2016-2017数学必修五模块测试A卷

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 若A ≤90°，则sin A ＋cos A ≥1>712，∴A >90°. 【答案】 A2．在△ABC 中，内角A 满足sin A ＋cos A >0，且tan A －sin A <0，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4【解析】 由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角，∴0<A <3π4. ① 又tan A <sin A ，∴π2<A <π. ②由①②得，π2<A <3π4.【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)【解析】 设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A <12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2， ∴22<a <10. 【答案】 B4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．22【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【答案】 C5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2 D ．2π3【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴C ＝π3. 【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】 由sin B sin C ＝cos 2A2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B－C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长，即为DE 的长．【答案】 A8．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【答案】 C9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34 D ．0【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等．∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ， ∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ()图2A．23＋1 B．23－1C.3－1 D．3＋1【解析】在△ABC中，BC＝AB sin∠BAC sin∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝50(6－2)sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为．【解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且∠C为钝角．∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.【答案】a2＋b2<c214．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 2π315．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于 ，AC 的取值范围为 ．【解析】 设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°， 故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)． 【答案】 2 (2，3)16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.图3【解析】 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m. 在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)． 【答案】 150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0， 故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B <π4， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)． 所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2.又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3.化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ， 得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9，即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0，解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1， 即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0 D ．T ≥0【解析】 法一 取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1， 则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负， 不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1【解析】 由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ， ∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0. ∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n 1·q n (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n＋1n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ， 即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32， 所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1； (3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。

2016-2017高二必修5数学模块考试试卷副标题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设变量x，y满足约束条件：y≥xx+3y≤4x≥−2,则z=|x−3y|的最大值为()A.10B.8C.6D.42.lim n→∞(1n+1−2n+1+3n+1−⋯+2n−1n+1−2nn+1)的值为()A.-1B.0C.12D.13.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是()A.ab＞acB.c(b-a)＜0C.cb2＜ab2D.ac(a-c)＞04.则（）A. B. C. D.5.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A.2n+1−13B.2n+1−23C.22n−13D.22n−236.等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8+1)3+2013(a8+1)=1，(a2006+1)3+2013(a2006+1)=−1，则下列结论正确的是（）A.d＜0，S2013=2013B.d＞0，S2013=2013C.d＜0，S2013=-2013D.d＞0，S2013=-20137.已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得m a n=4a1，则1m +4 n的最小值为（）A.3 2B.53C.256D.不存在8.下列选项一定正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则9.已知数列3，3，15，…，3(2n−1)，那么9是数列的()A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项10.已知不等式组x≥0y≥0y≤x+1y≤3−x表示的平面区域为D，则区域D的面积为（）A.1B.32C.52D.7211.已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式f(x)e＞2的解集为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，2）D.（2，+∞）12.f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x、y∈R都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=12，a n=f(n)(n∈N∗)，则数列{a n}的前n项和S n为（）A.S n=12−12n+1B.S n=1−12n+1C.S n=1−12nD.S n=12−12n二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n-3（n∈N*），若对任意的n∈N*，都有a n2+a n+12≥20n-15成立，则a1的取值范围是______ ．14.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n2+a n，用[x]表示不超过x的最大整数，则[1 a1+1+1a2+1+…+1a2015+1]= ______ ．15.已知实数满足约束条件，则的最小值是．16.已知数列{a n}、{b n}，且通项公式分别为a n=3n-2，b n=n2，现抽出数列{a n}、{b n}中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列{c n}，则c10= ______ （填数字）．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，满足关系3t S n-(2t+3)S n-1=3t(t＞0，n=2，3，4…)(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)设数列{a n}的公比为f(t)，作数列{b n}，使b1=1，b n=f(1b n−1)，(n=2，3，4…)，求b n (3)求T n=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2n b2n+1)的值．18.已知数列{a n}满足奇数项a1，a3，a5，…成等差数列{a2n-1}（n∈N+），而偶数项a2，a4，a6，…成等比数列{a2n}（n∈N+），且a1=1，a2=2，a2，a3，a4，a5成等差数列，数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）求S n．19.已知DABC的周长为，且sin A＋sin B＝sin C，（1）求边AB的长；（2）若DABC的面积为,求角C的度数.20.在2008年北京奥运会垒球比赛前，中国教练布置战术时，要求击球手与连接本垒游击手的直线成15°的方向把球击出．根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍．问按这样的布置，游击手能不能接着球？21.(12分)已知数列{}为等差数列，且＝－6，＝0.(1)求数列{}的通项公式；(2)若等比数列{}满足＝－8，，求数列{}的前n项和．22.设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]．(1)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；(2)证明：−10≤f(x2)≤−12。

模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( ) A ．45° B ．30° C ．60°D ．30°或150°解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2D.98 解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”，∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( )A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0，∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b，则a <bD ．若a <b ，则a <b解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号； 对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D. 6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m ≤n解析：选A ∵a >2，x <0， ∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y ≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2， 解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2， 解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}， 即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )A.20B.21C.22D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ， 由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为42＋52－2×4×5×12＝21.10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知， 当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0， 由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅. 11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B ．[－1,0] C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0C ．若a 3>0，则S 2 015>0D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ， 对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0， 所以a 2 015＝a 1q2 014>0，所以A 不正确；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0， 所以a 1q >0， 所以a 2 014＝a 1q2 013>0，所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0， 当q ≠1时，S 2 015＝a 1－q 2 0151－q，又1－q 与1－q2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝a sin A ·sin B ＝201213×35＝13.答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7)， 解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°， ∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin 30°·sin 120°＝2 3.∴S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝5 3. 答案：5 3三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x 2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)， 故1y ＝x 2＋x ＋1x ＋2＝t －2＋t －＋1t＝t 2－3t ＋3t ＝t ＋3t－3≥23－3，∴1y的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y最小，此时t ＝3t ，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A . (1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC . ∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ，∴AC ·AB ＝13.又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB＝AC ＋AB2－2AC ·AB －BC22AC ·AB＝2－23－123＝12，∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ， 则b n ＝2n－λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件； 若λ≠2，则b n ＋1b n＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列， 此时S n ＝－λ1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n－1)，∵S n ＝2n－1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180 km/h ，飞机在A处先看到山顶的俯角为15°，经过420 s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D.∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)．∵在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45° ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)． 因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24， ∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)∵a n ＝13n ，∴b n ＝－log 313n＝2n ， 从而1b n b n ＋1＝14nn ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n n ＋.22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)．(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧f ，n ＝1，f n －f n －，2≤n ≤12，因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190(－3n 2＋35n ＋19)， 令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117， 解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立， 则a ≥f n n ＝n ＋－n 90，又因为n ＋－n90≤190⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋＋－n 22，所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修5模块测试卷（A ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2． 已知{a n }是等差数列，五个数列① {a 2n －3}；② {| a n |}；③ {lg a n }；④ {3－2a n }；⑤ {a n 2} 中，仍是等差数列的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在△ABC 中，一定成立的等式是（ ）A ．a sin A =b sinB B ．a cos A =b cos BC ．a sin B =b sin AD ．a cos B =b cos A 4．数列 {a n } 是公差不为 0 的等差数列，且 a 7，a 10，a 15 是等比数列{b n }的连续三项，若等比数列{b n } 的首项 b 1 = 3，则 b 2 等于（ ） A ．245 B ．5 C ．2 D ．95 5．已知a +b >0，b <0，那么a 、b 、－a 、－b 的大小关系是（ ）A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ． a >b >－a >－b6．三个不相等的正数a 、b 、c 成等比数列，则lg a 、 lg b 、 lg c 是（ ）A ．等差数列B ．既是等差又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差又不是等比数列7．在首项为81，公差为－7的等差数列}{n a 中，最接近零的是第（ ）A ．11项B ．10项C ．9项D ．8项8．在△ABC 中,三个顶点的坐标分别是A (2，4)，B （－1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界上运动，则w =y －x 的取值范围是（ ） A ．[1，3] B ． [－3，1] C ．[－3，－1] D ．[－1，3] 9．数列{)1(2+n n }的前n 项和为S n ，已知611=n S ，则n 值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 10．下列各不等式：① 212a a +> (R a ∈)； ② 12x x+≥ (0,≠∈x R x ) ； ③2≥+abb a (0≠ab )； ④11122>++x x (R x ∈)．其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．11．在等差数列{a n }中，a 5=3，a 6=－2，则a 4+a 5+…+ a 10= ． 12．在ΔABC 中，AB =2cm ，BC =2cm ，∠A 满足3sinA +cosA =1，则ΔABC 的面积是 ．13．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块．14．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和．16．如图所示，在某公园的一块绿地上划出一个矩形区域，在这个矩形区域的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积都为200米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方均为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时(记池塘的长为x 米)，这个矩形区域占地面积最少？并求出这个最小值．17．已知等差数列{}n a ，92=a ，215=a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n a n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC =600，AC =7，AD =6， S △ADC =1532 ，求AB 的长．池塘池塘走道2米走道2米走道2米4米走道4米走道 走道2米走道2米19．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？20．已知数列{x n }的各项为不等于1的正数，其前n 项和为S n ，点P n 的坐标为（x n ，S n ），若所有这样的P n （n =1,2……）都在斜率为5的同一条直线上． （1）求证数列{x n }是等比数列；（2）设y n = log x n a 且满足 y 8 = 125 ，y 12 = 117 ，a 为大于0的常数．① 试确定a 的值；② 是否存在正整数M ，使得当n >M 时，x n >1恒成立？若存在，求出相应的M ；若不存在，请说明理由．6002 1DCB A必修5模块测试卷（A ）1-10：CBCBC ABDBD11．- 49 12． 3 13． 4n +2 14．3 15．解：设公比为q ，由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45)1(①10)1(23121q q a q a ②÷①得 21,813==q q 即 ，将21=q 代入①得 81=a ，1)21(83314=⨯==∴q a a ， 231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s ． 16．解：设池塘的长为x （0>x ）米，则池塘的宽为x200米，令矩形区域的面积为y 平方米，则有)6200)(62(++=xx y =4[109+3)100(xx +]=⨯+≥)203109(4676 当且仅当x x 100=，即10=x 时，676min =y ，这时20200=x②答：池塘的长和宽分别为10米、20米，矩形区域的面积最小为676平方米．17．解：(1) 设数列 {a n } 的公差为d ，则a 5=a 2+3d .得21=9+3d ,∴ d = 4,∴ a n = a 2 + (n －2) d = 4n + 1(2) ∵ b n = 2 a n , ∴ b n = 24n +1, 又 b n +1b n= 16,∴ {b n } 是以 16 为公比的等比数列.b 1=25=32,∴ S n = 32(1－16n )1－16= 3215 (16n －1)18．解:依题意 S △ADC = 12 ·6·7 sin ∠1 = 1532∴ sin ∠1 = sin ∠2 = 5314∴ cos ∠2 = 1114 ∴ △ABC 中，sin ∠ACB = sin (∠2 + 60︒) = sin ∠2 cos 60︒ + cos ∠2 sin 60︒= 5314 ×12 + 1114 ×32 = 16328 =437 又 AC sin B = AB sin ∠ACB ⇒ 732= AB 437 ⇒ AB = 8．19．答案：解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．A 型车B 型车 限量 车辆数 xy 10运物吨数 24x 30y 180费用320x504yz由表可知x ，y 满足的线性条件：1024301800804x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≤≤， 且320504z x y =+．作出线性区域，如图所示，可知当 直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，xyCDBA8O 4z最小，但(7.50)A，不是整点，继续向上平移直线320504z x y=+可知，(52)，是最优解．这时min 320550422608z=⨯+⨯=（元），即用5辆A型车，2辆B型车，成本费最低．若只用A型车，成本费为83202560⨯=（元），只用B型车，成本费为180504302430⨯=（元）．20．解：（1）证明：已知P n、P n+1都在斜率为5的同一直线上，∴S n+1-S nx n+1-x n=5 , ∴x n+1x n+1-x n=5,∴4x n+1=5x n∴x n+1x n=54,n=1,2,3,……∴{x n}是以x1为首项,公比为54的等比数列(2) (i) ∵ y n=log xn a , y8=18,y12 =117,1y n= log a x n , 又由(1), x n = x1·(54)n－1∴1y8－1y12=log a x8－log a x12 = log ax8x12= log a (54)－4,又∵1y8－1y12=25-17=8, ∴ log a(54)－4 = 8, ∴a8 = (45)4, 又a > 0,∴a = 25=255(ii)由(i) 知x n = a 1y n,而a =2 55∈ (0,1) , 故欲使x n > 1, 则只须1y n<0,∵1y n= log a x n= log a [x1·(54)ｎ－１]＝（n－1）log a54+log a x1∴ { 1y n} 为等差数列, 其公差d = log a54= log25554=－lg54lg255= －2.(公差d也可由1y12－1y8= 4d 求得)∴1y n=1y8+ (n－8)·(－2)=25－n+16 = 41－2n由1y n< 0 得n > 20.5∴取M=20, 当n>20时x n>1 恒成立．(注：凡是取M为大于或等于20的正整数均可)。

2017年9月必修5模块测试答案解析第1题答案A第1题解析设前项和为，则，令，则当时，，，当时，，∴，∴.故选A.第2题答案D第2题解析因为，故①②③均正确．第3题答案D第3题解析∵有解，∴∴或∵解的区间长度就是的两个根的距离由韦达定理，∴∵解的区间长度不超过个单位，即∴，即∴综上，或第4题答案C第4题解析∴.第5题答案D第5题解析由，得，，解得。

当时，，此时。

当时，，此时。

选D.第6题答案C第6题解析∵，且．又∵，∴．第7题答案D第7题解析，即.∴，由正弦定理得，∴.∵，∴，.由余弦定理得，即，∴，，，故.∴.第8题答案A第8题解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线，过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而=,故选A.第9题答案D第9题解析∵，∴，由正弦定理有，即，再由余弦定理得，∴．第10题答案A第10题解析，，，解得，故．故答案为：A．第11题答案C第11题解析解：等比数列前n项和等间隔的和也成等比，所以以每4项的和组成新的等比数列，首项是1，公比是3，故27，选C．第12题答案A第12题解析解：由的解集是得且，∴不等式的解集是．第13题答案第13题解析设公差为，由，可得化为，又，化为．联立，解得．∴.故答案为．第14题答案第14题解析依题意得，第个和它后面个1的个数之和为，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以为首项、为公比的等比数列，该数列的前项和等于．注意到，因此在题中的数列中，前2015项中共有个.第15题答案第15题解析，，，若与矛盾！故，因此数列为首项为公比为的等比数列.，因为时不满足上式，故.第16题答案8第16题解析由题意可得：方程，当时，，的整数解为，所以此时可能取的数值为；所以当时，，或者，，，或者，围成的区域是个单位正方形，所以满足的点所成的图形面积为．第17题答案第17题解析由正弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.第18题答案(1)；(2).第18题解析(1)∵，由正弦定理得：,再由余弦定理知:，所以.(2)因为，由(1)知，所以，又因为、、成等比数列，所以，因为数列为等差数列，所以，又因为公差，所以解得，所以数列的通项公式.设，则数列的通项公式，所以前项和.第19题答案甲项目投资万元，乙项目投资万元时，两项目增加的最大．第19题解析解：设甲项目投资百万元，乙项目投资百万元，两项目增加的为．依题意，满足所确定的平面区域如图中阴影部分．解得，解得，设，得，将直线平移至经过点时，取得最大值．即甲项目投资万元，乙项目投资万元时，两项目增加的最大．第20题答案（1）；（2）.第20题解析（1）因为（，），所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故．（2）由知，于是数列的前项和，，相减得，所以．第21题答案（1）略；（2）第21题解析（1），，，即；（2），，，，，，，，，（舍去），.第22题答案(1)；(2)；(3)证明略．第22题解析(1)，；(2)①，②，两式子相加得，∴；(3)，，，又，，故.另外的放缩方法：，（），当时（从第4项开始放缩）.检验当、、时不等式成立．。

必修五模块测试一．填空题1. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B += 。

2.△ABC 的内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB= 。

3. {a n }是等差数列， ，则使 的最小的n 值是 。

4.设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k= 。

5.已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝2x 212-（）(x ＜0)，则m 与n 的大小关系为 . 6.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是7.若以2,3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的范围为 .8.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n+2a n+3(n ∈N *)，则公比q 的取值范围是 。

9.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.10.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________。

11.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积是 。

12. 在△ABC 中,若sinB 、cos2A、sinC 成等比数列,则此三角形的形状为 。

13．将给定的25个数排成如图所示的数表， 若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a 33=1,则表中所有数之和为 。

14.半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.则四边形OACB 的面积最大值是 。

模块综合测试(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案： B1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300 解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150°解析： 根据正弦定理sin B ＝2sin A sin B ， 所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析： 由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0，∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6， ∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴S n ＝－11n ＋n n －2·2＝n 2－12n .故n ＝6时S n 取最小值． 答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32 B ．1＋3 C.2＋32D ．2＋ 3解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30°. ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1解析： 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D. 答案： D7．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析： 由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10， ∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100，x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102. 答案： A8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析： 如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A (1,5)，同理可得B (－2，2)，C (1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列 解析： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2 n ＝1，an －1a －n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝a n －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列． 答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立， 即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立， 即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C11．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析： 设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝a 21q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.答案： C12．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜3 B.32≤a ＜3 C ．2＜a ≤3D ．1≤a ＜52解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋a ＋2－a ＋22a a＋＜0，解得32≤a ＜3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析： 因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析： 设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1620a 1＋－2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案： 11015．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y的最小值为________． 解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x＋3y＝9x＋34－2x＝9x＋819x ≥281＝18.答案： 1816．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析： 先画部分可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A (3,0)，B (0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)． 答案： (－∞，－3]∪[0,6)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋－2n2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及b sin Bc的值． 解析： ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa， ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ca ＝sin 60°＝32.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 解析： 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，其解的情况应由1a与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅； 当a ＞1时，解得1a＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜120．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值． 解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝z ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37； (x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分12分)已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }． (1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解析： (1)∵不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝t得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2t ＝2.(2)∵f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋4＋a 24在(－∞，1]上递增，∴a2≥1，a ≥2.又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0， 由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1， 由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12或x ＞1.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12或1＜x ＜32.22．(本小题满分14分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？ 解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C .因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．。

模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，已知(a＋c)(a－c)＝b2＋bc,则A 等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析: 由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝－错误!，∴A＝120°.答案：C2．已知集合A＝｛x∈R|3x＋2>0｝，B＝｛x∈R｜(x＋1）（x－3)〉0}，则A∩B＝（)A．(－∞，－1）B．错误!C．错误!D．（3，＋∞）解析：A＝错误!,B＝{x∈R｜x〉3或x〈－1｝,∴A∩B＝{x∈R|x〉3}．答案：D3．等差数列{a n｝的公差为1，若a1，a2，a4成等比数列,则a3＝( ）A．1 B．2C．－3 D．3解析：∵a1，a2，a4成等比数列，∴a错误!＝a1·a4即（a1＋1)2＝a1·（a1＋3）解得:a1＝1,∴a3＝a1＋2d＝3。

答案：D4．已知t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t和s的大小关系正确的是（)A．t≤s B．t≥sC．t＜s D．t>s解析：∵t－s＝a＋2b－a－b2－1＝－（b－1)2≤0，∴t≤s.答案：A5．各项不为零的等差数列｛a n｝中，有a错误!＝2(a3＋a11），数列｛b n｝是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝（)A．2 B．4C．8 D．16解析：b6b8＝b错误!＝a错误!,又a错误!＝2(a3＋a11)＝4a7，∴a7＝4,∴b6b8＝16,故选D。

答案：D6．△ABC的三边分别为a，b,c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2,则△ABC的外接圆的直径为（)A．4 3 B．5C．5错误!D．6错误!解析：∵S△ABC＝错误!ac sin B，∴c＝4错误!，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B＝25，∴b＝5。

≥2解析 ∵ x>1，∴x － 1>0，∴x ＋ 1 ＝ (x － 1)＋ x －11＋1 x － 1综合检测卷、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5分，共 1．如果 a<0， b>0 ，那么，下列不等式中正确的是B. － a< bB 等于 ( )答案答案答案 D (时间： 120 分钟满分： 150 分)11 A.a <b22C ．a <bD ． |a|>|b|答案 A解析 如果 a<0，1 1 1 1 b>0，那么 a 1<0，1b >0，∴a 1<1b .2．△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c.若 a 、 b 、 c 成等比数列，且 c ＝2a ，则 cos60 分 ) 1A.143 B.34C.42D.32解析由题意，b 2＝ ac ，又 c ＝ 2a ，由余弦定理，得 cos a2＋c 2－b 2 a 2＋ 4a 2－a ×2a B＝2ac2a ×2a334，故选 B.3．若 S n 是等差数列 {a n }的前 n 项和， a 2＋a 10＝ 4，则 S 11 的值为 ( )A ．12B ．18C ．22D ． 44解析S11＝a 1＋ a 11 × 11 11× a 2＋ a 102＝22.4．当 x>1 时， 不等式x ＋x －1 1≥a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 2]B ．［2，＋∞ )C ．［3 ，＋∞ )D ． (－∞， 3］1＋1＝3.x －1∴a ≤3.5．等差数列 {a n }满足 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前 10项和为 ( ) A ．－ 9 B ．－ 15 C ．15 D ．±15答案 D解析 a4＋ a 7＋ 2a 4a 7＝ (a 4＋ a 7) ＝9，∴a4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝ ±3，6．在△ ABC 中，BC ＝2，B ＝3π，当△ABC 的面积等于 23时， sin C 等于( )A. 23B.12C. 33D. 43答案 B解析 由三角形的面积公式，得由余弦定理，得2 2 2πAC 2＝ AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 3，3得 AC ＝ 3，再由三角形的面积公式，得1即可得出 sin C ＝ 2，选 B.7．在△ ABC 中，若 lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵ lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝ lg 2，∴sin A ＝2cos Bsin C ，lgsin Acos Bsin Clg 2.S10＝10 a 1＋ a 102＝ ±15.1 S ＝3π＝ 23，易求得AB ＝1，S ＝12ACBC ·sin C ＝3，2，∵A＋B＋C＝180°，∴ sin（B＋C）＝2cos Bsin C，∴sin（B－C）＝0.∴B＝C，∴△ ABC 为等腰三角形．8．在R 上定义运算“⊙”：a⊙ b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙ （x－2）<0 的实数x 的取值范围为（）A．（0,2）B．（－2,1）C．（－∞，－2）∪（1 ，＋∞ ）D．（－1,2）答案B 解析∵ x⊙（x－2）＝x（x－2）＋2x＋x－2<0，2∴ x2＋x －2<0.∴ －2<x<1.9．函数y＝x2＋mx＋m2对一切x∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．m>2 B．m<2C．m<0 或m>2 D．0≤ m≤ 2答案D 解析Δ＝m2－4×m2＝m2－2m≤0，∴0≤ m≤2.2x＋y≤40，x＋2y≤50，10．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是（x≥0，y≥0.A．90 B．80 C．70 D ．40答案C解析作出可行域如图所示．1由于2x＋y＝40、x＋2y＝50 的斜率分别为－2、－12，而3x＋2y＝03的斜率为－2，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40 的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A（10,20）时，z有最大值，z 的最大值为70.11．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70 元，不加附加税时，每年大约产销100 万瓶，若政府征收附加税，每销售100 元要征税k 元（叫做税112率 k%），则每年的产销量将减少 10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于 万元，则 k 的取值范围为 （ ）A ． [2,8]B ．（2,8）C ．（4,8）D ． （1,7）答案 A解析 设产销量为每年 x 万瓶，则销售收入每年 70x 万元，从中征收的税金为 70x ·k%万元， 其中 x ＝100－10k.由题意， 得 70（100－10k ）k%≥112，整理得 k 2－10k ＋16≤ 0，解得 2≤k ≤8. 因此，当 2≤ k ≤8（单位：元 ）时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112 万元．12．设正实数 x ，y ，z 满足 x 2－ 3xy ＋ 4y 2－ z ＝ 0.则当 x z y 取得最小值时， x ＋2y － z 的最大值为 （ ）答案 C解析 由题意知： z ＝ x 2－ 3xy ＋ 4y 2，22所以 x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y ＝－2y ＋4y ＝－ 2（y －1）2＋ 2≤ 2. 二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分）13．已知 0<x<6，则（6－x ） ·x 的最大值是 _______ ．答案 9解析 ∵ 0<x<6，∴6－ x>0.当且仅当 6－ x ＝x ，即 x ＝3 时，取等号14．观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－ 10照此规律，第 n 个等式可为 12－22＋32－⋯＋ （－1）n＋1n 2＝ _____________则z＝xy22x － 3xy ＋4y x 4y＝ ＋ －3≥ 1， xy y x 当且仅当 x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2.∴ （6 － x ） ·x ≤ 6－x ＋x2＝ 9.答案 （－1）n ＋1·n n 2＋1解析 观察等式左边的式子， 每次增加一项， 故第 n 个等式左边有 n 项，指数都是 2，且正、 负相间，所以等式左边的通项为 （－ 1）n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为 1,3,6,10,15,21 ，⋯ .设此数列为 {a n } ，则 a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝ 5，⋯，为 60°和 30°，且座位 A 、 B 的距离为 10 6米，则旗杆的高度为 _______ 米． 答案 30解析 由题意，可知 ∠ BAN ＝105°，∠BNA ＝ 30°，解得 AN ＝20 3米，在 Rt △AMN 中， MN ＝20 3sin 60 ＝°30米． 故旗杆的高度为 30 米．x ＋y －2≥0，16．设z ＝kx ＋y ，其中实数 x ，y 满足 x －2y ＋4≥0， 若 z 的最大值为 12，则实数 k ＝ ______________2x － y －4≤0.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：a n － a n －1＝ n ，各式相加得 a n －a 1＝ 2＋3＋4＋⋯＋n ，即 a n ＝1＋2＋3＋⋯＋n ＝n n ＋ 1 .所以第 n 个等式为 12－22＋32－42＋⋯＋（－1）n ＋1n 2＝（－1）n ＋1.n n 2＋1 .15．2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为 15°的观礼台上，某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面，在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别由正弦定理，得AN sin 45 10 6 sin 3021由图可知当 0≤－k<21时，直线 y ＝－ kx ＋ z 经过点 A （4,4）时 z 最大，所以 4k ＋ 4＝ 12 ，解得 k 1 ＝2（舍去）；当－k ≥2时，直线 y ＝－ kx ＋z 经过点 B （0,2）时 z 最大，此时 z 的最大值为 2，不 合题意； 当－ k<0 时，直线 y ＝－ kx ＋ z 经过点 A （4,4）时 z 最大，所以 4k ＋4＝12，解得 k ＝2， 符合题意．综上可知， k ＝ 2.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分）1 1 1 1 117．（10 分）设 S n 是等差数列 {a n }的前 n 项和，已知 3S 3，4S 4 的等比中项为 5S 5；3S 3，4S 4 的等 差中项为 1，求数列 { a n }的通项公式．n n － 1解 设等差数列 { a n } 的首项 a 1＝ a ，公差为 d ，则 S n ＝ na ＋ 2 d ，依题意，有3ad ＋ 5d 2 ＝0，整理得52a ＋5d ＝2.232 12a n ＝1 和 a n ＝352－152n 均合题意．∴所求等差数列的通项公式为a n ＝1 或 a n ＝352－152n.∴a ＝1，d ＝0 或 a ＝4，d ＝12.5.∴ an ＝ 1 或 a n＝ 32512 5n经检验，5× 4 22d 2 ，18．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， acos C ＋ 3asin C －b －c＝0.(1)求 A ；(2)若 a ＝ 2，△ ABC 的面积为 3，求 b ，c.解 (1)由 acos C ＋ 3asin C －b － c ＝0 及正弦定理得 sin Acos C ＋ 3sin Asin C － sin B －sin C ＝0.因为 B ＝π－ A －C ，所以 3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0. 由于 sin C ≠ 0，所以 sin A － 6π＝21.π又 0<A<π，故 A ＝ 3.1(2)△ ABC 的面积 S ＝2bcsin A ＝ 3，故 bc ＝4.而 a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，故 b 2＋ c 2＝ 8. 解得 b ＝ c ＝ 2.19．(12 分 )某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元．该船每年捕捞总收入 50 万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 解 (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元．则2＝－ 2n 2＋ 40n － 982＝－ 2(n － 10)2＋102∴当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102万元．y 49(2)年平均利润为 n ＝－ 2( n ＋ n －20)当且仅当 n ＝49，即 n ＝7 时上式取等号．y ＝50n － 98－[12×n ＋4]≤－2(2·4n 9－20)＝12，2220．(12 分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)<0 的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥ (m＋2)x－m－15 成立，求实数m 的取值范围．解(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0 ，∴ －2< x<4，∴不等式g(x)<0 的解集为{ x|－2<x<4} ．2(2)∵ f(x)＝x2－2x－8.当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15 恒成立，2∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥ m( x－1)．x －4x ＋7∴ 对一切x>2 ，均有不等式≥m 成立．x－12x －4x＋7 4而＝(x－1)＋－2x－1 x－1≥2 x－1 × 4－2＝2(当x＝3 时等号成立)．∴实数m 的取值范围是(－∞，2］．21．(12 分)如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中∠ B 为直角，AB 长为40 米，BC 长为50 米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．解如图，设矩形为EBFP ，健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△ CBA，FP CF x 50－BF 5所以F B P A＝C C F B，4x0＝50，求得BF＝50－54x，5 5 2从而y＝BF·FP＝（50－4x）x＝－4x2＋50x＝－45（x－20）2＋500≤500，当且仅当x＝20 时，等号成立．答该健身房的最大占地面积为500 平方米．22．（12 分）已知数列{a n}的前n 项和为S n，a1＝1，a n＋1＝2S n＋1（n∈N*），等差数列{b n} 中，b n> 0（n∈N*），且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列．（1）求数列{a n} ，{ b n}的通项公式；（2）求数列{a n·b n}的前n项和T n.解（1）∵a1＝1，a n＋1＝2S n＋1（n∈N*），∴a n＝2S n－1＋1（n∈N*，n>1），a n＋1－a n＝2（S n－S n－1），∴*即a n＋1－a n＝2a n，∴ a n＋1 ＝3a n（ n∈ N ，n> 1）．而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1，符合上式．∴数列{ a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，n 1 * ∴a n＝3n－1（n∈N*）．∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{b n} 中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3 成等比数列，设等差数列{b n}的公差为d，则有（a1＋b1）（a3＋b3）＝（ a2＋b2 ）2.∴（1＋5－d）（9＋5＋d）＝64，解得d＝－10或d＝2，∵b n>0（n∈N*），∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴b n＝2n＋1（ n∈ N *）．（2）由（1）知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋⋯＋（2n－1）·3n－2＋（2n＋1）3n－1，① ∴3T n＝3× 3＋5×32＋7×33＋⋯＋（2n－1）3n－1＋（2n＋1）3n，②∴① －② 得我唯一的优势就是，比你卑微。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分．请把答案填在题中的横线上）1．在△ABC中，a，b,c所对的角分别为A，B，C,若a＝2，A ＝错误!,B＝错误!,则b等于________．【解析】由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝错误!＝错误!.【答案】错误!2．已知等比数列｛a n｝的公比q为正数,且a5·a7＝4a错误!，a2＝1，则a1＝________。

【解析】∵{a n｝成等比数列，∴a5·a7＝a26，∴a错误!＝4a错误!，∴q2＝4，∴q＝±2。

又q>0，∴q＝2。

∴a1＝错误!＝错误!。

【答案】错误!3．设x〉0，y〉0,下列不等式中等号不成立的是________．①x＋y＋错误!≥4；②（x＋y）错误!≥4；③错误!错误!≥4；④错误!≥2。

【解析】④中，错误!＝错误!＋错误!.因为错误!≥2，故应用不等式时,等号不成立．【答案】④4．等差数列{a n｝满足a错误!＋a错误!＋2a4a7＝9,则其前10项之和为________．【解析】由a2，4＋a错误!＋2a4a7＝9，可知a4＋a7＝±3。

∴S10＝错误!＝错误!＝±15。

【答案】±155．已知点A（3，－1），B（－1，2）在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围为________．【解析】由题意可知,（3a－3）（－a＋3)〉0，即（a－1)（a－3）<0，∴1〈a〈3。

【答案】（1，3）6．已知2a＋1〈0,关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________．【解析】x2－4ax－5a2>0，即(x－5a）（x＋a）〉0，而方程(x－5a)（x＋a)＝0的根为x1＝－a,x2＝5a.∵2a＋1<0，则a〈－错误!，∴－a〉5a，∴原不等式的解集为｛x｜x<5a或x>－a｝．【答案】｛x|x〈5a或x〉－a}7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c，成等比数列,且c＝2a,则cos B＝________。

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋5x ＋14≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥7或x ≤2} B ．{x |2≤x ≤7} C ．{x |x ≥7或x ≤－2}D ．{x |－2≤x ≤7}解析：选C.－x 2＋5x ＋14≤0⇒x 2－5x －14≥0⇒(x －7)·(x ＋2)≥0⇒x ≥7或x ≤－2. 2．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理，得bsin B＝asin A，所以b ＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，若a n ＝2 017，则n ＝( ) A ．667 B ．668 C ．669D ．673解析：选D.因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2. 因为a n ＝2 017，所以n ＝673. 4．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b 且1a >1b，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则a b>1 C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b 且ac >bd ，则c >d解析：选A.A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有a b＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．48D ．64解析：选D.由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16.因为a n ＞0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D. 6.函数y ＝ x 2＋mx ＋m 2对一切x∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0≤m ≤2解析：选D.Δ＝m 2－4×m2＝m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C.易知等比数列的公比不为－1，由等比数列的性质得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即3，12，S 6－15成等比数列，则3(S 6－15)＝144，所以S 6＝63.8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C.因为A 、B 、C 依次成等差数列，所以B ＝π3，又因为a sin A ＝b sin B⇒sin A ＝12⇒A ＝π6(因为a <b )，所以C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab ＝32. 9．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．16B ．15C ．8D ．4解析：选A. 因为1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y.因为x >0，y >0，所以y x ＋9x y ≥2 y x ·9xy＝6. 当且仅当y x＝9xy，即y ＝3x 时取等号．又因为1x ＋9y＝1，所以x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.10．若平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，y －2≤0，y ≥k （x ＋1）的面积为3，则实数k 的值为( )A.13 B.12 C.45D.32解析：选B . 由平面区域Ω的面积为3，可得0<k <2.所以可作可行域如图所示．又因为A (－1，0)，C (0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k－1，2，所以S △ABC ＝12×|BC |×2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1×2＝3.所以k ＝12.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ 解析：选C. 直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则cos A cos B ＝( )A.14B.16C.12D.23解析：选A. 由已知得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π， 故B ＝π3.又4b 2＝4ac ，则b 2＝ac ，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝ac ，即(a －c )2＝0，故a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形， 则cos A cos B ＝cos π3×cos π3＝14.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c ＝2a ，则cos B 的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等比数列且c ＝2a ， 所以b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 24a 2＝34.答案：3414．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cosC ＝3cos A sin C ，则b ＝________．解析：由sin A cos C ＝3cos A sin C得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc·c ，则a 2＋b 2－c 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，a 2－c 2＝b 22，又a 2－c 2＝2b ，则有b 22＝2b ，故b ＝4.答案：415．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且t ＝2＋x －14y ，则当t 取最大值时x 的值为________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1， 所以t ＝2＋x －14y ＝2＋1－y －14y ≤3－2y ×14y＝2， (当且仅当y ＝14y ，即y ＝12时取等号)所以x ＝1－y ＝12.答案：1216．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．解析：因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 202＝20（x 3＋x 18）2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18有最大值，所以x 3x 18≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 1822＝100(当且仅当x 3＝x 18时等号成立)，即x 3x 18的最大值为100.答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 7＝49，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝（a n ＋1）·2n －1n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，7a 1＋7×62d ＝49， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝（a n ＋1）·2n －1n＝（2n －1＋1）·2n －1n＝2n，所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.19．(本小题满分12分)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|.(1)画出点(x ，y )所在平面区域；(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数z ＝y －ax 的最大值和最小值． 解：(1)已知不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥3－2x ，2x －3<0.从而得点(x ，y )所在的平面区域为图中所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.(2)z 表示直线l ：y －ax ＝z 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点． 因为a >－1，所以当直线l 过顶点C 时，z 最大．因为C 点的坐标为(－3，7)． 所以z 的最大值为7＋3a .如果－1<a ≤2，那么当直线l 过顶点A (2，－1)时，z 最小，最小值为－1－2a . 如果a >2，那么当直线l 过顶点B (3，1)时，z 最小，最小值为1－3a .20．(本小题满分12分)(2015·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b nn ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋bc＝cos （A ＋C ）cos C.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，求使△ABC 面积最大时，a ，b 的值． 解：(1)因为cos(A ＋C )＝cos(π－B )＝－cos B ， 由题意及正弦定理， 得2sin A ＋sin B sin C ＝－cos Bcos C，即2sin A cos C ＝－(sin B cos C ＋cos B sin C )＝－sin(B ＋C )＝－sin A . 因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以4＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即4＝a 2＋b 2＋ab .所以4＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab .所以4≥3ab ，ab ≤43(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ，所以当a ＝b 时△ABC 面积最大为33，此时a ＝b ＝233. 故当a ＝b ＝233时，△ABC 的面积最大为33.22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (－2)＝0，且2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立．(1)求f (2)的值； (2)求f (x )的解析式； (3)设b n ＝1f （n ），数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n >4n3（n ＋3）. 解：(1)因为2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立，所以4≤f (2)≤4，所以f (2)＝4. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 因为f (－2)＝0，f (2)＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝4，4a －2b ＋c ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2－4a .因为ax 2＋bx ＋c ≥2x ，即ax 2－x ＋2－4a ≥0恒成立， 所以a >0，Δ＝1－4a (2－4a )≤0，得(4a －1)2≤0， 所以a ＝14，c ＝2－4a ＝1，故f (x )＝x24＋x ＋1.(3)证明：因为b n ＝1f （n ）＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n >4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋3＝4 n 3(n ＋3).。

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列 解析：2b2a ＝2b －a ，2c2b ＝2c －b，因为a ，b ，c 成等差数列，所以c －b ＝b －a ， 所以2b －a ＝2c －b，即2b 2a ＝2c2b .答案：C2．在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( ) A ．10 2 B ．20 2 C ．20 6 D.2063解析：由正弦定理：a sin A ＝csin C，所以a ＝c ·sin Asin C＝20×2212＝20 2.答案：B3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：两式相减得，3a 3＝a 4－a 3，a 4＝4a 3， 所以q ＝a 4a 3＝4. 答案：B4．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20 D ．19解析：由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37. 答案：A5．不等式x (9－x )＞0的解集是( )A ．(0，9)B ．(9，＋∞)C ．(－∞，9)D ．(－∞，0)∪(9，＋∞)解析：由x (9－x )＞0，得x (x －9)＜0， 所以0＜x ＜9. 答案：A6．若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形解析：由余弦定理：设最大角为A ，则cos A ＝9＋25－492×3×5＝－12＜0，所以A 为钝角．答案：C7．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，152B ．[2，8]C ．[2，8)D ．[2，7]解析：由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜157，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8.答案：C8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n ＞1)，则a 5的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．3解析：因为a 1＝1，a 2＝12－1＝0，a 3＝02－1＝－1，a 4＝(－1)2－1＝0，a 5＝02－1＝－1. 答案：B9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0.则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40解析：作出可行域如图所示．由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2，－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10，20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.答案：C10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为( )A ．[2，8]B ．(2，8)C ．(4，8)D ．(1，7)解析：设产销售为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.答案：A11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.94解析：因为x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，所以z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 为正实数，所以z xy ＝x y＋4y x－3≥2x y ·4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时取“＝”)，即x ＝2y (y ＞0)，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －(x 2－3xy ＋4y 2)＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.所以x ＋2y －z 的最大值为2.答案：C12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23 解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ， 由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知0＜x ＜6，则(6－x )·x 的最大值是________．解析：因为0＜x ＜6，所以6－x ＞0，所以(6－x )·x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x ＋x 22＝9.答案：914．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为12－22＋32＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________．解析：分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－42＋(－1)n ＋1·n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2·（3＋2n －1）2＝－n （n ＋1）2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n （n －1）2＋n 2＝n （n ＋1）2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋ (－1)n ＋1n 2＝（－1）n ＋12n (n ＋1)．答案：（－1）n ＋12n (n ＋1)15．2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图所示，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题意可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理，得ANsin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203米，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30米．故旗杆的高度为30米．答案：3016．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则∠B 的大小为________．解析：由m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－32，所以∠B ＝150°. 答案：150°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1 000 m2的楼房，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%.已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把楼层建成几层？解：设该楼建成x 层，则整幢楼每平方米的建筑费用为400＋400(x －5)·5%(元)，又每平方米购地费用为100×1041 000x ＝1 000x (元)，故每平方米的平均综合费用y ＝1 000x＋400＋400(x －5)·5%＝20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋50x ＋300≥20×2 x ·50x ＋300＝2002＋300，当且仅当x ＝50x，x 2＝50，x ≈7时，y 最小，所以大楼应建成7层综合费用最低．18．(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mike/h 的速度沿南偏东75°方向逃窜．缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的时间和α角的正弦值．解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上(如图所示)．则有AB ＝14x ，BC ＝10x ，∠ACB ＝120°， (14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 所以x ＝2，AB ＝28，BC ＝20， sin α＝20sin 120°28＝5314.所以所需时间为2小时，α角的正弦值为5314.19．(本小题满分12分)设a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1＝2b n ＋2. (1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)， 所以b n ＋1＋2b n ＋2＝2. 又因为b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，所以数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知b n ＋2＝4·2n －1，则b n ＝2n ＋1－2，所以a n －a n －1＝2n－2，a n －1－a n －2＝ 2n －1－2，…，a 3－a 2＝23－2，a 2－a 1＝22－2，叠加得a n －2＝(22＋23＋ (2))－2(n －1)， 所以a n ＝(2＋22＋23＋ (2))－2n ＋2＝ 2（2n－1）2－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n .20．(本小题满分12分)设f (x )＝16xx 2＋8(x ＞0)． (1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a ，b ，恒有f (a )＜b 2－3b ＋214.(1)解：因为x ＞0， 所以f (x )＝16x x 2＋8＝16x ＋8x≤162 x ·8x＝1642＝22， 当且仅当x ＝8x，即x ＝22时，等号成立．所以当x ＝22时，f (x )max ＝2 2. (2)证明：令g (b )＝b 2－3b ＋214，b ∈R ， 则g (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3， 所以当b ＝32时，g (b )min ＝3，因为f (x )max ＝22， 所以f (x )max ＜g (b )min ，故对任意实数a ，b ，恒有f (a )＜b 2－3b ＋214.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)， (1)若不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值；(2)若f (1)＝2，a ＞0，b ＞0，求1a ＋4b的最小值．解：(1)因为不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，所以－1和3是方程f (x )＝0的两实根，从而有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ＋5＝0，f （3）＝9a ＋3（b －2）＋3＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋5＝0，3a ＋b －1＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4. (2)由f (1)＝2，a ＞0，b ＞0得到a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23时“＝”成立；所以1a ＋4b的最小值为9.22．(本小题满分12分)据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润； (3)当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？ 解：(1)y ＝a (x －15)2＋17.5(a ∈R，a ≠0)，将x ＝10，y ＝20代入上式得，20＝25a ＋17.5，解得a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5(10≤x ≤25)．(2)设利润为Q (x )，则Q (x )＝1.6x －y ＝1．6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝ －110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)， 因为x ＝23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元． (3)y x ＝110x 2－3x ＋40x ＝110x ＋40x－3≥2 x10·40x－3＝1.当且仅当x10＝40x，即x＝20∈[10，25]时上式“＝”成立．故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元．。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10,则它的前10项的和S10＝（)A．138 B．135C．95 D．23【解析】由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10得a1＝－4，d＝3，所以S10＝错误!＝错误!＝5×19＝95。

【答案】C2．在△ABC中，已知a、b和锐角A,要使三角形有两解,则应该满足的条件是（）A．a＝b sin A B．b sin A＞aC．b sin A＜b＜a D．b sin A＜a＜b【解析】当a＝b sin A时,有一解，当b sin A＜a＜b时，有两解，当a＞b时有一解．【答案】D3．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集,则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4【解析】 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集,则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4。

【答案】 A4．已知等差数列的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为（ ）A ．9B ．21C ．27D ．36【解析】 ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1,又a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴3（a 1＋a n ）＝1＋3,∴a 1＋a n ＝错误!。

又S n ＝n a 1＋a n 2＝错误!n ＝18,∴n ＝27，故选C 。

【答案】 C5．关于x 的不等式ax －b 〉0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式(ax ＋b ）（x －3)〉0的解集是（ ）A．（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．（－1,3）C．(1，3）D．（－∞,1）∪(3，＋∞）【解析】（ax＋b)（x－3）〉0等价于错误!或错误!∴错误!或错误!∴x∈（－∞，－1)∪（3，＋∞)．【答案】A6．“神七"飞天，举国欢庆，据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征2号”系列火箭，点火1分钟内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2 km，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( ）A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．20分钟【解析】由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项,公差d＝2的等差数列，∴n分钟内通过的路程为S n＝2n＋错误!×2＝n2＋n＝n（n＋1）．检验选项知,n＝15时，S15＝240 km。

模块检测（苏教版必修5）一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知一等比数列的前三项依次为22x,x ,+33x +，那么2113-是此数列的第项. 2.若数列{ }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为. 3.已知三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =.4.在ABC △中,tan A 是以－4为第三项,4为第 七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是. 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132log log a a +++310log a =.6.若x ，y 均为整数，且满足约束条件20200≤，≥，≥，x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩则2z x y =+的最大值为.7.已知在等差数列｛ ｝中，01511＞，＝a S S ，则第一个使0＜n a 的项是. 8.已知{}a 是等比数列，12==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =.9.如果在△ABC 中，2sin cos ＝sin A B C，那么△ABC 一定是 . 10.若关于x 的不等式()201x a x ab +++>的解集是{}1或4x|x x <->，则实数a b +的值为. 11.用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数米，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是 平方米.12．如图，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为.13．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为. 14．甲船在岛B 的正南方A 处，AB =10千米，甲船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是.二、解答题（共90分）15.（14分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD,DC ，且拐弯处的转角为120︒．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．16.（14分）研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），解关于x 的不等式20cx bx a -+>”有如下解法：解：由20ax bx c -+>得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y x =，则121y <<，所以不等式20cx bx a -+>的解集为112，⎛⎫⎪⎝⎭.参考上述解法，已知关于x 的不等式0k x bx a x c++<++的解集为()()2123，,--，求关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集.17.（14分）某家具厂有方木料90 ，五合板600 ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 ，五合板2 ，生产每个书橱需要方木料0.2 ，五合板1 ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所获利润最大？18.（16分）已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n项和，=2，5=2.（1）求{}和{}的通项公式；（2）设=++…+，求.19.（16分）已知数列{}n a满足1112n na,a a+==+ ()1n+∈N.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足114b-•214b-•…•14n b-=(1)n bna+(n∈+N)，证明：{}n b是等差数列.20.（16分）已知函数2222（）f x x x =-+，数列{ }的前n 项和为 ，点 （n ， ）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上. （1）求数列{ }的通项公式 及前n 项和 ；（2）存在k ∈ ，使得1212nS S S k n+++<对任意n ∈ 恒成立，求出k 的最小值.模块检测答题纸得分：一、填空题1． 2．3． 4．5． 6．7.8．9．10.11．12． 13．14.二、解答题15.16.17.18.19.20．模块检测 参考答案1.4 解析：由题意得 ,解得1x =-或4x =-.当1x =-时，220x +=，故舍去，所以333x q +==，所以131134n -⎛⎫⨯-=-，所以4n =.2.213,, 解析：当1n =时，21112132－a S ==⨯+=；当2n =时，由221222233－S a a =+=⨯+=,得21a =；当3n =时，由2233233631－S a a a =++=⨯+=,得33a =.3.)2(:1:4-解析：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+=， 又,a b ≠∴4,2a b c b ==-.4.锐角三角形 解析：设等差数列为{}n a ，公差为d ,则7344，a a =-=,所以2d =，所以 设等比数列为{}n b ，公比为q ，则313b =,6b 9=,所以3q =，所以所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.5.10 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5103563log ()log (3)10a a ===.6.4 解析：作出可行域如图中阴影部分，可知在可行域内的整点有()()()()()()201000102011，，，，，，，，，，，，---()()()011102，，，，，，分别代入2z x y =+可知当20，x y ==时，z 最大，为4.7.9a 解析：由511＝S S 得12150＋＝a d .又10＞a ，所以0＜d ． 而2 ＝()()12212170a n d n d ＋－＝－＜，所以2170－＞n ，即85＞n .． 8.()32143n -- 解析： 41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a )41(332n --. 9.等腰三角形 解析一：∵ 在△ABC 中，＋＋＝πA B C ，即()C A B ＝π－＋，∴()sin ＝sin ＋C A B ． 由2sin cos ＝sin A B C ，得2sin cos ＝sin cos ＋cos sin A B A B A B ，即0sin cos －cos sin ＝A B A B ，即()0sin －＝A B . 又∵－π＜－＜πA B ，∴ 0－＝A B ，即＝A B .∴△ABC 是等腰三角形． 解析二：利用正弦定理和余弦定理.2sin cos ＝sin A B C 可化为2a ·2222a +cbc ac-=， 即2222＋－＝a c b c ，即22－＝0a b ，22＝a b ，故＝a b . ∴△ABC 是等腰三角形．10.-3 解析：由不等式的解集为{}1或4x|x x <->可得14，-是方程()210a x b x a +++=的两根，∴()14114，，a ab ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=⎪⎩解得41，a b .=-=⎧⎨⎩∴3a b +=-.11.40 解析：设长x 米，宽y 米，则610100≤x y +，即3550≤x y +.∵5035+x y ≥≥35x y =时等号成立，又∵， x y 为正整数，∴ 只有当324525，x y ==时面积最大，此时面积40xy =平方米.12.300 m 解析：依题意可知600====AB BP BC CP ，，∴ 222cos 222θ+-==⋅BC BP PC BC BP ∴23015，θθ=︒=︒，∴ 60300sin （m ）PD PC =∙︒==.13．4003m 解析：依题意可得图象如图所示， 从塔顶向山体引一条垂线CM ，垂足为M , 则0=∙︒AB BD tan 6，0=∙︒=AM CM BD CM tan 3，， ∴200tan 30tan 603=⨯︒=︒AB AM ，∴塔高()20040020033=-= C D m . 点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题，属基础题． 14.514小时 解析：假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至，C D ， 可知1046120﹣，，BC x BD x CBD ==∠=︒，22222212cos 104362104628201002﹣∠（﹣）（﹣）CD BC BD BC BD CBD x x x x x x ⎛⎫=+∙∙=+-∙∙∙-=-+ ⎪⎝⎭，当514x =小时，即1507分钟时距离最小. 点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象，属基础题．15.解法一：设该扇形的半径为r 米.由题意，得500CD =米，300DA =米，60CDO ∠=︒， 在△CDO 中，2222cos 60 CD OD CD OD OC +-∙∙︒=，即()()222150030025003002r r r +--⨯-⨯=，解得490044511r =≈（米）. 解法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于点H ， 由题意，得500CD =米，300AD =米，120,CDA ∠=︒在ACD △中，22222212cos 12050030025003007002AC CD AD CD AD =+-∙∙∙︒=++⨯⨯⨯=，∴700AC =（米），22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅ 在HAO Rt △中，350AH =米，11cos 14∠HAO =， ∴ 4900445cos 11∠AH OA HAO ==≈（米）.点评：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解;16.解：由于不等式0k x bx a x c++<++的解集为2123（，）（，）--， 则方程0k x bx a x c++=++的根分别为2123，，，--. 由1011kx bx ax cx -+<--，得1011 b k x a c x x-+<--， 因此方程1011 b k x a c x x-+=--的根为1111223--，,，. 所以不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为1111232，，⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 17.解：由题意可列表格如下：（1）设只生产书桌a 张，可获得利润b 元， 则01902600⎧⎨⎩.a a ≤，≤，解得900300⎧⎨⎩a a ≤，≤，即300a ≤.又80=b a ，所以当300=a 时，8030024000=⨯=b max （元）， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张，可获得利润24000元.（2）设只生产书橱c 个，可获利润d 元，则02901600∙⎧⎨⎩.c c ≤，≤，解得450600⎧⎨⎩c c ≤，≤，即450c ≤.又120=d c ，所以当450=c 时，12045054000=⨯=d max (元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，可获得利润54000元.（3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则010*********≤，≤，≥且，≥且，.x .y x y x x y y +⎧⎪⎪⎨⎪⎪+∈∈⎩Z Z 即2900260000≤，≤，≥且，≥且x y x y x x y y .⎧⎪⎪⎨++∈∈⎪⎪⎩Z Z 80120z x y =+.在平面直角坐标内作出上面不等式组 所表示的平面区域，即可行域如图阴 影部分. 作直线230：l x y +=. 把直线l 向右上方平移至1l 的位置时， 直线经过可行域上的点M ，此时 80120z x y =+取得最大值.由29002600，，x y x y +=+=⎧⎨⎩解得点M 的坐标为100400（，），所以当100400，x y ==时，8010012040056000max z =⨯+⨯=（元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所获利润最大.18.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由 = ，得4q =，所以 = .设{}n b 的公差为d ，由5852=S S 及12b =得3d =，所以1131（）n n b n b d =+-=-.（2）因为()21124548431n n T n -=⨯⨯⨯++++-，①()244245431n n T n ⨯⨯=+++-，②由②-①，得213234444312324（））（）（n n n n T n n ---++++-=+-∙=. 所以22433n n T n ⎛⎫=-∙+ ⎪⎝⎭.19.（1）解:∵ =2 +1（n ∈+N ），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n a a +，∴{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.∴12nn a +=,即 -1（ +N ).（2）证明：∵()121114441n n b b b b n a ---=+,∴()1242n n b b b nnb +++-=.∴()122n n b b b n nb ⎡⎤+++-=⎣⎦, ①()()()1211211n n n b b b b n n b ++⎡⎤++++-+=+⎣⎦. ②②－①，得()()11211n n n b n b nb ++-=+-,即()1120n n n b nb +--+=，③()21120n n nb n b ++-++=. ④ ④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=,211+++-=-∈+N n n n n b b b b n （），故{}n b 是等差数列.20.解：（1）因为点 （n ， ）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上，所以2222n S n n =-+.当1n =时， = =20；当2≥n 时， = - 424n =-+.120S =也符合.所以 （n ∈ ）.（2）存在k ∈ ，使得1212n S S S k n +++<对任意n ∈ 恒成立，只需1212max n S S S n k ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭>，由（1）知 ，所以222211（）nS n n n -+=-=.当11n <时，0nS n >；当11n =时，0n S n=； 当11n >时，0n S n <. 所以当10n =或11n =时，1212n S S S n+++有最大值110.所以110k >. 又因为∈N k +，所以k 的最小值为111.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修5）一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知一等比数列的前三项依次为22x,x ,+33x +，那么2113-是此数列的第项. 2.若数列{ }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为. 3.已知三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =.4.在ABC △中,tan A 是以－4为第三项,4为第 七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是. 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132log log a a +++310log a =.6.若x ，y 均为整数，且满足约束条件20200≤，≥，≥，x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩则2z x y =+的最大值为.7.已知在等差数列｛ ｝中，01511＞，＝a S S ，则第一个使0＜n a 的项是. 8.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则9.如果在△ABC 中，2sin cos ＝sin A B C ，那么△ABC 一定是 . 10.若关于x 的不等式()201x a x ab +++>的解集是{}1或4x|x x <->，则实数a b +的值为. 11.用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数米，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是 平方米.12．如图，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为.13．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为. 14．甲船在岛B 的正南方A 处，AB =10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°所航行的时间是.二、解答题（共90分）15.（14分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD,DC ，且拐弯处的转角为120︒．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．16.（14分）研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），解关于x 的不等式20cx bx a -+>”有如下解法：解：由20ax bx c -+>得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y x =，则121y <<，所以不等式20cx bx a -+>的解集为112，⎛⎫⎪⎝⎭.参考上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c++<++的解集为()()2123，,--，求关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集.17.（14分）某家具厂有方木料90 ，五合板600 ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 ，五合板2 ，生产每个书橱需要方木料0.2 ，五合板1 ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所获利润最大？18.（16分）已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n项和，=2，5=2.（1）求{}和{}的通项公式；（2）设=++…+，求.19.（16分）已知数列{}n a满足1112n na,a a+==+ ()1n+∈N.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足114b-•214b-•…•14n b-=(1)n bna+(n∈+N)，证明：{}n b是等差数列.20.（16分）已知函数2222（）f x x x =-+，数列{ }的前n 项和为 ，点 （n ， ）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上. （1）求数列{ }的通项公式 及前n 项和 ；（2）存在k ∈ ，使得1212nS S S k n+++<对任意n ∈ 恒成立，求出k 的最小值.模块检测答题纸得分：一、填空题1． 2．3． 4．5． 6．7.8．9．10.11．12． 13．14.二、解答题15.16.17.18.19.20．模块检测 参考答案1.4 解析：由题意得 ,解得1x =-或4x =-.当1x =-时，220x +=，故舍去，所以333222x q x +==+，所以13211342n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭-=-，所以4n =.2.213,, 解析：当1n =时，21112132－a S ==⨯+=；当2n =时，由221222233－S a a =+=⨯+=,得21a =；当3n =时，由2233233631－S a a a =++=⨯+=,得33a =.又,a b ≠∴4,2a b c b ==-.4.锐角三角形 解析：设等差数列为{}n a ，公差为d ,则7344，a a =-=,所以2d =，所以 设等比数列为{}n b ，公比为q ，则313b =,6b 9=,所以3q =，所以所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.5.10 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5103563log ()log (3)10a a ===.6.4 解析：作出可行域如图中阴影部分，可知在可行域内的整点有()()()()()()201000102011，，，，，，，，，，，，---()()()011102，，，，，，分别代入2z x y =+可知当20，x y ==时，z 最大，为4.7.9a 解析：由511＝S S 得12150＋＝a d .又10＞a ，所以0＜d ． 而2 ＝()()12212170a n d n d ＋－＝－＜，所以2170－＞n ，即85＞n .． 8.()32143n-- 解析： 41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a )41(332n --. 9.等腰三角形 解析一：∵ 在△ABC 中，＋＋＝πA B C ，即()C A B ＝π－＋，∴()sin ＝sin ＋C A B ． 由2sin cos ＝sin A B C ，得2sin cos ＝sin cos ＋cos sin A B A B A B ，即0sin cos －cos sin ＝A B A B ，即()0sin －＝A B . 又∵－π＜－＜πA B ，∴ 0－＝A B ，即＝A B .∴△ABC 是等腰三角形． 解析二：利用正弦定理和余弦定理.2sin cos ＝sin A B C 可化为2a ·2222a +cbc ac-=， 即2222＋－＝a c b c ，即22－＝0a b ，22＝a b ，故＝a b . ∴△ABC 是等腰三角形．10.-3 解析：由不等式的解集为{}1或4x|x x <->可得14，-是方程()210a x b x a +++=的两根，∴()14114，，a ab ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=⎪⎩解得41，a b .=-=⎧⎨⎩∴3a b +=-.11.40 解析：设长x 米，宽y 米，则610100≤x y +，即3550≤x y +.∵5035+x y ≥≥35x y =时等号成立，又∵， x y 为正整数，∴ 只有当324525，x y ==时面积最大，此时面积40xy =平方米.12.300 m 解析：依题意可知600====AB BP BC CP ，，∴ 222cos 222θ+-==⋅BC BP PC BC BP ∴23015，θθ=︒=︒，∴ 60300sin （m ）PD PC =∙︒==. 点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．13．4003m 解析：依题意可得图象如图所示，从塔顶向山体引一条垂线CM ，垂足为M , 则0=∙︒AB BD tan 6，0=∙︒=AM CM BD CM tan 3，， ∴200tan 30tan 603=⨯︒=︒AB AM ，∴塔高()20040020033=-= C D m . 点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题，属基础题．14.514小时 解析：假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至，C D ， 可知1046120﹣，，BC x BD x CBD ==∠=︒，22222212cos 104362104628201002﹣∠（﹣）（﹣）CD BC BD BC BD CBD x x x x x x ⎛⎫=+∙∙=+-∙∙∙-=-+ ⎪⎝⎭，当514x =小时，即1507分钟时距离最小. 点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象，属基础题．15.解法一：设该扇形的半径为r 米.由题意，得500CD =米，300DA =米，60CDO ∠=︒， 在△CDO 中，2222cos 60 CD OD CD OD OC +-∙∙︒=，即()()222150030025003002r r r +--⨯-⨯=，解得490044511r =≈（米）. 解法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于点H ， 由题意，得500CD =米，300AD =米，120,CDA ∠=︒在ACD △中，22222212cos 12050030025003007002AC CD AD CD AD =+-∙∙∙︒=++⨯⨯⨯=，∴700AC =（米），22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅ 在HAO Rt △中，350AH =米，11cos 14∠HAO =， ∴ 4900445cos 11∠AH OA HAO ==≈（米）.点评：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解; （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 16.解：由于不等式0k x b++<的解集为2123（，）（，）--，则方程0k x bx a x c++=++的根分别为2123，，，--. 由1011kx bx ax cx -+<--，得1011 b k x a c x x -+<--， 因此方程1011 b k x a c x x-+=--的根为1111223--，,，.所以不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为1111232，，⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 17.解：由题意可列表格如下：（1）设只生产书桌a 张，可获得利润b 元， 则01902600⎧⎨⎩.a a ≤，≤，解得900300⎧⎨⎩a a ≤，≤，即300a ≤. 又80=b a ，所以当300=a 时，8030024000=⨯=b max （元）， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张，可获得利润24000元.（2）设只生产书橱c 个，可获利润d 元，则02901600∙⎧⎨⎩.c c ≤，≤，解得450600⎧⎨⎩c c ≤，≤，即450c ≤.又120=d c ，所以当450=c 时，12045054000=⨯=d max (元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，可获得利润54000元.（3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则010*********≤，≤，≥且，≥且，.x .y x y x x y y +⎧⎪⎪⎨⎪⎪+∈∈⎩Z Z 即2900260000≤，≤，≥且，≥且x y x y x x yy .⎧⎪⎪⎨++∈∈⎪⎪⎩Z Z 80120z x y =+.在平面直角坐标内作出上面不等式组 所表示的平面区域，即可行域如图阴 影部分. 作直线230：l x y +=. 把直线l 向右上方平移至1l 的位置时， 直线经过可行域上的点M ，此时 80120z x y =+取得最大值. 由29002600，，x y x y +=+=⎧⎨解得点M 的坐标为100400（，），所以当100400，x y ==时，8010012040056000max z =⨯+⨯=（元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所获利润最大.18.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由 = ，得4q =，所以 = .设{}n b 的公差为d ，由5852=S S 及12b =得3d =，所以1131（）n n b n b d =+-=-.（2）因为()21124548431n n T n -=⨯⨯⨯++++-，① ()244245431n n T n ⨯⨯=+++-，②由②-①，得213234444312324（））（）（n n n n T n n ---++++-=+-∙=. 所以22433n n T n ⎛⎫=-∙+ ⎪⎝⎭.19.（1）解:∵ =2 +1（n ∈+N ），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n aa +，∴{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.∴12n n a +=,即 -1（ +N ).（2）证明：∵()121114441n n b b b b n a ---=+,∴()1242n n b b b nnb +++-=.∴()122n n b b b n nb ⎡⎤+++-=⎣⎦, ①()()()1211211n n n b b b b n n b ++⎡⎤++++-+=+⎣⎦. ②②－①，得()()11211n n n b n b nb ++-=+-,即()1120n n n b nb +--+=，③()21120n n nb n b ++-++=. ④ ④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=,211+++-=-∈+N n n n n b b b b n （），故{}n b 是等差数列.20.解：（1）因为点 （n ， ）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上，所以2222n S n n =-+. 当1n =时， = =20；当2≥n 时， = - 424n =-+.120S =也符合.所以 （n ∈ ）.（2）存在k ∈ ，使得1212n S S S k n +++<对任意n ∈ 恒成立，只需1212max n S S S n k ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭>，由（1）知 ，所以222211（）nS n n n -+=-=.当11n <时，0nS n >；当11n =时，0nS n =；当11n >时，0nS n <.所以当10n =或11n =时，1212n S S S n+++有最大值110.所以110k >. 又因为∈N k +，所以k 的最小值为111.。