高中数学1-4_3含有一个量词的命题的否定(A卷)习题新人教A版-1

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知能巩固提升(八)/课后巩固作业(八)（时间：30分钟满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.“a和b都不是偶数”的否定形式是( )（A）a和b至少有一个是偶数（B）a和b至多有一个是偶数（C）a是偶数，b不是偶数（D）a和b都是偶数2.已知命题p:∃x0∈R，使tanx0=1,其中正确的是( )(A)⌝p:∃x0∈R,使tanx0≠1(B)⌝p:∃x0∉R,使tanx0≠1(C)⌝p:∀x∈R,使tanx≠1(D)⌝p:∀x∉R,使tanx≠13.（2012·东莞高二检测）下列命题的非是真命题的是( )(A)π是无理数(B)∀x∈R,x2＞-1(C)∃x0∈R,使4x0-2＞5x0(D)∃x0∈R,使2x+1=04.（易错题）已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+3>0.如果命题⌝p是真命题，那么a的范围是( ) (A)a<13 (B)0<a ≤13(C)a ≤13 (D)a ≥13二、填空题（每小题4分，共8分）5.(2012·东海高二检测)命题“∃x 0∈R,x 0=sinx 0”的否定是________.6.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x 0∈Q ，20x ＝5；(4)不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根．8.写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)q ：存在一个实数x 0，使得200x x 1＋＋≤0；(2)r ：等圆的面积相等，周长相等；(3)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.【挑战能力】（10分）已知命题“存在x 0∈R,200ax 2ax 3-->0”是假命题，求实数a 的取值范围.答案解析1.【解析】选A.在a ，b 是否为偶数的四种情况中去掉a 和b 都不是偶数还有三种情况，即a 偶b 奇、a 奇b 偶、a 偶b 偶，故选A.2.【解析】选C.因为命题p:∃x 0∈R,使tanx 0=1为特称命题，所以它的否定为全称命题，即⌝p:∀x ∈R,使tanx ≠1.【变式训练】已知命题p:∀x ∈R,x ≥2,那么命题⌝p 为( )(A)∀x ∈R,x ≤2 (B)∃x 0∈R,x 0<2(C)∀x ∈R,x ≤-2 (D)∃x 0∈R,x 0<-2【解析】选B.因为命题p:∀x ∈R,x ≥2为全称命题，所以它的否定为特称命题，即∃x 0∈R,x 0<2.3.【解析】选D.因为（A ）、（B ）、（C ）均为真命题，所以它们的非是假命题，而（D ）是假命题，所以它的非是真命题.4.【解题指南】首先由命题p:∀x ∈R,ax 2+2x+3>0写出命题⌝p 来，再由命题⌝p 是真命题求a 的范围.【解析】选C.因为命题p:∀x ∈R,ax 2+2x+3>0为全称命题，所以命题⌝p ：∃x 0∈R,200ax 2x 3++≤0，又因为命题⌝p 是真命题，显然a=0时，满足题意；当a≠0且Δ≥0时，解得a ≠0且a ≤13；所以a 的范围是a ≤13. 5.【解析】因为命题“∃x 0∈R,x 0=sinx 0”是特称命题，所以它的否定是“∀x ∈R,x ≠sinx ”.答案: ∀x ∈R,x ≠sinx6.【解析】因为命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”是全称命题，所以它的否定是“过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”.答案：过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的7.【解析】(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x 0∈Q ，20x ＝5”是特称命题，其否定为“∀x ∈Q ，x 2≠5”，真命题．(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m 0，使得方程x 2＋2x －m 0＝0没有实数根”，真命题．【一题多解】（1）“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“∀x ∈{x|x 是质数},x 不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“∃x 0∈{x|x 是二次函数的图象}，x 不是开口向上”，真命题.(3)“∃x 0∈Q ，20x ＝5”是特称命题，其否定为“每一个有理数的平方不等于5”，真命题．(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“∃m 0∈R,x 2+2x-m 0≠0”，真命题．8.【解析】(1)这一命题的否定形式是⌝q ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0.利用配方法可以证得⌝q 是一个真命题．(2)这一命题的否定形式是⌝r ：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知，⌝r 是一个假命题．(3)这一命题的否定形式是⌝s ：存在α0∈R ，使sin 2α0＋cos 2α0≠1.由于命题s是真命题，所以⌝s 是假命题．【挑战能力】【解析】因为命题“存在x 0∈R,200ax 2ax 3-->0”的否定为“对于任意x ∈R,ax 2-2ax-3≤0恒成立”，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知该命题的否定是真命题.事实上，当a=0时，对任意的x ∈R ，不等式-3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2-2ax-3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ=4a2+12a≤0，即-3≤a<0；综上知,实数a的取值范围是［-3，0］.。

1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。

人民教育出版社A版数学选修1-1《含有一个量词的命题的否定》课后习题单位：临夏州积石山县民族中学授课年级：高二年级授课教师：张德宝电子邮箱：zhangdebao8@《含有一个量词的命题的否定》课后习题一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[答案] D[解析] ①②③都是真命题．3．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] C[解析] “有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．4．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立其中是全称命题的有( )A．1个B．2个C．3个D．0个[答案] B[解析] ②③含有全称量词，所以是全称命题．5．下列命题中，真命题是( )A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 [答案] A[解析] 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A ． 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β [答案] A[解析] ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan45°，∴A 为真命题，且为特称命题，故选A ．B 中对∀x ∈R ，有sin x ≤1<π2；C 、D 都是全称命题．二、填空题7．(2015·北京四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是__________ ________.[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.8．下列命题中真命题为__________ ________，假命题为__________ ________. ①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形[答案] ①②③④ ⑤9．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∃x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为__________ ________.[答案] 0[解析] x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题， 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题， 4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．三、解答题10.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2.[解析] (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题．(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a、b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，1x20－x0＋1＝2”，是假命题．能力提升一、选择题1．下列命题为特称命题的是( )A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数[答案] D[解析] 选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．2．下列命题是真命题的是( )A．∀x∈R，(x－2)2>0 B．∀x∈Q，x2>0C．∃x0∈Z,3x0＝812 D．∃x0∈R,3x20－4＝6x0[答案] D[解析] A中当x＝2时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确．3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2[答案] B[解析] A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误． 4．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ex 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 [答案] D 二、填空题5．下列特称命题是真命题的序号是__________ ________. ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在一实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0；③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身． [答案] ①③④[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.6．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x －1|<2；④对任意的实数x >5，都有x >3.其中是全称命题的是__________ ________.(填序号)[答案] ①④[解析] ②是特称命题；③不是命题． 三、解答题7．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假： (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )，都对应一点P ； (2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数； (3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立．[解析] (1)全称命题，真命题；(2)特称命题，真命题；(3)全称命题，假命题；(4)特称命题，假命题．8．判断下列命题的真假：(1)任给x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；(2)存在α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β； (3)存在x 、y ∈Z,3x －2y ＝10；(4)任给a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解．[解析] (1)∵x ∈Q ，∴13x 2与12x 均为有理数，从而13x 2＋12x ＋1是有理数，∴(1)真；(2)当α＝0，β＝π3时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立，∴(2)真；(3)当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10，∴(3)真； (4)当a ＝0，b ＝1时，0x ＋1＝0无解，∴(4)假．。

含有一个量词的命题的否定(30分钟50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021·烟台高二检测)对以下命题的否定说法错误的选项是( ):能被2整除的数是偶数;p:存在一个能被2整除的数不是偶数:有些矩形是正方形;p:所有的矩形都不是正方形:有的三角形为正三角形;p:所有的三角形不都是正三角形:∃x0∈R,x02+x0+2≤0;p:∀x∈R,x2+x+2>0【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形,应选项C 错误.2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的表达正确的选项是( ):∃x0∈R,x02+1≠0:∀x∈R,x2+1=0是真命题,p是假命题是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x0∈R,x02+1=0”.因此p是真命题,p是假命题.3.(2021·广州高二检测)命题“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是( )A.∃x0>0,使得x02-x0≤0B.∃x0>0,使得x02-x0>0C.∀x>0,都有x2-x>0D.∀x≤0,都有x2-x>0【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,x02+1<0,那么p是( )A.∃x 0∈R,x 02+1≥0B.∀x ∈R,x 2+1≥0C.∃x 0∈R,x 02+1≠0 D.∀x ∈R,x 2+1<0 【解析】选B.命题p 是一个特称命题,其否定为全称命题,p:∀x ∈R,x 2+1≥0.4.已知命题p:“对∀x ∈R,∃m ∈R,使4x +2x ·m+1=0”.假设命题p 是假命题,那么实数m 的取值范围是( )≤m ≤2≥2 ≤-2 ≤-2或m ≥2【解题指南】依照p 与p 的真假性相反知p 是真命题,然后求m 的取值范围即可.【解析】选C.因为p 是假命题,因此p 是真命题.因此m=-(2x +12x )≤-2. 5.已知命题p:∀x ∈R,2x 2+2x+12<0;命题q:∃x 0∈R,sinx 0-cosx 0=√2,那么以下判定正确的选项是( )是真命题是假命题 是假命题 是假命题【解析】选D.因为2x 2+2x+12=12(2x+1)2≥0,因此p 是假命题.又因为sinx-cosx=√2sin (x−π4),因此∃x 0=3π4,使sinx 0-cosx 0=√2,故q 是真命题,应选D.6.(2021·衡水高二检测)已知p:存在x 0∈R,m x 02+1≤0;q:对任意x ∈R,x 2+mx+1>0,假设p 或q 为假,那么实数m 的取值范围为( )≤-2≥2 ≥2或m ≤-2≤m ≤2 【解题指南】先判定命题p,q 的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.【解析】选B.由p 或q 为假,得p,q 都是假命题,从而p,q 都是真命题.p:对任意x ∈R,mx 2+1>0成立,得m ≥0;q:存在x 0∈R,x 02+mx 0+1≤0成立,得Δ=m 2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上所述,m≥2为所求.二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定为,否命题为________________________.【解析】全称命题的否定是特称命题,“假设p,那么q”的否命题是“若p,那么q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:假设两个角不是同位角,那么它们不相等.答案:有的同位角不相等假设两个角不是同位角,那么它们不相等【误区警示】解答此题易混淆命题的否定与否命题的概念,命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.8.(2021·长春高二检测)设命题p:∀x∈R,x2+ax+2<0,假设p为真,那么实数a的取值范围是___________________.【解析】因为p为真,又p:∃x0∈R,x02+ax0+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,因此a∈R.答案:a∈R9.命题“∃x0,y0<0,x02+y02≥2x0y0”的否定为______________________.【解析】命题是特称命题,其否定是全称命题,否定为:∀x,y<0,x2+y2<2xy.答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy三、解答题(每题10分,共20分)10.(2021·日照高二检测)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,x02+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m 的取值范围.【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.假设p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,那么mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;当m ≠0时,有m<0,Δ=4-4m 2<0,因此m<-1.假设q:∃x 0∈R,x 02+2x 0-m-1=0为真,那么方程x 02+2x 0-m-1=0有实根,因此Δ=4+4(m+1)≥0,因此m ≥-2.又p ∧q 为真,故p,q 均为真命题.因此m<-1且m ≥-2,因此-2≤m<-1.11.写出以下命题的否定,判定其真假并给出证明.命题:已知a =(1,2),存在b =(x,1)使a +2b 与2a -b 平行.【解题指南】先写出否定,再判真假,最后给出证明.【解析】命题的否定:已知a =(1,2),那么对任意的b =(x,1),a +2b 与2a -b 都不平行,是一个假命题. 证明如下:假设存在b =(x,1)使a +2b 与2a -b 平行,那么a +2b =(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).2a -b =2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).因为a +2b 与2a -b 平行,因此存在λ∈R,使得a +2b =λ(2a -b ).即(2x+1,4)=λ(2-x,3). 因此{2x +1=λ(2−x ),4=3λ⇔2x+1=43(2-x). 解得x=12. 这确实是说存在b =(12,1)使a +2b 与2a -b 平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.(2021·湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数【解析】选B.特称命题的否定是全称命题,将存在量词改成全称量词,然后再否定结论即可.2.已知命题p:∀n∈N,2n>1000,那么p为( )A.∀n∈N,2n≤1000B.∀n∈N,2n<1000C.∃n0∈N,2n0≤1000D.∃n0∈N,2n0<1000【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,故p:∃n0∈N,2n0≤1000.【触类旁通】假设此题中的命题p换为“∃n0∈N,2n0>1000”,其他条件不变,结论又如何呢?【解析】选A.将存在量词“∃”改成全称量词“∀”,然后否定结论即可,p:∀n∈N,2n≤1000.3.(2021·大连高二检测)命题p:x=2且y=3,那么p为( )≠2或y≠3 ≠2且y≠3=2或y≠3 ≠2或y=3【解题指南】“且”的否定为“或”,然后否定结论即可.【解析】选A.将“且”改成“或”,将x=2与y=3都否定即为原命题的否定,p为:x≠2或y≠3.4.以下关于命题p:“∃x0∈R,√1−cos2x0=sinx0”的表达正确的选项是( ):∃x0∈R,√1−cos2x0≠sinx0:∀x∈R,√1−cos2x=sinx是真命题,p是假命题是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∃x0∈R,√1−cos2x0=sinx0”的否定是p:∀x∈R,√1−cos2x≠sinx.当x=0时,√1−cos2x=sinx,因此p是真命题,p是假命题.二、填空题(每题5分,共10分)5.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.【解析】依照全称命题的否定形式写.答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤36.(2021·兰州高二检测)已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,假设命题“p且q”是真命题,那么实数a的取值范围是_______.【解析】命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真,那么a≤x2,x∈[1,2]恒成立,因此a≤1;命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”为真,那么“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.假设命题“p且q”是真命题,那么实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.答案:{a|a≤-2或a=1}【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,x02+2ax0+a=0.假设命题p是假命题,那么实数a的取值范围是.【解析】方式一:假设命题p:∃x0∈R,x02+2ax0+a=0是真命题,那么Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.因为命题p是假命题,因此a(a-1)<0,解得0<a<1.方法二:依题意,命题p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命题,那么Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0<a<1.答案:(0,1)三、解答题(每题12分,共24分)7.写出以下命题的否定,并判定其真假.(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.(3)r:等圆的面积相等,周长相等.(4)s:对任意角α,都有sin 2α+cos 2α=1.【解析】(1)这一命题能够表述为p:“对所有的实数m,方程x 2+x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m 0,使得x 2+x-m 0=0没有实数根”.注意到当Δ=1+4m 0<0时,即m 0<-14时,一元二次方程没有实数根,因此p 是真命题. (2)这一命题的否定形式是q:“对所有实数x,都有x 2+x+1>0”;利用配方式能够证得q 是一个真命题. (3)这一命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知r 是一个假命题.(4)这一命题的否定形式是s:“存在α0∈R,有sin 2α0+cos 2α0≠1”.由于命题s 是真命题,因此s 是假命题.8.(2021·汕头高二检测)设p:“∃x 0∈R,x 02-ax 0+1=0”,q:“函数y=x 2-2ax+a 2+1在x ∈[0,+∞)上的值域为[1,+∞)”,假设“p ∨q ”是假命题,求实数a 的取值范围.【解析】由x 02-ax 0+1=0有实根,得Δ=a 2-4≥0⇒a ≥2或a ≤-2.因此命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤-2.由函数y=x 2-2ax+a 2+1在x ∈[0,+∞)的值域为[1,+∞),得a ≥0.因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.依照p ∨q 为假命题知:p,q 均是假命题,p 为假命题对应的范围是-2<a<2,q 为假命题对应的范围是a<0. 如此取得二者均为假命题的范围确实是{−2<a <2,a <0⇒-2<a<0.。

2020-2021学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定课时跟踪训练新人教A版选修2-1年级：姓名：第一章常用逻辑用语[A组学业达标]1．下列命题中为全称命题的是( )A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数解析：命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.答案：B2．下列命题中为特称命题的是( )A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形解析：A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为特称命题．答案：C3．命题“∃x0∈R,2x0<12或x20>x0”的否定是( )A．∃x0∈R,2x0≥12或x20≤x0B．∀x∈R,2x≥12或x2≤xC．∀x∈R,2x≥12且x2≤xD．∃x0∈R,2x0≥12且x20≤x0解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C.答案：C4．下列四个命题中的真命题为( )A．若sin A＝sin B，则A＝BB．∀x∈R，都有x2＋1>0C．若lg x2＝0，则x＝1D．∃x0∈Z，使1<4x0<3解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得14<x<34，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．答案：B5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．因为y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇒/ a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.答案：C6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④7．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定是綈p ：____________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，∴命题p 是假命题． 答案：特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真8．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4＝(a －3)(a ＋1)>0，解得a <－1或a >3. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>23；(2)∃x 0∈R 使sin x 0＋cos x 0＝2； (3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使2x 0＋y 0＝3.解析：(1)x 2－x ＋1>23⇔x 2－x ＋13>0，由于Δ＝1－4×13＝－13<0，∴不等式x 2－x ＋1>23的解集是R ，∴该命题是真命题．(2)∵sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4，∴－2≤sin x 0＋cos x 0≤2<2， ∴该命题是假命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题． (4)当x 0＝0，y 0＝3时，2x 0＋y 0＝3，所以该命题是真命题．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π. (1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．解析：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π.(2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.[B 组 能力提升]11．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20.则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：由20＝30知，p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(0,1)内有解，∴q 为真命题，∴p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )均为假命题，(綈p )∧q 为真命题，故选B.答案：B12．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎨⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.。

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八含有一个量词的命题的否定基础全面练(15分钟30分)1．(2021·南宁高二检测)命题“∀x∈(0，1)，x2－x<0”的否定是() A．∃x0∉(0，1)，x20－x0≥0B．∃x0∈(0，1)，x20－x0≥0C．∀x∉(0，1)，x2－x<0D．∀x∈(0，1)，x2－x≥0【解析】选B.因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“∀x∈(0，1)，x2－x<0”的否定是∃x0∈(0，1)，x2－x0≥0.2．下列说法正确的是()A．命题p：对任意a>1，f(x)＝log a x在(0，＋∞)上为增函数，则p 是假命题B．命题“∃x0∈R使得x20＋2x0＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”C．“∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0”是真命题D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x≤ 2 ”，则p 是真命题【解析】选A.命题p ：对任意a>1，f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数，是真命题，所以p 是假命题，所以A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2>0，所以x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；因为sin x ＋cos x ＝ 2 sin (x ＋π4 )≤ 2 恒成立，所以p 为真命题，从而p 为假命题，所以D 错误．3．已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2＞x 20 ”，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(q)是真命题D ．命题p ∨(q)是假命题【解析】选C.命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”是真命题，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2＞x 20 ”，即x 20 －x 0＋2＜0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12 2 ＋74 ＜0，显然是假命题，所以p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧(q)是真命题，p ∨(q)是真命题．4．记D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫x ，y ⎪⎪||x ＋|y|≤1 ，命题p ：∃(x ，y)∈D ，2x －y≤2，命题q：∀⎝⎛⎭⎫x，y∈D，x2＋y2≤1，下面给出四个命题：①p∨q，②p∨q，③p∧q，④p∧q，其中真命题的个数是________．【解析】D＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}表示图中的正方形的内部及边上，2x－y≤2表示直线2x－y＝2左上部分和直线上(即图中阴影部分)，x2＋y2≤1表示圆的内部和圆上，结合图形，可知命题p是真命题，命题q也是真命题，所以①②是真命题，③④是假命题．答案：25．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数．(2)所有二次函数的图象都是开口向上．(3)∃x0∈Q，x20＝5.(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．【解析】(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，是假命题．(2)“所有二次函数的图象都是开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，是真命题．(3)“∃x0∈Q，x20＝5”是特称命题，其否定为“∀x∈Q，x2≠5”，是真命题．(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m0，使得方程x2＋2x－m0＝0没有实数根”，是真命题．综合突破练(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2021·遵义高二检测)下列四个命题：①“∀x∈R，2x＋5>0”是全称命题；②命题“∀x∈R，x2＋5x＝6”的否定是“∃x0∉R，使x2＋5x0≠6”；③若||x＝||y，则x＝y；④若p∨q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题的序号是()A．①②B．①④C．②④D．①②③④【解析】选B.①因为命题中含有全称量词∀，所以①是全称命题，所以①正确．②全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2＋5x＝6”的否定是“∃x0∈R，x2＋5x0≠6”，所以②错误．③根据绝对值的意义可知，若||x ＝||y ，则x ＝±y ，所以③错误．④根据复合命题的真假关系可知，若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，所以④正确．故真命题是①④.2．“若a≥12 ，则∀x≥0，都有f(x)≥0成立”的逆否命题是( )A ．∃x 0<0，有f(x 0)<0成立，则a<12B ．∃x 0<0，有f(x 0)≥0成立，则a<12C ．∀x≥0，有f(x)<0成立，则a<12D ．∃x 0≥0，有f(x 0)<0成立，则a<12【解析】选D.“若a≥12 ，则∀x≥0，都有f(x)≥0成立”的逆否命题是∃x 0≥0，有f(x 0)<0成立，则a<12 .3．若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R ，恒有f(x)<g(x)，则下列不正确的是( )A ．∃x 0∈R ，使f(x 0)<g(x 0)B ．存在无数多个实数x ，使得f(x)<g(x)C ．∀x ∈R ，都有f(x)＋12 <g(x)D ．不存在实数x ，使得f(x)≥g (x)【解析】选C.若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R ，恒有f(x)<g(x)，即对任意实数x，都有f(x)<g(x)，A，B，D成立，而C不确定．4．已知命题p：∃x0∈R，2－x0>ex0，命题q：∀a∈R＋，且a≠1，log a(a2＋1)>0，则()A．命题p∧q是真命题B．命题p∨q是假命题C．命题p∨q是假命题D．命题p∧q是真命题【解析】选A.令f(x)＝e x＋x，则易知f(x)＝e x＋x在R上单调递增，所以当x<0时，f(x)＝e x＋x<1<2，即e x<2－x；因此命题p：∃x0∈R，2－x0>ex0为真命题；由a>0得a2＋1>1；所以，当a>1时，log a(a2＋1)>0；当0<a<1时，log a(a2＋1)<0；因此，命题q：∀a∈R＋，且a≠1，log a(a2＋1)>0为假命题；所以命题p∧q是真命题．二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“奇函数的图象关于原点中心对称”的否定是______________________________．【解析】题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有奇函数的图象关于原点中心对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于原点中心对称”改为“关于原点不中心对称”，所以该命题的否定是“有些奇函数的图象关于原点不中心对称”．答案：有些奇函数的图象关于原点不中心对称6．已知命题p：∃x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若p是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为命题p：∃x0∈R，x2＋ax0＋a<0，所以p：∀x∈R，x2＋ax＋a≥0，因为p是真命题，所以Δ≤0，即a2－4a≤0，解得0≤a≤4.答案：⎣⎡⎦⎤0，4三、解答题7．(10分)已知命题p：∀m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8 ；命题q：∃x0，使不等式x2＋ax0＋2＜0.若p或q是真命题，q是真命题，求a的取值范围．【解析】根据p或q是真命题，q是真命题，得p是真命题，q是假命题．因为m∈[－1，1]，所以m2＋8 ∈[2 2 ，3]，因为∀m∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8 ，所以a 2－5a －3≥3，所以a≥6或a≤－1.故命题p 为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q ：∃x 0，使不等式x 20 ＋ax 0＋2＜0， 所以Δ＝a 2－8＞0，所以a ＞2 2 或a ＜－2 2 ，从而命题q 为假命题时，－2 2 ≤a≤2 2 ， 所以命题p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围为－2 2 ≤a≤－1.【补偿训练】已知p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，q ：m 2－2m －3≥0，如果“p”与“p ∧q”同时为假，求实数m 的取值范围．【解析】2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 真时，m>1.由m 2－2m －3≥0得m≤－1或m≥3，所以q 真时，m≤－1或m≥3.因为“p”与“p ∧q”同时为假，所以p 为真，q 为假，所以⎩⎨⎧m>1，－1<m<3，即1<m<3.故m的取值范围为(1，3).关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·安徽高考)命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是( )A.∀x∈R，|x|+x2<0B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0D.∃x0∈R，|x0|+≥0【解析】选C.命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|+<0”.2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为( )A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【解析】选C.p：∀n∈N，n2≤2n.【补偿训练】命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是( )A.有些三角形不是等腰三角形B.所有三角形是等边三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形【解析】选C. p是“所有三角形不是等腰三角形”.3.(2015·中山高二检测)已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+<0，命题q：∃x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是( )A.p是真命题B.q是假命题C.p是假命题D. q是假命题【解题指南】先判断p，q的真假，再得p，q真假，进而得结论.【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0，所以p是假命题，p为真命题.又sinx0-cosx0=sin≤，故q是真命题，q为假命题.所以选D.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015·烟台高二检测)已知命题p：∀x>2，x3-8>0，那么p是________.【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解析】命题p为全称命题，其否定为特称命题，则p：∃x0>2，-8≤0.答案：∃x0>2，-8≤05.(2015·资阳高二检测)已知命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0.若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是________.【解析】因为若命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0是假命题，则p是真命题，说明x2+ax+a ≥0恒成立，所以Δ=a2-4a≤0，解得0≤a≤4.答案：【补偿训练】(2014·烟台高二检测)已知命题p：任意x∈R，ax2-2x+3≥0，如果命题p 是真命题，求实数a的取值范围.【解析】因为命题p是真命题，所以p是假命题.又当p是真命题，即ax2-2x+3≥0恒成立时，应有解得a≥，所以当p是假命题时，a<.所以实数a的取值范围是.三、解答题6.(10分)写出下列命题的否定，并判断真假.(1)p：一切分数都是有理数.(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′.(3)r：若a n=-2n+10，则存在n∈N，使S n<0(S n是{a n}的前n项和).(4)s：∀x∈Q，使得x2+x+1是有理数.【解析】(1)p：存在一个分数不是有理数，假命题.(2)q：直线l垂直于平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直，假命题.(3)r：若a n=-2n+10，则∀n∈N，有S n≥0，假命题.(4)s：∃x0∈Q，使+x0+1不是有理数，假命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·天津高二检测)已知命题p：∀b∈.答案：(-∞，1]三、解答题5.(10分)已知函数f(x)=x2，g(x)=-m.(1)x∈，求f(x)的值域.(2)若对∀x∈，g(x)≥1成立，求实数m的取值范围.(3)若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，求实数m的取值范围.【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域.(2)根据对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1，而g(x)在上单调递减，利用其单调性建立关于m的不等关系，即可求得实数m的取值范围.(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，从而建立关于m的不等式，由此可求结论.【解析】(1)当x∈时，函数f(x)=x2∈，所以f(x)的值域为.(2)对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1.而g(x)在上单调递减，所以-m≥1，即m≤-.(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，由1-m≤9，所以m≥-8.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

04课后课时精练一、选择题1．“至多有三个”的否定为( )A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个解析：“至多有三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况，其反面为“4个、5个……”即至少四个．答案：B2．[2014·安徽高考]命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A. ∀x∈R，|x|＋x2<0B. ∀x∈R，|x|＋x2≤0C. ∃x0∈R，|x0|＋x20<0D. ∃x0∈R，|x0|＋x20≥0解析：本题考查含有一个量词的命题的否定．命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20 <0”，故选C.答案：C3．[2014·湖北高考]命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A. ∀x∉R，x2≠xB. ∀x∈R，x2＝xC. ∃x∉R，x2≠xD. ∃x∈R，x2＝x解析：本题考查全称命题的否定，意在考查考生对基本概念的掌握情况．全称命题的否定是特称命题：∃x∈R，x2＝x，选D.答案：D4．“存在整数m，n，使得m2＝n2＋2011”的否定是( )A．任意整数m，n使得m2＝n2＋2011B．存在整数m，n使得m2≠n2＋2011C．任意整数m，n使得m2≠n2＋2011D．以上都不对解析：根据特称命题的否定为全称命题可知选C.答案：C5．下列命题中假命题是( )A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对任意实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的实数α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ解析：当α＝0，β∈R时，cos(α＋β)＝cosβ，且cosαcosβ＋sinαsinβ＝cosβ，故选项B为假命题．答案：B6．下列命题中的假命题是( )A. ∀x∈R,2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x0∈R，lgx0<1D. ∃x0∈R，tanx0＝2解析：根据指数函数、对数函数和三角函数的知识可知，选项A，C，D中的命题都是正确的，选项B，当x＝1时，命题不正确，故选项B中的全称命题是不正确的．故选B.答案：B二、填空题7.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，∴a≤1；命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，则“4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．答案：{a|a≤－2或a＝1}8. 已知命题p：∃x∈R，使sinx＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是________．解析：因为对任意实数x，|sinx|≤1，而sinx＝52>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．因而②③正确．答案：②③9．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．。