= ．

3、已知CD是ABC的高，,DECADFCB，如图3-1，求证：CEFCBA∽

变式训练：

图1—4—3，已知：BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H=∠BCF。求证：GD2=GF·GH。

2 射影定理◆总复习 认真解答,一定要细心哟!

中考链接：

如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DEAM，E是垂足，求证：2224abDEab

创新训练：

如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DEACADECDE，则EDB