高一数学圆与圆的位置关系

高一数学复习考点知识讲解课件§2.3圆与圆的位置关系考点知识1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．导语日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．一、圆与圆的位置关系的判断知识梳理1．代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，联立方程得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交 外切或内切 外离或内含2.几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系图示d 与r 1，r 2的关系外离d >r 1＋r 2外切d ＝r 1＋r 2相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2内切d ＝|r 1－r 2|内含d <|r 1－r 2|注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系．(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．例1当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而C1C2＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即14＜k＜34时，两圆相交．当|50－k＋1|<5，即34＜k＜50时，两圆外离．反思感悟判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径．(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．跟踪训练1已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围？解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.∴两圆的圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，r2＝2，且C1C2＝(m＋1)2＋(m＋2)2.(1)若圆C1与圆C2相外切，则C1C2＝r1＋r2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝5，解得m＝－5或m＝2.(2)若圆C1与圆C2内含，则0≤C1C2＜|r2－r1|＝1，即(m＋1)2＋(m＋2)2＜1，解得－2＜m＜－1.二、两圆相切问题问题1圆与圆相切包含哪几种情况？提示内切和外切两种情况．问题2两圆相切可用什么方法求解？提示(1)几何法．利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，d＝R＋r为外切，d＝|R －r|为内切．(2)代数法．将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．知识梳理处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．例2求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圆与直线y＝0相切、半径为4，得圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.由两圆相切，得CA＝4＋3＝7或CA＝4－3＝1.①当圆心为C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210，故所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16.②当圆心为C 2(a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72或(a －2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a ＝2±2 6. 故所求圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.综上所述，所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．跟踪训练2求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解已知圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 则圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.三、两圆相交问题问题3两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？ 提示将两个方程化成一般式，然后作差即可求得． 问题4两圆公共弦长如何求得？提示将公共弦所在直线的方程与其中一个圆方程联立，利用勾股定理AB ＝2r 2－d 2求得．例3已知圆C 1：x 2＋y 2＋6x －4＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6y －28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程． 解(1)设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，①x 2＋y 2＋6y －28＝0②的解．①－②，得x －y ＋4＝0.∵A ，B 两点的坐标都满足此方程，∴x －y ＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．又圆C 1的圆心(－3,0)，r ＝13， ∴C 1到直线AB 的距离d ＝|－3＋4|2＝22，∴AB ＝2r 2－d 2＝213－12＝52，即两圆的公共弦长为5 2.(2)方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则(a ＋1)2＋(a －4－3)2＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为892.故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.方法二设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0， 解得λ＝－7.故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.反思感悟(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．(3)已知圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)．跟踪训练3圆心在直线x －y －4＝0上，且经过圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程为________________． 答案(x －3)2＋(y ＋1)2＝16(或x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0)解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3，所以圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)，B (3,3)，连接AB ，则线段AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为(3－3)2＋(3＋1)2＝4，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16. 方法二同方法一求得A (－1，－1)，B (3,3)， 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，(－1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(3－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，r 2＝16，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.方法三设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0，其中λ≠－1，化简可得x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ. 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ在直线x －y －4＝0上， 所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.1．知识清单：(1)两圆的位置关系．(2)两圆的公共弦．(3)圆系方程．2．方法归纳：几何法、代数法．3．常见误区：将两圆内切和外切相混．1．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是() A．外离B．外切C．相交D．内含答案C解析将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，∴C1(－1，－4)，C2(2,2)，r1＝5，r2＝3.从而C1C2＝32＋62＝35，∴r1－r2＜C1C2＜r1＋r2.因此两圆的位置关系为相交．故选C.2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝0答案C解析AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.故选C.3．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则PQ 的最小值为________．答案1解析O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为1，∵OC＝32＋02＝3，∴PQ的最小值为3－1－1＝1.4．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为______________．答案x2＋y2－x－2y＝0解析设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.课时对点练1．圆x2＋y2＝2与圆x2＋y2＋2x－2y＝0的位置关系是()A．相交B．内切C．外切D．外离答案A解析由题意得，圆x2＋y2＝2的圆心O1(0,0)，圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心O2(－1,1)，圆心距d＝O1O2＝1＋1＝2，两个圆的半径均为2，故|r1－r2|<d<r1＋r2，所以两个圆相交．故选A.2．(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于() A．16B．7C．－4D．9答案AC解析圆C1的圆心为(1,0)，半径为1；圆C2化为(x－4)2＋(y＋4)2＝32－m，表示以(4，－4)为圆心，半径等于32－m的圆．由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5＝|32－m－1|，解得m＝－4.两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5＝32－m＋1，解得m＝16，综上，m的值为－4或16.3．已知直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切答案C解析圆M的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2(a>0)，则圆心为(a,0)，半径R＝a，因为直线3x ＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，所以|3a＋4|32＋42＝a，解得a＝2，则圆M的圆心为(2,0)，半径R＝2，圆N的圆心为N(1,1)，半径r＝1，则MN＝(2－1)2＋1＝2，因为R＋r＝3，R－r＝1，所以R－r<MN<R＋r，即两个圆相交．4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，A，B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为()A.41＋4B.41－4C.13＋4D.13－4答案A解析圆C1的圆心为(－1，－1)，半径为1，圆C2的圆心为(3,4)，半径为3，则圆心距为d＝(－1－3)2＋(－1－4)2＝41>1＋3，所以两圆外离，所以圆C1和圆C2上的两点AB 的最大值为d＋r1＋r2＝41＋4.5．圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为()A.13B．4C.43913 D.83913答案D解析由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0,0)到l的距离d＝21313，圆O的半径R＝2，所以截得的弦长为2R2－d2＝24－413＝83913.6．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是()A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9C．(x－2)2＋(y－2)2＝25D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49答案BCD解析由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.∵C1C＝17∈(r1－r，r1＋r)，∴两圆相交；B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，∵C2C＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；C 项，圆心C 3(2,2)，半径r 3＝5，∵C 3C ＝3＝r 3－r ，∴两圆内切；D 项，圆心C 4(2，－2)，半径r 4＝7，∵C 4C ＝5＝r 4－r ，∴两圆内切．7．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________________．答案x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.8．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________________．答案x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入直线l ：2x ＋4y －1＝0的方程， 可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.9．已知圆O 1：x 2＋y 2－82x －82y ＋48＝0，圆O 2过点A (0，－4)，若圆O 2与圆O 1相切于点B (22，22)，求圆O 2的方程．解圆O 1的方程变为(x －42)2＋(y －42)2＝16，所以圆心O 1(42，42)，因为圆O 2与圆O 1相切于点B (22，22)，所以圆O 2的圆心在直线y ＝x 上，不妨设为(a ，a )，因为圆O 2过点A (0，－4)，所以圆O 2与圆O 1外切，因为圆O 2过B (22，22)，所以a 2＋(a ＋4)2＝2(a －22)2，所以a ＝0，所以圆O 2的方程为x 2＋y 2＝16.10．已知两圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，直线l ：x ＋2y ＝0.(1)当圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4时，求r 的值；(2)当r ＝1时，求经过圆C 1与圆C 2的交点且和直线l 相切的圆的方程．解(1)由圆C 1：x 2＋y 2＝4，知圆心C 1(0,0)，半径r 1＝2，又由圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，可得x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x ＋4y －9＋r 2＝0.因为圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C 1(0,0)，即r 2＝9(r >0)，解得r ＝3.(2)设过圆C 1与圆C 2的圆系方程为(x －1)2＋(y －2)2－1＋λ(x 2＋y 2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)·y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1λ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2λ＋12＝4λ2＋1(λ＋1)2，由圆心到直线x ＋2y ＝0的距离等于圆的半径，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ＋1＋4λ＋15＝4λ2＋1|λ＋1|，解得λ＝1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0.11．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为()A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0答案B解析因为PC 垂直平分AB ，故弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的公共弦，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0.12．(多选)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，则有()A ．公共弦AB 所在直线的方程为x －y ＝0B ．线段AB 中垂线的方程为x ＋y －1＝0C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为22＋1答案ABD解析对于A ，由圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ， 两式作差可得4x －4y ＝0，即公共弦AB 所在直线的方程为x －y ＝0，故A 正确；对于B ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，又k AB ＝1，则线段AB 中垂线的斜率为－1，即线段AB 中垂线的方程为y －0＝－1×(x －1)，整理可得x ＋y －1＝0，故B 正确；对于C ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，半径r ＝1，所以AB ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，故C 不正确； 对于D ，P 为圆O 1上一动点，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝22，半径r ＝1，即P 到直线AB 距离的最大值为22＋1，故D 正确．13．已知两圆C 1、C 2和x 轴正半轴、y 轴正半轴及直线x ＋y ＝2都相切，则两圆圆心的距离C 1C 2＝________.答案4解析因为两圆C 1，C 2和x 轴正半轴、y 轴正半轴及直线x ＋y ＝2都相切，所以两圆圆心都在直线y ＝x 上，设C 1(a ，a )，则圆C 1的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，设C 2(b ，b )，则圆C 2的方程为(x －b )2＋(y －b )2＝b 2，因为两圆均与直线x ＋y －2＝0相切，所以|a ＋a －2|2＝a ⇒(a －2)2＝2⇒a ＝2±2， 令a ＝2－2，则b ＝2＋2，所以两圆圆心的距离C 1C 2＝(b －a )2＋(b －a )2＝4.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1 : x 2＋y 2＝8与圆C 2 : x 2＋y 2＋2x ＋y －a ＝0相交于A ，B 两点．若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为________________．答案{}8，8－25，8＋25解析由题意知，直线AB 为2x ＋y ＋8－a ＝0， 当∠P AB ＝90°或∠PBA ＝90°时，设C 1到AB 的距离为d ，因为△ABP 为等腰直角三角形，所以d ＝12AB ，即d ＝8－d 2，所以d ＝2，所以|8－a |22＋12＝d ＝2，解得a ＝8±25；当∠APB ＝90°时，AB 经过圆心C 1，则8－a ＝0，即a ＝8.15．若点M ，N 在圆C 1：x 2＋y 2＝1上运动，且MN ＝3，点P (x 0，y 0)是圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋24＝0上一点，则|PM→＋PN →|的取值范围为________.答案[7,13]解析设圆C 1的半径为r ＝1，因为点M ，N 在圆C 1：x 2＋y 2＝1上运动，且MN ＝3，所以圆心C 1到线段MN 中点的距离为r 2－MN 24＝12，故线段MN 的中点H 在圆C 3：x 2＋y 2＝14上，而|PM →＋PN →|＝2|PH →|，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1.故C 2C 3－12－1≤PH ≤C 2C 3＋12＋1，即72≤PH ≤132，故|PM→＋PN →|＝2|PH →|∈[7,13]． 16．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0.(1)若直线l 1过定点A (1,1)，且与圆C 相切，求l 1的方程；(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x －y ＋2＝0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程． 解(1)圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， 所以圆C 的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线l 1的斜率不存在，即直线为x ＝1，符合题意． ②若直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为y －1＝k (x －1)． 即kx －y －k ＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，所以|3k－4－k＋1|k2＋1＝2，即|2k－3|k2＋1＝2，解得k＝512，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0.(2)依题意，设D(a，a＋2)．又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知CD＝5，∴(a－3)2＋(a＋2－4)2＝5，解得a＝－1或a＝6.∴D(－1,1)或D(6,8)，∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.。

高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5－4B．－1C．6－2D．【答案】A【解析】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径不变，圆的圆心坐标半径的最小值为连接圆与圆圆心，再减去两圆的半径因此的最小值【考点】圆与圆的位置关系．2.若圆与圆（）的公共弦长为，则_____.【答案】1【解析】因为圆与圆（）的公共弦所在的直线方程为：；又因为两圆的公共弦长为，所以有．【考点】圆与圆的位置关系．3.圆和圆的位置关系为．【答案】内切【解析】通过利用两点间的距离公式计算,寻找其与两圆的半径和,差的关系,判断可知,所以内切.【考点】两圆位置关系的判断.4.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程5.圆与圆的位置关系为（）A．两圆相交B．两圆相外切C．两圆相内切D．两圆相离【答案】A【解析】∵，，∴两圆的圆心距，所以两圆相交，故选A．【考点】圆与圆的位置关系．6.两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．3B．2C．0D．－1【答案】A【解析】由圆的知识可知公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，中点为代入直线得，【考点】圆与圆的位置关系点评：两圆相交时，两圆心的连心线是公共弦的垂直平分线7.圆: 与圆: 的位置关系是A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】∵的圆心为（-2，2）半径为1圆的圆心为（2，5）半径为4，∴，∴两圆外切，故选D【考点】本题考查了两圆的位置关系点评：通过两圆心的距离与半径和（差）的比较即可得到两圆的位置关系8.已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴两圆的公共弦所在直线方程为x+2y-1=0，【考点】本题考查了圆与圆的位置关系点评：两圆相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程9.两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（）A．x+y+3=0B．2x－y－5=0．C．3x－y－9=0．D．4x－3y+7=0【答案】C【解析】解：因为两圆的圆心为（2,3）（3,0），则由两点式可知连心线的方程为3x－y－9=0．选C10.（本题满分14分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.（1）求点的轨迹方程；（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.【答案】（1）点的轨迹方程是.（2）点的轨迹上不存在满足条件的点.【解析】本试题主要是考查了动点的轨迹方程的求解，以及满足动点到定点的距离差为定值的点是否存在的探索性问题的运用。