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2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
） 1．计算：sin ²10º+sin ²20º+sin ²30º+…+sin ²90º=? 5 ．2．设等差数列﹛an ﹜的前n 项和为Sn ，已知S12=21，则a3+a4+a9+a10＝____7____．3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足PA ﹙→﹚+PB ﹙→﹚+2PC ﹙→﹚=3AB ﹙→﹚，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程x ²+8xsin ﹙xy ﹚+16=0（x ∈R,y ∈[0,2π﹚）的实数对﹙x,y ﹚的个数为 8 ． 6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知a,b ∈R ，关于x 的方程x^4+ax^3+2x ²+bx+1=0有一个实根，求a ²+b ²的最小值． 解 设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分 容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b =时等号成立，此时21r =，a b =.结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-．解 （1）显然，0n a >，所以212nn n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分 （2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分 所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++. ------------------------------------------20分。
2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 一、填空题（共8题，每题10分，计80分）1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有 个．答案：20． 解：这种四位数1234x x x x 的个数，就是不定方程12344x x x x +++=满足条件11x ≥，234,,0x x x ≥的整解的个数；即12343y x x x +++=的非负整解个数，其中111y x =-，易知这种解有413341620C C -+-==个，即总共有20个这样的四位数． 2、设数列{}n a 满足:121,2a a ==,且对于其中任意三个连续项11,,n n n a a a -+,都有: 11(1)(1)2n n n n a n a a n -+-++=.则通项n a = ．答案：23n-． 解：由条件得，112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，所以，11(1)()(1)()n n n n n a a n a a +-+-=--，故1111n n n n a a n a a n +---=-+，而211a a -=； 1132121112211231()1113n n n n n n n n n n a a a a a a n n n a a a a a a a a a a n n n +-+----------=⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅---+- 2(1)n n =+；于是12112()(1)1n n a a n n n n --==---； 由此得，11221112()()()2(1)13n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+=-. 3、以抛物线2y x =上的一点()1,1M 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形MAB ∆与MCD ∆，则线段AB 与CD 的交点E 的坐标为 ．答案：(1,2)-． 解：设221122(,),(,)A x x B x x ，则22121212111,111MA MB x x k x k x x x --==+==+--， 22121212ABx x k x x x x -==+-，直线AB 方程为21121()()y x x x x x -=+-，即1212()y x x x x x =+-，因为MA MB ⊥，则12(1)(1)1x x ++=-，即12122()x x x x -=++， 代人方程得122()(1)y x x x -=++，于是点(1,2)-在直线AB 上；同理，若设223344(,),(,)C x x D x x ，则CD 方程为342()(1)y x x x -=++，即点(1,2)-也在直线CD 上，因此交点E 的坐标为(1,2)E -．4、设,,,1x y z R x y z +∈++=，则函数23(,,)f x y z xy z =的最大值是 ． 答案：1432．解：由122333y y z z z x y z x =++=+++++≥ 623114276xy z ⎛⎫≤ ⎪⋅⎝⎭，即23431123432xy z ≤=⋅，当1236y z x ===，即 111,,632x y z ===时取得等号． 5、sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ．答案：116． 解： cos6sin 6cos 48cos 24cos12sin 6cos 48cos 24cos12cos6︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒= sin12cos12cos 24cos 48sin 24cos 24cos 48sin 48cos 482cos64cos68cos6︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=== sin 96116cos 616︒︒==． 6、满足2272011x y +=的一组正整数(,)x y = ．答案：(38,9)．解：由于2011是43N +形状的数，所以y 必为奇数，而x 为偶数， 设2x m =， 21y n =+，代人得2428(1)2004m n n ++=，即27(1)501m n n ++= ……①． 而(1)n n +为偶数，则2m 为奇数，设21m k =+，则24(1)1m k k =++，由①得，(1)(1)71254n n k k +++⋅= ……②，则(1)4n n +为奇数，且,1n n +中恰有一个是4的倍数，当4n r =，为使(1)77(41)4n n r r +⋅=+为奇数，且7(41)125r r +<，只有1r =，②成为(1)35125k k ++=，即(1)90k k +=，于是4,9,38,9n k x y ====； 若14n r +=，为使(1)77(41)4n n r r +⋅=-为奇数，且7(41)125r r -<，只有1r =， ②成为(1)21125k k ++=，即(1)104k k +=，它无整解；于是(,)(38,9)x y =是唯一解：2238792011+⋅=．（另外，也可由x 为偶数出发，使22220112009(2)7287(2)x x x -=--=⨯--为7的倍数，那么22x -是7的倍数，故x 是73k ±形状的偶数，依次取1,3,5k =，检验相应的六个数即可．）7、正三棱锥D ABC -的底面边长为4，侧棱长为8，过点A 作与侧棱,DB DC 都相交的截面AEF ∆，那么，AEF ∆周长的最小值是 ．答案：11．解1：作三棱锥侧面展开图，当1,,,A E F A 共线且EF ∥BC 时，AEF ∆周长最小，于是等腰DEF AEB ∆∆，4AE AB ==， 12BE AB AB DA ==，即2BE =，6DE =， 6384EF DE BC DB ===，所以3EF =， 由14A F AE ==，则1111AA AE EF FA =++=．解2：作三棱锥侧面展开图，易知当1,,,A E F A 共线时，AEF ∆周长最小，设ADB θ∠=,则2228847cos .2888θ+-==⋅⋅37cos34cos 3cos ,128θθθ∴=-= 2221788288121,128AA ∴=+-⋅⋅⋅=111.AA ∴= A 1F E FE D C B AD C B A8、用()S n 表示正整数n 的各位数字之和，则20111()n S n ==∑ ．答案：28072．解：添加自然数0，这样并不改变问题性质；先考虑由0到999这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集{}000,001,,999M =，易知对于每个{}0,1,,9a ∈，首位为a 的“三位数”恰有100个：00,01,,99a a a ，这样，所有三位数的首位数字和为100(019)45100⋅+++=⋅；再将M 中的每个数abc 的前两位数字互换，成为bac ，得到的一千个数的集合仍是M ，又将M 中的每个数abc 的首末两位数字互换，成为cba ，得到的一千个数的集合也是M ，由此知，99999910()()30045n n S n S n ====⋅∑∑．今考虑四位数：在1000,1001,,1999中，首位（千位）上，共有一千个1，而在 0000,0001,,0999中，首位（千位）上，共有一千个0，因此， 19991999999100()()10002()10006004528000n n n S n S n S n =====+=+⋅=∑∑∑； 其次，易算出，20112000()72n S n ==∑。
2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题一、选择题（每小题6分，共60分）1．已知集合{|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}M x x x x x N x x x x x = ---< ∈ = ---> ∈． R RM N = （ ） .(A) (2,3)(B) (3,4)(C) (4,5) (D) (5,6)2．已知3)n z i =, 若z 为实数，则最小的正整数n 的值为（ ） . (A) 3(B) 4(C) 5(D) 63．已知p ：,,,a b c d 成等比数列，q:ad bc =， 则p 是q 的（ ） . (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件(D) 既不充分也不必要条件4．函数20.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1)(D) (1,) +∞5．已知,x y 均为正实数，则22x yx y x y+++的最大值为（ ） . (A) 2 (B)23 (C) 4(D)436．直线y=5与1y =-在区间40,πω⎡⎤⎢⎥⎦⎣上截曲线sin (0, 0)2y m x n m n ω=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） .（A ）35,n=22m ≤（B ）3,2m n ≤=（C ）35,n=22m >（D ）3,2m n >=7．有6名同学咨询成绩．老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差的，而且6人的成绩各不相同．那么他们6人的成绩不同的可能排序共有 （ ） .(A) 120种(B) 216 种(C) 384 种 (D) 504种8．若点P 在曲线21y x =--上,点Q 在曲线21x y =+上，则PQ 的最小值是（ ） .(A)(B)2(C) 4(D) 8 9．已知函数211()()612xf x x bx a =+++- (,a b 为常数，1a >)，且8(lglog 1000)8f =，则(lglg 2)f 的值是（ ） .(A) 8 (B) 4 (C) 4- (D) 8-10．在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取最小正值时，n = （ ）.(A) 1 (B) 10 (C) 19 (D) 20二、填空题（每小题6分，共24分）11．已知()cos 2|cos |f x x p x p =++，x ∈R ．记()f x 的最大值为()h p ，则()h p 的表达式为 .12．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .13．设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为___________________．14．已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且564035a G A b G B c G C ++=0 ，则B ∠=__________．三、解答题（本大题共5题，共66分） 15．(12分)不等式sin 2)sin()324cos()4a πθθπθ-+->---对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ恒成立．求实数a 的取值范围．16. （12分）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,O E F G 分别为11111,,,BD BB A D D C 的中点，且1AB =． 求四面体OEFG 的体积．17. （12分） 在平面直角坐标系中, 已知圆1C 与圆2C 相交于点P ，Q , 点P 的坐标A1为()3,2, 两圆半径的乘积为132．若圆1C 和2C 均与直线l : y kx =及x 轴相切，求直线l 的方程．18. （15分）甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p （01p <<），乙获胜的概率为1q p =-．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经ξ次结束，求ξ的期望E ξ的变化范围．19. （15分） 集合{1,2,,2011},M ⊆ 若M 满足：其任意三个元素,,a b c ，均满足ab c ≠，则称M 具有性质P ，为方便起见，简记M ∈P ．具有性质P 的所含元素最多的集合称为最大集．试问具有性质P 的最大集共有多少个？并给出证明．解 答1．B. 提示：(,1)(3,5)M =-∞ ，(2,4)(6,)N =+∞ ．所以(3,4)M N = ．2．A. 提示：13)(()2n nnz i ==--，3n =是使z 为实数的最小的正整数．3．A. 提示：充分性显然成立，必要性不成立．例：1,2,5,10a b c d = = = =. 4．A. 提示：由对数函数的性质知，220x x +->，则1x >或2x <-．当2x <-时，()f x 为增函数；当1x >时，()f x 为减函数．5．B. 解法一 令2,2s x y t x y =+=+，则11(2),(2)33x s t y t s =-=-．所以412()22333x y t s x y x y s t +=-+≤++．解法二 令yt x=， 则(0,)t ∈+∞， 此时1()22221x y tf t x y x y t t +=+=++++，即有2223(1)'()(2)(21)t f t t t -=-++． 显然当1t <时，'()0f t >；当1t >时，'()0f t <，所以函数()f t 在1t =, 即x y =时取得最大值2(1)3f =． 6．D. 提示：函数1sin2xy m ω=，40,x πω⎡⎤∈⎢⎥⎦⎣的图象只有被y a =及,0y a a m =- ≤<这样的两直线所截，截得的弦长才能相等，且不为零．所以截取函数4sin,0,2xy m n x ωπω⎡⎤=+∈⎢⎥⎦⎣ 的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为,,y n a y n a =+ =- 0a m ≤<，即有5,1n a n a += -=- ．解得2n =，3a =．进而3m >．7．D. 解法一 以A 记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集， 以B 记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则5!A B ==，4!A B = ．甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为216A B A B A B =+-= ．按照老师所述，这６位同学成绩可能的排序数为6!216504-=．解法二 以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序．（1）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为55120A =；（2）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为114444384C C A ⋅⋅=． 所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为120384504+=．8．C. 提示： 两抛物线21y x =--，21x y =+关于直线y x =-对称．所求PQ 的最小值为抛物线21y x =--上的点到直线y x =-距离的最小值的两倍．设2(,1)P x x --为21y x =--上任意点, 则212|1|22+-=--=x x x x d ,823min =d,min 4PQ =． 9．B. 提示：由已知可得83(lg log 1000)(lg)(lg lg 2)83lg 2f f f ==-=．又1111111112121212x x x x xa a a a a -+=+=-++=------． 令()()6F x f x =-，则有()()F x F x -=-． 从而有(lglg 2)(lglg 2)6(lglg 2)6f F F -=+=+－－=8．即知(lglg 2)2,(lglg 2)(lglg 2)64F f F =-=+=．10．C. 提示：设该等差数列的公差为d ．显然 0d <．由11101a a <-，知1010,0,a a >< 且11100a a +<． 因此12020101111919102010()02191902a a S a a a aS a +=⨯=+<+=⨯=>，．由11100,a a +< 知12190a d +<．从而有19111111918192189199(219)0S S a d a a d a d ⨯-=+-=+⨯=+<．所以19n =．11．1,2,()21,2p p h p p p -<-⎧=⎨+≥-⎩．提示：2cos 22cos 1x x =-, 令cos x u =，则01u ≤≤ 且2()21()f x u pu p F u =++-=．抛物线()y F u =顶点的横坐标为4p-，所以 1(1),,42()1(0),42p F h p p F ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．即1,2,()21,2p p h p p p -<-⎧=⎨+≥-⎩．12．4π．提示：原方程等价于： cos(sin )cos(cos )2x x x x π--=-．.所以cos 2sin (1)2x x k x x k z ππ-=+--∈ ，，或cos 2(sin )(2)2x x k x x k z ππ-=---∈ ，，由（1）得：2sin cos 22x x x k ππ+-=+，且函数()2sin cos f x x x x =+-在[]π,0上为增函数．所以1(0)2()212f k f ππππ-=<+<=+．由此得0k =．所以 2sin cos 2x x x π+-=．令()2sin cos 2g x x x x π=+--，易知()g x 在[]π,0上单调递增，且当4x π>时，()0g x >；当4x π<时，()0g x <，因此当且仅当4x π=时，()0g x =．由（2）得：ππk x x 22cos sin -=+．因为122k ππ<-<k 无整数解，即此方程无解．综上所述, 原方程的解为4x π=．13．24p -. 解法一 设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则22222222()()()()4()A B A B A B A B A B A B OA OB x x y y AB x x y y OA OB AB x x y y +=+++=-+-+-=⋅+⋅ ，，．设直线AB 和x 轴交于点(,0)P a ．若直线AB 的斜率存在，设为m ，则直线AB 的方程为()y m x a =-，将其代入抛物线方程得()2222220m x am p x m a -++=．由二元一次方程根与系数的关系得2A B x x a =， 由此得2()()2A B A B y y m x a x a ap =--=-．所以222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=-->- ．当直线AB的斜率不存在时，有,A B A B x x a y y ===-=222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=--≥- ．显然，当且仅当a p =时，即直线AB 的斜率不存在时等号成立， 22OA OB AB+- 有最小值24p -．解法二 设22(,),(,)22A BA B y y A y B y p p，则2222222222()(),2()()2A BA B A B A B y y OA OB y y py y AB y y p++=++-=+- ．所以222222224()44[()]24A BA B A B OA OB ABy y y y p y yp p pp +-⋅=+⋅⋅=+-≥- ．当22A B y y p =-时， 22OA OB AB +- 取最小值24p -．14．60. 提示：因为GA GB GC ++=0，所以404040bGA bGB bGC ++=0．所以(5640)(3540)aGA b GA c b GC - +- =0．因为,GA GC不共线，所以有750,780a b c b -= -=．设5,a k = 则7,8b k c k = =，由余弦定理可得2222564491cos 2582k k k B k k +-==⨯⨯．所以60B ∠=．15．设sin cos x θθ=+，则有2sin 21x θ=-，sin()cos()44ππθθ+=-=，x ⎡∈⎣． 原不等式化为：21)322x x a -->--． 即241(2)320x a x a x--+-++>,整理得2422(2)2(2)2x xx a x x x x x x --->-+=-+⨯．因为x ⎡∈⎣，20x ->，即得2a x x>+． 令2()f x x x=+， 则函数()f x在x ⎡∈⎣上单调递减，所以()f x在x ⎡∈⎣上的最大值为(1)3f =．即知a 的取值范围为3a >．16. 连结11B D 交FG 于H ，连结11C A ，则1111B D AC ⊥．因为,F G分别为1111,A D D C 的中点，所以11FG A C //，因此11FG B D ⊥．又因为1BB ⊥面1111A B C D ，FG 在平面1111A B C D 内，所以1BB FG ⊥．由此得 FG ⊥面11BB D D ．因为 FH GH =，所以223O EFG F OEH G OEH F OEH OEH V V V V S FH ----=+==⋅. 在梯形1OBB H 中11881616OEH EB H OBE OBB H S S S S ∆∆∆=--=--=梯形． 因此四面体OEFG 的体积为152316448O EFG V -=⨯⨯=．17. 由题意知，12,,O C C 共线. 设圆1C 与圆2C 的半径分别为12,r r ，直线12C C 的斜率为tan 0α≠.令cot m α=，则圆1C 与圆2C 的圆心分别为111(,)C mr r ，222(,)C mr r , 两圆的方程分别为222111222222()(),()()x mr y r r x mr y r r -+-=-+-=．1A点(3,2)P 是两圆的公共点，所以222111222222(3)(2)(3)(2)mr r r mr r r -+-=-+-=，．由此可知12,r r 是方程22(64)130m r m r -++=的两个根，即有12213,r r m=m =．从而知直线l 的方程为22tan tan 21tan y x x ααα=⋅==-．18. 以()p k ξ=记比赛经k 次结束的概率．若k 为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数， 因而有()0p k ξ==．考虑头两次比赛的结果：（1）甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为22p q +； （2）甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为2pq ． 比赛经k 次结束，k 必为偶数，则1,2两次，3,4两次，……，3,2k k - -两次均未分胜负．若20k ≠，则第1,k k - 两为有胜负的两次，从而有1222()(2)()kp k pq p q ξ-==+．若20k =，比赛必须结束， 所以 9(20)(2)p pq ξ==．综上所述922191()2(2)20(2)i i E p q i pq pq ξ-==++∑．由1p q +=，知2212p q pq +=-．令2u pq =，则221p q u +=-，所以9191(1)220i i E u iu u ξ-==-+∑．令9112,i i s iu-==∑ 则910101112199199199991022(1)2(1),2(1)(1)21818,1(1)202[19(1)10(1)]12(1)1ii i i i i i i us iu i u i u u u s uu u u E u s u u u u u u uu uξ--===-===-=---=-=--=-+=---+---=-∑∑∑∑． 因 102u <≤，所以有 8124()2E ξ<≤-．19. 令{2,3,,44}A = ，{45,46,,2011}{1}B = ． 对任一M ∈P ，令,M M A M M B A B = = ．显然，集合B ∈P ．设最大集元素的个数为0n ，则0||1968n B ≥=． 若M ∈P ，设B M 中除１之外的最小元为45p +，042p ≤≤． 集合A 中与45+p 的乘积大于2011的元素个数记为q ，则2011201144454545q p p =-<-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 结论1 当4p ≥时，有q p <． 事实上，若有20114545p q p≤<-+，即 24545(45)2011p p p +≤+-，则可解得3p ≤．不难验证，当03p ≤≤时，均有p q =．令12A A A M M M = ，且12A A M M φ= ，这里{}144,A A M k k q k M =≤-∈，{}244,A A M k k q k M =>-∈．设{}112,,,A t M a a a = ，且12t a a a <<< ． 结论2 若M ∈P 是最大集，则3p ≤．事实上，否则的话，4p ≥，由结论1，知q p <，因为(45)2011i a p +<，所以 (45)i B a p M +∉ (1,2,,)i t = ．因此()()(){}1245,45,45t p B p a p a a M φ+ + ,+= ． 容易求得：1A t M =， 2A q M ≤，(1968)B M p t ≤--． 所以 120(1968)1968A A B M M M M t q p t n =++≤++--<≤，这与M 为最大集矛盾．结论3 若M ∈P 是最大集，则11A M t =≤．假定2t ≥.(1) 当0p q ==时， 由结论2的证明可知 {}1245,45,,45t B a a a M φ = ．因为1111454645()450t t t t t t a a a a a a -----=--≥->，则114546452011t t t a a a --<<<．由此知46和146t a -中至少有一个不属于B M ，所以01968(1)1967M t t n ≤--+=<；(2)当13p q ≤=≤时， 若2A M φ=，同理可得 0(1968)1967M t p t n ≤---≤<；若有 2A b M ∈，则4444q b -<≤， 则必有 145a b p >+，所以 1B a b M ∉，同理可得 0(1968)(1)1967M t q p t n ≤++--+≤<．综合（1），（2），以及结论2知， 1t ≤．结论4 若M ∈P 是最大集，则1A M ≤． 事实上， 若1A M >，任取其中两个数,a b ，由结论3知， 其中必有一数， 设为2A b M ∈，从而B ab M ∉，(45)B M a p +∉，则 01(1968)21967M q p n ≤++--≤<． 所以1A M ≤．由此可知，若M ∈P 是最大集，只有下述三种可能:(1) ,A B M M B φ= =(2) {}{}44,\45A B M M B = =(3) {}{}44,\4445A B M M B = =⨯ 注：1.;A cardA = 2.{}\.A B x x A x B =∈∉且。
2011年全国高中数学联赛预赛试题文昌中学数学组： 何立果一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为_________．2. 设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则2011a = .3. 不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围为 .4. 已知定义在正整数集上的函数()f n 满足以下条件：(1) ()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数；(2) 6(3)f =.则(2011)f = .5. 方程1220112011x ---=一共有 个解. 6. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .7. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线2y x =()22≤≤-x 绕y 轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .8. 计算：111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)3-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．11．（本小题满分20分）数列01,,...,,...n a a a 满足0120,1,0a a a ===，当3n ≥时有0122(...)1n n a a a a n -=+++-. 证明：对所有整数3n ≥，有10n n a >.。
