北京市高三年级第二学期期中练习高三综合练习(一)数学文科

北京市大兴区2018~2019学年度第二学期高三第一次（4月）综合练习数学文科试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x |x ≤0}，B ={-2，-1，0，1，2}，那么A ∩B 等于（ ）A. {0,1，2}B. {1,2}C. {−2,−1}D. {−2,−1,0}2. 已知a =30.4，b =log 312，c =(13)0.2，则（ ） A. a >b >c B. a >c >b C. c >b >a D. c >a >b3. 若x ，y 满足{x −y −2≤0，x +2y −2≥0，y ≤2，则2x -y 的最大值为（ ）A. −6B. 4C. 6D. 84. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为16，则判断框内的条件为（ ）A. n >6？B. n ≥7？C. n >8？D. n >9？5. 已知抛物线C ：y 2=x ，直线l ：y =kx +1，则“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a ＞0，b ＞0，若a +b =4，则（ ）A. a 2+b 2有最小值B. √ab 有最小值C. 1a +1b 有最大值D. 1√a+√b 有最大值 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（ ）A. 2√2B. 3C. 2√3D. √138. 有10名选手参加某项诗词比赛，计分规则如下：比赛共有6道题，对于每一道题，10名选手都必须作答，若恰有n 个人答错，则答对的选手该题每人得n 分，答错选手该题不得分．比赛结束后，关于选手得分情况有如下结论：①若选手甲答对6道题，选手乙答对5道题，则甲比乙至少多得1分；②若选手甲和选手乙都答对5道题，则甲和乙得分相同；③若选手甲的总分比其他选手都高，则甲最高可得54分④10名选手的总分不超过150分．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知复数z 满足z 2+1=0，则|z |=______．10. 已知向量a ⃗ =（1，k ），b ⃗ =（9，k -6），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则k =______．11. 在△ABC 中，a =8，b =5，面积为12，则cos2C =______．12. 若直线2x +y -2=0与圆（x -1）2+（y -a ）2=1相切，则a =______．13. 已知点O （0，0），A （1，1），点P 在双曲线x 2-y 2=1的右支上，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．14. 如图，单位圆Q 的圆心初始位置在点（0，1），圆上一点P 的初始位置在原点，圆沿x 轴正方向滚动．当点P 第一次滚动到最高点时，点P 的坐标为______；当圆心Q 位于点（3，1）时，点P 的坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 如图，函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的一个零点是x =−π12，其图象关于直线x =2π3对称．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）写出f （x ）的单调递减区间．16.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，2b2+b3=0，a1+a3=2b3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）求b1-b2+b3-b4+…+b2n-1-b2n．17.随着智能手机的发展，各种“APP”（英文单词Application的缩写，一般指手机软件）应运而生．某机构欲对A市居民手机内安装的APP的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取100人，获得了他们手机内安装APP的个数，整理得到如图所示频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）从被抽取安装APP的个数不低于50的居民中，随机抽取2人进一步调研，求这2人安装APP的个数都低于60的概率；（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计A市使用智能手机的居民手机内安装APP的平均个数在第几组（只需写出结论）．18.如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E为PC中点．（Ⅰ）求证：PA⊥BC；（Ⅱ）求证：直线BE∥平面PAD；（Ⅲ）求证：平面PBC⊥平面PDC．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，F1，F2是椭圆C的焦点，△MF1F2的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．20.已知函数f（x）=ae x图象在x=0处的切线与函数g（x）=ln x图象在x=1处的切线互相平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设直线x=t（t＞0）分别与曲线y=f（x）和y=g（x）交于P，Q两点，求证：|PQ|＞2．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-2，-1，0}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：30.4＞30=1，，；∴a＞c＞b．故选：B．容易得出：，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．3.【答案】C【解析】解：由z=2x-y得y=2x-z，作出x，y满足对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过A（4，2）时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．即z=2×4-2=6．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x-y的最大值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．4.【答案】C【解析】解：框图首先赋值s=0，n=1，执行s=0+1=1，n=1+2=3；判断框中的条件不满足，执行s=1+3=4，n=3+2=5；判断框中的条件不满足，执行s=4+5=9，n=5+2=7；判断框中的条件不满足，执行s=9+7=16，n=7+2=9；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为16．由此看出，判断框中的条件应是选项C，即n＞8．故选：C．根据框图运行后输出的结果是16，从s=0，n=1开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到s的值为16时看此时的n值，此时的n值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案．本题考查了程序框图，考查了直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足算法结束，是基础题．5.【答案】B【解析】解：将直线方程代入抛物线方程得，即y=k•y2+1，∴ky2-y+1=0，当k=0时，方程只有一个解．当k≠0时，要使直线l与抛物线C有两个不同交点，则△=1-4k＞0，解得k＜且k≠0．∴“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．故选：B．结合直线和抛物线的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和抛物线的位置关系是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2ab≥16-2=16-2，有最小值，故选：A．根据基本不等式的性质判断即可．本题考察了基本不等式的性质，是一道基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，该三棱锥的原图为如图的S-ABC，SD在俯视图中投成了一个点，故SD⊥平面ABCD（ABCD为俯视图的四个顶点），DE平行于正视的视线，故DE⊥BC，根据题意，DE=BE=SD=2，所以SB为最长的棱，因为BD⊂ABCD，∴SD⊥BD，∴BD2=DE2+BE2=8，∴SD===2．故选：C．本题考查了空间几何体的三视图，由三视图还原原图是解决问题的难点，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：①甲全对，得到全部题目分数，乙错一道题，比甲少1题的分数，且这一题至少为1分（至少1人答错），故甲比乙至少多得1分；②若选手甲和选手乙都答对5道题，如果错的题目是同一题，得分相同，如果错的是不同题目且所错题目得分不同，则他们的得分就不一样．故②错；③若选手甲的总分比其他选手都高，则甲得分最高的情况为，甲答对6道题，其他人所有题目全部答错，则甲每题得9分，最高54分；④10名选手的总得分为≤6×25=150．故选：B．根据题意，只有②不对．根据题目所给的规则逐项判断．本题考查了简单的合情推理．理解题意，准确把握每个命题的含义，是正确解决问题的关键．本题属基础题．9.【答案】1【解析】解：由z2+1=0，得z2=-1，则z=i或-i，则|z|=1，故答案为：1结合复数的运算和性质，求出z=i或-i，结合复数的模长公式进行计算即可．本题主要考查复数的模长的计算，结合复数的运算求出z是解决本题的关键．10.【答案】−34解：∵∥，∴k-6-9k=0，解得k=-．故答案为：-．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】725【解析】解：∵a=8，b=5，面积为12，∴S=absinC=20sinC=12，∴sinC=．∴cos2C=1-2sin2C=1-2×=．故答案为：．利用面积公式即可求出sinC．使用二倍角公式求出cos2C．本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，属于基础题．12.【答案】±√5【解析】解：因为直线2x+y-2=0与圆（x-1）2+（y-a）2=1相切，所以=1，解得a=±．故答案为：±．利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．13.【答案】（0，+∞）【解析】解：设P（x，y），x2-y2=1∴=（1，1）•（x，y）=x+y，P是该双曲线上且在第一象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知P是该双曲线上且在第四象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知→0，则的取值范围是（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．用坐标表示出则，利用P与双曲线的渐近线的位置关系，即可得出结论．本题考查双曲线的简单性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】（π，2）（3-sin3，1-cos3）【解析】解：作辅助线如图，当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为（π，2）；当圆心Q位于（3，1）时，=3，此时圆心角为3，点P的横坐标为3-sin（π-3）=3-sin3，纵坐标为1+cos（π-3）=1-cos3，故答案为：（π，2），（3-sin3，1-cos3）．当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为（π，2）；当圆心Q位于（3，1）时，=3，此时圆心角为3，点P的横坐标为3-sin（π-3）=3-sin3，纵坐标为1+cos（π-3）=1-cos3，本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）设T为f（x）的最小正周期，2ππ3又T=2πω，所以ω=2．……（4分）由f(2π3)=−2，即sin(4π3+φ)=−1，……（5分）∵|ϕ|＜π2，∴解得ϕ=π6．……（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=2sin(2x+π6)．函数y=sin x单调减区间是[π2+2kπ，3π2+2kπ](k∈Z)．由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z……（2分）得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z……（4分）所以f（x）的减区间是[π6+kπ，2π3+kπ](k∈Z)．……（6分）另解：由y=f（x）图象可知，当x=2π3−T2=π6时函数取得最大值，……（2分）所以，函数y=f（x）在一个周期内的递减区间是[π6，2π3]．……（4分）函数f（x）在R上的减区间是[π6+kπ，2π3+kπ](k∈Z)．……（6分）【解析】（Ⅰ）利用函数图象，确定函数周期，求出ω 和φ的值即可，（Ⅱ）结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象求出ω 和φ的值以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．16.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由2b2+b3=0，得b3b2=−2，即q=-2．……（2分）所以b n=b1q n−1=(−2)n−1，所以b3=4……（3分）由a1+a3=2b3，得d=3．……（4分）所以a n=3n-2．……（5分）所以S n=32n2−12n．……（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=(−2)n−1．……（1分）所以b1-b2+b3-b4+……+b2n-1-b2n=1-（-2）1+（-2）2-（-2）3+（-2）4+…-（-2）2n-1……（3分）=1+2+22+…+22n-1……（4分）=1⋅(1−22n)1−2……（5分）=22n-1……（6分）【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由2b2+b3=0，得，即q=-2．可得b n．可得b3=4．由a1+a3=2b3，得d，可得a n，S n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）由（0.011+0.016+a+a+0.018+0.004+0.001）×10=1，……（2分）得a=0.025．……（3分）（Ⅱ）设事件A为“这2人手机内安装“APP”的数量都低于60”．……（1分）被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[50，60）的有0.004×10×100=4人，分别记为a1，a2，a3，a4，……（2分）被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[60，70]的有0.001×10×100=1人，记为b1，……（3分）从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于50的居民中随机抽取2人进一步调研，共包含10个基本事件，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a2a3，a2a4，a2b1，a3a4，a3b1，a4b1，……（5分）事件A包含6个基本事件，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，……（6分）则这2人安装APP的个数都低于60的概率P(A)=610=35．……（7分）（Ⅲ）第4组（或者写成[30，40））．……（3分）【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a．（Ⅱ）设事件A为“这2人手机内安装“APP”的数量都低于60”．被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[50，60）的有4人，分别记为a1，a2，a3，a4，被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[60，70]的有1人，记为b1，从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于50的居民中随机抽取2人进一步调研，利用列举法能求出这2人安装APP的个数都低于60的概率．（Ⅲ）第4组（或者写成[30，40））．本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】（共14分）证明：（Ⅰ）因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD．……（2分）又因为BC⊂平面ABCD，……（3分）所以PA⊥BC．……（4分）（Ⅱ）方法一：取PD中点F，连接EF，AF．在△PCD中，E，F分别为PC，PD的中点，DC．……（1分）所以EF∥DC且EF=12DC，又因为AB∥DC且AB=12所以AB∥EF且AB=EF．……（2分）所以四边形ABEF为平行四边形．……（3分）所以BE∥AF．……（4分）因为AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD．……（5分）方法二：取DC中点G，连接BG，EG．在△PCD中，E，G分别为PC，DC的中点，所以EG∥PD．……（1分）又因为PD⊂平面PAD，EG⊄平面PAD，所以EG∥平面PAD．……（2分）因为AB∥DG且AB=DG，所以四边形ABGD为平行四边形．所以BG∥AD．又因为AD⊂平面PAD，BG⊄平面PAD，所以BG∥平面PAD．……（3分）因为EG∥平面PAD，BG∥平面PAD，EG∩BG=G，所以平面BGE∥平面PAD．……（4分）又因为BE⊂平面BGE，所以BE∥平面PAD．……（5分）（Ⅲ）因为AP=AD，F为PD的中点，所以AF⊥PD．又因为BE∥AF，所以BE⊥PD．……（1分）因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PA⊥DC．……（2分）因为AB∥CD，∠DAB=90°，所以AD⊥DC．因为DC⊥AD，DC⊥PA，AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD．……（3分）又因为AF⊂平面PAD，所以DC⊥AF．又因为BE ∥AF ，所以DC ⊥BE ．……（4分）因为BE ⊥DC ，BE ⊥PD ，DC ∩PD =D ，所以BE ⊥平面PDC ．又因为BE ⊂平面PDC ，所以平面PBC ⊥平面PDC ．……（5分）【解析】（Ⅰ）推导出PA ⊥AB ，从而PA ⊥平面ABCD ．由此能证明PA ⊥BC ．（Ⅱ）法一：取PD 中点F ，连接EF ，AF ．推导出四边形ABEF 为平行四边形，从而BE ∥AF ，由此能证明BE ∥平面PAD ．法二：取DC 中点G ，连接BG ，EG ．推导出EG ∥PD ，从而EG ∥平面PAD ，推导出四边形ABGD 为平行四边形，从而BG ∥AD ．进而BG ∥平面PAD ，由此能证明平面BGE ∥平面PAD ．从而BE ∥平面PAD ．（Ⅲ）推导出AF ⊥PD ．BE ⊥PD ．由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥DC ．AD ⊥DC ．从而DC ⊥平面PAD ．进而DC ⊥AF ，DC ⊥BE ．由此能证明BE ⊥平面PDC ，从而平面PBC ⊥平面PDC ．本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得2a +2c =6，又椭圆离心率为12，即c a =12，解得a =2，c =1又b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的标准方程x 24+y 23=1．证明：（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为y -t =k （x -1），联立{y −t =k(x −1)3x 2+4y 2=12，得（3+4k 2）x 2+8k （t -k ）x +4（t -k ）2-12=0，由题意，△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8k(t−k)3+4k 2．因为|PA |=|PB |，所以P 是AB 的中点．即 x 1+x 22=1，得−8k(t−k)3+4k 2=2，4kt +3=0……①又l ⊥AB ，且k ≠0，l 的斜率为−1k ，直线l的方程为y−t=−1k(x−1)……②把①代入②可得：y=−1k (x−14)所以直线l恒过定点(14，0)．当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时直线l为x轴，也过(14，0)．综上所述直线l恒过点(14，0)．【解析】（I）根据椭圆的离心率以及过点，建立方程组即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设出直线MN的斜率和方程，联立直线方程和椭圆方程，根据中点弦的性质进行求解即可．本题主要考查椭圆方程的求解以及中点弦的应用，联立方程转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．20.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ae x，得f'（x）=ae x，所以f'（0）=a，由g（x）=ln x，得g′(x)=1x，所以g'（1）=1，由已知f'（0）=g'（1），得a=1，经检验，a=1符合题意．（Ⅱ）由题意|PQ|=|e t-ln t|，t＞0，设h（x）=e x-ln x，x＞0，则ℎ′(x)=e x−1x，设φ(x)=e x−1x，则φ′(x)=e x+1x2＞0，所以φ（x）在区间（0，+∞）单调递增，又φ（1）=e-1＞0，φ(12)=√e−2＜0，所以φ（x）在区间（0，+∞）存在唯一零点，设零点为x0，则x0∈(12，1)，且e x0=1x0．当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞），h'（x）＞0．所以，函数h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，ℎ(x)≥ℎ(x0)=e x0−lnx0=1x0−lnx0，由e x0=1x，得ln x0=-x0，所以ℎ(x0)=1x0+x0≥2，由于x0∈(12，1)，h（x0）＞2．从而h（x）＞2，即e x-ln x＞2，也就是e t-ln t＞2，|e t-ln t|＞2，即|PQ|＞2，命题得证．【解析】（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解得a；（Ⅱ）由题意|PQ|=|e t-lnt|，t＞0，设h（x）=e x-lnx，x＞0，求得导数和单调性，构造函数和函数零点存在定理，求得最小值，即可得证．本题考查导数的运用：求切线斜率和单调性、最值，考查构造函数和函数零点存在定理，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么AB =（A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}- （2）在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）80（3）已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4（4）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 （A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --=（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（6）若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）0（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a >（C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-（8）在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1i-在复平面内所对应的点的坐标为 . （10）若tan 2α=，则sin 2α= .（11）以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .（13）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP大于1（其中'EQ Q P EP Q=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（14）已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A'B'C'D'ABCD俯视图（15）（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()f A =a =，试判断ABC ∆的形状.（16）（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.(17)（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．(18)（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分13分）已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP的取值范围.（20）（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）(1,1)- （10）45（11）22(4)(4)25x y -+-=（12）3 2（13）(10,20) （14）1 ①②③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 2x x x =+- ………………………………………2分3sin 2x x =-1cos 2x x ÷÷=-÷÷)6x π=-. ………………………………………4分 由22,262k x k k πππππ-<-<+?Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+?Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………………………6分（Ⅱ）因为 ()f A =，所以)6A π-=.所以1sin()62A π-=.………………………………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以 3A π=. ………………………………………9分 因为 sin sin a bA B=，a =， 所以 1sin 2B =. ………………………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. ………………………………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创. ………………………………………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………13分(17)（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ． ………………………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点,则AC BD ⊥． ………………………………………5分 所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C OAO O =所以 BD ⊥平面1AOC ． ………………………………………7分又 1AC ⊂平面1AOC ，所以 BD ⊥1AC ． ………………………………………9分O M FEABC 1D（Ⅲ）连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠=，所以 ABD ∆是等边三角形.所以 DA DB =． ………………………………………10分因为 E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥． 又 EF AB ⊥，EF DE E =．所以 AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1DEC ．………………………………………12分又 1C E ⊂平面1DEC ，所以 AB ⊥1C E ．因为 ,4AE EB AB ==，1BC AB =，所以 114AC BC ==． ………………………………………14分 (18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x =或x =. 函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减. 所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………7分 当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.………………………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞.………………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =.又2c a =，所以 c =所以 222431b a c =-=-=.所以 椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =.所以||1||2DE AP =. ………………………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分 由 22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41k x k +=+所以 20282.41k x k =+-………………………………………8分所以 ||AP==即||AP =. 类似可求||DE =所以22||||41DE AP k==+………………………………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t+=>. 所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=. 综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2+?. ………………………………………13分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W=.那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. ………………………………………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a AB Ï，则令{}X Z a =ð.那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自AB .若a AB Î且a A B Ï，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.………………………………………14分。

海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。

北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若αααα则角且,0cos ,0cos sin <>⋅是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．函数x x f 2)(=的反函数的图象大致是 （ ）3．若向量b a b a 与则向量),3,1(),2,1(-==的夹角等于 （ ） A ．45° B ．60° C ．120° D ．135°4．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 （ ）A ．若βαβα⊥则,//,//l lB ．若βαβα⊥⊥l l 则,//,C ．若βαβα⊥⊥则,//,l lD ．若ββα//,//,//l l l 则5．“2=a ”是“直线022012=-+=-+y ax ay x 与直线”的 （ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数)4sin()(x x f -=π的一个单调增区间为（ ）A ．)47,43(ππ B ．)43,4(ππ-C ．)2,2(ππ-D ．)4,43(ππ-7．已知实数a ，b ，c 成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立．．．的是 （ ） A ．2|1|≥-+-bc a b B ．222c b a ca bc ab ++≥++C ．ac b ≥2D ．||||||||b c a b -≤-8．对于数列}{n a ，若存在的常数M ，使得对任意1*,+∈n n a a n 与N 中至少有一个不小于M ，则记：,}{M a n 那么下列命题正确的是（ ） A ．若}{,}{n n a M a 则数列 的各项均大于或等于M B ．若M b a M b M a n n n n 2}{,}{,}{ +则C ．若22}{,}{M a M a n n 则D ．若12}12{,}{++M a M a n n 则第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．函数x x f πsin )(=的最小正周期是 .10．在6)2(x +的展开式中，x 的系数是 .（用数字作答）11．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且△F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为 .12．已知四面体P —ABC 中，PA=PB=PC ，且AB=AC ，∠BAC=90°，则异面直线PA 与BC所成角的大小为 . 13．在△ABC 中，A B BC AC ∠===则,60,2,6 的大小是 ；AB= .14．若实数y x z x y x x y x y x 23,024,||,1,22+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+≤≤则满足的最小值是 ；在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知}.3|2||{},4|||{>-=<-=x x B a x x A （I ）若B A a ⋂=求,1；（II ）若R =⋃B A ，求实数a 的取值范围.16．（本小题共13分）如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB//CD ，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4. （I ）求证：BC ⊥PC ；（II ）求PB 与平面PAC 所成角的正弦值； （III ）求点A 到平面PBC 的距离. 17．（本小题共14分）已知数列,...).3,2,1(1,}{=-=n na S S n a n n n n 且满足项的和为前 （I ）求21,a a 的值； （II ）求}{n a 的通项公式.18．（本小题共13分）3名志愿者在10月1号至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且备志愿者的选择互不影响，求： （I ）这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作的概率；（II ）这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率. 19．（本小题共14分）已知函数R 是定义在)(x f 上的奇函数，当.)1(2)(,023x m mx x x f x -++=>时 （I ）当)(,2x f m 求时=的解析式；（II ）设曲线0)(x x x f y ==在处的切线斜率为],1,1[,0-∈x k 且对于任意的 m k 求实数,91≤≤-的取值范围.20．（本小题共13分）在△PAB 中，已知)0,6(-A 、),0,6(B 动点P 满足.4|||+=PB PA （I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）设点)0,2(),0,2(N M -，过点N 作直线l 垂直于AB ，且l 与直线MP 交于点Q ，试在x 轴上确定一点T ，使得PN ⊥QT ； （III ）在（II ）的条件下，设点Q 关于x 轴的对称点为R ，求⋅的值.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 1—5 CADCB 6—8 ABD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．2 10．240 11．2312．90° 13．45 13+14．0 22π-三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共12分） 解：（I ）当}.53|{,1<<-==x x A a 时 ………………2分分分或6}.13|{4}.51|{ -<-=⋂∴>-<=x x B A x x x B（II ）}.44|{+<<-=a x a x A ………………8分分的取值范围是实数分分且或12).3,1(11.31105414}.51|{ a a a a B A x x x B ∴<<∴⎩⎨⎧>+-<-∴=>-<=R注：若答案误写为31≤≤a ，扣1分.16．（本小题共14分） 方法1（I ）证明：在直角梯形ABCD 中，∵AB//CD ，∠BAD=90°，AD=DC=2∴∠ADC=90°，且.22=AC ………………1分 取AB 的中点E ，连结CE.由题意可知，四边形AECD 为正方形，所以AE=CE=2， 又,21,221AB CE AB BE ===所以 则△ABC 为等腰直角三角形，所以AC ⊥BC ， ……………………2分又因为PA ⊥平面ABCD ，则AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC ……………………4分 （II ）由（I ）可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC=C.所以BC ⊥平面PAC ， ……………………5分PC 是PB 在平面APC 内的射影，所以∠CPB 是PB 与平面PAC 所成的角. ……6分又22=CB ， ………………7分,52,20222==+=PB AB PA PB ………………8分.510,510sin 所成角的正弦值为与平面即PAC PB CPB =………………9分（III ）由（II ）可知，BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PEC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ， ………………10分过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于E ，所以AF ⊥平面PBC ， 则AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离. ………………11分在直角三角形PAC 中，PA=2，AC=22， ………………12分32=PC ………………13分所以.362,362的距离为到平面即点PBC A AF =………………14分 方法2：∵AP ⊥平面ABCD ，∠BAD=90°∴以A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 ………1分∵PA=AD=DC=2，AB=4.)2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(),0,4,0(P C D B ∴ ………………2分（I ）),2,2,2(),0,2,2(-=-=∴0=⋅∴ ………………3分PC BC ⊥⊥∴即, ………………4分（II ）),,(),0,2,2(),2,0,0(z y x PAC ===n 的法向量设平面⎩⎨⎧=+=∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴022,000y x z AC n n ………………6分 设)0,1,1(,1,1-=∴=∴-=n y x ………………7分||||,cos )2,4,0(n n ⨯>=<∴-=PB ………………8分510=………………9分即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为.510（III ）由),,(),2,2,2(),2,4,0(c b a PBC =-=-=m 的法向量设平面⎩⎨⎧=-+=-∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴022202400c b a c b m m ………………11分 设)2,1,1(,1,2,1=∴==∴=m b c a ………………12分||||m m ⋅=∴d PBC A 的距离为到平面点 ………………13分=362 ∴点A 到平面PBC 的距离为362 ………………14分 17．（本小题共13分）解：（I ）当111,1a a n -== 时， ………………1分.211=∴a ………………2分当22121,2a a a n -=+= 时 ………………3分612=∴a ………………5分（II ）n n na S -=1分分符合上式时当分分分分时当13).,3,2,1()1(112,21,111)1(110)1(29117)1()1(12111111 =+=∴==+=+=+-=∴--=--=≥∴----n n n a a n n n a n n a a n n a na a n a a n S n n n n n n n n n n 18．（本小题共13分）解法1：（I ）3名志愿者每人任选两天参加社区服务，共有325)(C 种不同的结果，这些结果出现的可能性相等……………………1分设“这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作”为事件A则该事件共包括314)(C 种不同的结果 ……………………3分 1258)()()(325314==C C A P ………………5分 答：这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作的概率为.1258…………6分（II ）3名志愿者都不在10月1日参加社区服务工作的概率为.)()(325224C C …………8分3名志愿者中只有1人在10月1日参加社区服务的概率为3252241413)()(C C C C (10)分设“这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作”为事件B125811255412527)()()()()(3252241413325324=+=+=C C C C C C B P ………………12分 答：这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率为.12581……13分 解法2：（I ）每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为522514==C C P (2)分设“3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作”为事件A …………3分 1258)52()(3==A P ………………5分 答：这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作的概率为.1258…………6分（II ）3名志愿者都不在10月1日参加社区服务工作的概率为：33)53()521(=- ………………8分3名志愿者只有一人在10月1日参加社区服务工作的概率为：213)521)(52(-C ……10分 设“这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作”为事件B …………11分125811255412527)53)(52()53()(2133=+=+=C B P ………………12分 答：这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率为.12581……13分 19．（本小题共14分） 解：（I ）0)0(,)(=∴f x f 上的奇函数是定义在R . …………1分分分分时当时当4)0()1(2)0()1(2)(3)1(2])1(2[)(2)()(,0,)1(2)(,02323232323 ⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥-++=∴-+-=--+--=∴--=<-++=>x x m m x x x x m m x x x f xm m x x x m m x x x f x f x f x x m m x x x f x⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-+==)0(22)0(22)(,22323x xx x x xx x x f m 时当 ………………5分 （II ）由（I ）得：⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥-++=')0()1(26)0()1(26)(22x m m x x x m m x x x f ………………6分恒成立即可时对任意是偶函数分恒成立时则对任意且对于任意的处的切线斜率为在曲线9)(1,]1,0[,)(7,9)(1,]1,1[,91],1,01[,)(000000≤'≤-∈∴'≤'≤--∈≤≤-∈==x f x x f x f x k x k x x x f y①当,06时≤-m由题意得 ⎩⎨⎧≤'-≥'9)1(1)0(f f20≤≤∴m ………………9分②当160≤-<m时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤'≤'-≥-'∴9)1(9)0(1)6(f f m f06<≤-∴m ……………………11分③当时16>-m⎩⎨⎧-≥'≤'∴1)1(9)0(f f68-<≤-∴m ……………………13分综合①②③得，28-<≤-m ……………………14分 ∴实数m 的取值范围是}.28|{≤≤-m m20．（本小题共14分） 解：（I ）∴<=-|,|4||||AB PB PA 动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，除去其与x 轴的交点. ……………………1分设双曲线方程为).0,0(12222>>=-b a b y a x由已知，得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==,2,6,42,6a c a c 解得 ………………2分.2=∴b ……………………3分∴动点P 的轨迹方程为).2(12422>=-x y x ………………4分 注：未除去点（2，0），扣1分（II ）由题意，直线MP 的斜率存在且不为0，直线l 的方程为.2=x 设直线MP 的方程为).2(+=x k y ……………………5分200220220202122222200214)2(212421482,021.2,2.0)48(8)21(,)2(124),,(),4,2(,k kx k y k k x k k x k x x x k x k x k x k y y x y x P k Q MP l Q -=+=∴-+=∴-+-=-≠-∴>=-==+---⎪⎩⎪⎨⎧+==-∴∴且根此方程必有两个不等实整理得由设的交点与直线是点).214,2124(222kkk k P --+∴ ………………8分),4,2(),214,218(),0,2(.0,),0,(222k t k k k k N QT PN t T --=----==⋅⊥由只需要使得设 0]16)2(8[(211222=----=⋅∴k t k kQT ， ………………10分 .0,0,4,0≠≠=∴≠t k 此时∴所求T 点的坐标为（4，0）. ……………………11分（III ）由（II ）知).4,2(),214,2124(),4,2(222k kk k k k R -=--+=∴- .42184)4(2142212422222=--=-⨯-+⨯-+=⋅∴k k k k k k k .4=⋅∴ ……………………14分说明：其他正确解法相应步骤给分.。

北京市海淀区2019届高三下学期期中练习数学（文）试题本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B ＝A ．{}2,1,0--．{}2,1,0,1--．{}|21x x -<<．{}|21x x -≤< 【知识点】集合的运算【试题解析】由题知：A={-2，-1，0，1，2}，所以故答案为：A 【答案】A2、已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ A ．1．2C ．3 D ．4 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为所以故答案为：C 【答案】C3．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i【知识点】算法和程序框图【试题解析】n=1，否，s=i ，n=2，否，s=i n=3，否，s=in=4，否，s=in=5，否，s=i n=6，是，则输出的值为。

故答案为：D 【答案】D4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52B ．3C ．72D ．4 【知识点】线性规划 【试题解析】作可行域：由图知：当目标函数线过点C （1，3）时，目标函数值最大，为故答案为：C 【答案】C5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A BC ．3 D ．3【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该三棱锥的底面是以2为底，以为高的三角形，高为1， 所以故答案为：A 【答案】A6、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：24y x 上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为 A 、12 B 、1 C 、32D 、2 【知识点】抛物线【试题解析】抛物线的准线为：x=-1，所以点到的准线的距离为：点到轴的距离为：根据题意有：又解得：故答案为：B【答案】B7．已知函数sin(),0()cos(),0x a xf xx b x+≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x是偶函数“的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【知识点】函数的奇偶性充分条件与必要条件【试题解析】若，，当x>0时，-x<0，所以所以函数为偶函数成立；反过来，若函数为偶函数，则，即不一定。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDCABAB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）说明：1.第9题,学生写成 1x ≥的不扣分 2.第13题写成开区间 5ππ(π,π),1212k k k -++∈Z 的不扣分, 没有写k ∈Z 的,扣1分 3. 第14题有错写的，则不给分只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.解：(Ⅰ) 方法一：在ABC ∆中，因为sin sin a cA C=， ……………………….2分 即614sin 32A =……………………….3分9． [1,)+∞10． 211. 22(2,0),122x y -=12．1213．5ππ[π,π],1212k k k -++∈Z 14． 5 6 7 8，，，所以33sin 14A =. ……………………….5分方法二：过点B 作线段AC 延长线的垂线，垂足为D 因为2π3BCA ∠=，所以π3BCD ∠= ……………………….1分在Rt BDC ∆中，3332BD BC == ………………….3分在Rt ABD ∆中，33sin 14BD A AB ==………………….5分 （Ⅱ）方法一： 因为1sin 2ABC S a b C ∆=⋅⋅⋅. ……………………….7分 所以1333622b =⨯⨯⨯，解得2b =. ……………………….9分 又因为2222cos c a b a b C =+-⋅⋅. …………………….11分 所以21436226()2c =+-⨯⨯⨯-, 所以52213c ==. …………………….13分方法二：过点A 作线段BC 延长线的垂线，垂足为D 因为2π3ACB ∠= , 所以π3ACD ∠=. 又因为12ABC S BC AD ∆=⋅⋅, ……………………….7分 即13362AD =⨯⨯ , 所以3 , 1AD CD ==.…………….9分在Rt ABD ∆中，222AB BD AD =+. ……………………….11分 所以52213AB ==.…………………….13分1462π3DCBA13ABCD2π3616.解：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公比为q ， 因为210S a +=，所以1120a a q +=. ……………………….1分因为10,a ≠所以2,q =- ……………………….2分 又因为23112a a q ==， ……………………….3分 所以13a =, ……………………….4分 所以13(2)n n a -=⨯-（或写成3(2)2n n a =-⨯-） ……………………….7分说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n 项和公式正确写出的，都给2分(Ⅱ)因为31(2)1(2)1(2)nn n S ⎡⎤⨯--⎣⎦==----. ……………………….10分令2016n S >, 即1(2)2016n-->，整理得(2)2015n -<-. ……………………….11分当n 为偶数时，原不等式无解；当n 为奇数时，原不等式等价于22015n>，解得11n ≥， 所以满足2016n S >的正整数n 的最小值为11. ……………………….13分17解：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥. ……………………….1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥. ……………………….2分 又AB PA A =I ，,AB PA ⊂平面PAB ， ……………………….3分 所以BC ⊥平面PAB . ……………………….4分 因为BC ⊂平面PBC , 所以平面PBC ⊥平面PAB . ………………….5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知, BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥. ………………….6分在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以//MN BC ， ……………………….7分 又BC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ， …………………….9分 所以MN //平面ABCD . …………………….10分（Ⅲ）解：因为//MN BC , 所以MN ⊥平面PAB ， …………………….11分 而AM ⊂平面PAB ，所以MN ⊥AM ， …………………….12分 所以AM 的长就是点A 到MN 的距离， …………………….13分 而点M 在线段PB 上所以A 到直线MN 距离的最小值就是A 到线段PB 的距离， 在Rt PAB ∆中，3,4,AB PA ==所以A 到直线MN 的最小值为125. …………………….14分18.解:（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为12,x x .则16476777873.754x +++== ……………………….2分2567976708887766x ++++++== ……………………….4分（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. …………….7分（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， …………………….8分男生按成绩由低到高依次编号为1234,,,a a a a ， 女生按成绩由低到高依次编号为123456,,,,,b b b b b b ，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法 …………….10分11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，15(,)a b ，16(,)a b ， 21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ， 31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b ，其中两名同学均为优良的取法有12种取法 …………………….12分23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b所以121()242P A ==， 即两名同学成绩均为优良的概率为12. …………………….13分19. 解：（Ⅰ）由已知2AB =，得知22b =，1b =, ……………………….1分又因为离心率为32，所以32c a =. ……………………….2分 因为222a b c =+，所以2,a =, ……………………….4分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………….5分（Ⅱ）解法一：假设存在. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， ………………….8分 所以082MN m n x =-=-， ……………………….9分 线段 MN 的中点04(4,)y x ， ……………………….10分若以MN 为直径的圆经过点(2,0)， 则22200044(42)(0)(1)y x x -+-=-, ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=，代入化简得0810x -=， (13)分所以08x =， 而[]022x ∈-，，矛盾，所以这样的点P 不存在. ……………………….14分解法二：假设存在，记(20)D ，. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， ……………………….8分 所以 004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 因为MN 为直径，所以0DM DM ⋅=u u u u r u u u u r……………………….9分所以 DM DN ⋅=u u u u r u u u r0004(1)4(1)(2,1)(2,1)0y y x x -++⋅-= 所以 22002016(4)40y x DM DN x --⋅=+=u u u u r u u u r ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=， ……………………….12分代入得到22200000220048840x x x x x DM DN x x -+--⋅=+==u u u u r u u u r …………………….13分 所以 08x =，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 …………………….14分 所以不存在法三 ：假设存在，记(20)D ，, (40)H ， 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， …………………….8分 所以 004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 因为DH MN ⊥, 所以2DH HN HM =⋅ ………………….9分 所以 4=00004(1)4(1)|1||1|y y x x -++⋅- 所以2200020161684=||y x x x -+- ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=， ……………………….12分代入得到0854||x x -=, 解得08x =或089x =……………………….13分 当08x =时，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 当089x =时，点,M N 在x 轴同侧，矛盾所以不存在 ……………………….14分20.解：（Ⅰ）因为2'()ex x f x -=， ……………………….1分 所以'(0)2f =-. ……………………….2分 因为(0)1f =，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-=.……………………..4分（Ⅱ）令1()0ex xf x -==，解得1x =， 所以()f x 的零点为1x =. ……………………….5分 由2'()0e xx f x -==解得2x =， 则'()f x 及()f x 的情况如下：x (,2)-∞2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x]极小值21e-Z……………………….7分 所以函数()f x 在2x = 时,取得极小值21e - …………………….8分 （Ⅲ）法一：当1x >时，1()0e x xf x -=<. 当1x <时，1()0ex xf x -=>. ……………………….9分若1a ≤，由（Ⅱ）可知()f x 的最小值为(2)f ，()f x 的最大值为()f a ，…………….10分 所以“对任意12,[,)x x a ∈+∞，有1221()()e f x f x -≥-恒成立”等价于21(2)()ef f a -≥- 即22111e a a e e ---≥-， ……………………….11分 解得1a ≥. ……………………….12分 所以a 的最小值为1. ……………………….13分法二：当1x >时，1()0e x xf x -=<. 当1x <时，1()0ex xf x -=>. ……………………….9分且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21(2)ef =-， …………………….10分若1a <，令122,[,1)x x a =∈，则12,[,)x x a ∈+∞而121121()()()0()(2)ef x f x f x f x f -<--=<=，不符合要求， 所以1a ≥. ……………………….11分当1a =时，12,[1,)x x ∀∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以12121()()()0(2)ef x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， ………………….12分 综上，a 的最小值为1. ……………………….13分法三：当1x >时，1()0e x xf x -=<. 当1x <时，1()0ex xf x -=>. ……………………….9分且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21(2)ef =-， ……………………….10分若2[,)a ∈+∞，即2a ≤时，令12,x =则任取2[,)x a ∈+∞, 有12222211()()(2)()()e ef x f x f f x f x -=-=--≥- 所以2()0f x ≤对2[,)x a ∈+∞成立，所以必有21x ≥成立，所以[,)[1,)a +∞⊆++∞，即1a ≥. ……………………….11分 而当1a =时，12,[1,)x x ∀∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以12121()()()0(2)e f x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， ………………….12分 而当2a ≥时，求出的a 的值，显然大于1，综上，a 的最小值为1. ……………………….13分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 〔文科〕本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每题每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N | N | ，则A B =A. {1,2}B. {3,4,5}C.{4,5,6}D.{3,4,5,6} 2.等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为 A. 14 B. 183. 某程序的框图如下图，执行该程序，假设输入的x 值为5，则输出的y 值为Ａ. 12B. 1C. 2D.1-4. 已知0a >，以下函数中，在区间(0,)a 上一定是减函数的是Ａ. ()f x ax b =+ B. 2()21f x x ax =-+C. ()xf x a = D. ()log a f x x =5. 不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为A. 0B. 1C. 2D.3 6. 命题:p ∃,α∈R sin(π)cos αα-=；命题:q 0,m ∀>双曲线22221x y m m-=.则下面结论正确的选项是A. p 是假命题B.q ⌝是真命题C. p ∧q 是假命题D. p ∨q 是真命题 7.已知曲线()ln f x x =在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,1)-，则0x 的值为 Ａ. 1eB. 1C. eD.108. 抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆为等边三角形时，其面积为A.B. 4C. 6D.二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.9. 在复平面上，假设复数1+i b 〔b ∈R 〕对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.假设向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为______. 11.某几何体的三视图如下图，则它的体积为______. 12.在ABC ∆中，假设4,2,a b ==1cos 4A =，则______.c = 13.已知函数22, 0,(), 0x a x f x x ax a x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.14.已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合:{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x满足||PQ ≤. 设,t t M m 分别表示集合t A中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-.则 (1) 假设函数()f x x =，则(1)h =______; 〔2〕假设函数π()sin2f x x =，则()h t 的最小正周期为______. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. 〔本小题总分值13分〕已知函数2()2cos )f x x x =--. 〔Ⅰ〕求π()3f 的值和()f x 的最小正周期； 〔Ⅱ〕求函数在区间ππ[,]63-上的最大值和最小值.侧视图在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如以下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. 〔I 〕求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；〔II 〕假设等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；〔Ⅲ〕已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.17. 〔本小题总分值14分〕在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又30CAD ∠=，4PA AB ==，点N 在线段PB 上，且13PN NB =． 〔Ⅰ〕求证：BD PC ⊥；〔Ⅱ〕求证：//MN 平面PDC ；〔Ⅲ〕设平面PAB 平面PCD =l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由.18. 〔本小题总分值13分〕函数31()3f x x kx =-,其中实数k 为常数. (I) 当4k =时，求函数的单调区间；(II) 假设曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点，求实数k 的取值范围.已知圆M：227(3x y +=,假设椭圆C ：22221x y a b +=〔0a b >>〕的右顶点为圆M 的圆〔I 〕求椭圆C 的方程；〔II 〕已知直线l ：y kx =，假设直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点〔其中点G 在线段AB 上〕，且AG BH =，求k 的值.20. 〔本小题总分值13分〕设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，假设x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 〔Ⅰ〕请问：点(0,0)的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，假设在，写出圆的方程；假设不在，说明理由；〔Ⅱ〕已知点(9,3),(5,3)H L ，假设点M 满足(),()M H L M ττ==，求点M 的坐标；〔Ⅲ〕已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈∈Z Z 为一个定点，点列{}i P 满足：1(),i i P P τ-=其中1,2,3,...,i n =，求0n P P 的最小值.说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕二、填空题〔本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分〕9． 010． 21-11.1612．4 13． 4a >14．2,2三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕2π1()2)132f =--=………………2分因为2()2cos )f x x x =--222(3sin cos cos )x x x x =-+-22(12sin )x x =-+………………4分212sin x x =-cos2x x =………………6分π= 2sin(2)6x +………………8分所以 ()f x 的周期为2π2ππ||2T ω===………………9分〔II 〕当ππ[,]63x ∈-时， π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当6x π=-时，函数取得最小值()16f π-=-………………11分当6x π=时，函数取得最大值()26f π=………………13分 16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分〔II 〕求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………8分〔Ⅲ〕因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本领件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本领件 ………………11分设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本领件有1个，则1()6P B =. ………………13分 17.解：〔I 〕证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………4分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………5分〔Ⅱ〕在正三角形ABC 中，BM =………………6分 在ACD ∆，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =30CAD ∠=，所以，DM =:3:1BM MD =………………8分 所以::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………9分又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所 以//MN 平面PDC ………………11分 〔Ⅲ〕假设直线//l CD ，因为l ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ， 所以//CD 平面PAB ………………12分又CD ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，所以//CD AB ……………13分这与CD 与AB 不平行，矛盾所以直线l 与直线CD 不平行………………14分18.解：〔I 〕因为2'()f x x k =-………………2分当4k =时，2'()4f x x =-，令2'()40f x x =-=，所以122,2x x ==-'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………4分所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)-………………6分〔II 〕令()()g x f x k =-，所以()g x 只有一个零点………………7分 因为2'()'()g x f x x k ==-当0k =时，3()g x x =，所以()g x 只有一个零点0………………8分 当0k <时，2'()0g x x k =->对R x ∈成立，所以()g x 单调递增，所以()g x 只有一个零点………………9分当0k >时，令2'()'()0g x f x x k ==-=，解得1x =2x =10分 所以'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：()g x 有且仅有一个零点等价于(0g <………………11分即2(03g k =-<，解得904k <<………………12分 综上所述，k 的取值范围是94k <………………13分 19.解：(I)设椭圆的焦距为2c ， 因为a =，2c a =，所以1c =………………2分 所以1b =所以椭圆C ：2212x y +=………………4分〔II 〕设A 〔1x ，1y 〕，B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x +-=, 则120x x +=，122212x x k =-+………………6分所以AB ==8分 点M〕到直线l的距离d =………………10分则GH =11分 显然，假设点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾， 因为AG BH =，所以AB GH =所以22228(1)724()1231k k k k+=-++ 解得21k =,即1k =±………………14分20.解: (I)因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数〕故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为22()()5x y ∆+∆=，即2211(0)(0)5x y -+-=所以这些可能值对应的点在以(0,0)3分 (II)设(,)M M M x y ，因为(),()M H L M ττ==所以有|9||3|3M M x y -+-=，|5||3|3M M x y -+-=………………5分 所以|9||5|M M x x -=-，所以7,M x =2M y =或4M y = 所以(7,2)M 或(7,4)M ………………7分HG BA(III)当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0………………8分当=1n 时，可知0||n P P 9分当=3n 时，对于点P ，按照下面的方法选择“相关点”，可得300(,+1)P x y ：000(,)P x y →100200300(+2,+1)(+1,+3)(,+1)P x y P x y P x y →→故0||n P P 的最小值为1………………11分当231,,*, N n k k k =+>∈时，对于点P ，经过2k 次变换回到初始点000(,)P x y ，然后经过3次变换回到00(,+1)n P x y ，故0||n P P 的最小值为1综上，当=1n 时，0||n P P 当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0当21*, N n k k =+∈时，0||n P P 的最小值为1 ………………13分。

北京市海淀区高三数学（文科）第二学期期中练习参考答案与评分标准2001.5一、选择题：（1）C ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）A ； （6）B ； （7）C ； （8）C ； （9）B ； （10）C ； （11）D ； （12）D. 二、填空题：（13）12； （14）{};12|<<-x x （15）(]2,0； （16）123,122,242（写出一个即可） 三、解答题：（17）解（I ）：设z =a +bi (a ,R b ∈) ∴abi b a z 2222+-=………………………………1分 由已知，有⎩⎨⎧=+=22222b a ab ，可解出⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a ∴i z +=11或i z --=12………………………………………………………………………3分 ∴4arg 1π=z ，π45arg 2z ………………………………………………………………………5分 ∴)4sin 4(cos21ππi z +=或)45sin 45(cos 22ππi z +=……………………………………7分 （Ⅱ）：当i z +=1时，可得i z 22=，i z z -=-12 ∴A （1，1），B （0，2），C （1，–1） ∴11221=⨯⨯=∆ABC S ………………………………………………………………………10分 ∴当i z --=1时，可得i z 22=，i z z 312--=- ∴A （–1，–1），B （0，2），C （–1，–3）∴11221=⨯⨯=∆ABC S 综上ABC ∆的面积为1.………………………………………………………………………12分 （18）（I ）证明：∵ABC ∆是正三角形，AF 是BC 边中线，∴AF ⊥BC .∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ， ∴AF ⊥DE . 又AF ∩DE =G ，∴G A '⊥DE ，FG ⊥DE ，又G A '∩FG =G ，∴DE ⊥平面FG A '.……………………4分又DE ⊂平面DECB ，∴平面FG A '⊥平面DECB .…………6分（Ⅱ）解：∵G A '⊥DE ，GF ⊥DE ，∴∠GF A '是二面角B DE A --'的平面角.………………………………………7分∵平面GF A '⊥平面BCED ，作O A '⊥AG 于O ，∴O A '⊥平面BCED .设BD E A ⊥',连结EO 并延长交AD 于H ， ∴EH ⊥AD . ∵AG ⊥DE ,.∴O 是正三角形ADE 的垂心也是中心. ∵AD =DE =AE =2a , ∴a AG G A 43==',a OG 123=. 在OG A Rt '∆中,31cos ='='∠G A OG GO A .∵GO A GF A '∠-='∠π,∴31cos cos -='∠-='∠GO A GF A .即当GF A '∠的余弦值为31-时,E A '与BD 互相垂直.…………………12分 （19）解（I ）：∵当2≥n 时，43-n S ，n a ，1232--n S 成等差数列， ∴1232432--+-=n n n S S a ，………………………………………………1分 ∴43-=n n S a （2≥n ）.由11=a ,可得4)1(322-+=a a ，∴212=a .………………………………2分 同理，可求出413-=a ，814=a .…………………………………………4分 （Ⅱ）：当2≥n 时，∵43+=n n a S ①，∴4311+=++n n a S ②， ②–①得 n n n a a a -=++113. ∴211-=+n n a a 为常数，……………………………………………………6分 ∴2a ，3a ，4a ，…，n a ，…成等比数列，其中首项212=a ，21-=q .… …………………………………………………………………………7分∴通项⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-==--)2()21()21(211)(n 112n a n n n .……9分 （Ⅲ）：∵)(13221n n n a a a a a a S ++++=+++=∴)(lim 1lim 32n n n n a a a S ++++=∞→∞→=34311)21(1211=+=--+…………………………………………12分 （20）解（I ）：∵)(x f y =是以5为周期的周期函数，∴)1()15()4(-=-=f f f .∵函数)(x f y = (11≤≤-x )是奇函数， ∴)4()1()1(f f f =-=-.∴0)4()1(=+f f .……………………………………………………………6分 （Ⅱ）：当[]4,1∈x 时，由题意，可设5)2()(2--=x a x f （0≠a ）， 由0)4()1(=+f f ，得05)24(5)21(22=--+--a a ，∴2=a .∴5)2(2)(2--=x x f (41≤≤x ). ……………………………………12分（21）解（I ）：由已知数据，易知)(t f y =的周期T =12， ………………………………1分∴62ππω==T . 由已知，振幅A =3，b =10，………………………………………………………3分 ∴106sin3+=t y π.…………………………………………………………………4分（Ⅱ）：由题意，该船进出港时，水深应不小于5.115.65=+（米）， ∴5.11106sin 3≥+t π.………………………………………………………………6分 即216sin≥tπ. 解得，πππππ652662+≤≤+k t k （Z k ∈）， ∴512112+≤≤+k t k （Z k ∈） .………………………………………………8分 在同一天内，取0=k 或1，∴51≤≤t 或1713≤≤t . …………………………10分 答：该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时 。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科） 2019.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。

(1)已知集合{}02P x x =≤≤，且M P ⊆，则M 可以是 (A) {}0,1 (B) {}13， (C) {}1,1- (D) {}0,5 (2)若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则 (A) 010x -<< (B) 001x << (C) 012x << (D)024x << (3若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+ (4)已知a b <，则下列结论中正确的是(A) 0,c a b c ∀<>+ (B) 0,c a b c ∀<<+ (C) 0,c a b c ∃>>+ (D) 0,c a b c ∃><+(5)抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(6)某四棱锥的三视图如图所示，其中+=1a b ，且a b >.若四个侧面的面积中最小的为19则以的值为(A)12 (B) 23 (C) 34 (D) 56(7)设{}n a 是公比为q 的等比数列，且11a >，则“1n a >对任意*n N ∈”成立”是“1q ≥”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外 第一节 第二节 第三节 第四节 地理1班 化学A 层3班 地理2班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班 物理A 层3班政治2班政治3班(A)4 (B)5 (C)6 (D)7第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{}0,A a =，{}12B x x =-p p ，且A B ⊆，则a 可以是 (A)1- (B)0 (C)l (D)2(2)已知向量a =(l ，2)，b =（1-，0），则a +2b =(A)（1-，2） (B)（1-，4） (C)(1，2)(D) (1，4） (3)下列函数满足()()=0f x f x +-的是 (A)()f x x = (B)()ln f x x =(C)1()1f x x =- (D)()cos f x x x = (4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A)2 (B)6 (C)8 (D) 10(5)若抛物线22(0)y px p =f 上任意一点到焦点的距 离恒大于1，则p 的取值范围是 (A)1p p (B)1p f (C)2p p (D)2p f(6)如图，格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ，(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为 (A)1 (B)2 (C)1- (D) 2-(7)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na p 对，2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增 数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，则点M 到直线3460x y --=的距离的最大值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。