八年级数学华师大版上册学案：第12章小结与复习
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第 1 页 第12章小结与复习
【学习目标】
1．让学生熟记整式乘除的计算法则、平方差公式和完全平方公式；
2．让学生学会灵活运用法则、乘法公式进行整式的乘除运算；
3．让学生能够熟练地利用提公因式法、公式法分解因式．
【学习重点】
运用法则、乘法公式进行整式的乘除运算和因式分解．
【学习难点】
乘法公式与因式分解．
行为提示：先让学生结合知识结构图独立回忆本章主要知识点，填写知识梳理部分．
注意：幂的运算的四个公式：同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方要记清楚，不要混淆了．
注意：1.结果必须是几个整式的积；
2．结果要分解到每个因式不能再分解为止；
3．方法步骤：一提二套．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．
教会学生落实重点．
情景导入 生成问题
1．知识结构我能建 第 2 页 整式的乘法与因式分解幂的运算同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方积的乘方整式的乘除单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式单项式除以单项式多项式除以单项式乘法公式平方差公式完全平方公式因式分解提公因式法公式法
2．知识梳理我能行
一、幂的运算
1．同底数幂的乘法：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
2．同底数幂的除法：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．
3．(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
4．(ab)n＝anbn(n为正整数)．
二、整式的乘除
1．单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
三、乘法公式
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
2．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
四、因式分解
1．提公因式法分解因式：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)．
2．公式法分解因式：
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)两数和(差)的平方：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
自学互研 生成能力
知识模块一 整式的乘除法运算
典例1：计算：(1)3x3·(－2x2)；(2)[(－2x)3]2；(3)－2xy(5x2y－4xy＋1)；
(4)(2a－2b)(3a＋7b)；(5)9x3÷(－3x2)；(6)(3x3y－x2y2＋2x2y)÷(－x2y)． 第 3 页 解：(1)原式＝－6x5；(2)原式＝64x6；(3)原式＝－10x3y2＋8x2y2－2xy；
(4)原式＝6a2＋8ab－14b2；(5)原式＝－3x；(6)原式＝－3x＋y－2.
学法指导：做这一类题的方法是：主要是两个乘法公式正用、逆用，只要看到a＋b、a－b、ab、a2＋b2就要想到乘法公式．
行为提示：因式分解要分析题目的结构特点，当不能用某一公式解决时要综合运用两个或两次公式解题．对于整式的乘除与公式的综合应用，关键要熟记本章的法则、公式，灵活选用不同的方法解题．
学法指导：解决这一类题目是，首先观察式子特点，有公因式要先提公因式，然后再根据因式特点选择公式进行因式分解．
学法指导：此题应先因式分解，然后利用整体思想运用整式的除法进行化简，最后再代入求值．
行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．
典例2：先化简，再求值：2a2b－[3a2b－ab(b－2a)]÷－12ab，其中a＝1，b＝3.
解：原式＝2a2b－[3a2b－(ab2－2a2b)]÷－12ab
＝2a2b－(5a2b－ab2)÷－12ab
＝2a2b－(－10a＋2b)
＝2a2b＋10a－2b.
当a＝1，b＝3时，原式＝2×1×3＋10×1－2×3＝6＋10－6＝10.
知识模块二 乘法公式的运用
典例3：已知x＋y＝7，xy＝10，求3x2＋3y2的值．
解：原式＝3(x2＋y2)＝3[(x＋y)2－2xy]＝3(72－2×10)＝3×29＝87.
典例4：已知实数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，求a2＋b2＋ab的值．
解：(a＋b)2＝1，得a2＋2ab＋b2＝1①，
(a－b)2＝25，得a2－2ab＋b2＝25②.
由①－②，得4ab＝－24，所以ab＝－6.
由①＋②，得2a2＋2b2＝26，所以a2＋b2＝13.
所以a2＋b2＋ab＝13＋(－6)＝7.
知识模块三 因式分解 第 4 页 典例5：分解因式：
(1)ax－ay＋bx－by；(2)25a2b2＋10ab＋1；
(3)(x－y)2－4(x－y－1)；(4)3ap2－18apq＋27aq2.
解：(1)原式＝a(x－y)＋b(x－y)＝(x－y)(a＋b)；
(2)原式＝(5ab)2＋2×5ab＋12＝(5ab＋1)2；
(3)原式＝(x－y)2－4(x－y)＋4＝(x－y－2)2;
(4)原式＝3a(p2－6pq＋9q2)＝3a(p－3q)2.
知识模块四 整式乘除与因式分解的综合运用
典例6：先化简，再求值：(am2－6amn)÷am－(4m2－9n2)÷(2m－3n)，其中m＝－3，n＝13.
解：原式＝(m－6n)－(2m－3n)(2m＋3n)÷(2m－3n)
＝m－6n－(2m＋3n)
＝－m－9n.
当m＝－3，n＝13时，原式＝－(－3)－9×13＝0.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 整式的乘除法运算
知识模块二 乘法公式的运用
知识模块三 因式分解
知识模块四 整式乘除与因式分解的综合运用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
