2.1数列的概念与简单表示法

§2.1数列的概念与简单表示法(二)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).预习教材P30－31完成下列问题：知识点一数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；＝a n，则{a n}为常数列.若a n＋1【预习评价】1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？提示还可以用列表法，图象法.2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？提示联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－52，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.4)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性.知识点二数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.【预习评价】1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1， ∴a 8＝29－1＝511.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.数列的通项公式与递推公式有什么区别？ 提示 不同点相同点通项公式 要根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项题型一 数列的函数特性【例1】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]. ∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.方向1 由递推公式写出数列的项【例2－1】 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项. 解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 方向2 由数列的递推公式求通项公式【例2－2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式. 解 ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，∴a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 方向3 构造数列法求通项公式【例2－3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ， ∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1， ∴a n ＝1n . 答案 1n规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1). (2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a na n －1＝ f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1).课堂达标1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ， a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列. 答案 A2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A.－1B.－12 C.12 D.1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1， ∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1. 答案 D4.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29， 同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1， ∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4. 答案 45.求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.课堂小结1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .基础过关1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－nD.3－n解析 a n ＋1－a n ＝－1，利用累加法可以求得a n ＝3－n .选D. 答案 D2.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.答案 C3.数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A.a 1，a 50 B.a 1，a 44 C.a 45，a 44D.a 45，a 50解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减， 当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 答案 C4.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 55.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 答案 1 0246.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解 由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *). 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n (n ∈N *).能力提升8.已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A.x 100＝－a ，S 100＝2b －aB.x 100＝－b ，S 100＝2b －aC.x 100＝－b ，S 100＝b －aD.x 100＝－a ，S 100＝b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 100＝x 4＝－a ，∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .答案 A9.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( ) A.16B.20C.33D.120解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴前6项之和为33.答案 C10.已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 010＝________，a 2 015＝________.解析 依题意，得a 2 010＝a 2×1 005＝a 1 005＝a 4×252－3＝1，a 2 015＝a 4×504－1＝0.答案 1 011.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ∈N *)，试归纳出这个数列的通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，所以可归纳出a n ＝1n . 答案 1n12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴故n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也适合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 13.(选做题)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，对数列f (n )(n ∈N *)，若f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，求f (2 016).解 f (3)＝f (2)－f (1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15＝lg 23，f (5)＝f (4)－f (3)＝lg 23－1＝lg 115，f (6)＝f (5)－f (4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝－1－lg 115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f (1)，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f (2).∴f (n )是周期为6的周期数列.∴f (2 016)＝f (336×6)＝f (6)＝－1.。

第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。

3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。

（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。

2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。

3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。

4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。

2.1数列的概念与简单表示法 第一课时一、学习目标：1、理解数列及数列的通项公式的相关概念，明白数列和函数之间的关系；2、对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、自学探究：阅读课本2830P P -页，完成下列问题：1. 数列及其有关概念：① 数列的概念：②数列的一般形式可以写成：③说出{}n a 与n a 的区别：④ 数列的分类：2. 数列的表示方法：① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，、、、；136,10，、、、；1,4,9,16，、、、.（数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：（作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：___________,___________,__________3、数列与函数之间的关系：4、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、、、思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？三、合作探究1、根据数列的前几项写出数列一个通项公式（1）2,5,8,11,14,---（2）4,0,4,0,4,0(4) (1)9,99,999,9999,(2)1,11,111,1111,(3)7,77,777,7777,⎧⎪⎨⎪⎩（5）1925,2,,8,,222（6）246810,,,,315356399--- 2、已知数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-。

（1）写出数列的第4项和第6项；（2）问-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？四、课堂检测：1、课本31页练习题4题2、课本33也A 组2题，3题，5题五、反思与小结六、课后作业根据数列的前几项写出数列一个通项公式（1）1,3,7,15,31,（2）0.9,0.99.0.999.0.9999,（3）222221324354,,,,;1357---- （4）414242,,,,,,5211717---。