2014年高考概率专项训练10道题

K 单元 概率K3 几何概型 14．、[2014·福建卷] 如图1­4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1­414.2e 2 [解析] 因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝e x的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛1eln x d x ＝2(x ln x －x)|e1＝2[(eln e －e )－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e2.7．[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D [解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝2×1×2＝4，则S四边形AOEC＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.14．[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图1­3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．14.23 [解析] 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 31－1＝83，故质点落在阴影区域的概率P ＝834＝23.K5 相互对立事件同时发生的概率 17．、[2014·安徽卷] 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解： 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋ 23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.17．、[2014·广东卷] 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：(1)确定样本频率分布表中1，2，1和2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．21．、、[2014·江西卷] 随机将1，2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2.记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C －表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C －)的大小关系，并说明理由．21．解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为：E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2. 又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k2k 种．所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2kC n2n.(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立， 那么，当n ＝m ＋1时， 左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k2k ＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4C m －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）·2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边，即当n ＝m ＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立． 18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1­4所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．18．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. X 的分布列为因为X ～B (3，0.6)＝0.72.20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.K6 离散型随机变量及其分布列 17．、[2014·安徽卷] 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解： 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋ 23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.16．、[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)16．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. (2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 相互独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.故P (C )＝P (AB )＋P (AB ) ＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.12．[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．12.12 [解析] 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12. 21．、、[2014·江西卷] 随机将1，2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2.记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C －表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C －)的大小关系，并说明理由．21．解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为：E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2. 又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k2k 种． 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2k C n2n.(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时， 左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k2k ＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4C m －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）·2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边，即当n ＝m ＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立． 18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1­4所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．18．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. X 的分布列为因为X ～B (3，0.6)＝0.72.18．，[2014·山东卷] 乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1­4所示，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．图1­418．解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15 ＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. (2)由事件的独立性和互斥性，得P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.所以数学期望E ξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.16．、、[2014·天津卷] 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960， 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)，随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.18．，[2014·重庆卷] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)18．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×42＋2×84＋3×12＝28.K7 条件概率与事件的独立性18．，[2014·山东卷] 乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1­4所示，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．图1­418．解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15 ＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. (2)由事件的独立性和互斥性，得P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.所以数学期望E ξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 9．、[2014·浙江卷] 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)9．A [解析] 方法一：不妨取m ＝n ＝3，此时，p 1＝36×22＋36×12＝34，p 2＝C 23C 26×33＋C 13C 13C 26×23＋C 23C 26×13＝23，则p 1>p 2；E (ξ1)＝1×36＋2×36＝32，E (ξ2)＝1×C 23C 26＋2×C 13C 13C 26＋3×C 23C 26＝2，则E (ξ1)<E (ξ2)．故选A.方法二：p 1＝m m ＋n ×22＋n m ＋n ×12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ×33＋C 1m C 1m C 2m ＋n ×23＋C 2n C 2m ＋n ×13＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n3（m ＋n ）（m ＋n －1），则p 1－p 2＝mn ＋n （n －1）6（m ＋n ）（m ＋n －1）>0；E (ξ1)＝1×n m ＋n ＋2×m m ＋n ＝2m ＋nm ＋n ，E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3×C 2mC 2m ＋n＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n（m ＋n ）（m ＋n －1），E (ξ1)－E (ξ2)＝－m 2＋m －mn（m ＋n ）（m ＋n －1）<0，故选A.12．[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．12.25[解析] 设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝15， 所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.K9 单元综合21．、、[2014·江西卷] 随机将1，2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2.记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C －表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C －)的大小关系，并说明理由．21．解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为：E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2. 又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k2k 种． 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2kC n2n.(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立， 那么，当n ＝m ＋1时， 左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k2k ＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4C m －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）·2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边，即当n ＝m ＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立．。

2014高考概率与统计汇编1. （辽宁）正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 2比3 .2.（新课标二 5.）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45 【答案】 A.,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=3.（湖北）由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ D ） A.81 B.41 C. 43 D.87 4.（福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为__22e ____. 5.（广东11）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为6.（湖北）根据如下样本数据x 3 4 56 7 8y4.02.55.0-0.50.2- 0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a7.（湖北）由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）8.（陕西）.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则（A ）A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10. （江苏） 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ .11. （辽宁）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .解：（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.7212.（福建）（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想。

2014年广东省高考大题训练（二） 统计与概率（附答案及评分标准）1．（本小题满分13分）某校高三年级在5月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：[)0,400[)400,480 [)480,550 [)550,750文科考生 67 35196理科考生53x yz已知用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名． （1）求z 的值；（2）右图是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名 考生的语文成绩的方差；（3）已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为1：2，不低于400分 的文科理科考生人数之比为2：5，求y x 、的值．解：（1）依题意2526z-=，∴9z =…………………………………………………………………………3分 （2）1111201251281321341256x +++++== ……………………………………………………5分 ∴这6名考生的语文成绩的方差()()()()()()222222211111251201251251251281251321251341256s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-⎣⎦22222211450379606⎡⎤=⨯+++++=⎣⎦………………………………………………………8分 （3）依题意196192y +=+，35196295x y ++=++ ……………………………………………………………11分 解得41,100==y x ………………………………………………………………………………13分24 0 58113 12 112．（本小题满分12分）某完全中学高中部共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级 高二年级 高三年级女生 373xy 男生 377370z已知在全校高中学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，求在高三年级抽取的人数； （3）已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．解：（1）∵19.02000=x，∴380=x ． ……………………………………………………………………2分 （2）高三年级人数为500)370380377373(2000=+++-=+z y ， ……………………………4分∴应在高三年级抽取的人数为：12500200048=⨯名； …………………………………………6分 （3）高三年级女生男生数记为),(z y ，由（2）知500=+z y ，且N z y ∈,，则所有的基本事件有：（245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），（250，250），（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个；…………8分设高三年级女生比男生多的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254，246)、(255，245) 共5个． …………10分 ∴115)(=A P ，即高三年级中女生比男生多的概率为115．……………………………………12分3．（本小题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得 到如下的列联表．优秀 非优秀总计 甲班 10 乙班 30 合计105已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27． （1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先 后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率． 解：（1）表格如下：……………………………………………………………………………………………3分优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计3075105（2）根据列联表中的数据，得到2105(10302045) 6.109 3.84155503075k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯． ………………5分 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． ……………………………………………………7分 （3）设“抽到6或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为),(y x ．………8分 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36个．……………………10分 事件A 包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）、（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个．……12分 82()369P A ∴==，即抽到6或10号的概率为92．……………………………………………14分4．（本小题满分14分）甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：（1）设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）（列举：略）等可能的结果，故5()36P A=．………………………………………………………………………………………6分（2）这种游戏规则是公平的．……………………………………………………………………………7分设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件有18个：(1,1),(1,3), (1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)．…11分所以甲胜的概率181()362P B==，乙胜的概率11()122P C=-=＝()P B．…………………13分所以这种游戏规则是公平的．……………………………………………………………………14分5．（本小题满分13分）某学校对学生的考试成绩作抽样调查，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中［70,80）对应的数值被污损，记为x ．（1）求x 的值；（2）记[90,100]为A 组，[80,90)为B 组，[70,80)为C 组，用分层抽样的办法从[90,100]，[80,90)，[70,80) 三个分数段的学生中抽出6人参加比赛，从中任选3人为正选队员，求正选队员中有A 组学生的概率．解：（1）()0.0130.022101x ⨯+⨯+⨯=．0.03x ∴=．…………………………………………………………………………………………5分 （2）设从[]90,100分数段的学生中抽出m 人，依题意：236m m m ++=，1m ∴=．………………………………………………………………………7分 记从[]90,100中抽出的学生为a ，从[]80,90中抽出的学生为,b c ，从[]70,80中抽出的学生为 ,,d e f ，从6人中选出3人共有,,,,,,,,,,,,,bcf bce bcd aef adf ade acf ace acd abf abe abd abc def cef cdf cde bef bdf bde ,,,,,,共20种． ………………………………………………………9分有a 的共10种．……………………………………………………………………………………11分 ∴=P 101202=，即正选队员中有A 组学生的概率为21．………………………………………13分6．（本小题满分12分）对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了100人，其中女性60人，男性40人．女性中有38人主要的休闲方式是看电视，另外22人主要的休闲方式是运动；男性中有15人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．参考数据：60×40×53×47=5978400，620×620=384400，384400÷59784≈6.4298．2()P K k>0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.6357.87910.83解：（1）2×2列联表如下：…………………………………………………………………………………6分休闲方式性别看电视运动总计女382260男152540总计5347100（2）假设“休闲方式与性别无关”．由表中数据计算得，2100(38252215)6.43060405347k⨯-⨯=≈⨯⨯⨯……10分因为k≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．…………………………………………………12分7．（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 合计242650（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？ （2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？ 并说明理由．附：独立性检验的随机变量2K 的计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K 临界值参考表如下：20()P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由表可知，积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==．…………………………………………5分 （2）假设“学生的学习积极性与对待班级工作的态度没有关系”．由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………10分∵001.0)828.10(2=≥K P ，∴有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系， 即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作． ……………………………12分图3625x 0611y 11988967乙甲8．（本小题满分14分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分 是85， 乙班学生成绩的中位数是83． （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n +++=．解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=．…………………1分∴5x =． …………………………………………………………………………………………… 2分 ∵乙班学生成绩的中位数是83，∴3y =．……………………………………………………… 3分 （2）甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=．………………………… 6分 （3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ，………………………………………… 7分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E ． …………………………………… 5分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E ．………………………………………10分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()(),,,,,,,A E B C B D B E ． …………………………………………………………………………………………………12分 记“甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =， 即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710． … 14分9．（本小题满分12分）为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：（单位：人）社团 相关人数 抽取人数模拟联合国 24 a街舞 183 动漫 b4话剧12c（1）求a ，b ，c 的值；（2）若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团 的概率．解：（1）由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2．……………………………………………3分（2）设“动漫”4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件 为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个． …………………6分记事件A =｛2人分别来自这两个社团｝，则事件A 包括的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2， B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个．…………………………8分 ∴ )(A P 815．………………………………………………………………………………………10分 即这2人分别来自这两个社团的概率为815． ……………………………………………………12分。

2014年全国各地高考试题分类汇编(理数概率与统计(解答题(2014安徽理数 17. (本小题满分 12分甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 23,乙获胜的概率为 13,各局比赛结果相互独立. (1求甲在 4局以内(含 4局赢得比赛的概率;(2记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望.解:用 A 表示“ 甲在 4局以内 (含 4局赢得比赛” , k A 表示“第 k 局甲获胜” , k B 表示“ 第 k 局乙获胜” 则 (23k P A =, (13k P B =, 1,2,3,4,5. k = (1 ((((121231234P A P A A P B A A P AB A A =++ (((((((((121231234P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++ 2222122125633333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 X 的可能取值为 2,3,4,5. (((((((12121212529P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=, (((((((((123123123123239P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=, (((123412344P X P AB A A P B A B B ==+((((((((123412341081 P A P B P A P A P B P A P B P B =+=, ((((85123481P X P X P X P X ==-=-=-==, 故 X 分布列为52108234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2014北京理数 16:(1从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.(2从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 6. 0,一场不超过 6. 0的概率.(3记 x 是表中 10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这比赛中的命中次数,比较 EX 与 x 的大小. (只需写出结论解:(1 根据投篮统计数据, 在 10场比赛中, 李明投篮命中率 0.6的场次有 5场, 分别是主场 2, 主场 3, 主场 5, 客场 2,客场 4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6的概率是 0.5.(2设事件 A 为“ 在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6” ,事件 B 为“ 在随机选择的一场客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6” ,事情 C 为“ 在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过0.6” .则 C =, A , B 独立.根据投篮统计数据, (35P A =, (25P B =. (((P C P P =+332213555525=⨯+⨯=. 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6的概率为1325. (3 EX =.(2014大纲理数 20. (本小题满分 12分设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为 0.6, 0.5, 0.5, 0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1求同一工作日至少 3人需使用设备的概率; (2 X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.解:记 i A 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备, 0,1, 2, i =, B 表示事件:甲需使用设备, C 表示事件:定需使用设备, D 表示事件:同一工作日至少 3人需使用设备.(1 122D A B C A B A B C=⋅⋅+⋅+⋅⋅, (0.6P B =, (0.4P C =, (122C 0.5i P A =⨯, 0,1, 2, i = 所以 ((((12212P D P A B C A B A B C P A B C P A B =⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+(2P A B C ⋅⋅=((((((((1220.31P A P B P C P A P B P A P B P C ++=.(2 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4,则 (((((((200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=,((0011P X P B A C B A C B A C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅(((((((((001P B P A P C P B P A P C P B P A P C =++((((2220.60.510.410.60.50.410.620.510.4=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-0.25=, (((((22240.50.60.40.06P X P A B C P A P B P C ==⋅⋅==⨯⨯=, (((340.25P X P D P X ==-==,(((((210134P X P X P X P X P X ==-=-=-=-=10.060.250.250.06=----=0.38,数学期望 ((((00112233EX P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+(440.2520.3830.2540.062P X ⨯==+⨯+⨯+⨯=.(2014福建理数 18. (本小题满分 13分为回馈顾客, 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000位顾客进行奖励, 规定:每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球, 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1若袋中所装的 4个球中有 1个所标的面值为 50元,其余 3个均为 10元,求: ①顾客所获的奖励额为 60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2商场对奖励总额的预算是 60000元,并规定袋中的 4个球只能由标有面值 10元和 50元的两种球组成,或标有面值 20元和 40元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 解:(1设顾客所获的奖励额为 X .(i 依题意,得 (111324C C 160C 2P X ===,即顾客所获的奖励额为 60元的概率为 12. (ii 依题意,得 X 的所有可能取值为 20, 60. (1602P X ==, (2324C 120C 2P X ===, 即 X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为 (200.5600.540EX =⨯+⨯=(元. (2 根据商场的预算, 每个顾客的平均奖励额为 60元. 所以, 先寻找期望为 60元的可能方案. 对于面值由 10元和 50元组成的情况,如果选择 (10,10,10,50的方案,因为 60元是面值之和的最大值,所有期望不可能为 60元;如果选择 (50,50,50,10的方案,因为 60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60元,因此可能的方案是 (10,10,50,50,记为方案 1.对于面值由 20元和 40元组成的情况,同理可排除 (20,20,20,40和(40,40,40,20的方案,所以可能的方案是 (20,20,40,40,记为方案 2. 以下是对两个方案的分析:对于方案 1,即方案 (10,10,50,50,设顾客所获得奖励额为 1X , 则 1X 的分布列为 1X 的期望为 (1121206010060636E X =⨯+⨯+⨯=, 1X 的方差为 ((((21121160020606060100606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=. 对于方案 2,即方案 (20,20,40,40,设顾客所获得奖励额为 2X , 则 2X 的分布列为 2X 的期望为 (212140608060636E X =⨯+⨯+⨯=, 2X 的方差为 ((((22221214004060606080606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2奖励额的方差比方案 1的小,所以应该选择方案 2. 注:第(2问,给出方案 1或方案 2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给 3分; 进一步比较方差,说明应选择方案 2,再给 2分. (2014广东理数 17. (13分随机观测生产某种零件的某工厂 25名工人的日加工零件数(单位:件 ,获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:(1 确定样本频率分布表中 121, , n n f 和 2f 的值; (2根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4人,至少有 1人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率. 解:(1 17n =, 22n =, 10.28f =, 20.08f =. (2样本频率分布直方图如图所示(3根据样本频率分布直方图,得每人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率为0.2, 设所取的 4人中,日加工零件数落在区间 (]30,35的人数为ξ, 则(4,0.2B ξ, (((4110110.210.40960.5904P P ξξ=-==--=-=… ,所以 4人中,至少有 1人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率约为 0.5904.(2014湖北理数 20. (本小题满分 12分计划在某水库建一座至多安装 3台发电机的水电站,过去 50年的水文资料显示, 水库年入流量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和, 单位:亿立方米都在 40以上. 其中,不足 80的年份有 10年,不低于 80且不超过 120的年份有 35年,超过 120的年份有 5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1求未来 4年中,至多 1年的年入流量超过 120的概率;(2X若某台发电机运行,则该台年利润为万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解:(1依题意, (11040800.250p P X =<<==, (235801200.750p P X ===剟 , (351200.150p P X =>==.由二项分布,在未来 4年中至多有 1年的年入流量超过 120的概率为((43430143433991C 1C 140.9477101010p p p p ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2记水电站年总利润为 Y (单位:万元①安装 1台发电机的情形. 由于水库年人流量总大于 40, 故一台发电机运行的概率为 1, 对应得年利润 5000Y =,(500015000E Y =⨯=.0000②安装 2台发电机的情形.依题意,当 4080X <<时,一台发电机运行,此时50008004200Y =-=,因此 ((1420040800.2P Y P X p ==<<==;当80X … 时,两台发电机运行, 此时 5000210000Y =⨯=, 因此 ((2310000800.8P Y P X p p===+=… ; 由此得 Y 的分布列如下: 所以, (42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=.③安装 3台发电机的情形.依题意,当 4080X <<时,一台发电机运行,此时500016003400Y =-=,因此((1340040800.2P Y P X p ==<<==; 当 80120X 剟时, 两台发电机运行, 此时500028009200Y =⨯-=,因此 ((29200801200.7P Y P Xp ====剟 ;当 120X >时,三台发电机运行,此时 5000315000Y =⨯=,因此 ((3150001200.1PY P X p ==>==,由此得 Y 的分部列如下: 所以, (34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯=.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2台.(2014湖南理数 17. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和 35,现安排甲组研发新产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1求至少有一种新产品研发成功的概率;(2若新产品 A 研发成功,预计企业可获得 120万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获得利润 100万元, 求该企业可获得利润的分布列和数学期望.解:记 E ={甲组研发新产品成功 }, F ={乙组研发新产品成功 },由题设知 (23P E =, (13P E =, (35P F =, (25P F =,且事件 E 与 F , E 与 F , E 与 F , E 与 F 都相互独立. (1记 H ={至少有一种新产品研发成功 },则 H EF =,于是 (((1223515P H P E P F ==⨯=, 故所求的概率为 ((213111515P H P H =-=-=. (2设企业可或利润为 X (万元 ,则 X 的可能取值为 0, 100, 120, 220,因为 ((12203515P X P EF ===⨯=, ((1331003515P X P EF ===⨯=,((2241203515P X P EF ===⨯=, ((236220P X P EF ===⨯=.故所求的分布列为数学期望为 (2321000100120220140151515151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯===. (2014江苏 22. (本小题满分 10 分盒中共有 9个球,其中有 4个红球、 3个黄球和 2个绿球, 这些球除颜色外完全相同. (1从盒中一次随机取出 2个球, 求取出的 2个球颜色相同的概率 P ;(2 从盒中一次随机取出 4个球, 其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 1x , 2x , 3x , 随机变量 X 表示 1x ,2x , 3x 中的最大数. 求 X 的概率分布和数学期望 (E X .解:(1取到的 2个颜色相同的球可能是2个红球、 2个黄球或 2个绿球,所以 22243229C C C 6315C 3618P ++++===. (2随机变量 X 所有可能取值为 2, 3, 4. {}4X =表示的随机事件是“ 取到的 4个球是 4个红球” , 故 (((1311121341P X P X P X ==-=-==--=.所以随机变量 X 的概率分布如下表: 因此随机变量 X 的数学期望(1123414631269E X =⨯+⨯+⨯=.(2014江西理数 21. (本小题满分 14分随机将 (1, 2, , 2, 2n n n *⋅⋅⋅∈N …这 2n 个连续正整数分成 , A B 两组, 每组 n 个数, A 组最小数为 1a ,最大数为2a ; B 组最小数为 1b ,最大数为 2b ,记21a a ξ=-, 21b b η=-. (1当 3n =时,求ξ的分布列和数学期望;(2令 C 表示事件“ ξ与η的取值恰好相等” ,求事件 C 发生的概率 (P C ;(3对(2中的事件 C , C 表示 C 的对立事件,判断 (P C 和 (P 的大小关系,并说明理由.解:(1当 3n =时, ξ的所有可能取值为 2, 3, 4, 5.将 6个正整数平均分成 A, B 两组,不同的分组方法共有 36C 20=种,所以ξ的分布列为1331723455101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.(2 ξ和η恰好相等的所有可能取值为 1n -, n , 1n +, … , 22n -.又ξ和η恰好相等且等于 1n -时,不同的分组方法有 2种; ξ和η恰好相等且等于 ((1,2,23n k k n n +=-… 时,不同的分组方法有 22C k k 种,所以当 2n =时, (4263P C ==,当3n … 时, (221222C C n k k k n nP C -=⎛⎫+ ⎪=∑.(3由(2知当 2n =时, (13P C =,因此 ((P C P C >,而当3n … 时, ((P C P C <.理由入下:((P C P C <等价于 222142C C n k nk n k -=⎛⎫+< ⎪⎝⎭∑.①用数学归纳法来证明:1当 3n =时,①式左边 ((1242C 42216=⨯+=⨯+=,①式右边 36C 20==,所以①式成立.2假设(3n m m =… 时①式成立,即 222142C C m k m k m k -=⎛⎫+< ⎪⎝⎭∑成立,那么,当1n m =+时, 左边 ((1221122221211142C 42C 4C C 4C m m k k m m m k k m m m k k +------==⎛⎫⎛⎫=+=++<+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑((2! 422! ! ! 1! 1! m m m m m m ⋅-+=--((((21222! 411! 1!m m m m m m +--<++ (((((((21121211222! 421C C 1! 1! 2121m m m m m m m m m m m m m m +++++-+=⋅<=+++-右边,即当 1n m =+时①式也成立. 综合 1, 2得,对于3n … 的所有正整数,都有 ((P C P C <成立.(2014辽宁理数 18. (本小题满分 12分一家面包房根据以往某面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1求在未来连续 3天里,有连续 2天的日销售量都不低于 100个且另一天的日销售量低于 50个的概率; (2 用 X 表示在未来 3天里日销售量不低于 100个的天数, 求随机变量 X 的分布列, 期望 (E X 及方差 (D X .解:(1设 1A 表示事件“ 日销售量不低于 100个” , 2A 表示事件“ 日销售量低于50个” , B 表示事件“ 在未来连续 3天里有连续 2天日销售量不低于 100个且另一天销售量低于 50个” .因此 ((10.0060.0040.002500.6P A =++⨯=, (20.003500.15P A =⨯=,(0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.(2可能取的值为 0, 1, 2, 3,相应的概率为 ((303010.60.064P X C ==⋅-=,((21310.610.60.288P X C ==⋅-=, ((22320.610.60.432P X C ==⋅-=, (33330.60.216P X C ==⋅=.分布列为因为 (3,0.6XB ,所以期望 (30.61.8E X =⨯=,方差 ((30.610.60.72D X =⨯⨯-=.(2014山东理数 18. (本小题满分 12分乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 , A B ,乙被划分为两个不相交的区域 , C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3分,在D 上记 1分,其他情况记 0分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为12,在 D 上的概率为 13;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 15,在 D 上日销售量 /个的概率为35.假设共有两次来球且落在 , A B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (1小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解:(1记 1A 为事件“ 小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分” (0,1,3i =, 则(312P A =, (113P A =, (01111236P A =--=;记 i B 为事件“ 小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分” (0,1,3i =,则 (315P B =, (135P B =, (01311555P B =--=.记 D 为事件“ 小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上” .由题意, 30100103D A B A B A B A B =+++,由事件的独立性和互斥性,((((((3010010330100103P D P A B A B A B A B P A B P A B P A B P A B=+++=+++= ((((((((30100103P A P B P A P B P A P B P A P B +++=1111131132535656510⨯+⨯+⨯+⨯= 所以小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上的概率为 310.(2由题意,随机变量ξ可能的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 6,由事件的独立性和互斥, 得((0011106530P P A B ξ===⨯=, ((((1001100111131135656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,((111312355P P A B ξ===⨯=, ((((30033003111123255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,((((311331131311114253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=, ((33111 62510P P A B ξ===⨯=.可得随机变量ξ的分布列为:所以数学期望 111211191012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2014陕西理数 19. (本小题满分 12分在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1设 X 表示在这块地上种植 1季此作物的利润,求 X 的分布列;(2若在这块地上连续 3季种植此作物,求这 3季中至少有 2季的利润不少于2000元的概率. 解:(1设 A 表示事件“ 作物产量为300kg ” B表示事件“ 作物市场价格为 6元∕ kg ” ,由题设知 (0.5P A =, (0.4P B =,因为利润 =产量⨯市场价格 -成本,所以 X 所有可能的取值为 5001010004000⨯-=, 500610002000⨯-=, 3001010002000⨯-=, 30061000800⨯-=. (((((400010.510.40.3P X P A P B ===-⨯-=,(((((((200010.50.40.510.40.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=,(((8000.50.40.2P X P A P B ===⨯=,所以 X 的分布列为(2设 i C 表示事件“ 第 i 季利润不少于 2000元” ,由题意知 1C , 2C , 3C 相互独立, 由(1知, ((((1400020000.30.50.81,2,3P C P X P X i ==+==+==, 3季的利润均不少于 2000元的概率为 ((((31231230.80.512C C C P C P C P C ===;3季中有 2季利润均不少于 2000元的概率为 (((212312312330.80.20.384P C C C P C C C P C C C ++=⨯⨯=,所以,这 3季中至少有 2季的利润不少于 2000元的概率为 0.5120.3840.896+=.(2014四川理数 17. 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐, 要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得 20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除 200分(即获得 200-分 .设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解:(1 X 可能的取值为 10, 20, 100, 200-.根据题意,有 (121311310C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(212311320C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, (3033111100C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(0303111200C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以 X 的分布列为(2设“ 第 i 盘游戏没有出现音乐” 为事件 (1,2,3i A i =,则 ((((2312008 i P A P A P A P X ====-=. 所以, “ 三盘游戏中至少有一次出现音乐” 的概率为 (3 23115111118512512i P A A A ⎛⎫-=-=-=⎪⎝⎭. 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3 X 的数学期望为 33115102010020088884EX =⨯+⨯+⨯-⨯=-.这表明,获得分数 X 的均值为负. 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.(2014天津理数 16. (本小题满分 13分某大学志愿者协会有 6名男同学, 4名女同学. 在这 10名同学中,3名同学来自数学学院,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的 7个学院. 现从这 10名同学中随机选取 3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同 . (1求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率;(2设 X 为选出的 3名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解:(1设“ 选出的 3名同学是来自互不相同的学院” 为事件 A ,则(120337373104960C C C C P A C ⋅+⋅==.所以选出的 3名同学是来自互不相同的学院的概率为 4960. (2随机变量 X 的所以可能值为 0, 1, 2, 3. ((3463100,1,2,3K kC C P X k k C -===.所以随机变量 X 的分布列是随机变量 X 的数学期望(1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2014新课标 1理数 18. (本小题满分 12分从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1求这 500件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 2s (同一组数据用该区间的中点值作代表 ; (2由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2(, N μδ,其中μ近似为样本平均数 x , 2δ近似为样本方差 2s . (i 利用该正态分布,求 (187.8212.2 P Z <<;(ii 某用户从该企业购买了 100件这种产品, 记 X 表示这 100件产品中质量指标值为于区间 2. 212, 8. 187(的产品件数,利用(i 的结果,求 EX .. 2.若 Z ~2(, N μδ,则( P Z μδμδ-<<+=0. 6826, (22 P Z μδμδ-<<+=0. 9544.解:(1抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差 2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+2300.02200⨯=(((((222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+(2300.02150⨯=(2 (ⅰ由 (1 知 Z(200,150N , 从而 (187.8212.2 P Z <<=(20012.220012.2 0.6826P Z -<<+=(ⅱ由(ⅰ知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2的概率为 0.6826依题意知(100,0.6826XB ,所以 1000.682668.26EX =⨯=（2014 新课标 2 理数）19．（本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y （单位：千元）的数据如下表：年份年份代号 t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 （1）求y 关于 t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： bt t y y i 1 i i n t t i 1 i n 2 ˆ．ˆ y bt ，a 解：7 4 ， 7 1 y（1）由所给数据计算得 t 1 2 3 4 5 6， ti t 7 i 1 1 72.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.3， t i 1 7 i t yi y =2 9 4 1 0 1 4 9 283 1.4 2 1 1 0.7 +0 0.1+1 0.5+2 0.9+3 1.6 =14 ， t yi y i ˆ b t i 1 7 i t i 1 7，所求回归方程为y ˆ 0.5t 2.3 ．ˆ yt 2 14 ˆ 4.3 0.5 4 2.3bt 0.5 ，a 28 ˆ 0.5 0 ，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 （2）由（1）知，b ˆ 0.5 9 2.3 6.8 千元，故预测该地区 2015 年千元．将 2015 年的年份代号 t 9 代入（I）中的回归方程，得 y 农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．（2014 重庆理数）18．（本小题满分 13 分）一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是1 ， 3 张卡片上的数字是2 ， 2 张卡片上的数字是3 ，从盒中任取 3 张卡片．（1）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； b c，（2） X 表示所取 3张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望（注：若三个数 a, b, c 满足 a剟则称 b 为这三个数的中位数）．解：（1）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P 3 C3 5 4 C3 ． 3 C9 84 （2） X 的所有可能值为 1，2，3，且 P X 1 1 C2 1 2 C7 ，故 X 的分布列为 3 C9 12 1 3 1 1 2 1 3 C2 C1 17 434C5 C4 3C4 C2 C3 C6 C3 ，， P X 2 3 3 C9 42 C9 84 P X 3 X P 1 2 3 从而 E X 1 17 43 1 47 2 3 ． 42 84 12 28 11 17 42 43 84 1 1212。

2014年全国各地高考题————概率统计专题1．[2014·重庆卷] 某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为() A．100 B．150C．200 D．2502．[2014·湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．3．[2014·湖南卷] 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则() A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p34．[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本5．[2014·天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．6．[2014·天津卷] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．7．[2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）8．[2014·北京卷] 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图1-6)．组号分组频数1[0，2) 62[2，4)83[4，6)174[6，8)225[8，10)256[10，12)12图1-6(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；9．[2014·广东卷] 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．2010．[2014·江苏卷] 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有____株树木的底部周长小于100 cm.11．[2014·山东卷] 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，图是根据试验数据制成的频率分布直方图，7 [12，14) 6 8 [14，16) 2 9 [16，18) 2 合计100已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．1812．[2014·山东卷] 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C 数量50150100(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量； (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．13．[2014·陕西卷] 某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 214．[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．15．[2014·湖北卷] 根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞016．[2014·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.63517.[2014·广东卷] 某车间20名工人年龄数据如下表： (1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄 的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．18．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．19．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．20．[2014·浙江卷] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．年龄(岁) 工人数(人)19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计2021．[2014·四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．22．[2014·广东卷] 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．23．[2014·湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3 C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p224．[2014·江苏卷] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．25．[2014·江西卷] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.118 B.19 C.16 D.11226．[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A.15 B.25 C.35 D.4527．[2014·福建卷] 如图1-5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图1-528．[2014·湖南卷] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45 B.35 C.25 D.1529．[2014·辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图1-1所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )图1-1A.π2B.π4C.π6D.π830．[2014·重庆卷] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)4．如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆,它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ）A ．34 B ．334 C ．34π D ．334π5．O 为边长为6的等边三角形内心,P 是三角形内任一点， 使得OP<3的概率是( ). A ．123 B ．93 C ．123π D ．93π 6、有五根细木棒,长度分别为1,3,5,7,9(cm).从中任取三根,能搭成三角形的概率是( ) A.203 B.52 C.51 D.10310．先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( )A.81B. 83C. 85D. 87 11、假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x 1 2 4 5 y11.55.58若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，则y 与x 的线性回归方程y=bx+a 必过的点是( ) A ．(2，2) B ．(1，2) C ．(3，4) D ．(4，5)（第10题图）12.函数[]2()255f x x x x =--∈-，，，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）.15．为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：则表中的=m ，=a 。

概率与统计一、选择填空题1.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课 外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为【 】(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时 【答案】B 。

【考点】频数分布直方图，加权平均数。

【分析】根据样本的条形图可知，将所有人的学习时间进行求和，再除以总人数即可：50200.510 1.010 1.55 2.0450.95050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（小时）。

故选B 。

2.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩 具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是【 】 (A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216 【答案】D 。

【考点】等可能事件的概率，互斥事件与对立事件。

【分析】求出基本事件总数和3次均不出现6点向上的掷法的总数，结合互斥事件的概率的关系可求得答案：质地均匀的骰子先后抛掷3次，共有6×6×6种结果，3次均不出现6点向上的掷法有5×5×5种结果。

由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的，所以不出现6点向上的概率为555125 666216⨯⨯=⨯⨯。

由对立事件概率公式，知3次至少出现一次6点向上的概率是125911216216-=。

故选D 。

3.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 【】A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.9 【答案】D 。

【考点】平均数，方差。

【分析】利用平均数、方差公式直接计算即可：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7， 其平均值为15（9.4+9.4+9.6+9.4+9.7）=9.5； 方差为15[（9.4－9.5）2+（9.4－9.5）2+（9.6－9.5）2+（9.4－9.5）2+（9.7－9.5）2]=0.016。

2014概率大题1. 【2014高考安徽卷】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.2.【2014高考大纲理】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.3.【2014高考福建】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;4. 【2014高考湖南】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.5. 【2014高考江苏】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X .6. 【2014高考陕西】在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列； （2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.7.【2014高考天津】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．8.【2014高考重庆】 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.。

2014高考考点突破之概率解答题专练1、某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽 样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中 分数在[]90,100范围内的样本数据有（ ）A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个【答案：B 】2、有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（ ）A ．16 B ．13 C ．12 D ．38【答案：C 】3、如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点 构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为 ． 【答案：12】 4、空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代 表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示． （1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良 的天数，求X 的分布列及数学期望．解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天． …………………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分3 2 045 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9 图5图1（2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，………………………………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===，……………………………………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===．…………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：所以数学期望3212211730=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………………………12分5、甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率 是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立． （1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值．解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ， 由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． （2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=． ……………………10分a 图3重量/克0.0320.02452515O 所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=． 所以ξ的分布列为所以1963713252525E ξ=⨯+⨯=．6、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们 的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.（1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++.）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解：(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）7、某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[75，80)，第二组[80，85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试． ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； ②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第四组中有ξ名学生被考官D 面试，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）第三组的频率为0.06⨯5=0.3，第四组的频率为0.04⨯5=0.2，第五组的频率为0.02⨯5=0.1.（2）由题意知，在第三、四、五组中分别抽取了3，2，1名学生进入第二轮面试，第三组中共有303.0100=⨯名学生.①设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件A ，则1145为所求. ②0,1,2ξ=，且()520262402＝＝＝C C C P ξ，()1581261412＝＝＝C C C P ξ，()151226422＝＝＝C C C P ξ.所以ξ的分布列为：数学期望为3215121581520＝＝⨯+⨯+⨯ξE .75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.028、右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （1）求直方图中x 的值；（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望． 解：（1）依题意得，0.370.390.10.021x ++++=，解得0.12x =. （2）依题意得，~(3,0.1)X B ，因此33(0)0.90.729P X C ==⨯=， 123(1)0.10.90.243P X C ==⨯⨯=，223(2)0.10.90.027P X C ==⨯⨯=，333(3)0.10.001P X C ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为：X 的数学期望为30.10.3EX np ==⨯=.9、生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现（1）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下．①求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；②记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件A 有80件，元件B 有75件.所以元件A 、B 为正品的频率分别为5410080=，4310075=. 根据频率可估计元件A 、B 为正品的概率分别为45，34.（2）①设生产的5件元件中正品件数为x ，则有次品5x -件， 由题意知10020(5)300x x --≥，得310≥x ，即45x =或．设“生产5件元件B 所获得的利润不少于300元”为事件C ，则12881434143)(555445=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C C P 为所求． ②随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30，则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=， 411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=．所以XX 的数学期望为EX 150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=.10、电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望EX 和方差DX .2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.） 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有100(0.20.05)25⨯+=人，从而22⨯列假设0H ：“体育迷”与性别没有关系. 将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得222()100(30101545)1003.030()()()()4555752533n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯.当0H 成立时，2( 3.841)0.05P K ≥≈.因为3.030 3.841<，所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意知，1~(3,)4X B . 所以X1344EX np ==⨯=，(1)34416DX np p =-=⨯⨯=.。

2014年高考概率分布列1.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。

2.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。

已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望。

3.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：(1)求a的值和ξ的数学期望；（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

4.我省面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。

某公司组织了一个有36名游客的旅游团到我省旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。

在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。

（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ。

5.某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。

根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率。

6.某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为31。

该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。

解答题专项训练(概率与统计)1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;(3)求比赛局数的分布列.2.为了在某次比赛中取得好成绩,某代表队已组织了多次比赛演练.某次演练中,该队共派出甲、乙、丙、丁、戊五位选手进行100米短跑比赛,这五位选手需通过抽签方式决定所占的跑道.(1)求甲、乙两位选手恰好分别占据1,2跑道的概率;(2)若甲、乙两位选手之间间隔的人数记为X,求X的分布列和数学期望.3.我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准a,用水量不超过a的部分按照平价收费,超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位:t),制作了频率分布直方图.(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整;(2)用样本估计总体,如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准a,则月均用水量的最低标准定为多少吨,并说明理由;(3)若将频率视为概率,现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样),其中月均用水量不超过(2)中最低标准的人数为X,求X的分布列和均值.4.某品牌的汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示:已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款,其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的a,b值;(2)若以频率作为概率,求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用3期付款”的概率P(A);(3)求η的分布列及数学期望E(η).5.现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.(1)求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率;(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).6.某商店试销某种商品20天,试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货.若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货.将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.7.省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员.现将这两所体校中的20名备选学生的身高绘制成如下茎叶图(单位:cm):若身高在180 cm以上(包括180 cm)定义为“高个子”,身高在180 cm以下(不包括180 cm)定义为“非高个子”.(1)用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,如果从这5人中随机选2人,那么至少有一个是“高个子”的概率是多少?(2)若从所有“高个子”中随机选3名队员,用ξ表示乙校中选出的“高个子”人数,试求出ξ的分布列和数学期望.8.为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革,郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛,共有200名学生参加,为了解成绩情况,从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题:(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本,现将所有学生随机地编号为000,001,002,…,199,试写出第二组第一位学生的编号;(2)求出a,b,c,d,e的值(直接写出结果),并作出频率分布直方图;(3)若成绩在95.5分以上的学生为一等奖,现在,从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛,某班共有3名同学荣获一等奖,若该班同学参加决赛人数记为X,求X的分布列和数学期望.##1.解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A,则P(A)=··.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.因为乙以4比2获胜的概率为P1=··,乙以4比3获胜的概率为P2=··,所以P(B)=P1+P2=.(3)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7.P(X=4)=2,P(X=5)=2··,P(X=6)=2··,P(X=7)=2··.比赛局数的分布列为:2.解:(1)设“甲、乙两位选手恰好分别占据1,2跑道”为事件A,则P(A)=.所以,甲、乙两位选手恰好分别占据1、2跑道的概率为.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=.随机变量X的分布列为:因为E(X)=0×+1×+2×+3×=1,所以随机变量X的数学期望为1.3.解:(1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位,占样本总体的20%,由样本估计总体,要保证80%的居民每月的用水量不超出标准,月均用水量的最低标准应定为2.5吨.(3)依题意可知,居民月均用水量不超过(2)中最低标准的概率是,则X~B,P(X=0)=,P(X=1)=·,P(X=2)=·,P(X=3)=.X的分布列为:E(X)=3×.4.解:(1)由=0.2,得a=20.∵40+20+a+10+b=100,∴b=10.(2)记分期付款的期数为ξ,依题意得:P(ξ=1)==0.4,P(ξ=2)==0.2,P(ξ=3)=0.2,P(ξ=4)==0.1,P(ξ=5)==0.1.则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:P(A)=0.83+0.2×(1-0.2)2=0.896.(3)∵η的可能取值为:1,1.5,2(单位:万元),P(η=1)=P(ξ=1)=0.4,P(η=1.5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.4,P(η=2)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,∴η的分布列为∴η的数学期望E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元).5.解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率都为,去参加乙项目联欢的概率都为.设“这4个人中恰有i人去参加甲项目联欢”为事件A i(i=0,1,2,3,4),则P(A i)=.(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)=.(2)设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B,则B=A3∪A4,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.P(ξ=0)=P(A2)=;P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.∴ξ的分布列是∴E(ξ)=0×+2×+4×.6.解:(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为1件”)=.(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=;P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=.故X的分布列为X 2 3PX的数学期望为E(X)=2×+3×.7.解:(1)根据茎叶图可知,这20名学生中有“高个子”8人,“非高个子”12人,用分层抽样的方法从中抽出5人,则每个学生被抽到的概率为,所以应从“高个子”中抽8×=2(人),从“非高个子”中抽12×=3(人).用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”,则它的对立事件表示“没有一名‘高个子’被选中”,则P(A)=1-P()=1-=1-,因此至少有1人是“高个子”的概率是.(2)依题意知,从乙校中选“高个子”的人数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.因此,ξ的分布列如下:所以ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×.8.解:(1)编号为004.(2)a,b,c,d,e的值分别为13,4,0.30,0.08,1.频率分布直方图如图.(3)在被抽到的学生中获一等奖的人数为2,占样本的比例是=0.04,即获一等奖的概率为4%,所以获一等奖的人数估计为200×4%=8,随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.随机变量X的分布列为因为E(X)=0×+1×+2×+3×,所以随机变量X的数学期望为.。