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强化训练2 函数与方程中的综合问题1．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 2－2x ＋1 C ．f (x )＝log 4x D ．f (x )＝e x －2答案 B解析 f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，f (1)＝0， 当x <1时，f (x )>0；当x >1时，f (x )>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点， 其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．2．函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间(－2,4)上的零点必定在区间( ) A ．(－2,1)内 B.⎝⎛⎭⎫52，4内 C.⎝⎛⎭⎫1，74内 D.⎝⎛⎭⎫74，52内 答案 D解析 ∵f (－2)＝－28<0，f (4)＝38>0， 且f ⎝⎛⎭⎫－2＋42＝f (1)＝－4<0，∴零点在(1,4)内． 又f ⎝⎛⎭⎫1＋42＝f ⎝⎛⎭⎫52＝378>0，∴零点在区间⎝⎛⎭⎫1，52内． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＝f ⎝⎛⎭⎫74<0，∴零点在区间⎝⎛⎭⎫74，52内． 3．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x ，若有f (m )＝g (n )，则n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞) 答案 C解析 由f (x )＝e x >0，f (m )＝g (n )， 则g (n )＝ln n >0，∴n >1.4．若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．[0,3]C ．(－3,0)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝－x 2＋ax ＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)>0，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22＋2a ＋4>0，－(－1)2－a ＋4>0，解得0<a <3.5．已知函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x 的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (a ＋b )<f (b )B ．f (a ＋b )<f (a )<f (b )C ．f (a )<f (b )<f (a ＋b )D ．f (b )<f (a ＋b )<f (a ) 答案 C解析 由题意可知函数f (x )在R 上单调递增， f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0， ∴函数f (x )的零点a ∈(0,1)，又函数g (x )的零点b ＝1，∴0<a <b <a ＋b ， ∴f (a )<f (b )<f (a ＋b )．6．(多选)设函数f (x )＝ax 22e －ln|ax |(a ＞0)，若f (x )有4个零点，则a 的可能取值有( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 BCD解析 ①当a ＝1时，f (x )＝x 22e－ln|x |，函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 22e －ln x ，f ′(x )＝x e －1x ＝(x －e )(x ＋e )e x ，f (x )在(0，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增，f (x )min ＝f (e)＝0，x ＞0时，有一个交点，所以f (x )共有2个零点，故不成立， ②当a ＝2时，当x ＞0时，f (x )＝x 2e －ln 2x ，f ′(x )＝2x e －1x ＝2x 2－ee x ＝2⎝⎛⎭⎫x －e 2⎝⎛⎭⎫x ＋e 2e x，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，e 2上递减，在⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞上递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫e 2＝12(1－ln 2e)＜0有两个交点， 所以共有4个零点，故成立， 同理可得a ＝3，a ＝4时成立．7．方程2x ＋x ＝2的解所在的区间是(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 0解析 由题意得2x ＋x －2＝0， 设f (x )＝2x ＋x －2，所以f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋1－2＝1， 所以f (0)f (1)<0，又函数f (x )是R 上的连续函数，所以由零点存在性定理，得方程2x ＋x ＝2的解所在的区间是(0,1)． 故k ＝0.8．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]解析 方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解， 令t ＝3x >0，则方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正根， 又两根的积为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4＋a )2－16≥0，－(4＋a )>0，解得a ≤－8. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，ln x ＋1，x >0，若方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数解a ，b ，c (a <b <c )，则(a ＋b )c 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－2，－2e 解析 画出f (x )的图象．所以方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数解a ，b ，c (a <b <c )， 可知m 的取值范围为(0,1]，由题意可知a ＋b ＝－2,0<ln c ＋1≤1， 所以1e <c ≤1，所以－2≤(a ＋b )c <－2e.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，若方程f (x )＝－x －a 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－1，＋∞)解析 当x ≥0时，f (x )＝2x －1，当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1－1， 当－2≤x <－1时，f (x )＝2x ＋2－1， 画出函数f (x )的图象，如图：因为方程f (x )＝－x －a 有两个不同的实根，所以函数f (x )和函数y ＝－x －a 的图象有两个不同的交点． 由直线y ＝－x －a 过点(0,1)，得a ＝－1； 由直线y ＝－x －a 过点(0,0)，得a ＝0； 由直线y ＝－x －a 过点(－1,0)，得a ＝1； 而函数f (x )不过点(0,1)，(－1,1)，(－2,1)，因此当a >－1时，函数f (x )和函数y ＝－x －a 的图象有两个不同的交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个不同实根．11．求证：方程3x ＋4x ＝5x 只有一个实数解． 证明 要证方程3x ＋4x ＝5x 只有一个实数解， 即证⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫45x＝1只有一个实数解， 即证f (x )＝⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫45x －1有唯一零点． ∵f (0)＝⎝⎛⎭⎫350＋⎝⎛⎭⎫450－1＝1>0， f (3)＝⎝⎛⎭⎫353＋⎝⎛⎭⎫453－1＝－34125<0， ∴f (0)f (3)<0，∴f (x )在(0,3)上有零点． 又f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在(0,3)上有唯一零点，即f (x )在R 上有唯一零点，即方程3x ＋4x ＝5x 只有一个实数解． 12．设函数f (x )＝log 2(x ＋m )(m ∈R )． (1)当m ＝2时，解不等式f ⎝⎛⎭⎫1x <1； (2)若m ＝10，且关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋λ在[－2,6]上有实数解，求实数λ的取值范围．解 (1)由题意，知log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋2<1，则⎩⎨⎧1x＋2>0，1x ＋2<2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－12或x >0，x <0，故x <－12，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (2)log 2(x ＋10)＝⎝⎛⎭⎫12x＋λ， 即λ＝log 2(x ＋10)－⎝⎛⎭⎫12x 在[－2,6]上有实数解， 设g (x )＝log 2(x ＋10)－⎝⎛⎭⎫12x， 因为g (x )在[－2,6]上单调递增，所以当x ＝－2时，λmin ＝1；当x ＝6时，λmax ＝318. 所以实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，318.13．四个函数f (x )＝10x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫110x，h (x )＝lg x ，φ(x )＝110log x ，方程f (x )＝φ(x )，g (x )＝φ(x )，g (x )＝h (x )的实数根分别为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c答案 A解析 如图，画出四个函数的图象，由图可知，a <b <c .14．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 B解析 令f (x )＝0，可得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ， 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|，h (x )＝－2cos πx ， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－2≤x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x －1，1<x ≤4，∵g (2－x )＝⎝⎛⎭⎫12|2－x －1|＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝g (x )， h (2－x )＝－2cos(2π－πx )＝－2cos πx ＝h (x )，∴函数y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象都关于直线x ＝1对称，作出这两个函数在区间[－2,4]上的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝g (x )和y ＝h (x )在区间[－2,4]上的图象共有6个交点，有3对关于直线x ＝1对称，因此，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和为3×2＝6.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，|ln (x －1)|，x >1，则方程f (f (x ))＝1根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 C解析 令u ＝f (x )，先解方程f (u )＝1. (1)当u ≤1时，f (u )＝2u －1＝1，得u 1＝1； (2)当u >1时，f (u )＝|ln(u －1)|＝1， 即ln(u －1)＝±1，解得u 2＝1＋1e ，u 3＝1＋e.如图所示，直线u ＝1，u ＝1＋1e，u ＝1＋e 与函数u ＝f (x )的交点个数分别为3,2,2，所以方程f (f (x ))＝1的根的个数为3＋2＋2＝7. 16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)若∀x ∈R ，f (x )≥0，求实数a 的取值范围；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的较小者．设h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)，若h (x )有三个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)根据题意知x 2＋ax ＋14≥0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×14≤0，解得－1≤a ≤1.(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 所以h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 所以h (x )在(1，＋∞)上无零点； 所以h (x )在(0,1]上有三个零点， f (1)＝54＋a ，g (1)＝0，当f (1)≥g (1)时，54＋a ≥0，得a ≥－54，所以h (1)＝g (1)＝0，所以1是h (x )的一个零点； 当f (1)<g (1)时，a <－54，所以h (1)＝f (1)<0，所以1不是h (x )的一个零点； 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0，由题意可知，1是h (x )的一个零点，且f (x )＝x 2＋ax ＋14在(0,1)上有两个零点，所以a ≥－54，且⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4×1×14>0，0<－a 2<1，f (0)＝14>0，f (1)＝a ＋54>0，解得－54<a <－1.综上所述，若h (x )有三个零点， 则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－54，－1.。
函数与大体初等函数I 第1讲 函数及其表示一、选择题1．以下函数中，与函数y ＝13x概念域相同的函数为( )．A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析 函数y ＝13x的概念域为{x |x ≠0，x ∈R }与函数y ＝sin x x的概念域相同，应选D.答案 D2．假设一系列函数的解析式相同，值域相同，但概念域不同，那么称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 由x 2＋1＝1，得x ＝0.由x 2＋1＝3，得x ＝±2，因此函数的概念域能够是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案 C3．假设函数y ＝f (x )的概念域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，那么函数y ＝f (x )的图象可能是( )． 解析 依照函数的概念，观看得出选项B. 答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，那么abc 的取值范围是( )．A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图可知0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1b，∴ab ＝1,10<abc ＝c <12.故应选C. 答案 C5．对实数a 和b ，概念运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.假设函数y＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，那么实数c 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2－2； 当x 2－2－(x －x 2)＞1，即x ＜－1或x ＞32时，f (x )＝x －x 2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞32，f (x )的图象如下图，c ≤－2或－1＜c ＜－34.答案 B6.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，那么小王从动身到返回原地所通过的路程y 和其所用的时刻x 的函数的图象为（ ）解析 注意此题当选择项的横坐标为小王从动身到返回原地所用的时刻，纵坐标是通过的路程，应选D. 答案 D 二、填空题7．已知函数f (x )，g (x )别离由下表给出，则f [g (1)]的值为________，知足f [g (x解析 ∵g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1，由表格能够发觉g (2)＝2，f (2)＝3，∴f (g (2))＝3，g (f (2))＝1. 答案 1 28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，那么知足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)． 答案 (－1，2－1)9.已知函数f(x)的图象如下图，那么函数g(x)=的概念域是______.解析 要使函数成心义，须f(x)＞0，由f(x)的图象可知, 当x ∈(2,8］时，f(x)＞0.答案 (2,8］10．函数f (x )的概念域为A ，假设x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，那么称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．以下命题： ①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，那么f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，那么关于任意b ∈B ，它最多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，那么f (x )必然是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析 对①，f (x )＝x 2，那么f (－1)＝f (1)，现在－1≠1，那么f (x )＝x 2不是单函数，①错；对②，当x 1，x 2∈A ，f (x 1)＝f (x 2)时有x 1＝x 2，与x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)互为逆否命题，②正确；对③，假设b ∈B ，b 有两个原象时．不妨设为a 1，a 2可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；对④，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是单调递增函数，但f (x )＝x 2在R 上就不是单函数，④错误；综上可知②③正确． 答案 ②③ 三、解答题11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤x ≤2，x －1，2<x ≤3，g (x )＝f (x )－ax ，x ∈[1,3]，其中a ∈R ，记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )．(1)求函数h (a )的解析式；(2)画出函数y ＝h (x )的图象并指出h (x )的最小值．解 (1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ax ，1≤x ≤2，1－a x －1，2<x ≤3，当a <0时，函数g (x )是[1,3]上的增函数，现在g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，g (x )min ＝g (1)＝1－a ，因此h (a )＝1－2a ；当a >1时，函数g (x )是[1,3]上的减函数，现在g (x )min ＝g (3)＝2－3a ，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，因此h (a )＝2a －1；当0≤a ≤1时，假设x ∈[1,2]，那么g (x )＝1－ax ，有g (2)≤g (x )≤g (1)；若x ∈(2,3]，那么g (x )＝(1－a )x －1，有g (2)<g (x )≤g (3)，因此g (x )min ＝g (2)＝1－2a ，而g (3)－g (1)＝(2－3a )－(1－a )＝1－2a ，故当0≤a ≤12时，g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，有h (a )＝1－a ；当12<a ≤1时，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，有h (a )＝a . 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a <0，1－a ，0≤a ≤12，a ，12<a ≤1，2a －1，a >1.(2)画出y ＝h (x )的图象，如下图，数形结合可得h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.12．求以下函数的概念域： (1)f (x )＝lg 4－xx －3；(2)y ＝25－x 2－lg cos x ；(3)y ＝lg(x －1)＋lgx ＋1x －1＋19－x.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0x －3≠0，⇒x ＜4且x ≠3，故该函数的概念域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧ 25－x 2≥0，cos x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，故所求概念域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，5.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x ＋1x －1＞0，9－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ＞1，x ＜9或x ＜－1，解得1＜x ＜9.故该函数的概念域为(1,9)．13. 设x ≥0时，f(x)=2;x ＜0时，f(x)=1，又规定：g(x)=()()3f x 1f x 22---(x ＞0)，试写出y=g(x)的解析式，并画出其图象. 解 当0＜x ＜1时，x-1＜0,x-2＜0, ∴g(x)=312-=1. 当1≤x ＜2时，x-1≥0，x-2＜0, ∴g(x)=61522-=; 当x ≥2时，x-1＞0，x-2≥0, ∴g(x)=622-=2. 故g(x)=1(0x 1)5(1x 2),22(x 2)⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩＜＜＜ 其图象如下图.14．二次函数f (x )知足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确信实数m 的取值范围． 解 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1，那么问题可转化为g(x)min>m，又因为g(x)在[－1,1]上递减，因此g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.。
§4.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1． y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2. 如下表所示.3. 函数y1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)这五个点．( × )(2)将y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋π4)．( × )(3)y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π2个单位得到的．( √ ) (4)y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π4－k π)，k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )2． 把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4答案 A解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.4． 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.5． 已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ (|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________． 答案 6，π6解析 由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π2，得φ＝π6；而此函数的最小正周期为T ＝2π÷⎝⎛⎭⎫π3＝6.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维启迪 将f (x )化为一个角的一个三角函数，由周期是π求ω，用五点法作图要找关键点．解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解 (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象． 题型二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 思维启迪 (1)根据周期确定ω，据f (0)＝3和|φ|<π2确定φ；(2)由点(0,1)在图象上和|φ|<π2确定φ，再根据“五点作图法”求ω.答案 (1)D (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2π(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程． 解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )．题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的应用例3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x .∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 思维升华 利用函数的图象确定解析式后，求出y ＝f (x )＋f (x ＋2)，然后化成一个角的一个三角函数形式，利用整体思想(将ωx ＋φ视为一个整体)求函数最值．(1)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s答案 (1)A (2)D解析 (1)∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2.∵图象与直线y ＝2的两个交点的横坐标为 x 1、x 2且|x 2－x 1|min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2. (2)T ＝2π2π＝1，∴选D.三角函数图象与性质的综合问题典例：(12分)(2013·山师附中模拟)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维启迪 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin(x ＋π3)[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2][11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分] 答题模板解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：构造f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)． 第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． 第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．方法与技巧1． 五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2． 由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3． 对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)． 失误与防范1． 由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，则平移时要把x前面的系数提出来．2． 复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 A解析 y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋5π6)．故要得到y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin 2(x ＋5π12)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．2． 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A ．[－7π12，5π12]B ．[－7π12，－π12]C ．[－π12，7π12]D ．[－π12，5π12]答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.3． 将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( )A.π12B.π6C.5π6D.7π12答案 D解析 图象F ′对应的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ， 则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ， 令k ＝1时，φ＝7π12，故选D.4． 设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3答案 C解析 由函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又ω>0， ∴2πω·k ＝4π3，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 5． 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是 ( )A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－32]∪[32，＋∞)答案 D解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知－π3ω≥π2，即ω≤－32.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．二、填空题6． 已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________________________. 答案143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0， 得ω＝143.7． 若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________． 答案 －1或－5解析 依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，解得m ＝－5或m ＝－1.8． 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 三、解答题9． (2013·天津)已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2. 10．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，求此时函数f (x )的值域． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin(2ωx －π6)－12，由f (x )的周期T ＝2π2ω＝π2，得ω＝2，∴f (x )＝sin(4x －π6)－12，由2k π－π2≤4x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π12＋k π2≤x ≤π6＋k π2(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是 [－π12＋k π2，π6＋k π2](k ∈Z )． (2)由题意，得cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又∵0<x <π，∴0<x ≤π3，∴－π6<4x －π6≤7π6，∴－12<sin(4x －π6)≤1，∴－1<sin(4x －π6)－12≤12，∴f (x )的值域为(－1，12]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1. 电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．2． 函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24答案 A解析 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12. 3． 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 4． 已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后，得到函数g (x )的图象关于y 轴对称，求实数m 的最小值．解 (1)f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a＝3sin 2x －cos 2x ＋a ＝2sin(2x －π6)＋a .∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，故所求函数f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(2)函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后得g (x )＝2sin[2(x ＋m )－π6]＋a 要使g (x )的图象关于y 轴对称，只需2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )．即m ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以m 的最小值为π3.5． (2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间． 解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， 所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上， 所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。
第7练 抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型．主要以填空题的形式考查，难度为中档偏上．二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力．体验高考1．(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.2．(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b 等于________． 答案 12解析 由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 当52－b ≥1，即b ≤32时，522b －＝4，解得b ＝12. 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78(舍去)．所以b ＝12.3．(2016·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减， 所以f (x )的最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.(2) f (x )的两个函数在无限制条件时的图象如图．由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－1.4．(2015·陕西改编)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于________．答案 12解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 5．(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 答案 －2解析 因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0， 又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＝412＝2， 故f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 高考必会题型题型一 函数单调性、奇偶性的应用1．常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上单调递增．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上单调递减．2．若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断．3．定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数．4．奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数．例1 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)[－14，0] (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a .因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综合上述得，－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是[32，2)．点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．变式训练1 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得 [1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a ＞0，故0＜a ≤1.题型二 函数的周期性与对称性的应用重要结论：1.若对于定义域内的任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．若对于任意x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数，且它的周期为T .例2 (1)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－x ，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＝________. 答案 (1)1 (2)336解析 (1)由f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，知f (x )的周期为4，∴f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝1， f (2 016)＝f (4)＝f (0)＝0. ∴f (2 015)＋f (2 016)＝1＋0＝1.(2)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的一个周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]×336＝336. 点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．变式训练2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∀x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在[－2,2]上有5个零点；③点(2 014,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 014是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 则正确命题的序号是________．解析 在f (x －1)＝f (x ＋1)中令x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图．由图知②③也正确，④不正确． 所以正确命题的序号为①②③. 题型三 分段函数例3 (1)(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． (2)(2016·青岛模拟)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案 (1)－25 (2)(－∞，－2]∪(－1，－34)解析 (1)由已知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－12＋a ，F ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)＞1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x ＜－1或x ＞32.f (x )的图象如图所示，由图象可知c 的范围是(－∞，－2]∪(－1，－34)．点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)在求分段函数f (x )的解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．变式训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________． 答案 (－1，2－1)解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0的图象如图．由图象可知，若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，1－x 2＞2x ， 即⎩⎨⎧－1＜x ＜1，－1－2＜x ＜－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．高考题型精练1．设函数f (x )为偶函数，对于任意的x ＞0，都有f (2＋x )＝－2f (2－x )，已知f (－1)＝4，那么f (－3)等于______． 答案 －8解析 ∵f (x )为偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝4，f (－3)＝f (3)， 当x ＝1时，f (2＋1)＝－2·f (2－1)， ∴f (3)＝－2×4＝－8， ∴f (－3)＝－8.2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 如图，画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4的图象，若使函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则a＋1≤2或a ≥4，解得实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)．4．下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是________． ①f (x )＝1x －x; ②f (x )＝x 3；③f (x )＝ln x; ④f (x )＝2x . 答案 ①解析 “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于在(0，＋∞)上f (x )为减函数，易判断f (x )＝1x－x 符合．5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.6．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(12log 14)·f 12log 14)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 b >a >c解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称． 所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0， 所以函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减， 从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<ln 2<1，12log 14＝2，从而0<ln 2<20.2<12log 14，所以b >a >c .7．(2016·四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________． (参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30) 答案 2019解析 设第x 年的研发资金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x ＝200， ∴1.12x ＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝(lg 2＋lg 10)－(lg 1.3＋lg 10)lg 1.12≈0.3＋1－0.11－10.05＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元． 8．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质： ①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴； ②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的顺序为____________________． 答案 f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015) 解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4. 所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)， 又直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴， 所以f (2 016)＝f (0)＝f (2)．由当1≤x 1＜x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0， 可知当1≤x 1＜x 2≤3时，函数单调递减， 所以f (1)＞f (2)＞f (3)，故f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)．9．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (x )的图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示．由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. 10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确命题的序号为________．答案 ①②④ 解析1＋2x ＋1－2x2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z)对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确． 11．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8， 又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1， 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) ＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016) ＝f (2 016)＝f (0)＝0.12．已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0， 当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数， 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数， 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，即x ＋a x－2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立， 所以a ＞3x －x 2对x ∈[2，＋∞)恒成立．令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a ＞2.。
微专题4 函数性质及其综合运用函数的性质是函数部分的重点内容，目前我们学习到的主要是函数的单调性和奇偶性，在高考中出题往往是以这两个性质为中心，综合考查根据题目交代的背景进行的逻辑思维能力和运算能力．牵涉到的主要有数形结合思想、转化与化归思想、方程思想等思想方法．借助奇偶函数的定义、单调性定义以及它们的逆用，分离变量、转化主元等都是能够处理这类问题的主要技巧．一、利用函数的奇偶性、单调性比较大小例1 已知函数f (x )对任意实数x 都满足f (－x )－f (x )＝0，且当x ∈[0，＋∞)时都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]<0成立，令a ＝f (1)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (－2)，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．a <b <c答案 A解析 由已知可得f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，故f ⎝⎛⎭⎫12＜f (1)＜f (2)＝f (－2)，即b <a <c .反思感悟 奇偶函数和单调函数结合，判断大小问题往往是把各个自变量统一到函数的一个单调区间上，再根据增减性进行比较．二、利用奇函数、偶函数的图像解不等式例2 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (－3)＝0，则不等式(x －2)f (x )<0 的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2,3)B ．(－3，－2)∪(3，＋∞)C ．(－3,3)D ．(－2,3) 答案 A解析 ∵f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)内是增函数，∴f (x )在(－∞，0]内是减函数，∵f (－3)＝f (3)＝0，则f (x )对应的草图如图：则不等式(x －2)·f (x )<0等价为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2>0，f (x )<0，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －2<0，f (x )>0，② 由①得⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，－3<x <3，得2<x <3，由②得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >3或x <－3，得x <－3，综上，2<x <3或x <－3，故不等式的解集为(－∞，－3)∪(2,3)．反思感悟 利用偶函数在对称区间上的单调性相反和分类讨论的思想是解决本题的关键，通过题目条件画出符合函数条件的草图是主要方法，通过讨论x >2，x <2 两种情况，将问题的难度分解，从而使问题得到解答．三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式例3 已知f (x )为定义在R 上的偶函数，g (x )＝f (x )＋x 2，且当x ∈(0，＋∞)时，g (x )单调递增，则不等式f (x ＋1)－f (x ＋2)<2x ＋3的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ C ．(－∞，－3)D ．(－∞，3) 答案 B解析 根据题意，g (x )＝f (x )＋x 2，且f (x )为定义在R 上的偶函数，则g (－x )＝f (－x )＋(－x )2＝f (x )＋x 2＝g (x )，即函数g (x )为偶函数，f (x ＋1)－f (x ＋2)＜2x ＋3⇒f (x ＋1)＋(x ＋1)2＜f (x ＋2)＋(x ＋2)2，即g (x ＋1)＜g (x ＋2)， 又由g (x )为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，则有|x ＋1|＜|x ＋2|，将不等式两边同时平方解得x >－32，即不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞. 反思感悟 对于一边含有函数对应法则符号，而另一边是式子的解不等式问题，一般是通过变形等方法，让另一边的式子也带上符号，然后利用单调性，再去掉函数符号求解．四、利用函数的奇偶性、单调性求最值例4 已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2，0<x <1，2x －3，x ≥1，若f (x )在⎣⎡⎦⎤－4，－14上的最大值为m ，最小值为n ，求m ＋n .解 如图，画出f (x )在(0，＋∞)上的图像，由图知，当x ∈⎣⎡⎦⎤14，4时，f (x )的最小值为f (1)＝－1，又f ⎝⎛⎭⎫14＝2，f (4)＝5，所以f (x )的最大值为f (4)＝5.又f (x )为奇函数，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－14时， f (x )的最大值为f (－1)＝－f (1)＝1，f (x )的最小值为f (－4)＝－f (4)＝－5.所以m ＝1，n ＝－5，故m ＋n ＝1－5＝－4.反思感悟 解决此类求最值问题应充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且图像关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图像关于y 轴对称．五、利用函数的奇偶性、单调性解决恒成立问题例5 已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，当x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1＋x 2≠0时，有f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0，若存在x ∈[－1,1]，使得f (x )≤m 2－3am ＋4对任意a ∈[－2,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解 ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数且f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (－x 2)x 1－(－x 2)>0成立， 由x 1，x 2为[－1,1]上的任意值，且x 1≠－x 2，∴f (x )是增函数．由题意可知f min (x )≤m 2－3am ＋4，又∵f min (x )＝f (－1)＝－f (1)＝－1，可得m 2－3am ＋4≥－1对任意a ∈[－2,1]恒成立，令g (a )＝m 2－3am ＋5，∵g (a )≥0在[－2,1]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－2)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3×(－2)m ＋5≥0，m 2－3m ＋5≥0， 解得m ∈(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．反思感悟 本题利用奇函数对已知条件变形，从而得出函数的单调性是关键，恒成立问题往往是先分离变量(本题没用到)，然后利用函数的单调性求最值解决，转换主元也是本题考查的一个方面．六、抽象函数的应用例6 函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m －2)<3.(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)>1.∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．故f (x )在R 上是增函数．(2)解 ∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴原不等式可化为f (3m －2)<f (2)．∵f (x )在R 上是增函数，∴3m －2<2，解得m <43. 故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，43. 反思感悟 解决抽象函数的主要方法是赋值，往往可以令里面的两个未知数分别等于对方的相反数或者赋值为0,1之类的数值，在题目条件给出的情况下，如本题的f (4)＝5，就要在赋值的时候往这个条件上靠拢，一般是先考虑作为自变量的数的一半．七、函数的综合问题例7 设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(x ∈R )．(1)若函数f (x )是偶函数，求实数a 的值；(2)若a ＝2，求函数f (x )的最小值；(3)对于函数y ＝m (x )，在定义域内给定区间[a ，b ]，如果存在x 0(a <x 0<b )，满足m (x 0)＝m (b )－m (a )b －a，则称函数m (x )是区间[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个“均值点”．如函数y ＝x 2是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数g (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立，即(－x )2＋|－x －a |＋1＝x 2＋|x －a |＋1，∴|x ＋a |＝|x －a |，得ax ＝0，∵x ∈R ，∴a ＝0.(2)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋|x －2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥2，x 2－x ＋3，x <2， ∴f (x )在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝5，f (x )在(－∞，2)上的的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝114，∵114<5，∴函数f (x )的最小值为114. (3)∵函数g (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，∴存在x 0∈(－1,1)，使g (x 0)＝g (1)－g (－1)1－(－1)， 而g (1)－g (－1)1－(－1)＝m ，存在x 0∈(－1,1)，使得g (x 0)＝m ， 即关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝m 在(－1,1)内有解；由－x 2＋mx ＋1＝m 得x 2－mx ＋m －1＝0，解得x 1＝1，x 2＝m －1，∴－1<m －1<1，即0<m <2.故m 的取值范围是(0,2)．反思感悟 本题牵涉到的知识点较多，主要有函数奇偶性定义、分段函数求最值、含参一元二次方程有解问题．新定义函数是最近几年比较流行的出题方法，关键要弄清楚题目交代的背景，而且往往是利用上面的已经做完的解答为启示进行解答．。
第1节函数的概念考试要求 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识梳理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.[常用结论与微点提醒]1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.3.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()解析(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.(3)错误.f(x)＝x－3＋2－x中x不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(老教材必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. 答案 B3.(新教材必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x ＋1D.y ＝x 2＋1解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系分别相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数. 答案 B4.(2020·厦门质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (1))＝( )A.0B.12C.1D.2解析 由题意，知f (1)＝12－2×1＝－1，所以f (f (1))＝f (－1)＝2－1＝12. 答案 B5.(2020·九江联考)函数f (x )＝1－ln x2x －2的定义域是________.解析 依题意，得⎩⎨⎧1－ln x ≥0，2x －2≠0，解得0<x ≤e ，且x ≠1.答案 (0，1)∪(1，e]6.已知函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝e x ，则函数f (x )的解析式为________________. 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝e x ，①所以将x 用－x 替换，得f (－x )＋2f (x )＝e －x ，② ①②联立消去f (－x )得3f (x )＝2e －x －e x ， ∴f (x )＝23e －x －13e x . 答案 f (x )＝23e －x －13e x考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2020·安徽江南十校期末检测)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( ) A.(－1，3] B.(－1，0)∪(0，3] C.[－1，3]D.[－1，0)∪(0，3](2)(2020·济南质检)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋8－2x的定义域为( ) A.[0，3]B.[0，2]C.[1，2]D.[1，3]解析 (1)要使函数有意义，x需满足⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，0≤8－2x ，解得0≤x ≤3.∴g (x )的定义域为[0，3]. 答案 (1)B (2)A规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.【训练1】 (1)(2020·华南师大附中月考)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1](2)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域是________. 解析 (1)由函数f (x )的定义域为[－1，1]， 令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0， 所以函数g (x )的定义域为(0，1).(2)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k ∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ， 可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1， 所以⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13 规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.(2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝______. 解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋c ＝0，且有两个相等实根.∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)3x 考点三 分段函数 多维探究角度1 分段函数求值【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案 22角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1)(2020·郑州联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，11－x ，x <1，则不等式f (x )≤1的解集为( ) A.(－∞，2] B.(－∞，0]∪(1，2] C.[0，2]D.(－∞，0]∪[1，2] (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________.解析 (1)当x ≥1时，不等式f (x )≤1为log 2x ≤1，1≤x ≤2；当x <1时，由11－x≤1，得x ≤0. 综上，f (x )≤1的解集为{x |x ≤0或1≤x ≤2}. (2)∵f (1)＝2，且f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－2. 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，∴a ＝－3； 当a >0时，f (a )＝2a >0，此时，f (a )≠－2. 综上可知a ＝－3. 答案 (1)D (2)－3规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(角度1)(2020·佛山检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋m ）－1，x ≥0，12 020，x <0的图象经过点(3，0)，则f (f (2))＝( ) A.2 020B.12 020C.2D.1(2)(多填题)(角度2)(2019·济南调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x ＜1，则f (f (0))＝________，若f (m )＞1，则实数m 的取值范围是________.(3)(角度2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)因为函数f (x )的图象过点(3，0)，所以log 3(3＋m )－1＝0，解得m ＝0. 所以f (2)＝log 32－1<0，故f (f (2))＝12 020.(2)f (f (0))＝f (1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x ＜1的图象与直线y ＝1的交点分别为(0，1)，(e ，1).若f (m )＞1，则实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(e ，＋∞).(3)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12. 答案 (1)B (2)0 (－∞，0)∪(e ，＋∞) (3)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12A 级 基础巩固一、选择题1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 图象①关于x 轴对称，x >0时，每一个x 对应2个y ，图象②中x 0对应2个y ，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象. 答案 B2.(2020·北京四中月考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），若f (m )＝3，则实数m 的值为( ) A.－2B.8C.1D.2解析 当m ≥2时，m 2－1＝3，解得m ＝2或m ＝－2(舍)；当0<m <2时，log 2m ＝3，解得m ＝8(舍).综上，m ＝2. 答案 D3.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )解析 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 答案 D4.(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，则f (f (log 23))＝()A.－9B.－1C.－13D.－127解析 f (log 23)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝－2log 23－1＝－13<0，∴f [f (log 23)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.答案 B5.(2020·黄冈调研)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为( ) A.(－1，0) B.(－2，0) C.(0，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 解析 由题意，知－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1，1).令－1<2x －1<1，得0<x <1.∴f (2x －1)的定义域为(0，1). 答案 C6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310. 答案 B7.(2020·西安检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0. 若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8解析 由f (x )的定义域，知a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8， 当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立.综上可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝8. 答案 D8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析 当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2.当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于－a 2－2a <0，解得a <－2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).答案 D二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________. 解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1].答案 (0，1]10.(2020·河北示范性高中联考)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －5，x ≤2，3sin x ，x >2的值域为________. 解析 当x ≤2时，f (x )＝2x －5单调递增，则－5<f (x )≤－1；当x >2时，sin x ∈[－1，1]，∴f (x )＝3sin x ∈[－3，3].故f (x )的值域是(－5，3].答案 (－5，3]11.(多填题)已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，① 令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1② 联立①②解得f (－2)＝72，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝94. 答案 72 9412.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________. 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝2或x ＝22.故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 B 级 能力提升13.(2019·长沙检测)高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x ＋32x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A.{0，1，2，3}B.{0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}解析 f (x )＝2x ＋32x ＋1＝2x ＋1＋22x ＋1＝1＋22x ＋1， ∵2x >0，∴1＋2x >1，0<12x ＋1<1， 则0<22x ＋1<2，1<1＋22x ＋1<3，即1<f (x )<3. 当1<f (x )<2时，[f (x )]＝1，当2≤f (x )<3时，[f (x )]＝2.综上，函数y ＝[f (x )]的值域为{1，2}.答案 D14.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( )A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2)解析 当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).答案 C15.(2020·安徽江南十校联考)若f (x )＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ＋3x －2log 2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，且存在x 0∈[2，4]，使得f (x 0)>m 成立，则m 的取值范围为________.解析 f (x )＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ＋3x －2log 2x ，①以1x 代替x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3f (x )＝1x ＋3x ＋2log 2x ，② 联立①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝x ＋log 2x ， 则x ∈[2，4]时，f (x )＝x ＋log 2x 是增函数，∴f (x )max ＝f (4)＝6，因此m <6.答案 (－∞，6)16.(多填题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.解析 由题意知f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，所以f [f (－3)]＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min＝22－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.答案 0 22－3C 级 创新猜想17.(组合选择题)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ). 所以满足“倒负”变换的函数是①③.答案 B18.(多选题) (2020·山东新高考模拟)函数f (x )的定义域为D ，对给定的正数k ，若存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得函数f (x )满足：①f (x )在[a ，b ]内是单调函数；②f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ]，则称区间[a ，b ]为y ＝f (x )的k 级“理想区间”.下列结论正确的是( )A.函数f (x )＝x 2存在1级“理想区间”B.函数f (x )＝e x 不存在2级“理想区间”C.函数f (x )＝4x x 2＋1(x ≥0)存在3级“理想区间” D.函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2不存在4级“理想区间” 解析 易知[0，1]是f (x )＝x 2的1级“理想区间”，故A 正确；由于g (x )＝e x －2x 无零点，因此f (x )＝e x 不存在2级“理想区间”，故B 正确；由h (x )＝4x x 2＋1－3x ＝0(x ≥0)，得x ＝0或x ＝33，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33是f (x )＝4x x 2＋1(x ≥0)的一个3级“理想区间”，C 正确；易知y ＝tan x 的图象与直线y ＝4x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内有三个交点，因此f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2有4级“理想区间”，故D 错误. 答案 ABC。
§2.3函数的奇偶性与周期性考试如何考 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[重难点]1．函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．1． (课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.3． 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．4． 函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则 ( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52等于 ( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.12题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称， 再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立． 探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5题型二 函数的奇偶性与周期性例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．思维启迪：(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )是周期函数；(2)由f (x )在[0,2]上的解析式求得f (x )在[－2,0]上的解析式，进而求f (x )在[2,4]上的解析式； (3)由周期性求和．探究提高 判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且 周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x ) ＝x ，则f (105.5)＝________. 题型三 函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f (π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画 出函数图象，求图形面积、写单调区间．探究提高 函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分 利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想．(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)(2)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集． 1.等价转换要规范典例：(12分)函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1) ＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 审题视角 (1)从f (1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x 1＝x 2＝1.(2)判断f (x )的奇偶性， 就是研究f (x )、f (－x )的关系．从而想到赋值x 1＝－1，x 2＝x .即f (－x )＝f (－1)＋f (x )．(3) 就是要出现f (M )<f (N )的形式，再结合单调性转化为M <N 或M >N 的形式求解．温馨提醒 数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点： (1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”，“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了.方法与技巧1． 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2． 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3． 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 失误与防范1． 判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2． 判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)．对于偶函数的判断以此类推．3． 分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.(时间：60分钟) A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数为偶函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋12．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R3．若函数f (x )＝x2x ＋1 x －a 为奇函数，则a 等于( )A.12B.23C.34 D ．14．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设函数f (x )＝x (e x＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．6． 设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______.7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________． 三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．9． (13分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为 ( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算3．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23二、填空题(每小题4分，共12分)4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.5． 已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________.6． 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共13分)7． 已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0，(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．。
