数学·必修5(苏教版)练习：模块综合检测卷(二)含解析

2020年苏教版必修5课后练习（2）一、解答题（本大题共9小题，共108.0分）1.如图，从A点和B点测得上海东方明珠电视塔塔顶C的仰角分别为和B两点与塔底D点在同一条直线上，，求东方明珠电视塔的高度精确到．2.一艘船以的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30min后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上．求灯塔S与B之间的距离精确到．3.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，试判断的形状．4.仿照正弦定理的证法证明，并运用这一结论解决下面的问题：在中，已知，，，求；在中，已知，，，求b和；证明正弦定理．5.在中，已知，试判断的形状．6.在，设，，，已知，证明：为正三角形．7.在中，的外角平分线交BC的延长线于D，用正弦定理证明：．8.在中，斜边c等于外接圆的直径故有，这一关系对任意三角形也成立吗如图？探索并证明你的结论．9.在已知两边a，b和一边的对角A，求角B时．如果A为锐角，那么可能出现以下情况如图：如果A为钝角，那么可能会出现哪几种情况？试画出草图加以说明．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：由题得：在，，中，，，；；东方明珠电视塔的高度468m．解析：确定、，利用，求出CD，即可得到结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2.答案：解：由题意，中，，，；，由正弦定理得，故灯塔S与B之间的距离为．解析：确定中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结论．本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．3.答案：解：根据正弦定理得：，整理得：，，，代入已知等式得：，即，整理得：，，即，则为等腰直角三角形．解析：已知等式利用正弦定理化简，得到，即可确定出三角形形状．此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4.答案：证明：中，，则，故，，，，；，，，，由正弦定理可得，，，；证：为锐角三角形时，圆心在内部，连接CO并延长交圆于D，连接BD，则，中，，所以，同理，故有，为钝角三角形时，圆心在外部，连接BO并延长交圆于D，连接CD，则，，，，同理，故有，当为直角三角形时，c为斜边，易得综上，任意ABC外接圆的直径都有有．解析：先结合锐角三角函数定义及三角形的面积公式可证明，直接结合三角形的面积公式即可求解；由已知结合三角形的内角和可求B，然后结合正弦定理可求b，代入三角形的面积公式可求；分别对直角，锐角，钝角三角形各种情况，结合锐角三角函数定义可证．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．5.答案：解：，，由正弦定理可得：，，，，，，，，，或，化为，或．为等腰三角形或直角三角形．解析：由，利用同角三角函数基本关系式与正弦定理可得，再利用倍角公式及其三角函数的单调性即可得出．本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、倍角公式及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：证明：由，，，可知，即，根据，所以，即，所以，即，所以，同理可得，故可得：为正三角形．解析：根据向量的数量积性质与和向量可得，同理可得，即证了为正三角形．本题考查三角形的形状的判断及数量积的运算性质，属于中档题．7.答案：证明：设，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，即两式相除，可得，结论成立．解析：分别在、中根据正弦定理列式，再将所得的式子相除并利用比例的性质，可得成立．本题考查利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．8.答案：证：成立，证明如下：为锐角三角形时，圆心在内部，连接CO并延长交圆于D，连接BD，则，，中，，故，所以，同理，故有，为钝角三角形时，圆心在外部，连接BO并延长交圆于D，连接CD，则，，，，同理可得，，综上，任意ABC外接圆的直径都有．解析：由已知结合锐角三角函数定义及圆的内角三角形的性质，就锐角及钝角三角形两种情况分别进行证明．本题考查三角形的正弦定理的证明，考查转化能力，属于基础题．9.答案：解：如果A为钝角，可能会出现3种情况，如图所示：，无解，，无解，，有一解，解析：由A为锐角，出现的几种情况，进行简单的合情推理，得到A为钝角，可能会出现2种情况，画出图即可．本题主要考查了正弦定理中已知三角形两边和一边所对的角的解得情况，是中档题．。

高中数学苏教版必修5 综合练习2一.选择题.(每小题5分,共50分) 1. 在ABC ∆中,下列等式总能成立的是A. A c C a cos cos =B. A c C b sin sin =C. B bc C ab sin sin =D. A c C a sin sin = 2. 在ABC ∆中,316,38,8===∆ABC S c b ,则A ∠等于A. 30B. 60C. 30或 150D. 60或 1203. 已知c b a ,,是ABC ∆三边之长,若满足等式ab c b a c b a =++-+))((,则C ∠等于 A. 120 B. 150 C. 60 D. 904. 在ABC ∆中,若,sin sin cos 2C A B = 则ABC ∆的形状一定是A. 等腰直角三角形B.等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形5. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 A. 49 B. 837 C. 1479 D. 241496. 已知等差数列}{n a 的公差为2 , 若431,,a a a 成等比数列, 则32a a +的值为A. 6-B. 8-C. 10-D. 12-7. 在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个正数之和为A. 227B. 445C. 225D. 4478. 若正数c b a ,,成公比大于1的等比数列, 则当1>x 时, x a log , x b log , x c log A. 依次成等比数列 B. 各数的倒数依次成等比数列 C. 依次成等差数列 D. 各数的倒数依次成等差数列9. 等差数列}{n a 中,,0,0,020042003200420031<⋅>+>a a a a a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 为A. 4005B. 4006C. 4007D. 400810. 已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则 312215S S S -+的值是A. 76-B. 76C. 46D. 13二.填空题.(每小题5分,共20分)11. 在ABC ∆中, 若21cos ,3-==A a ,则ABC ∆的外接圆的半径为 ________________.12. 已知数列}{n a 的通项公式)1(1+=n n a n , 则前n 项和=n S _____________________.13. 在等差数列}{n a 中, 若,010=a 则有等式n n a a a a a a -+++=+++192121 成立),19(*N n n ∈<. 类比上述性质, 相应地, 在等比数列}{n b 中, 若19=b ,则有等式___________________________________________________成立.14. 已知数列}{n a 满足13211)1(32,1--++++==n n a n a a a a a , )2(≥n ,则当2≥n 时,=n a ___________________.三.解答题. ( 解答应写出必要的文字说明和解题过程, 6小题,共80分)15. (本小题共12分)已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边,S 是ABC ∆的面积.若35,5,4===S b a ,求边c 的长度.16. (本小题共12分)在数列}{n a 中,已知前n 项和n n a S 23+=,求数列的通项公式n a .17. (本小题共14分)在等差数列}{n a 中, 13853a a = , 且01>a , n S 为其前n 项和,问n S 取最大值时, n 的值是多少?18. (本小题共14分)一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+ 45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.19. (本小题共14分)若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m ,求m 的取值范围.20. (本小题共14分)已知二次函数()()100619310222+-+-+=n n x n x x f ，其中*N n ∈。

数学必修五-综合练习二说明：时间120分钟，满分150分；可以使用计算器．一、选择题（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共60分） 1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2)1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的（A ）第12项 （B ）第13项 （C ）第14项 （D ）第15项3.在数列{a n }中，a 1=1,当n ≥2时，n 2=a 1a 2…a n 恒成立，则a 3+a 5等于 （A ）7613111(B)(C)(D)3161544.一个三角形的两内角分别为45°和60°，如果45°角所对的边长是6，那么60°角所对的边长为(A )36 (B )32 (C )33 (D ) 26 5.在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于(A )1∶2∶3(B )3∶2∶1 (C )2∶3∶1(D )1∶3∶26.在△ABC 中，∠A =60°,a =6,b =4,满足条件的△ABC(A )无解 (B )有解 (C )有两解 (D )不能确定7、等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若1062a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中可以用这个常数表示的是(A ) 6S (B ) 11S (C )12S (D ) 13S8.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2 a 10－a 12的值为 (A)20(B)22(C)24(D)289. 当a <0时，不等式42x 2+ax -a 2<0的解集为 (A){x |-6a <x <7a } (B ){x |7a <x <-6a } (C){x |6a <x <-7a} (D ){x |-7a <x <6a} 10.在∆ABC 中，A B C ,,为三个内角，若cot cot 1A B ⋅>，则∆ABC 是 ( )(A )直角三角形 (B )钝角三角形(C )锐角三角形 (D )是钝角三角形或锐角三角形11.已知等差数列{a n }满足56a a +=28，则其前10项之和为 （ ） （A ）140 （B ）280 （C ）168 （D ）5612.不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( )(A ) 矩形( B ) 三角形(C ) 直角梯形(D ) 等腰梯形二、填空题（把答案写在题中的横线上；每小题4分，共16分）13. 数列{a n }中，已知a n =(-1)n ·n +a (a 为常数)且a 1+a 4=3a 2,则a =_________,a 100=_________.14.在△ABC 中，若 0503,30,b c a ===则边长___________.15.若不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-3121<<x },则a +b =_________. 16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 非等边三角形ABC 的外接圆半径为2，最长的边23BC =，求sin sin B C +的取值范围.18. （本小题满分12分）在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案. （1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）.19．（本小题满分12分）设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，,,,134234211a b b b a a b a ==+==分别求出{}n a 及{}n b 的前10项的和1010T S 及.20．（本小题满分12分）已知10<<m ,解关于x 的不等式13>-x mx. 21、（本小题满分12分）东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本)(n g 与科技成本的投入次数n 的关系是)(n g =180+n .若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为)(n f 万元.①求出)(n f 的表达式；②问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？22．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ,设数列{}n b 满足对任意自然数n 都有11a b +22a b +33a b +┅+nn a b=n 2+1恒成立. ①求数列{}n b 的通项公式；②求+++321b b b ┅+2005b 的值. 参考答案：一、选择题CCBAD ABCBB AD二、填空题13.-3,97;14.1003,503;15.-14;16.42n +. 三、解答题 17. 解：由正弦定理2BC R SinA= ,得23sin =A . ∵BC 是最长边，且三角形为非等边三角形, ∴π32=A . )3sin(sin sin sin B B c B -+=+π13sin cos 22B B =+sin()3B π=+. 又30π<<B ,∴2333B πππ<+< ,∴3sin()123B π<+≤.故 c B sin sin +的取值范围为3(,1]218.略.19.解：设等差数列{}n a 的公差为,d 等比数列{}n b 的公比为q . d q q b d a d a 42,,31,122342+=∴=+=+= ①又,,21,,2333342b a d a q b q b =+=== d q 214+=∴ ② 则由①，②得242q q =-.22,21,02±==∴≠q q q 将212=q 代入①，得855,8310-=∴-=S d当22=q 时，)22(323110+=T ， 当22-=q 时，)22(323110-=T ， 20. 解：原不等式可化为：[x （m -1）+3](x -3)>00<m <1, ∴-1<m -1<0, ∴ 31313>-=--m m ; ∴ 不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x x 133|.21.解：第n 次投入后，产量为10+n 万件，价格为100元，固定成本为180+n 元，科技成本投入为100n ,所以，年利润为n n n n f 100)180100)(10()(-+-+=（+∈N n ） =)191(801000+++-n n520≤ (万元) 当且仅当191+=+n n 时，即 8=n 时，利润最高，最高利润为520万元.22. 解：（1） 对任意正整数n ，有11a b +22a b +33a b +┅+nn a b=n 2+1 ① ∴当n =1时，311=a b ,又11=a ，∴31=b ； 当2≥n 时，11a b +22a b +33a b +┅+11--n n a b =n 2-1 ② ∴②-①得2=nna b ； 1322-⨯==n n n a b ； ∴n-13 , (1),23 , (2)n n b n =⎧=⎨⨯≥⎩（2）+++321b b b ┅+2005b=)323232(320042⨯++⨯+⨯+=)13(332004-+=20053。

高中2005~2006级模块考试（必修5）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、ΔABC 中,a =1,b =3, A =30°,则B 等于 A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120°2、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距A ．a (km)B ．3a (km)C ．2a (km)D ．2a (km)3、等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2+a 5＝4，a n ＝33，则n 为A ．50B ．49C ．48D ．474、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 A ．15. B ．17. C ．19. D ．215、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于 A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－206、设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是Aoy x0.50.5oy x0.50.5oyx0.50.5oyx0.50.5． A B ． C ． D ．7、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列，则b 2(a 2-a 1)= （）A.8B.-8C.±8D.8、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足43035251x y x y x -+<⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则有A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值9、在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于A ．030B ．060C ．0120D ．0150 10、已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+则5a 的值为A ．80B ．40C ．20D ．1011、f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 A ．a ≤0 B ．a <-4 C ．-<<40a D ．-<≤40a 12．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是A ．18B ．6C ．23D ．243 二、填空题：（每小题4分，共16分，答案写在第二卷上） 13、在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为 三角形14、不等式21131x x ->+的解集是 ．15、已知数列{ a n }满足条件a 1 = –2 , a n + 1 =2 +nna 1a 2-, 则a 5 = ． 16、若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．日照实验高中2004级模块考试（必修5）一、填空题答案：1 3、 14、15、 16、 三、解答题： 17、（12分）三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则89成等差数列，求这三个数．18、（12分）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．19、（12分）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒,∠BCD=135︒ 求BC 的长．20、（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的O θ东北东海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？21、（12分）某工厂用两种原料A、B配成甲、乙两种药品，每生产一箱甲药品使用4kg的A原料，耗时1小时，每生产一箱乙药品使用4kg的B原料，耗时2小时，该厂每天最多可从原料厂获取16kg的A原料和12kg的B原料，每天只能有8小时的合成生产时间，该厂生产一箱甲药品获得3万元，生产一箱乙药品获得1万元，怎样安排生产才能获利最大？最大利润是多少？22、（14分）设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ 122n n b b +=+，(1)求证：数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)， (2)求数列}{n a 的通项公式．参考答案：一、选择题1-5BCABC 6-10ABDBC 11-12DB 二、填空题13、等腰14、 1|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ 15、107 16、(,3]-∞-三、解答题17、解:设三数为.,,aq a q a ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴282)2(25123q a a aq q a a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.218q a 则三数为,4,816或,168,.418、解: 16．解：当a ＝0时，不等式的解为x ＞1；当a ≠0时，分解因式a (x－a1)(x －1)＜0当a ＜0时，原不等式等价于(x －a1)(x －1)＞0，不等式的解为x ＞1或x ＜a1；当0＜a ＜1时，1＜a1，不等式的解为1＜x ＜a1；当a ＞1时，a1＜1，不等式的解为a1＜x ＜1；当a ＝1时，不等式的解为 。

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．【解析】 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 【答案】 202．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝________.【解析】 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98. 【答案】 983．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝kn 2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，则实数k 的取值范围是________．【解析】 由S n ＝kn 2，得a n ＝k (2n －1)． ∵a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列， ∴k >0.【答案】 (0，＋∞)4．已知数列{a n }，a n ≠0，若a 1＝3,2a n ＋1－a n ＝0，则a 6等于________． 【解析】 因为2a n ＋1－a n ＝0，a n ≠0，所以a n ＋1a n＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝3，公比为q ＝12的等比数列，所以a n ＝a 1q n －1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a 6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫126－1＝332.【答案】 3325．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【解析】 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， ∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)， 解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.【答案】 16．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 【解析】 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n －1，n ∈N *. 【答案】 2n －1，n ∈N *7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 【解析】 设三边为a ，aq ，aq 2(q >1)， 则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12，较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 【答案】5－128．(2016·徐州高二检测)若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝________.【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝214.【答案】 2149．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．图1【解析】 从题图中可观察图案的构成规律： n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…… 第n 个图案比第n －1(n ≥2)个图案增加了n 个星星． ∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 【答案】 a n ＝n (n ＋1)210．等比数列{a n }的公比q <0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 016项和等于________．【解析】 由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得q n ＋1＝q n ＋2q n －1， 即q 2－q －2＝0，又q <0，解得q ＝－1， 又a 2＝1，∴a 1＝－1， S 2 016＝－1×[1－(－1)2 016]1－(－1)＝0.【答案】 011．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.【解析】 ∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1， a 5＝3，…，a 15＝23，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋12×(1＋23)2＝153.【答案】 15312．把正偶数按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是________．【解析】 按照题中的分组方法，前10组共有1＋2＋ (10)10×(1＋10)2＝55个偶数，故第10组的最后一个偶数为110，所以第11组的第2个数是114.【答案】 11413．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1 元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2 元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100 元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________元/m 2.【解析】 设第二层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2.【答案】 123(a 1＋a 2＋23.1a ) 14．给出数阵： 0 1 … 9 1 2 … 10 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 9 … … …其中每行、每列均为等差数列，则此数阵所有数的和为________.【导学号：91730049】【解析】 设b 1＝0＋1＋2＋…＋9，b 2＝1＋2＋3＋…＋10，…，b 10＝9＋10＋…＋18，则{b n }是首项b 1＝45，公差d ＝10的等差数列，∴S 10＝45×10＋10×92×10＝900.【答案】 900二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(2015·北京高考)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．16．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知，b n＝n，a n2n－1＝b n＝n.∴a n＝n·2n－1.∴S n＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2得，2S n＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n－1＋n·2n，两式相减得，－S n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴S n＝(n－1)·2n＋1.17．(本小题满分14分)数列{a n}的前n项和记为S n，a1＝t，点(S n，a n＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.(1)当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列．(2)在(1)的结论下，设b n＝log4a n＋1，c n＝a n＋b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n.【解】(1)∵点(S n，a n＋1)在直线y＝3x＋1上，∴a n＋1＝3S n＋1，a n＝3S n－1＋1(n≥2，且n∈N*)．∴a n＋1－a n＝3(S n－S n－1)＝3a n，即a n＋1＝4a n，n≥2.又a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{a n}是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n＋1＝4a n，a n＋1＝4n，a n＝4n－1，所以b n＝log4a n＋1＝n.c n＝a n＋b n＝4n－1＋n,那么T n＝c1＋c2＋…＋c n＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝4n－13＋(1＋n)n2.18．(本小题满分16分)已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．【解】 (1)由已知，a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2， 化简得q 2－q －1＝0， 解得q ＝1±52.(2)证明：若q ＝1，则{a n }的每项a n ＝a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然构成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 构成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n ，因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n ＋k －1＝2a n ＋k ， 所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．19．(本小题满分16分)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和S n ，并且对于所有的n ∈N *，都有8S n ＝(a n ＋2)2.(1)写出数列{a n }的前3项；(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)； (3)设b n ＝4a n ·a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 的值．【解】 (1)当n ＝1时，8a 1＝(a 1＋2)2，∴a 1＝2；当n ＝2时，8(a 1＋a 2)＝(a 2＋2)2， ∴a 2＝6；当n ＝3时，8(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 3＋2)2， ∴a 3＝10.(2)∵8S n ＝(a n ＋2)2， ∴8S n －1＝(a n －1＋2)2(n >1)，两式相减得：8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2，即a 2n －a 2n －1－4a n －4a n －1＝0，也即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝4，即{a n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.(3)b n ＝4a n ·a n ＋1＝4(4n －2)(4n ＋2)＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1(2n －1)－1(2n ＋1). ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(2n －1)－1(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－14n ＋2<12.∵T n <m20 对所有n ∈N *都成立， ∴m 20≥12，即m ≥10， 故m 的最小值是10.20．(本小题满分16分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．【解】 (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ， a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d . (2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000，解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m－1＝1 000(3m－2m＋1)3m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为1 000(3m－2m＋1)3m－2m时，经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元．。

模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(每小题共10个小题，每小题共5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(D)A．7 B．5 C．－5 D．－7解析：∵{a n}为等比数列，∴a4a7＝a5a6＝－8.又a 4＋a7＝2，∴⎩⎨⎧a4＝4，a7＝－2或⎩⎨⎧a4＝－2，a7＝4.当a4＝4，a7＝－2时，a1＝－8，a10＝1，∴a1＋a10＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，a10＝－8，a1＝1，∴a1＋a10＝－7.综上，a1＋a10＝－7.2．某人投资10 000万元，如果年收益利率是5%，按复利计算，5年后能收回本利和为(B)A．10 000×(1＋5×5%) B．10 000×(1＋5%)5C．10 000×1.05×（1－1.054）1－1.05D．10 000×1.05×（1－1.055）1－1.05解析：注意与每年投入10 000万元区别开来．3．在△ABC中，已知cos A＝513，sin B＝35，则cos C的值为(A)A.1665B.5665C.1665或5665D．－1665解析：∵cos A ＝513＞0，∴sin A ＝1213＞sin B ＝35. ∴B 为锐角，故cos B ＝45.从而cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sinA sinB ＝1665.4．若a <b <0，d >c >0，则不等式①ad >bc ；②c a >cb ；③a 2>b 2；④a －d <b －c 中正确的个数是(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①错，②③④正确．将a <b <0转化为－a >－b >0，可得(－ad )>(－bc )，即ad <bc ，故知①错；由a <b <0⇒1a >1b，c >0，故②正确；因为函数y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故③正确；由d >c >0，得－d <－c <0，故知a －d <b －c ，故④正确．5．设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，下列结论中正确的是(A) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥22＋2解析：∵1＋x ＋y ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.即x ＋y ≥2(1＋2)(当x ＝y ＝1＋2时等号成立)，x ＋y 的最小值为2(1＋2)．6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于(D)A ．1 006B ．1 008C ．－1 006D ．－1 008 解析：由a n ＝n cosn π2可得S 2 015＝1×0－2×1＋3×0＋4×1＋…－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋…－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－1 008.7．已知方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0有两个正实根，则实数m 的取值范围是(D)A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－4]C ．(－5，＋∞)D ．(－5，－4] 解析：方程两根为正，则⎩⎨⎧Δ≥0，－（m ＋2）>0，⇒－5<m ≤－4m ＋5>0. 8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是(D) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，112C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，132D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 解析：用待定系数法可得 2a ＋3b ＝52(a ＋b )－12(a －b )，由⎩⎨⎧－1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－52＜52（a ＋b ）＜152，－2＜－12（a －b ）＜－1.两式相加即得－92＜2a ＋3b ＜132.9．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x ，则x 的取值范围是(B) A ．(1，3) B ．(5，13) C ．(0，5) D ．(13，5)解析：由三角形的三个角为锐角，结合余弦定理的推论可知，⎩⎨⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，32＋x 2－22>0，解得5＜x 2＜13，即5<x <13.10．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则(A)A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x＝－1，a>0，又∵x1＋x2＝0，x1与x2的中点为0，x1<x2，∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离．∴f(x1)<f(x2)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________．解析：先求出角A的余弦值，再利用余弦定理求解．由23cos2A＋cos 2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝±1 5 .∵A是锐角，∴cos A＝1 5 .又a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴49＝b2＋36－2×b×6×1 5 .∴b＝5或b＝－13 5.又∵b＞0，∴b＝5.答案：512．(2013·陕西卷)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n个等式可为____________．解析：当n为偶数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－（n －1）n 2＋n 2＝n （n ＋1）2. 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）213．若变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出可行域(如图)，由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，则当目标函数过C (1，－1)时z 取得最大值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：314．若a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n 由大到小的顺序是__________________________．解析：用特殊值法或作差比较法都很容易得出答案． 答案：a b ＞a ＋nb ＋n ＞b ＋m a ＋m ＞ba三、解答题(本题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)15．(本小题满分12分)等差数列{}a n 不是常数列，a 5＝10，且a 5，a 7，a 10是某一等比数列{}b n 的第1，3，5项．(1)求数列{}a n 的第20项； (2)求数列{}b n 的通项公式．解析：(1)设数列{}a n 的公差为d ，则a 5＝10，a 7＝10＋2d ，a 10＝10＋5d . 因为等比数列{}b n 的第1、3、5项成等比数列，所以a 27＝a 5a 10，即(10＋2d )2＝10(10＋5d )．解得d ＝2.5，d ＝0(舍去)． 所以a 20＝47.5.(2)由(1)知{}a n 为各项非负的数列，所以q 2＝b 3b 1＝a 7a 5＝32.∴q ＝±32.又b 1＝a 5＝10，∴b n ＝b 1qn －1＝±10·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.16．(本小题满分12分)(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解析：(1)由正弦定理得： 3sin A ＝26sin 2A ，解得cos A ＝63. (2)由cos A ＝63⇒sin A ＝33，又∠B ＝2∠A ，∴cos B ＝2cos 2A －1＝13.∴sin B ＝223，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×13＋63×223＝539. ∴c ＝a sin Csin A＝5. 17．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，求－cx 2＋2x －a ＞0的解集． 解析：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a ＜0，－13和12是方程ax 2＋2x＋c ＝0的两个根，由韦达定理－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a ＞0，即－2x 2＋2x ＋12＞0亦即x 2－x －6＜0.其解集为(－2，3)．18．(本小题满分14分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出平行域如下图所示．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．19．(本小题满分14分)如右图，某观测站C 在城A 南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？解析：根据题意，可得下图，其中BC＝31千米，BD＝20千米，CD＝21千米，∠CAD＝60°.设∠ACD＝α，∠CDB＝β.在△CDB中，由余弦定理得：cos β＝CD2＋BD2－BC22CD·BD＝212＋202－3122×21×20＝－17，sin β＝1－cos2β＝43 7.sin α＝sin(180°－∠CAD－∠CDA) ＝sin(180°－60°－180°＋β) ＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝437×12＋17×32＝53 14.在△ACD中，由正弦定理得：AD＝CDsin A·sin α＝21sin 60°×5314＝15.此人还得走15千米到达A城．20．(本小题满分14分)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n ；(3)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有T n ＞m 32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝8＋(n －1)·(－2)＝10－2n (n ∈N)．(2)由a n ＝10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n ＝－n 2＋9n .当n ＞5时， S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n 2－9n ＋40.故S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，1≤n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥5.(3)b n ＝1n （12－a n ）＝1n （2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1＝n2（n＋1）＞n－12n＝T n－1＞T n－2＞ (1)∴要使T n＞m32总成立，需m32＜T1＝14恒成立，即m＜8(m∈Z)．故适合条件的m的最大值为。

模块综合检测卷(二)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(每小题共12个小题，每小题共5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．对于任意实数a，b，c，d命题：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a<b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：当c<0时，①不正确；当c＝0时，②不正确；只有③正确．答案：B2．历届现代奥运会召开时间表如下：A．29 B．30 C．31 D．32解析：由题意得，历届现代奥运会召开时间构成以1 896为首项，4为公差的等差数列，所以2 016＝1 896＋(n－1)·4，解得n＝31.答案：C3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x －y的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．2解析：y ＝|x |与y ＝2的图象围成一个三角形区域，如图所示，3个顶点的坐标分别是(0，0)，(－2，2)，(2，2)．在封闭区域内平移直线y ＝2x ，在点(－2，2)时，2x －y ＝－6取最小值．答案：A4．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的长为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，又因为∠ABC ＝180°－45°－105°＝30°， 所以AB ＝AC sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．答案：A5．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25解析：因为a 3·a 6·a 18＝a 9q 6·a 9q 3·a 9·q 9＝a 39是一个确定常数，所以a 9为确定的常数．T 17＝a 1·a 2·…·a 17＝(a 9)17，所以选C. 答案：C6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2≥0内，则圆面积的最大值为( )A.18π5B.9π5C ．2πD ．π 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，最大圆的半径为点(0，0)到直线x －y ＋2＝0的距离， 即|0－0＋2|12＋（－1）2＝2，所以圆面积的最大值为π·(2)2＝2π. 答案：C7．已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )A.20B.21C.22D.61解析：设长为4，5的两边的夹角为θ，由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.答案：B8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎨⎧－8，n ＝1，－10＋2n ，n ≥2.因为n ＝1时适合a n ＝2n －10， 所以a n ＝2n －10(n ∈N *)． 因为5<a k <8，所以5<2k －10<8. 所以152<k <9.又因为k ∈N *，所以k ＝8.答案：C9．函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)B ．(－4，0)∪(0，1)C ．[－4，0)∪(0，1]D ．[－4，0)∪(0，1)解析：函数f (x )有定义等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1.答案：D10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a ＝a ＝a sin A ， 所以sin A ＝1.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．答案：B11．在数列{x n }中，2x n ＝1x n －1＋1x n ＋1(n ≥2)，且x 2＝23，x 4＝25，则x 10等于( )A.211B.16C.112D.15解析：由已知可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 成等差数列，而1x 2＝32，1x 4＝52，所以2d ＝52－32＝1，即d ＝12.故1x 10＝1x 1＋(10－1)d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9×12＝112.所以x 10＝211. 答案：A12．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)解析：因为x >0，y >0且2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝4，y ＝2时取等号， 所以(x ＋2y )min ＝8.要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0.则不等式f (x )<4的解集是________．解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎨⎧x >0，x 2＋1<4或⎩⎨⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)． 答案：(－4，3)14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2004，则这个数列的前________项和最小．解析：设a n ＝2n －2 004的对应函数为y ＝2x －2 004.易知函数y ＝2x －2 004在R 上是增函数，且当y ＝0时，x ＝1 002. 因此，数列{a n }是单调递增数列，且当1≤n ≤1 002时，a n ≤0；当n >1 002时，a n >0. 所以数列{a n }的前1 001项或前1 002项的和最小． 答案：1 001或1 002.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于________．解析：由正弦定理，且sin C ＝23sin B ⇒c ＝23b .又a 2－b 2＝3bc ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（b 2＋3bc ）2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝（23b ）2－3b ·23b 2b ·23b＝32，所以A ＝30°. 答案：30°16．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 答案： 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝ABBC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2·217·277＝437.18．(本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N ＋)．(2)S n ＝2（1－2n ）1－2＋n ·1＋n （n －1）2·2＝2n ＋1＋n 2－2.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边c 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求C 的大小．解：(1)由sin A ＋sin B ＝2sin C 及正弦定理可知： a ＋b ＝2c .又因为a ＋b ＋c ＝2＋1，所以2c ＋c ＝2＋1，从而c ＝1. (2)三角形面积S ＝12ab sin C ＝16sin C ，所以ab ＝13，a ＋b ＝ 2.因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －12ab ＝12，又因为0<C <π，所以C ＝π3.20．(本小题满分12分)如图所示，公园有一块边长为2的等边三角形ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，点D 在AB 上，点E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式； (2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又在哪里？解：S △ABC ＝34×4＝3，所以S △ADE ＝12·x ·AE · sin 60°＝32，所以x ·AE ＝2，所以AE ＝2x≤2，所以x ≥1.(1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2·x ·2x ·cos 60°＝x 2＋4x 2－2，所以y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)令t ＝x 2，则1≤t ≤4，所以y ＝t ＋4t－2(1≤t ≤4)． 当t ＝2，即x ＝2时，即当AD ＝2，AE ＝2时，DE 最短为2；当t ＝1或4，即AD ＝2，AE ＝1或AD ＝1，AE ＝2时，DE 最长为 3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－ax (a ∈R)， (1)若不等式f (x )>a －3的解集为R ，求实数a 的取值范围； (2)设x >y >0，且xy ＝2，若不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )>a －3的解集为R ，即不等式x 2－ax －a ＋3>0的解集为R ，所以Δ＝a 2＋4(a －3)<0恒成立，即a 2＋4a －12<0恒成立，所以－6<a <2.(2)不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，即不等式x 2－ax ＋y 2－ay ＋2ay ≥0恒成立，所以x 2＋y 2≥a (x －y )恒成立．所以实数a 的取值范围为(－∞，4]．22．(本小题满分12分)已知公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c ； (3)若(2)中的{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －3b n －1>64b n （n ＋9）b n ＋1. (1)解：{a n }为等差数列，因为a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又因为a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程n 2－22x ＋117＝0的两个根． 又因为公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13即⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)解：由(1)知，S n ＝n ·1＋n （n －1）2·4＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c， b 3＝153＋c. 因为{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)． (3)证明：由(2)得b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，T n ＝2n ＋n （n －1）·22＝n 2＋n ，2T n －3b n －1＝2(n 2＋n )－3(2n －2)＝2(n －1)2＋4≥4，当n ＝1时取“＝”，又n >1，所以取不到“＝”，即2T n －3b n －1>4.64b n （n ＋9）b n ＋1＝64×2n （n ＋9）·2（n ＋1）＝64n n 2＋10n ＋9＝64n ＋9n＋10≤4，当n ＝3时取“＝”．上述两式中“＝”不可能同时取到，所以2T n －3b n －1>64b n （n ＋9）b n ＋1.。

(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上) 1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2答案： 22．(2012·曲阜师大附中月考)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 解析：∵a 5·a 7＝4a 24， ∴a 26＝4a 24. ∴a 24·q 4＝4a 24. ∵a 4≠0，∴q 4＝4. 又∵q ＞0，∴q ＝ 2. ∴a 1＝a 2q ＝22. 答案：223．等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于________． 解析：∵{a n }是等差数列且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20， ∴5a 3＝20，∴a 3＝4. 答案：44．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为________． 解析：∵x >1， ∴x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2x －1·1x －1＋6＝8.当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取等号． ∴y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)≥log 28＝3. ∴y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为3. 答案：35．(2011·扬州高三期中)已知△ABC 的面积为30，内角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.若c －b ＝1，则a 的值是________．解析：∵cos A ＝1213，∴sin A ＝1－cos 2A ＝513，∴12bc ·sin A ＝12bc ×513＝30. ∴bc ＝156. ∵c －b ＝1. ∴c 2－2bc ＋b 2＝1. ∴c 2＋b 2＝1＋2bc ＝313.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝313－2×156×1213＝25.∴a ＝5. 答案：56．(2011·合肥一中高二期中)设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程 4x 2－8x ＋3＝0的两个根，则a 6＋a 7＝________. 解析：由4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝32，x 2＝12.∵q >1， ∴a 4＝12，a 5＝32.∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 4、a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，∴a 4＋a 5＝2. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2 ＝2·32＝18. 答案：187．(2011·东城区模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ≤3x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y的最小值为________．解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ≤3x ＋y ≥0.所表示的平面区域如图，A (3,8)，B (－52，52)，C (3，－3)利用平移法可知直线经过点(3，－3)时z min ＝3－6＝－3 答案：－38．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 4＝2，则S 13S 7的值为________． 解析：S 13S 7＝13a 1＋a 13272a 1＋a 7＝13a 1＋a 137a 1＋a 7＝13×a 77×a 4＝267答案：2679．(2011·葫芦岛模拟)在△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________. 解析：由已知得b 2＝ac . 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：3410．(2011·上海高二检测)已知ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－1<x <3}，则a ·c ＝________解析：由已知得－1,3是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－2a ，－1×3＝c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3.∴a ·c ＝－3. 答案：－311．在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形解的个数为________． 解析：∵a <b ，∴A <B ，又A ＝130°， ∴B 为钝角矛盾，故无解． 答案：012．某种产品平均每三年降低价格14，目前售价640元，则9年后此产品价格为________元．解析：由题意知9年后的价格为640×(1－14)3＝270(元)答案：27013．(2011·苏北四市模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________． 解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域[0，＋∞)， ∴a >0，且4ac －14a ＝0.∴ac ＝14，∴c >0.∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c≥2c a ·ac＋24ac＝2＋8＝10.[当且仅当a ＝c 时取等号． 答案：1014．(2012·潍坊联考)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∴9S 3＝S 6. ∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6. ∴a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝8.∴q ＝2，∴a n ＝2n －1.∴1a n ＝(12)n －1. ∴数列{1a n }是首项为1，公比为12的等比数列，故数列{1a n }的前5项和为1×[1－125]1－12＝3116.答案：3116二、解答题(本大题共有6个小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(2012·浙江省杭州高中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2 012.解：(1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1.即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝(13)n.(2)由已知得f (a n )＝log 3(13)n ＝－n∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n ) ＝－1－2－3－…－n ＝－n n ＋12∴1b n ＝－2(1n －1n ＋1) ∴T n ＝－2[1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1]＝－2(1－1n ＋1). 所以T 2 012＝－4 0242 013.16．(本小题满分14分)(2011·盐城模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，b ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求c 的值；(2)求sin(2A －π3)的值．解：(1)根据正弦定理，c sin C ＝asin A ，所以c ＝sin Csin A·a ＝2a ＝2 5.(2)根据余弦定理，得cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55， 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin(2A －π3)＝sin2A cos π3－cos2A sin π3＝4－3310.17．(本小题满分14分)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，数列{b n }的前n 项和为S n ，且有S n ＝2b n －1. (1)求{a n }、{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n b n ，{c n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)∵{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13，设公差为d .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *). 在{b n }中，∵S n ＝2b n －1， 当n ＝1时，b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1.当n ≥2时，由S n ＝2b n －1及S n －1＝2b n －1－1可得b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是首项为1公比为2的等比数列． ∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)c n ＝a n b n ＝(2n －1)·2n －1T n ＝1＋3·2＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1 ①2T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝1＋2·21－2n －11－2－(2n －1)·2n＝1＋4(2n －1－1)－(2n －1)·2n＝－3－(2n －3)·2n∴T n ＝(2n －3)n＋3(n ∈N *)18．(本小题满分16分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600 吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．19．(本小题满分16分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，a 2－c 2＝b 2－8bc 5，a ＝3，△ABC 的面积为6，D 为△ABC 内(不包括三角形的边)任一点，点D 到三边距离之和为d .(1)求角A 的正弦值； (2)求边b 、c; (3)求d 的取值范围．解：(1)a 2－c 2＝b 2－8bc 5⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝45⇒cos A ＝45⇒sin A ＝35.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·35＝6.∴bc ＝20.由b 2＋c 2－a 22bc ＝45及bc ＝20与a ＝3解得b ＝4，c ＝5或b ＝5，c ＝4.(3)设点D 到三边的距离分别为x 、y 、z ， 则S △ABC＝12(3x ＋4y ＋5z )＝6，d ＝x ＋y ＋z ＝125＋15(2x ＋y )， 又x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y <12，x >0，y >0，画出不等式表示的平面区域得125<d <4.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋a 2x ＋2b －a 3，当x ∈(－2,6)时，其值为正，而当x ∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负． (1)求实数a ，b 的值及函数f (x )的解析式；(2)设F (x )＝－k4f (x )＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)，问k 取何值时，函数F (x )的值恒为负值？解：(1)由题意可知－2和6是方程f (x )＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋6＝4，2b －a 3a ＝－2×6＝－12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－8.∴f (x )＝－4x 2＋16x ＋48.(2)F (x )＝－k4(－4x 2＋16x ＋48)＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)＝kx 2＋4x －2. 当k ＝0时，F (x )＝4x －2不恒为负值； 当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值，则有⎩⎪⎨⎪⎧k <016＋8k <0，解得k <－2.。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2.【答案】 22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________.【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26，∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q >0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12. 【答案】 123．设x >0，y >0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy≥4；②(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2. 【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立．【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________． 【解析】 由a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，可知a 4＋a 7＝±3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 4＋a 7)2＝±15.【答案】 ±155．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知， (3a －3)(－a ＋3)>0， 即(a －1)(a －3)<0， ∴1<a <3. 【答案】 (1,3)6．已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 【解析】 x 2－4ax －5a 2>0，即(x －5a )(x ＋a )>0， 而方程(x －5a )(x ＋a )＝0的根为x 1＝－a ，x 2＝5a .∵2a ＋1<0，则a <－12，∴－a >5a ，∴原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }． 【答案】 {x |x <5a 或x >－a }7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 由已知可知b 2＝ac . 又c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 348．(2016·南通高二检测)已知数列1，a 1，a 2,4等差数列，且实数列1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________.【导学号：91730077】【解析】 ∵a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4，但b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52.【答案】 529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．【解析】 观察数列{a n }可知，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为： 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝4n n ＋1.【答案】4nn ＋112．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________.【导学号：91730078】【解析】 ∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域0，＋∞)，∴a >0， 且4ac －14a ＝0， ∴ac ＝14， ∴c >0，∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c ≥2c a ·ac ＋24ac ＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c时取等号．【答案】 1013．(2016·南京高二检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取得“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【答案】314．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.【解析】 根据等比数列的通项公式 S n ＝a 1(1－q n )1－q，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n ＝11－q ⎝⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17， 令q n ＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2017.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝－n ，∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，∴1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. ∴T 2 017＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝－2 0171 009.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4，∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8，当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)，∴对一切x>2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立．而x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2(x－1)×4x－1－2＝2(当x＝3时等号成立)．∴实数m的取值范围是(－∞，2]．18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，a n＝2；当d＝4时，a n＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{a n}的通项公式为a n＝2或a n＝4n－2.(2)当a n＝2时，S n＝2n.显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800， 即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分16分)设不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f (n )(n ∈N *)．(1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)设b n ＝2n f (n )，S n 为{b n }的前n 项和，求S n . 【解】 (1)f (1)＝3，f (2)＝6.当x ＝1时，y ＝2n ，可取格点2n 个； 当x ＝2时，y ＝n ，可取格点n 个， ∴f (n )＝3n .(2)由题意得：b n ＝3n ·2n ，S n ＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ， ∴2S n ＝3·22＋6·23＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －3n ·2n ＋1 ＝3(2＋22＋…＋2n )－3n ·2n ＋1＝3·2－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝3(2n ＋1－2)－3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝(3－3n )2n ＋1－6， ∴S n ＝6＋(3n －3)2n ＋1.20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x (x －1)2×2－50(0<x ≤10，x ∈N )，即y ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N )， 由－x 2＋20x －50>0， 解得10－52<x <10＋52， 而2<10－52<3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x y ＋(25－x )] ＝1x (－x 2＋19x －25)22 ＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x≤19－2x·25x＝9，当且仅当x＝5时取得等号，即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．。

模块综合检测(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为________． 解析：由x 2－2x －3>0得x <－1或x >3. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)2．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝5π12，则b ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B得，b ＝a sin B sin A＝2×6＋2422＝3＋1.答案：3＋13．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 10＝________. 解析：∵a 4＝a 1q 3，a 6＝a 1q 5， ∴q 2＝a 6a 4＝3. ∴a 10＝a 6q 4＝189. 答案：1894．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 解析：由题意知Δ＝(－2)2－4(k 2－1)<0，即k 2－2>0，所以k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 5．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为________． 解析：∵x >1，∴x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2x －1x －1＋6＝8. 当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取等号． ∴y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥log 28＝3. ∴y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为3.答案：36．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝0，S 15＝25，则S n ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×9d 2＝0，15a 1＋15×14d2＝25，解得d ＝23，a 1＝－3，所以S n ＝－3n ＋n n －2×23＝n 2－10n 3. 答案：n 2－10n37．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________．解析：已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.答案：－138．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝________.解析：设等差数列的公差为d ，由a 4－2a 27＋3a 8＝0，得a 7－3d －2a 27＋3(a 7＋d )＝0，从而有a 7＝2或a 7＝0(a 7＝b 7，而{b n }是等比数列，故舍去)．设{b n }的公比为q ，则b 7＝a 7＝2，所以b 2b 8b 11＝b 7q5·b 7q ·b 7q 4＝(b 7)3＝23＝8.答案：89．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 016的值是________．解析：a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,7×4＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,8×2＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，{a n }成周期数列，周期数为6,2 016＝336×6，所以a 2 016＝a 6＝6.答案：610．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________. 解析：依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k >0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ；由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝k2＋k 2－k22×2k ×4k＝1116. 答案：111611．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是________ km.解析：如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝ABsin 45°sin 30°＝3 2.即电动车在点B 时与电视塔S 的距离是3 2 km. 答案：3 212．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是________． 解析：对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，即x ＋y ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当x ＝22时取等号． 答案：22313．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域[0，＋∞)， ∴a >0，且4ac －14a ＝0.∴ac ＝14，∴c >0.∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c≥2c a ·ac＋24ac＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c 时取等号． 答案：1014．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∴9S 3＝S 6. ∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6. ∴a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝8.∴q ＝2，∴a n ＝2n －1.∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：3116二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为(3x －a )(4x ＋a )>0.当a >0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－a 4或x >a3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 3或x >－a4. 16．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.17．(本小题满分14分)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解：(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋x Q×50%万元，所以年销售收入为⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x 万元，所以年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x ＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋35x ＋(x ≥0)．(2)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则W ＝－t －2＋t －＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t .因为t ≥1，所以t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.答：当年广告费为7万元时，企业年利润最大，最大值为42万元．18．(本小题满分16分)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R)，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a22＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2. 因为d ≠0.所以d ＝a 1＝a . 故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ，因为a 2n ＝2na ，所以T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝1a ·12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 从而，当a ＞0时，T n ＜1a 1；当a ＜0时，T n ＞1a 1.19．(本小题满分16分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0.(1)求c 的值；(2)求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0.又∵sin A ≠0， ∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab ，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时取等号， ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34，即△ABC 面积的最大值为34. 20．(本小题满分16分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a 2－c 2＝b 2－8bc5，a ＝3，△ABC 的面积为6，D 为△ABC 内(不包括三角形的边)任一点，点D 到三边距离之和为d .(1)求角A 的正弦值； (2)求边b ，c; (3)求d 的取值范围．解：(1)a 2－c 2＝b 2－8bc 5⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝45⇒cos A ＝45⇒sin A ＝35.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝6.∴bc ＝20.由b 2＋c 2－a 22bc ＝45及bc ＝20与a ＝3解得b ＝4，c ＝5或b ＝5，c ＝4.(3)设点D 到三边的距离分别为x ，y ，z ， 则S △ABC ＝12(3x ＋4y ＋5z )＝6，d ＝x ＋y ＋z＝125＋15(2x ＋y )， 又x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y <12，x >0，y >0，画出不等式表示的平面区域得125<d <4.。