北京市海淀区2014年中考二模数学试题

DCBAADCB 2014年北京市各城区中考二模数学——四边形的证明与计算题19题汇总1、（2014年门头沟二模）19. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点.(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)若∠A =60°，AB =6，AD =4，求BD 的长.2、（2014年丰台二模）19．如图，在四边形ABCD中，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB=4，AD=6，求AC 的长.3、（2014年平谷二模）19．如图，在四边形ABCD中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A =120°， ∠C =60°，AB =5，AD =3．（1）求证：AD =DC ；（2）求四边形ABCD 的周长．4、(2014年顺义二模) 19．如图，在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC的中点，BE =2DE ，过点C 作CF ∥BE 交DE 的延长线于F ． （1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若4CE =，120BCF ∠=°，求菱形BCFE 的面积．5、（2014年石景山二模）19．如图1，在△OAB 中，∠OAB =90°，∠AOB =30°，BA =2．以OB 为边，向外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ． （1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．FEDCB AECBFC B6、（2014年海淀二模）19．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF ∥BC交DE 的延长线于F 点，连接CF . （1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若∠CAF =45°，BC=4，CAF 的面积. 7、（2014年西城二模）19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ， E 是CD 的延长线上一点，且12AEC ADC ∠=∠．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形．（2）若DB ⊥CB ，∠BCD ＝60°，CD ＝12，作AH ⊥BD 于H ，求四边形AEDH 的周长．8、（2014年通州二模）20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE 、BD 交于点F ，AE ＝AB .（1）若∠AEB ＝2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形. （2）若AB ＝10，BE ＝2EC ，求EF 的长.EO G A B CFBGDC BAEF9、（2014年东城二模）19．在平行四边形ABCD 中，AB =6， AD =9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，42BG ，求EFC V 的周长.AB =34，10、（2014年朝阳二模）19．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =90°，∠B =60°，AC ⊥BC ．（1）求AC 的长．（2）若AD=2，求CD 的长．11、（2014年密云二模）19．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F,且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，求AE 的长.12、（2014年延庆二模）13、(2014年房山二模) 19. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD=BC ，F 为BC 的中点，AB=2，∠A =120°，过点F 作EF ⊥BC 交DC 于点E ，且EF = 3 ，求DC 的长.14、（2014年昌平二模）18．如图，已知□ABCD ，E ，F 是对角线BD 上的两点，且BE =DF .（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当AE 垂直平分BC 且四边形AECF 为菱形时，直接写出AE ∶AB 的值.15、（2014年怀柔二模）19.如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形； （2）若BF=EF ，求证：AE=AD ．FE DCBA16、（2014年大兴二模）19．已知： 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 .(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)若∠A =60°，AB=8，AD=4，求BD 的长 .ABCD17、（2014年燕山二模）19. 如图，在四边形中，BC AD //，25=AB ，4=BC ，连接BD ，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，且CD AE //．（1）求AD 的长； （2）若︒=∠30C ，求四边形ABCD 的周长．ED CBA。

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！2014年北京市各城区中考二模数学——统计图表题20题汇总1、（2014年门头沟二模）21. 在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下三个统计图表（如图1，图2，图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； （2）图2、3中的a = ,b = ；（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？2、（2014年丰台二模）21．某市在2013年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和谁在一起生活进行了抽样调查.下面是根据这次调查情况整理的不完整的频数分布表和扇形统计图.频数分布表 扇形统计图请根据上述信息，回答下列问题：（1）a =________，b =________，c =_______；（2）在扇形统计图中，和父母一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是______； （3）如果该市八年级学生共有30000人，估计不与父母一起生活的学生有_______ 人.3、（2014年平谷二模）21．某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题. （1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是____________；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.4、(2014年顺义二模) 20．保障房建设是民心工程，某市从2009年加快保障房建设工程．现统计了该市从2009年到2013年这5年新建保障房情况，绘制成如图1、2所示的折线统计图和不完整的条形统计图．某市2009-2013年新建保障房套数年增长率折线统计图 某市2009-2013年新建保障房套数条形统计图10121523.42422图2套数（万套）年份20122011201020092016120201310141825155201301020302009201020112012年份年增长率（%）图1（1）小颖看了统计图后说：“该市2012年新建保障房的套数比2011年少了．”你认为小颖的说法正确吗？请说明理由；（2）求2012年新建保障房的套数，并补全条形统计图；代码 和谁一起生活 频数 频率 A 父母 4200 a B 爷爷奶奶 660 / C 姥姥姥爷 b c D 其他 540 0.09 合计 6000 136°DC BA文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！（3）求这5年平均每年新建保障房的套数．5、（2014年石景山二模）20．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的北京 市年生产总值统计图的一部分．请你根据以上信息解答下列问题：（1）根据北京市2009--2013年生产总值年增长率，请计算出2011年北京市年生产总值是_________（结果精确到1百亿元），并补全条形统计图；（2）若从2013年以后，北京市年生产总值都按15%的年增长率增长，则请你估算，若年生产总值不低于．．．2009年的2倍，至少要到_________年．（填写年份） （3）在（1）的条件下，2009--2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为多少百亿元？若按此平均数增长，请你预测2014年北京地区的生产总值多少百亿元? 解：6、（2014年海淀二模）20．为了满足广大手机用户的需求，某移动通信公司推出了三种套餐，资费标准如下表所示：套餐资费标准月套餐类型 套餐费用 套餐包含内容超出套餐后的费用 本地主叫市话 短信 国内移动数据流量 本地主叫市话 短信 国内移动数据流量 套餐一 18元 30分钟 100条 50兆 0.1元/ 分钟0.1元/条0.5元/兆套餐二 28元 50分钟 150条 100兆 套餐三38元80分钟200条200兆小莹选择了该移动公司的一种套餐，下面两个统计图都反映了她的手机消费情况．（1）已知小莹2013年10月套餐外通话费为33.6元，则她选择的上网套餐为套餐（填“一”、“二”或“三”）；（2）补全条形统计图，并在图中标明相应的数据；（3）根据2013年后半年每月的消费情况，小莹估计自己每月本地主叫市话通话大约430分钟，发短信大约240条，国内移动数据流量使用量大约为120兆，除此之外不再产生其他费用，则小莹应该选择套餐 最划算（填“一”、“二”或“三”）；选择该套餐后，她每月的手机消费总额约为 元.35%42%11.75%11.25% 86.176.088.184.683.1总额/元月份套餐费用套餐外 通话费套餐外 短信费套餐外数 据流量费2013年后半年每月手机消费总额统计图12214117919505010015020025020092010201120122013百亿元、年份 北京市2009-2013年生产总值 统计图 北京市2009-2013年 生产总值年增长率统计图 年生产总值（百亿元） 8.19.814.517.515.60510152020092010201120122013年份 年增长率%文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！7、（2014年西城二模）21．据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据整理的统计图表的一部分：请根据以上信息，回答以下问题：（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了________分钟；（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为_________亿（结果精确到0.1）；（3）从调查数学看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达_________亿.8、（2014年通州二模）19．某区八年级有3000名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了200名学生的得分进行统计．请你根据不完整的表格，回答下列问题：成绩x（分）频数频率50≤x＜60 10 ____60≤x＜70 16 0.0870≤x＜80 ____ 0.2080≤x＜90 62 ____90≤x＜100 72 0.36（1）补全频率分布直方图；（2）若将得分转化为等级，规定50≤x＜60评为“D”，60≤x＜70评为“C”，70≤x＜90评为“B”，90≤x＜100评为“A”．这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“D”？9、（2014年东城二模）20. 图①表示的是某综合商场今年1—5月的商品各月销售总额的情况，图②表示商场服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，解答下列问题：（1）来自商场财务部的数据报告表明，商场1—5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图①中的统计图补充完整；（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？（3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由.10、（2014年朝阳二模）20．某校对部分初三学生的体育训练成绩进行了随机抽测，并绘制了如下的统计图：女生篮球障碍运球成绩折线统计图男生引体向上成绩条形统计图文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！根据以上统计图解答下列问题：（1）所抽测的女生篮球障碍运球成绩的众数是多少？极差是多少？（2）该校所在城市规定“初中毕业升学体育现场考试”中，男生做引体向上满13次，可以获得满分10分；满12次，可以获9.5分；满11次，可以获得9分；满10次，可以获得8.5分；满9次，可以获得8分．①所抽测的男生引体向上得分．．的平均数是多少？②如果该校今年有120名男生在初中毕业升学体育现场考试中报名做引体向上，请你根据本次抽测的数据估计在报名的这些学生中得分不少于9分的学生有多少人？11、（2014年密云二模）20．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准为：86分及以上为优秀；76分～85分为良好；60分～75分为及格；59分及以下为不及格.某校抽取八年级学生人数的10%进行体质测试，测试结果如图8.（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是；（2）小明按以下方法计算出所抽取学生测试结果的平均分是：(90＋82＋65＋40)÷4＝69.25.根据所学的统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果．12、（2014年延庆二模）13、(2014年房山二模) 20.房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力.小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中，共调查了名学生；（2）补全两幅．．统计图；（3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？不及格44%20%32%均分90826540 0102030405060708090100优秀良好及格不及格优秀良好及格各等级人数比各等级学生平均分数文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！14、（2014年昌平二模）20．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数．统计数据如下表所示：册数 0 1 2 3 4 人数11316173（1）这50个样本数据的众数是 ，中位数是 ；（2）根据样本数据，估计该校九年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数； （3）学校广播站的小记者对被调查的50名学生中读书册数最少和最多的人进行随即采访，请利用树状图或列表，求被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率．20.解：（1）众数为3，中位数为2. …………………………2分 （2）在50名学生中，读书多于2本的学生有20名，所以，300×=120.………………………3分答：该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有120名. （3）设读书最少的人为A ，读书最多的人为B 1，B 2，B 3. A B 1 B 2 B 3 A （A ，B 1） （A ，B 2） （A ，B 3） B 1 （B 1，A ）（B 1，B 2）（B 1，B 3） B 2 （B 2，A ） （B 2，B 1）（B2，B 3）B 3（B 3，A ）（B 3，B 1）（B 3，B 2）……………………………………………………………………………4分 被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的情况如下：（B 1，B 2）、（B 1，B 3）、（B 2，B 1）、（B 2，B 3）、（B 3，B 1）、（B 3，B 2），共6种，所以，被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率为P==．………5分15、（2014年怀柔二模）20.从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1) }11.1 12.213. 14.6，5050 {本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B = ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A >，不符合题意，所以c =. --------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分 因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥，所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为. --------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ， -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯= 2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯= 112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解： （Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()c os 2f x x x =---------------------------------1分 由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分 (),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππa <<时，(),'()f x f x 的情况如下分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当时，(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2. 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分 由e =222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分 所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分 因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分 所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++. ----------------------------8分所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅的取值} 20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 （Ⅱ）法一：① 当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数. ------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =，x ∈N ）中，总满足ic 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c bx -<. 所以，当2,3,,13c bi -=-时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c bi y ---=++，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc by y +-++<-，解得3b ay -<. 所以，当,1,,1333c b c b c ai ---=+-时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c an -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。

2014年北京市各城区中考二模数学——阅读操作题22题汇总1、（2014年门头沟二模）22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如23(1+=．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b =（m+n ）2（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有a+b =m2+2n2+2mn ．∴a=m2+2n2，b=2mn ．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a 、b 、m 、n均为正整数时，若2(a m +=+用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，则a= ，b= ；（2）利用探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： +=（ +）2；（3）若2(a m +=+且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？2、（2014年丰台二模）22．阅读下列材料：已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P 为AC 边上的一动点，以PB ，PA 为边构造□APBQ ，求对角线PQ 的最小值及此时APAC 的值是多少.在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短.进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ 的最小值为3. 参考小明的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ 的长度最小时，=APAC _______；（2）如图3，延长PA 到点E ，使AE=nPA （n 为大于0的常数）.以PE ，PB 为边作□PBQE ，那么对角线PQ 的最小值为 ，此时=APAC _______；（3）如图4，如果P 为AB 边上的一动点，延长PA 到点E ，使AE=nPA （n 为大于0的常数），以PE ，PC 为边作□PCQE ，那么对角线PQ 的最小值为______,此时=APAC _______.3、（2014年平谷二模）22. 如图1，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP+BP 的值最小，做法是：作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段AB ′的长度即为AP+BP 的最小值．（1）如图2，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小．做法是：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ； （2）如图3，已知⊙O 的直径CD 为2，AC 的度数为60°，点B 是AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为 ；（3）如图4，点P 是四边形ABCD 内一点，BP=m ，ABC α∠=，分别在边AB 、BC 上作出点M 、N ，使PMN ∆的周长最小，求出这个最小值（用含m 、α的代数式表示）．Q BA C PB AC P图2 图1 Q EBC P AQ EAC P B 图4 图3图4C图3图2图1P D EBA4、(2014年顺义二模) 22．问题：如图1，在△ABC 中，BE 平分ABC ，CE 平分ACB ．若A=80，则BEC= ；若A=n ，则BEC= ． 探究：（1）如图2，在△ABC 中，BD 、BE 三等分ABC ，CD 、CE 三等分ACB ．若A=n ，则BEC= ；（2）如图3，在△ABC 中，BE 平分ABC ，CE 平分外角ACM ．若A=n ，则BEC= ；（3）如图4，在△ABC 中，BE 平分外角CBM ，CE 平分外角BCN ．若A=n ，则BEC= ．5、（2014年石景山二模）22．阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图，M 是边长为a 的正方形ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积分割成面积相等的四个部分.小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目.如图2，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将以点O 为顶点的直角绕点O 任意旋转, 且直角两边与BA ，CB 相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值.可以类比此问题解决.(1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为________; 参考小明同学的想法，解答问题: (2)请你在图3中，解决原问题（3）如图4.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点，如果AB=a ，CD=b ，且b>a ，那么在边BC 上存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹. 解：6、（2014年海淀二模）22．在数学课上，同学们研究图形的拼接问题． 比如：两个全等的等腰直角三角形纸片既能拼成一个大的等腰直角三角形（如图1），也能拼成一个正方形（如图2）．图1 图2图4图3图2图1NM EC B AEMC BADE C BA ECBA图2图1 图3图4（1）现有两个相似的直角三角形纸片，各有一个角为30，恰好可以拼成另一个含有30°角的直角三角形，那么在原来的两个三角形纸片中，较大的与较小的纸片的相似比为 ，请画出拼接的示意图；（2）现有一个矩形恰好由三个各有一个角为30的直角三角形纸片拼成，请你画出两种不同拼法的示意图．在拼成这个矩形的三角形中，若每种拼法中最小的三角形的斜边长为a ，请直接写出每种拼法中最大三角形的斜边长．7、（2014年西城二模）22．阅读下面材料:小明遇到这样一个问题: 如图1，五个正方形的边长都为1，将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形． 小明研究发现：如图2，， “日”字形的对角线长都为段AB ，CD 分割为四部分，将这四部分图形分别标号，以CD 为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题．请你参考小明的画法，完成下列问题：（1）如图3，边长分别为a ，b 的两个正方形被两条互相垂直的线段AB ，CD 分割为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图（2）如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为8 ，则八角形纸板的边长为 ．8、（2014年通州二模）22．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN ，点A 、B 、M 、N 均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D ，点B 的对称点为点C ；（2）若直线MN 上存在点P ，使得PA ＋PB 的值最小， 请直接写出PA 的长度．9、（2014年东城二模）22.我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A ，B 在直线l 的同一侧，在l 上求作一点，使得PA+PB 最小．我们只要作点B 关于l 的对称点B ′，PB=PB ＇．因此，求AP+BP 最小就相当于求AP+PB ′最小，显然当A 、P 、B ′在一条直线上时AP+PB ′最小，因此连接AB ＇，与直线l 的交点，就是要求的点P ． 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 探究： （1）如图3，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点， P是BD 上一动点．连结EP ，CP ，则EP+CP 的最小值是__________；（2）如图4，A 是锐角MON 内部任意一点，在∠MON 的两边A B C D PE 图3 A Bl l 图1OM ，ON 上各求作一点B ，C ，组成△ABC ，使△ABC 周长最小；（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图5，平面直角坐标系中有两点A （6，4）、 B （4，6），在y 轴上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使得四边形ABCD 的周长最小，则点C 的坐标应该是 ，[点D 的坐标应该是 ．10、（2014年朝阳二模）22．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P 是斜坐标系xOy 中的任意一点，过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴交于点M 、N ，如果M 、N 在x 轴、y 轴上分别对应的实数是a 、b ，这时点P 的坐标为（a ，b ）． （1）如图2，在斜坐标系xOy 中，画出点A(-2，3)；（2）如图3，在斜坐标系xOy 中，已知点B （5，0）、C （0，4），且P （x ，y ）是线段CB 上的任意一点，则y 与 x 之间的等量关系式为 ；（3）若（2）中的点P 在线段CB 的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．1122平，得折痕GC(如图③)；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的C 处(如图④)；沿GC ′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC ′，GH(如图⑥)． (1)求图②中∠BCB ′的大小；(2)图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．12、（2014年延庆二模）13、(2014年房山二模) 22. 阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形. 如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1） 下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ）A . 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形（2）如图，等腰Rt △ABD 中，∠BAD=90°.若点C 为平面上一点，AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB BC , 请直接写出∠ABC 的度数.N 图414、（2014年昌平二模） 22．如右图，把边长为a=2的正方形剪成四个全等的直角三角形，在下面对应的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出用这四个直角三角形按要求分别拼成的新的多边形（要求全部用上，互不重叠，互不留隙）.（1）矩形（非正方形）；（2）菱形（非正方形）；（3）四边形（非平行四边形）.(1)(3)(2)15、（2014年怀柔二模）22．阅读材料：小强遇到这样一个问题：已知正方形ABCD 的边长为a ，求作另一个正方形EFGH ，使它的四个顶点分别在已知正方形的四条边上，并且边长等于b.小强的思考是：如图，假设正方形EFGH 已作出,其边长为b ，点E 、F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 、CD 上，则正方形EFGH 的中心就是正方形ABCD 的中心O （对角线的交点）. ∵正方形EFGH 的边长为b ，∴对角线EG ＝HF=2b,∴OE ＝OF ＝OG ＝OH ＝22b ，进而点E 、F 、G 、H 可作出. 解决问题:（1）下列网格每个小正方形的边长都为1，请你在网格中作出一个正方形ABCD ，使它的边长a ＝10，要求A 、B 、C 、D 四个顶点都在小正方形的格点上.（2）参考小强的思路，探究解决下列问题：作另一个正方形EFGH ，使它的四个顶点分别在（1）中所做正方形ABCD 的边上，并且边长b 取得最小值.请你画出图形，并简要说明b 取得最小值的理由，写出b 的最小值. 16、（2014年大兴二模）22. 我们定义：如图1，矩形MNPQ 中，点K 、O 、G 、H 分别在NP 、PQ 、QM 、MN 上，若4321∠=∠=∠=∠，则称四边形KOGH为矩形MNPQ 的反射四边形．如图2、图3四边形ABCD 、A ’B ’C ’D ’均为矩形，它们都是由32个边长为1的正方形组成的图形，点E 、F 、E ’、F ’分别在BC 、CD 、B ’C ’、C ’D ’边上，试利用正方形网格在图2、图3中分别画出矩形ABCD 和矩形A ’B ’C ’D ’的反射四边形EFGH 和E ’F ’G ’H ’．图317、（2014年燕山二模）22. 阅读下面材料：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平 行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对 边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图 1 所示，平行四边形ABEF 即为ABC ∆的“友好平行四边形”．OHG FEDCBAFECBA BA图1 图2请解决下列问题:（1）仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”； （2）若ABC ∆是钝角三角形，则ABC ∆显然只有一个“友好矩形”， 若ABC ∆是直角三角形，其“友好矩形”有 个；（3）若ABC ∆是锐角三角形，且BC AC AB <<，如图2，请画出ABC ∆的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.。

北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数学文试题北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模） 数 学 （文科）参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6 {第13，14题的第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）()cos21f x x x a ++- --------------------------4分12cos2)12x x a =++- π2sin(2)16x a =++- ---------------------------6分∴周期2ππ.2T == ----------------------------7分 （Ⅱ）令()0f x =，即π2sin(2)1=06x a ++-， ------------------------------8分则π=12sin(2)6a x -+， --------------------------------9分因为π1sin(2)16x -≤+≤， ---------------------------------11分所以π112sin(2)36x -≤-+≤， --------------------------------12分所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-. -----------------------------13分 16.解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分 （Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ， --------------------------------------7分在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分 其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分 ∴3().11P A =-----------------------------------------10分 （Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.-----------------------------------------13分17.解： （I ）1A A ⊥底面ABC ，1A A ∴⊥AB ， -------------------------2分 A B A C ⊥，1A A AC A =，AB ∴⊥面11A ACC . --------------------------4分 （II ）面DEF //面1ABC ，面ABC 面DEF DE =，面ABC 面1ABC AB =，AB ∴//DE ， ---------------------------7分 在ABC ∆中E 是棱BC 的中点，D ∴是线段AC 的中点. ---------------------------8分 （III ）三棱柱111ABC A B C -中1A A AC = ∴侧面11A ACC 是菱形，11AC AC ∴⊥， --------------------------------9分 由（1）可得1AB A C ⊥，1A B A CA =， 1A C ∴⊥面1ABC ， --------------------------------11分 1A C ∴⊥1BC . -------------------------------12分 又,E F 分别为棱1,BC CC 的中点，EF ∴//1BC ， ------------------------------13分1E F A C ∴⊥. ------------------------------14分18. 解：（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. ---------------------------------1分'(0)4f ∴=， ---------------------------------2分 又(0)f b =()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b =+. ---------------------------------4分令321443x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=.0x ∴=或3x a =-， ----------------------------------5分10a ≠ 30a ∴-≠， ----------------------------------------6分 ()f x ∴与切线有两个不同的公共点. ---------------------------------------7分 （Ⅱ）()f x 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，∴2'()24f x x a x =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， --------------------------9分 由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， ------------------------------------10分即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或52a <-， --------------------------12分 综上，a 的取值范围是55(,)(,)22-∞-+∞. -----------------------------13分19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)x y aa +=> ------------------------------------------1分由2e =，可得222112a e a -==，----------------------------------------------------------------3分 解得22a =, -----------------------------------------------------------4分所以椭圆的标准方程为2212x y +=. ----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠ ------------------------------------------------------6分 因为(0,1),(0,1)A B -， 所以直线BC 的方程为0011y y x x +=-， ------------------------------------------------------7分 令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1xM y +. ---------------------------------------------8分 所以0000(,1),(,1),1x AM AD x y y =-=--+ ------------------------------------------9分 所以200011x AM AD y y -⋅=-++， --------------------------------------------10分 又因为2200121x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -⋅=+-=-+ ------------------11分 因为011y -<<，所以0AM AD ⋅≠. -----------------------------------------------------------12分 所以90MAN ∠≠， -------------------------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. -------------------------------------------14分 法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k. ------------------------------------------------6分由22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=-⎩化简得到222(1)20x kx +--=，所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21kx x k ==+， -------------------------------------8分 所以22222421112121k k y kx k k k -=-=-=++，所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121k k D k k --++ ----------------------------------------9分 所以2221421(,1),(,1),2121k k AM AD k k k --=-=-++ ---------------------------------------------10分 所以2222421210212121k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++， --------------------------------------12分 所以90MAN ∠≠， ---------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ------------------------------------14分 20.解：（Ⅰ）①因为5135514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“Γ数列”， ---------------------------------2分②因为31113311284S =>-，又34是数列2323333,,444中的最大项所以数列2323333,,444是“Γ数列”. ----------------------------------------------4分（Ⅱ）反证法证明：假设存在某项i a <0，则12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->.设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=，则12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++≤(-1)，所以(1)j k k a S ->，即1kj S a k >-， 这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ≥≥．①当0d =时，121m m m S Sb b b m m ====<-，符合题设； ---------------------9分 ②当0d >时，12m b b b <<<由“Γ数列”的定义可知1m m S b m ≤-，即111(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-≤+- 整理得1(1)(2)2m m d b --≤（*）显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立所以0d >时，对任意正整数3m ≥，1(1)(2)2m m d b --≤不可能都成立. 综上讨论可知{}n b 的公差0d =. --------------------------------------------------13分。

2014北京市海淀区文科数学二模试题及答案解析2014.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R ð等于A.{|1}x x >B.{|1}x x >-C.{|1}x x <D.{|1}x x <- 2. 已知命题p: 210x x x ∃∈+-<R ，,则p ⌝为A. 210x x x ∃∈+->R ，B.210x x x ∀∈+-≥R ，C. 210x x x ∃∉+-≥R ，D.210x x x ∀∉+->R ，3. 下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递增的是A.3y x =B.y =C.cos y x =D.2x y =4．设2log 3a =，4log 3b =，sin90c ︒=，则A.a c b <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<5.下面给出的四个点中, 位于10,10x y x y ++>⎧⎨-+<⎩表示的平面区域内,且到直线10x y -+=点是A.(1,1)-B.(2,1)-C.(0,3)D.(1,1) 6.已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示， 若AD AB AC μλ+=，则=+μλA. 2B. 2-C. 3D. 3-7. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）：① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为A.①②B. ②③C. ①③D. ①②③8. 已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 复数2+i 的模等于______.10. 若抛物线22y px =(0)p >的准线经过双曲线221x y -=的左顶点，则p =_____.11. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______. 12. 下列函数中：①sin 2y x =-；②cos2y x =；③3sin(2)4y x π=+，其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数()sin 2f x x =的图象重合的是_____.（填上符合要求的函数对应的序号）13. 已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.xa x f x axb x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b ==14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/2m .2单株产量（千克）区域代号1D三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x x a =-+,a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围.16.（本小题满分13分）下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况:记Δx =本月价格指数-上月价格指数. 规定：当Δ0x >时，称本月价格指数环比增长； 当0x ∆<时，称本月价格指数环比下降；当0x ∆=时，称本月价格指数环比持平. (Ⅰ) 比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；(Ⅱ) 直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降．．的月份. 若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都．环比下降的概率; (Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点. （Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C .18.（本小题满分13分）已知函数321()43f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆G短轴端点分别为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若C ,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD为直径的圆是否过点A ，并说明理由.20.（本小题满分13分）给定正整数3k ≥，若项数为k 的数列{}n a 满足：对任意的1,2,,i k =，均有ki a k S ≤-1（其中12k k S a a a =+++），则称数列{}n a 为“Γ数列”．（Ⅰ）判断数列1,3,5,2,4-和2323333,,444是否是“Γ数列”，并说明理由；（Ⅱ）若{}n a 为“Γ数列”，求证：0i a ≥对1,2,,i k =恒成立；（Ⅲ）设{}n b 是公差为d 的无穷项等差数列，若对任意的正整数m ≥3，12,,,m b b b均构成“Γ数列”，求{}n b 的公差d ．1北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （文科）参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

海淀区九年级第二学期期末测评数学试卷答案及评分参考2014．6 一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解：011||π12cos302--++-（）（）122=-+-…………………………………………………………4分=1. …………………………………………………………………………………5分14.323 1.x yx y+=⎧⎨-=⎩，①②解：由①3⨯+②得, 510x=.解得, 2x=. …………………………………………………………………………2分把2x=代入①得，1y=. ……………………………………………………………4分∴原方程组的解为2,1.xy=⎧⎨=⎩……….……………………………………………………5分15.证明：在△CAE和△DBE中，,,,C DCEA DEBEAEB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAE≌△DBE．……………………………………………………………………3分∴CE=DE．……………………………………………………………………………4分∵EA= EB,∴CE+EB=DE+EA．即BC=AD. ……………………………………………………5分16. 解：∵22440,a ab b-+=2(2)0.a b-=∴………………………………………………………………………1分A2.a b =∴ ……………………………………………………………………………2分∵0ab ≠， ∴2222()()()()a b a ba b a b a b a b a b ++⋅-=⋅---+2a ba b+=+ ………………………………………………………3分 222b bb b+=+ ………………………………………………………4分 4.3= ……………………………………………………………5分 17. 解：设这份快餐含有x 克的蛋白质. ……………………………………………………1分 根据题意可得:440070%x x +≤⨯，……………………………………………3分 解不等式，得56.x ≤ …………………………………………………………4分 答：这份快餐最多含有56克的蛋白质. …………………………………………5分18．解：（1）A (1)m ,在4y x=的图象上，∴441m ==． …………………………………………………………………………1分 ∴A 点的坐标为(14),.∵A 点在一次函数2+=kx y 的图象上，4 2 .k =+∴ 2 .k =∴2 2.y x =+∴一次函数的解析式为 …………………………………………………2分令0,y =即220x +=，解得1x =-．∴点B 的坐标为（-1,0）． ………………………………………………………3分 （2）点P 的坐标为（2，2）；点C 的坐标为（3，0）. ………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（1）证明：∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE ∥AB . ……………………………………………………………………1分 ∵AF ∥BC ,∴四边形ABDF 是平行四边形. ………………………………………………2分（2）解：过点F 作FG ⊥AC 于G 点. ∵BC=4，点D 是边BC 的中点，∴BD=2.由（1）可知四边形ABDF 是平行四边形， ∴AF =BD=2. ∵∠CAF =45°，∴AG =. …………………………………………………………………3分在Rt △FGC 中，∠FGC =90°,，∴=…………………………………………………4分 ∴AC =AG+GC=113.22CAFSAC FG =⋅=⨯= ……………………………………5分 20． 解：（1）二；……………………………………………………………………………1分（2）……………………………………3分（3）三；77. ………………………………………………………………………5分21． 证明：（1）连接OC .∵OA OC =,∴1 2.∠=∠.又∵312,∠=∠+∠∴32 1.∠=∠ 又∵421∠=∠，∴4 3.∠=∠ ……………………1分 ∴OC ∥DB . ∵CE ⊥DB ，∴OC ⊥CF .又∵OC 为⊙O 的半径，∴CF 为⊙O 的切线． ………………………………………………………2分 （2）连结AD .在Rt △BEF 中，∠BEF =90°, BF =5,3sin 5F =，∴3BE =. ……………………………………………………………………3分 ∵OC ∥BE ,∴FBE △∽FOC △.∴.FB BEFO OC= 设⊙O 的半径为r ,∴53.5r r=+A∴152r =. ……………………………………………………………………4分 ∵AB 为⊙O 直径， ∴15AB =. ∴90ADB ∠=. ∵4EBF ∠=∠, ∴F BAD ∠=∠. ∴3sin sin .5BD BAD F AB ∠=== ∴3.155BD = ∴9BD =．……………………………………………………………………5分22． 解：（1； …………………………………………………………………1分……………………………………………………………2分（2）…………………4分最大三角形的斜边长分别是2a ,2a ．………………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23． 解：（1）222(1)421(1)m m m m m ∆=-+=++=+，……………………………1分由0m >知必有10m +>，故0∆>.∴方程①总有两个不相等的实数根. ……………………………………………2分 （2）令10y =，依题意可解得(1,0)A -，(,0)B m .∵平移后，点A 落在点'(1,3)A 处，∴平移方式是将点A 向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到. ∴点(,0)B m 按相同的方式平移后，点'B 为(2,3)m +. ……………………3分 则依题意有2(2)(9)(2)2(1)3m m m m +--+++=. …………………………4分 解得13m =，252m =-（舍负）. ∴m 的值为3. ………………………………………………………………………5分（3）32k =. ………………………………………………………………………7分24.解:（1）…………………………………………………2分（2）连接BF .∵将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，∴AD ∥EF , AD =EF ；AB ∥FC , AB =FC .∵∠ABC=90°，∴四边形ABCF 为矩形.∴AC =BF . ……………………………………3分∵AD BE ⊥,∴EF BE ⊥. …………………………………4分∵AD a =，AC b =，∴EF a =，BF b =.∴BE =. ………………………………………………………………5分（3）180α︒-； α . ……………………………………………………………7分25. 解：（1）①P 2，P 3； ……………………………………………………………………2分②P （-4，6）或P （4，-2）. …………………………………………………4分 （2）①解:∵⊙P 同时为正方形ABCD 与正方形EFGH 的“等距圆”，∴⊙P 同时过正方形ABCD 的对称中心E 和正方形EFGH 的对称中心I . ∴点P 在线段EI 的中垂线上.∵A （2，4），正方形ABCD 的边CD 在x 轴上；F （6，2），正方形EFGH 的边HE 在y 轴上，∴E （0，2），I （3，5）∴∠I EH=45°，设线段EI 的中垂线与y 轴交于点L ，与x 轴交于点M ，∴△LIE 为等腰直角三角形，LI ⊥y 轴，∴L （0，5），∴△LOM 为等腰直角三角形，LO=OM∴M （5，0），∴P 在直线y=-x +5上，∴设P （p ，-p +5）过P 作PQ ⊥直线BC 于Q ，连结PE ，∵⊙P 与BC 所在直线相切，∴PE=PQ ，∴()()222522p p p +-+-=+，解得：15p =+，25p =-∴．12(5(5P P +--．.……………………………………5分 ∵⊙P 过点E ，且E 点在y 轴上，--=--．…6分∴⊙P在y轴上截得的弦长为22242=44②0r r<<>+…………………………………………………8分注：其他解法请参照给分.。

F E DCBAO圆的证明与计算1、（顺义）21．如图，O ⊙是△ABC 的外接圆，AB AC ，过点A 作AD ∥BC 交BO 的延长线于点D ．（1）求证：AD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径OB=5，BC=8，求线段AD 的长．（1）证明：连结AO ，并延长交O ⊙于E ，交BC 于F ．∵AB AC ， ∴AB AC =．∴AE BC ⊥．………………………… 1分 ∴90EFC ∠=°． ∵AD ∥BC ，∴90FAD EFC ∠=∠=°． ∵AO 是半径，∴AD 是O ⊙的切线．……………………… 2分（2）解：∵AE 是直径，AE BC ⊥，BC=8，∴142BF CF BC ===．…………………………………………… 3分 ∵OB=5，∴223OF OB BF =-=． ∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△FOB ．……………………………………………………… 4分∴OA ADOF BF=． ∴542033OA BF AD OF ⨯===．………………………………………… 5分DCBAO2、(平谷)20．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：BD =BF ； （2）若CF =1，cos B =35，求⊙O 的半径． （1）证明：连结OE ．∵AC 切⊙O 于点E ，∴∠AEO=90°. ∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠AEO. ∴OE ∥BC. ∴∠OED =∠BFD ． ∵OE=OD ，∴∠OED =∠ODE ． ∴∠BFD =∠ODE ．∴BD=BF ．-----------------------------------------------------2分（2）∵OE ∥BC ,∴∠AOE =∠B ．∵3cos 5B ∠=,∴3cos 5AOE ∠=． 设OE =3x ，则OA =5x ，OB =3x ． ∴BD=BF=6x ，AB =8x ． ∵CF =1，∴BC =6x -1. ∵613cos 85BC x B AB x -∠===． 解得，56x =． ∴OB =3x =52． ∴⊙O 的半径是52．----------------------------------------------------------------------------5分3、（房山）21．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，OH AC ⊥于H ，30B ∠=0，过A 点的直P FDHOCA B线与OC 的延长线交于点D ，030CAD ∠=，103AD =.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若E 为⊙O 上一动点，连接AE 交直线OD 于点P ，问：是否存在点P ,使得PA+PH 的值最小，若存在求PA+PH 的最小值，若不存在，说明理由. 21.解：（1）连接AO ∵30B ∠=0∴060AOC ∠= ..........................................................1分 ∵AO=CO ∴060OAC ∠= ∴090OAD ∠=∴AD是⊙O 的切线 ...............................................................2分 （2）∵060AOC ∠=,OA=OC∴∆AOC 为等边三角形 在Rt ∆AOD 中，∵060AOC ∠=,103AD =∴10AC OC == ∵OH AC ⊥∴53OH = ................................................................3分作A 关于OD 的对称点F ,连接EH 交OD 于点P ，根据对称性及两点之间线段最短可知此点P 使PA+PH 的值最小....................................4分 ∴0120FOA ∠=∴090FOH ∠=∵OH =OF =10∴FH = ..............................................................5分即PA+PH的最小值为4、(西城)21．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线与AD 的延长线交于F ．（1）求证：ABC F ∠=∠（2）若sinC=35，DF=6，求⊙O 的半径．21．（1）证明：∵BF 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BF 于点B ． ∵ CD ⊥AB ，∴∠ABF =∠AHD =90°． ∴CD ∥BF ． ∴∠ADC=∠F ．又∵∠ABC=∠ADC ， ∴∠ABC=∠F ． ……2分（2）解：连接BD ．∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°， 由（1）∠ABF =90°， ∴∠A=∠DBF ． 又∵∠A=∠C ．BB∴∠C=∠DBF ． ······················· 3分 在Rt △DBF 中，3sin sin 5C DBF =∠=，DF=6， ∴BD=8． ··························· 4分 在Rt △ABD 中，3sin sin 5C A ==， ∴403AB =． ∴⊙O 的半径为203． ····················· 5分.5、（门头沟）20. 如图，线段BC 切⊙O 于点C ，以AC 为直径，连接AB 交⊙O 于点D ，点E是BC 的中点，交AB 于点D ，连结OB 、DE 交于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若4AC =，43BC =求EFFD的值． 20.（1）证明：连结OD 、CD （如图） ∵AC 是⊙O 直径∴90ADC BDC ∠=∠=︒．………………1分 ∵点E 是BC 的中点， DE BE EC ∴==．OA OD DE BE ==，，ADO A ∴∠=∠，DBE BDE ∠=∠．……………2分 90DBE A ∠+∠=︒，90BDE ADO ∴∠+∠=︒． 90EDO ∴∠=︒．……………3分∴OD DE ⊥．即DE 是⊙O 的切线 . （2）解：连结OE ．则OE ∥AB ，12OE AB =∴△OEF ∽△BDF .∵BC 切⊙O 于点C ∴90ACB ∴∠=︒在Rt ABC △中，4,43AC BC ==， ∴根据勾股定理得，AB = 8，……………4分 ∴OE = 4，∵∠A =60°．∴AOD △是边长为2的等边三角形， ∴2AD =，BD = AB-AD =6． ∴4263EF OE FD BD ===……………………5分 6、（通州）21．如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF ＝∠ABC ．（1）求证：AB ＝AC ； （2）若AD ＝4,cos ∠ABF ＝54，求DE 的长． 21． 证明（1）：连接BD∵AD ⊥AB ∴∠DAB =90º ∴BD 为⊙O 的直径 ∵BF 是⊙O 的切线 ∴∠DBF =90º ∴∠ABF =∠D ∵弧AB =弧AB ∴∠D =∠C ∴∠ABF =∠C ∵∠ABF =∠ABC ∴∠ABC =∠C∴AB =AC ………………………………..(2分) 解（2）：∵∠ABF =∠DPOEDCBA ∴cos ∠ABF ＝cos ∠D ＝54 在Rt △ADB 中，∠BAD =90°， ∵cos ∠D =54=BD AD ，AD =4∴BD =5∴AB =2245-=3 ∴∠ABC =∠C =∠ABF 在Rt △ABE 中，∠BAE =90° ∵cos ∠ABE =BEAB∴BE =∴AE =49341522=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∴DE =AD ﹣AE =47………………………………..(5分)7、（昌平）21．如图，已知BC 为⊙O 的直径， EC 是⊙O 的切线，C 是切点，EP 交⊙O 于点A ，D ，交CB 延长线于点P . 连接CD ，CA ，AB .（1）求证：∠ECD =∠EAC ；（2）若PB =OB=2，CD =3，求PA 的长.21. （1）证明：连接BD .∵BC 为⊙O 的直径，∴90.CDB ∠=︒…………………………………………1分 ∵EC 与⊙O 相切, ∴90.ECP ∠=︒∵90,90,ECD DCB ECB DBC DCB ∠+∠=∠=︒∠+∠=︒ ∴.ECD CBD ∠=∠………………………………2分POEDBAFPO ED CBA∵,EAC CBD ∠=∠∴∠ECD =∠EAC .……………………………………………3分（2）作DF ⊥BC 于点F . 在Rt △CDB 中，227,BD BC CD =-=374CD BD DF BC ==在Rt △CDF 中，229.4CF CD DF -=∴15.4PF PC CF =-=在Rt △DFP 中，223 2.DP DF PF =+=∵,,PAB PCD P P ∠=∠∠=∠∴PAB ∆∽.PCD ∆ ∴.PA PBPC PD= ∴632PA = ∴2 2.PA =……………………………5分8、（东城）21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过B ，M 两点的⊙O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为⊙O 的直径．（1）判断AE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）当BC ＝4，AC ＝3CE 时，求⊙O 的半径．21．解：（1）AE 与O ⊙相切．………… 1分理由如下：连结OM ，则OM OB =．∴∠OMB =∠OBM ． ∵BM 平分ABC ∠，∴∠OBM =∠EBM ．∴∠OMB =∠EBM ． ∴OM BC ∥． ∴AMO AEB ∠=∠．在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线， ∴AE BC ⊥．∴90AEB ∠=°． ∴90AMO ∠=°． ∴OM AE ⊥．∴AE 与O ⊙相切． ······················· 2分 （2）在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线， ∴1=22BE BC =，∴6AB =． 在ABE △中，90AEB ∠=°， 设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-． ∵OM BC ∥， ∴AOM ABE △∽△．OM AO BE AB ∴=．626r r -∴=．32r =解得． ∴O ⊙的半径为32． ······················ 5分9、（海淀）21．如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD=2∠BAC ，连接CD . 过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直线AB 与CE 相交于F 点. （1）求证：CF 为⊙O 的切线； （2）当BF =5,3sin 5F =时，求BD 的长. 21． 证明：（1）连接OC .∵OA OC =, ∴1 2.∠=∠. 又∵312,∠=∠+∠ ∴32 1.∠=∠EDFBOAC2EC又∵421∠=∠，∴4 3.∠=∠……………………1分 ∴OC ∥DB . ∵CE ⊥DB ， ∴OC ⊥CF .又∵OC 为⊙O 的半径，∴CF 为⊙O 的切线．………………………………………………………2分 （2）连结AD .在Rt △BEF 中，∠BEF =90°, BF =5,3sin 5F =， ∴3BE =. ……………………………………………………………………3分 ∵OC ∥BE ,∴FBE △∽FOC △. ∴.FB BEFO OC= 设⊙O 的半径为r ,∴53.5r r =+ ∴152r =. ……………………………………………………………………4分∵AB 为⊙O 直径， ∴15AB =. ∴90ADB ∠=. ∵4EBF ∠=∠, ∴F BAD ∠=∠. ∴3sin sin .5BD BAD F AB ∠=== ∴3.155BD = ∴9BD =．……………………………………………………………………5分10、（石景山）21．如图，在△ABC 中，︒=∠90BCA ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ， Q 是AC 的中点．（1）求证：直线PQ 与⊙O 相切； （2）连结PO 并延长交⊙O 于点E 、 交AC 的延长线于点F ，连结PC , 若OC =5，21tan =∠OPC , 求EF 的长.21．解：（1）证明：连结PO 、PC .是BC ⊙O 的直径，︒=∠∴90BPC .则︒=∠90APC .AQ CQ = 又， .21CQ AC PQ ==∴. PCQ CPQ ∠=∠∴.OC OP = , OCP OPC ∠=∠∴,︒=∠=∠+∠=∠+∠∴90BCA PCQ OCP CPQ OPC ,∴直线PQ 与⊙O 相切…………………………………………………2分（2）解：连结.CEEP 是直径，.90︒=∠∴ECP.90︒=∠+∠OCP ECO 即,90︒=∠+∠ECF ECO 又 .OPC OCP ECF ∠=∠=∠∴F F ∠=∠且△EFC ∽△.CFP .EF CFCF PF∴= 1tan ,2Rt ECP EPC ∆∠=中，AQCAQCFBOEDC BA .21=∴CP CE 1.2EF CF CF PF ==则 ,2EF CF =∴EF CF PF 42==∴EF PE 3=∴ .352=EF 解得 ………………………………………………………………5分11、（丰台）如图，点D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CDA CBD ∠=∠． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 于点E ，BC ＝12，tan CDA ∠＝23.求BE 的长．21．（1）证明：连OD ，OE ，如图，……………………………………………………… 1分∵AB 为直径，∴090ADB ∠=，即090ADO BDO ∠+∠=，…… 2分 又∵CDA CBD ∠=∠，而CBD BDO ∠=∠， ∴BDO CDA ∠=∠，∴090CDA ADO ∠+∠=，即090CDO ∠=，∴CD 是⊙O 的切线． ………………………………………………… 3分 （2）解：∵EB 为O 的切线， ∴ OB ⊥BE ，ED ＝EB ，OE ⊥BD ．∴ABD OEB ∠=∠，∴CDA OEB ∠=∠．而tan CDA ∠＝23，∴tan OB OEB BE ∠=＝23，∵Rt △CDO ∽△CBE ，∴23CD OD OB CB BE BE ===，……………………………… 4分 ∴21283CD =⨯=， 在Rt △CBE 中，设BE ＝x ，∴()222812x x +=+，解得5x =．即BE 的长为5．……………………………………………………………… 5分12、（大兴）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且DE ⊥AC 于点E. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若∠C=30°，CD=10cm ，求⊙O 的直径.21. （1）证明：联结OD ∵D 是BC 的中点，O 是AB 的中点 ∴OD 是△ABC 的中位线∴OD //AC …………………………..1分 ∴∠EDO =∠DEC. ∵DE ⊥AC 于点E ， ∴∠DEC =90° ∴∠EDO =90°，即DE ⊥OD ∵D 是⊙O 上一点 ∴DE 是⊙O 的切线……………………………………………2分（2）解：联结AD∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90° ∵OD //AC ，OD =OB∴∠B =∠BDO =∠C =30°……………………………..3分 ∵D 是BC 的中点，∴BD =CD =103310tan ==∴B BD AD ………………………………4分 33202==∴AD AB 即⊙O 的直径为cm 3320……………………………….5分13、（怀柔）21．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点（不与A ，B 重合），过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q. （1）在线段PQ 上取一点D ，使DQ=DC ，连接DC ，试判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.（2）若cosB=35，BP=6，AP=1，求QC 的长.21．解：（1）CD 与⊙O 相切.……………………………1分 理由如下：连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2 ∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90° ∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=90°,∴OC⊥DC, 又∵OC 是⊙O 的半径，∴C 是半径的外端，∴CD 是⊙O 的切线………………………………………3分(2)连接AC,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°.……………………………4分 在Rt△ABC 中BC=ABcosB=(AP+BP)cosB=(1+6)×35=215. 在Rt△BPQ 中BQ=cos BPB =10. ∴QC=BQ -BC=10-2129=55………………………………5分14、（密云）21．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E ．⊙O 的切线BF 与弦AC 的延长线相交于点 F ，且AC=8，tan ∠BDC=． （1）求⊙O 的半径长； （2）求线段CF 长．（1）作OH ⊥AC 于H ，则AH=AC=4，…………………………1分 在Rt △AOH 中，AH=4，tanA=tan ∠BDC=， ∴OH=3， ∴半径OA==5；………………………2分（2）∵AB ⊥CD ， ∴E 为CD 的中点，即CE=DE ，在Rt △AEC 中，AC=8，tanA=， 设CE=3k ，则AE=4k ，根据勾股定理得：AC 2=CE 2+AE 2，即9k 2+16k 2=64， 解得：k=， 则CE=DE=，AE=，∵BF 为圆O 的切线， ∴FB ⊥AB ，又∵AE ⊥CD ， ∴CE ∥FB ，∴=，即=， 解得：AF=，则CF=AF ﹣AC=．…………………………………5分15、（燕山）如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F . （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）若23=ED ，43tan =F ，求⊙O 的半径.21.（1）证明：连接CB 、OC ，∵AB 是直径， ∴︒=∠90ACB . ………………1分EFD O CB A∴︒=∠90BCD . ∵E 是BD 的中点， ∴EB CE =..90ACO CAB CBA CBE BCE ∠=∠=∠-︒=∠=∠，∴︒=∠90OCF ，∴CF OC ⊥.………………2分 ∵OC 是⊙O 的半径，∴CF 是⊙O 的切线.………………3分（2）解:∵E 是BD 的中点，BD 、CF 是⊙O 的切线，∴23==ED EB ，︒=∠=∠90OCF EBF . ∴23423tan =⨯==F BE BF ，………………4分∴2522=+=BF EB EF .设⊙O 的半径为r .∵BEF ∆∽COF ∆，∴22523+=r r ，∴3=r . ………………5分 ∴⊙O 的半径为3.。

简单计算整理一、计算：13、212cos602-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭.13（顺义）计算：)1cos 60211π--++-°．13．（东城）计算：1012014tan 602-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭.13．（通州）计算：()022sin 45π+︒14．(平谷)计算：1012014tan 603-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭．13.（昌平）计算：013sin60(-1)2π-︒+-．13（海淀）.计算：011|π12cos302--+--（）（）13．（西城）计算：101()(3)3tan304-+-π-+︒13. （门头沟）计算：()011()33-2cos 454π-----+︒.13．)0112sin 60()36-︒+-14．（丰台）计算: 112sin 60(2014)3-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ 13（大兴）．计算：10)41()25(45cos 28---+︒-π．13.(怀柔)+︒30tan 32-+212--（）14．（某某）计算：︒+-+--30tan 220145310．13（密云）． 计算:-1001-4+-2（））二、解不等式或不等式组14（顺义）．解不等式34(23)x --≥3(32)x -，并把它的解集在数轴上表示出来．-3-2-132115(平谷)．求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜的整数解．14. （昌平） 解不等式组：34,554 2.x x x x +>⎧⎨-<-⎩14．（石景山）解不等式组211841x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩．15．（密云）解不等式：5（x ﹣2）+8＜6（x ﹣1）+7；三、化简求值：16．（顺义）已知2(20a b +-=，求2(2)(3)(3)a a b a b a b +-+-的值． 16（房山）已知：12=m ，求代数式)3)(2()1(2+--+m m m 的值.16．（东城）22[()()(2)](2)x y x y x y y x y y +--++-÷-已知2=4,求的值． 15（通州）．已知32=-a a ，求)3()1)(1(---+a a a 的值． 16．(平谷)已知a 2＋2a =3，求代数式22(1)(2)a a a ---的值．16（昌平）．已知3=y x ，求22222()x y x y xy xy y --÷-的值．16．（海淀）已知22440a ab b -+=，0ab ≠，求222()a ba b a b+⋅--的值. 15. （门头沟）已知13x y =，求y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222的值. 16．（石景山）已知当1=x 时，22ax bx +的值为2-，求当2x =时，2ax bx + 的值．16（丰台）．已知2220a a --=，求代数式321a (1)121a a a -÷+++的值. 16．（大兴）已知01722=-+x x ，求代数式1)3()23)(1(2+---+x x x 的值．16（怀柔）．已知20+5+4=x x ，求代数式2(21)(1)(-2)2x x x -+--的值．16．(某某)已知50x y -=，求222232x y x yx xy y x y-+⋅-++的值．16．（密云）先化简,再计算：已知:210x x --=求代数式2(2)(2)(1)x x x +-+-的值.四、解分式方程 14（房山） 解方程：12242=---x xx x .14．（通州）解方程：5113--=-x xx15（西城）．解分式方程：22142xx x +=-- 14．（门头沟）解分式方程26111x x x -=+- 15（怀柔）．解方程：11312=-+-xxx ．15．（某某）解分式方程：xx x -=+--23123． 解方程14．（东城）解方程：21080x x -+=．14．（海淀）解方程组：3,23 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩15.(丰台)解方程：2420x x -+=.14. （大兴）解方程组212x y x y +=⎧⎨-=⎩，．一、计算答案： 13.（房山）1+42⨯解：原式 ......................................4分.....................................5分13．（顺义）解：)1cos 60211π--++-°111122π=-++-……………………………………………………… 4分 π=…………………………………………………………………………5分13（东城）..解：原式=21-+ ……………………………………4分=1分13（通州）.解：()︒--+-+45sin 22820π= 1+2222-+………………………………..(3分) = 221+………………………………..(4分) 14．(平谷) (本小题满分5分)解：1012014tan 603-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭=31-+-------------------------4分=2+-----------------------------5分 13（昌）解：原式=1312+-…………………………………………………4分12+． ……………………………………………………………5分13（海淀）. 解：011|π12cos302--++-（）（）122=+-4分 =1.…………………………………………………………………………………5分13．（西城）解：101()(3)3tan304-+-π-+︒=4133++⨯······················ 4分=3+······················· 5分13. （门头沟）解= 431---4分=8-……………………………………………………5分13．（石景山）解： 原式1623233-+⨯+= …………………………………4分 534+= ………………………………………………………5分14(丰台)．解：原式213=+-…………………4分2=………………………………………5分13． 解： 1)41()25(45cos 28---+︒-π=41222-+-………………………………………………… 4分 =32- ．……………………………………………………………5分13.（怀柔） 3tan30︒+2-+212--（）=3+333⨯2++4………………………………4分9…………………………………………5分 14.（某某） 解：原式13531323………………………………………… 4分=112. …………………………………………………………………… 5分 13．(密云)二、解不等式或不等式组答案：14．（顺义）解：去括号，得 3812x -+≥96x -． ………………………………… 1分移项，得 86x x -+≥9312--． ………………………………………2分 合并同类项，得 2x -≥6-． ……………………………………………… 3分 系数化1，得 x ≤3． ………………………………………………………… 4分 把它的解集在数轴上表示为…………………………………………… 5分15(平谷)．(本小题满分5分)解：2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜由①得 21-≥x ； ----------------------------------------------------------------------------2分由②得 x<2．-----------------------------------------------------------------------------------3分∴ 此不等式组的解集为221<≤-x -------------------------------------------------------4分 ∴此不等式组的整数解为0，1． ----------------------------------------------------5分14．（昌平）解：34,554 2.x x x x +>⎧⎨-<-⎩①②①=3.............................5原式分分由①得，2x >-. ………………………………………………………………… 2分 由②得，3x <. …………………………………………………………………… 4分 ∴原不等式组的解集为：23x -<<. ……………………………………………… 5分 14（石景山）．解：21 1 84 1 x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩①②，解①得：2x ≥， ………………………………………2分 解②得：3x ≥． …………………………………………4分 则不等式组的解集是：3x ≥． …………………………………5分 15（密云）.10x-10+8<6x-6+7…………………1分 10x-6x<10-8-6+7………………2分 4x<3………………4分34x <………………5分 三、化简求值答案：16（顺义）解：2(2)(3)(3)a a b a b a b +-+-222249a ab a b =+-+………………………………………………………… 2分 2249a ab b =++……………………………………………………………… 3分∵2(20a b +-=，∴,2a b ==．……………………………………………………………… 4分∴原式22429233639=++⨯=+=+ 5分16. （房山）解：原式=m ²+2m +1-m ²-m +6=m +7 ...............................................................2分 ∵12=m ，∴m =±1 .................................................................3分当m =1时，原式=8； ..............................................................4分 当m =-1时，原式=6； 原式的值为8或6 ...............................................................5分16.（东城）22216.[()()(2)](2)(2)(2)1.3224,12.52x y x y y x y y xy y y x y x y x y --++-÷-=--÷-=++=∴+=解：分分15. （通州）解：)3()1)(1(---+a a a312+--=a a ………………………………..(2分)= 22+-a a ……………………………..(3分)32=-a a∴原式=22+-a a ………………………………..(4分)= 5 ………………………..(5分) 16．(平谷) (本小题满分5分) 解：22(1)(2)a a a ---=2222(44)a a a a ---+--------------------------------------------------------------------2分=222244a a a a --+---------------------------------------------------------------------------3分=224a a +-------------------------------------------------------------------------------------4分 ∵223a a += ∴原式=341-=-------------------------------------------------------------------------------5分16．(昌)解：原式=()()2()()2y x y x y x y xy x y -+-⋅-…………………………………………………………2分=2x y x+.……………………………………………………3分 ∵3xy=， ∴3x y =. ………………………………………………………4分原式=32233y y y +=⨯.………………………………………… 5分 16. （海淀）解：∵22440,a ab b -+=2(2)0.a b -=∴………………………………………………………………………1分2.a b =∴……………………………………………………………………………2分∵0ab ≠， ∴2222()()()()a b a ba b a b a b a b a b ++⋅-=⋅---+2a ba b+=+………………………………………………………3分 222b bb b+=+………………………………………………………4分 4.3=……………………………………………………………5分 15（门头沟）解：y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 =yx y y x y x y x y x x -+++-⋅-2))(()(22·················· 2分=yx y y x x -+-2)(2=)()(2y x y x -+． ·························· 3分当13x y =时，3y x =. ························ 4分 原式=2(3)(3)x x x x +-=－4. ······················· 5分16（石景山）．解：将1x =代人22ax bx +2-=中，得22-=+b a ……………………………………………2分 当2x =时，2ax bx +=42a b +……………………………………… 3分2(2)a b =+4=- …………………………………………5分 16．(丰台)解：原式=32(1)1a 121a a a a +-÷+++=()3211a a a a ÷++ =23a 11a a a+⨯+（）……………………………2分 =21a a + ……………………………………………3分 当2220a a --=时，222a a =+…………4分 原式=122a a ++=12……………………………………5分01722=-+x x ，分4 (1722)=+∴x x16.（怀柔） 解：2(21)(1)(-2)2x x x -+--．=222+2-1(-44)2x x x x x --+-． ………………………………………2分=2221+442x x x x +----． ………………………………………3分 =2+57x x -． ………………………………………4分当20+5+4=x x 时，原式=-4711-=-．………………………………………5分分分大兴）3.......................................................................10722.. (196231))3()23)(1(.(162222-+=+-+--+=+---+x x x x x x x x x 分5 (91))3()23)(1(2-=+---+∴x x x16. （某某）解：原式=2()()3()x y x y x y x y x y+-+⋅-+……………………………………………2 分 =3x y x y+-．…………………………………………………………3分 ∵ x －5y =0，∴ x =5y ．…………………………………………………………………4分∴ 原式=5325y y y y+=-．…………………………………………………………5分 （密云）222242 1................2231016.=x x x =2x x ............................3x x =-1.......................................5-+-+----=原式分分当时，原式分四、解分式方程14. （房山）解：()242x x x +=- ..................................1分24x =-2x =- ..................................3分经检验：2x =-是原方程的解∴原方程的解为2x =- ..................................5分14. （通州）解：5113--=-x x x)1(53--=-x x ………………………………..(1分)84=x2=x ………………………………..(3分)经检验：2=x 是原方程的根∴原方程的根是2=x ………………………………..(4分)15. （西城）方程两边同时乘以24x -，得22(2)4x x x ++=-， ······· 3分 解得，3x =-. ··························· 4分经检验，3x =-是原方程的解3x =- ·················· 5分14. （门头沟）解: 去分母，得()()()1611x x x x --=+-. ……………………2分 解得5x =-. ……………………4分检验：把5x =-代入()()110x x +-≠所以5x =-是原方程的解. ……………………5分15(怀柔)．解：11312=---x x x ,----------- 1分 132-=-x x , -----------2分34-=-x , ----------- 3分43=x .-----------4分 经检验，43=x 是原方程的解．----------- 5分 ∴原方程的解是43=x . 15.（某某） 解：将方程整理，得331022x x x -++=--． 去分母，得 x －3+3+x －2 = 0． ……………………………………………2分解得 x = 1． ……………………………………………3分经检验 x = 1是原分式方程的解． ………………………………………………4 分∴原分式方程的解为x = 1．…………………………………………………………5 分五、解方程：14．（东城）解:09102=+-x x.22212108.11025825.2(5)17.3555x x x x x x x -=--+=-+-==+=变形为分配方，分整理，得分解得，分 14. （海淀）323 1. x y x y +=⎧⎨-=⎩， ①② 解：由①3⨯+②得,510x =.解得,2x =. …………………………………………………………………………2分 把2x =代入①得，1y =. ……………………………………………………………4分 ∴原方程组的解为2,1.x y =⎧⎨=⎩……….……………………………………………………5分 15.（丰台）解：∆＝244128-⨯⨯=，……………………1分∴x =，…………………………………3分∴1222x x ==……………5分14.(大兴)解：212x y x y +=⎧⎨-=⎩，①．② +①②得：23x x +=1x =． …………………………………………2分将1x =代入②得：12y -=，1-=y …………………………………………4分11x y =∴=-⎧⎨⎩原方程组的解是…………………………………………5分。

近三年部分地区二模中高档试题分类汇编一、规律类1．（2012.6门头沟12）一组按规律排列的式子：22b a ，432b a -，843b a ，1654ba -，…，其中第6个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．2．（2013.6房山12）观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．3．（2013.6东城12）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝ ；n A ∠＝4．（2012.6丰台12）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12f =+，2(3)13f =+，2(4)14f =+，…， 利用以上运算的规律写出()f n = (n 为正整数) ；(1)(2)(3)(100)f f f f ⋅⋅⋅= ．5．（2011.6西城12）对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++的值为 ．6．（2012.6西城12）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…都在y 轴上，对应的纵坐标分别为1，2，3，…．直线1l ，2l ，3l ，…分别经过点1A ，2A ，3A ，…，且都平行于x 轴．以点O 为圆心，半径为2的圆与直线1l 在第一象限交于点1B ，以点O 为圆心，半径为3的圆与直线2l 在第一象限交于点2B ，…，依此规律得到一系列点n B （n 为正整数），则点1B 的坐标为 ，点n B 的坐标为 ．7．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．8．（2013.6朝阳12）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，且A (-2，0)，B (0，1)，在直线 AB 上截取BB 1=AB ，过点B 1分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 1 、C 1，得到矩形OA 1B 1C 1；在直线 AB 上截取B 1B 2= BB 1，过点B 2分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 2 、C 2，得到矩形OA 2B 2C 2；在直线 AB 上截取B 2B 3= B 1B 2，过点B 3分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 3 、C 3，得到矩形OA 3B 3C 3；……则第3个矩形OA 3B 3C 3的面积是 ；第n 个矩形OA n B n C n 的面积是 （用含n 的式子表示，n 是正整数）．9．（2013.6西城12）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，点B 在x 轴的正半轴上，∠OAB =90°．⊙P 1是△OAB 的内切圆，且P 1的坐标为(3,1)．(1) OA 的长为 ，OB 的长为 ；(2) 点C 在OA 的延长线上，CD ∥AB 交x 轴于点D ．将⊙P 1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P 2，将⊙P 2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P 3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P 4，……⊙P n ．若⊙P 1，⊙P 2，……⊙P n 均在△OCD 的内部，且⊙P n 恰好与CD 相切，则此时OD 的长为 ．（用含n 的式子表示）y xA 2A 3C 3C 2A 1C 1OB 3B 2B 1B A OCBAD二、线段长1.（2012.6延庆17）已知：如图，在四边形ABCD 中， 60=∠C ，135=∠DAB ,8=BC ，62=AB求DC 的长．2.（2012.6平谷19）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A =150°∠D =90°，AD =4，AB =6，CD =34．求四边形ABCD 的周长．3.(2013.6西城22)如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan ∠BDC= 63．(1) 求BD 的长；(2) 求AD 的长．4.（2013.6丰台19）如图，四边形ABCD 中， CD=2， 90=∠BCD ， 60=∠B ,30,45=∠=∠CAD ACB ，求AB 的长．5.（2013.6朝阳19）．如图，在平行四边形ABCD 中，AD = 4，∠B =105º，E 是BC 边的中点，∠BAE =30º，将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，连接FC ，求四边形ABCF 的周长．6.（2013.6东城20） 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ； （2）若12∠=∠，23CD =，求ME 的值.7. （2013.6朝阳15）如图，为了测量楼AB 的高度，小明在点C 处测得楼AB 的顶端A 的仰角为30º，又向前走了20米后到达点D ，点B 、D 、C 在同一条直线上，并在点D 测得楼AB 的顶端A 的仰角为60º，求楼AB 的高．DAB CDCBA D FCE B A38. （2012.6通州19）已知相邻的两根电线杆AB 与CD 高度相同，且相距BC =50m ．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E 架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45°、23°，已知测角仪EF 高1.5m ，请你帮他算出电线杆的高度．（精确到0.1m ，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.43）9. （2012.6朝阳21）如图，港口B 在港口A 的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A 出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B 出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C 处，同时快艇到达D 处，测得D 处在C 处的北偏东60°的方向上，且C 、D 两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：414.12≈，732.13≈，236.25≈）10. (2012.6西城19)如图，某天然气公司的主输气管道途经A 小区，继续沿 A 小区的北偏东60︒方向往前铺设，测绘员在A 处测得另一个需要安装天然气的M 小区位于北偏东30︒方向，测绘员从A 处出发，沿主输气管道步行2000米到达C 处，此时测得M 小区位于北偏西60︒方向．现要在主输气管道AC 上选择一个支管道连接点N ，使从N 处到M 小区铺设的管道最短．(1)问：MN 与AC 满足什么位置关系时，从N 到M 小区 铺设的管道最短？(2)求∠AMC 的度数和AN 的长.三、圆与切线1. （2013.6石景山20）如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ． （1）求证：点E 为BC 中点； （2）若tan ∠EDC =25，AD =5，求DE 的长． 解：2.（2013.6西城21）．如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ， ⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点， 过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ．(1) 求证：DE ⊥AC ；(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3sin 4∠=ABC ，求OFFC 的值．东60°45°北CDBA3.（2013.6东城21）如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，AC =3，CD 是⊙O 的直径，P是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．4.（2013.6朝阳20）如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 是BC 上的一点，且满足∠BAD ＝12∠C ，以AD 为直径的⊙O 与AB 、AC 分别相交于点E 、F .（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线； （2）连接EF ，若tan ∠AEF ＝43，AD ＝4，求BD 的长.5．（2013.6丰台20）已知：如图，直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过点C 作CD ⊥P A ，垂足为点D ． （1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若tan ∠ACD =21，⊙O 的直径为10，求AB 的长．四、操作与实践1.(2013.6西城22)在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 经过变换τ得到点(,)P x y '''，该变换记作),(),(y x y x ''=τ，其中⎩⎨⎧-='+='by ax y by ax x ,(,a b 为常数)．例如，当1a =，且1b =时，)5,1()3,2(-=-τ．(1) 当1a =，且2b =-时，(0,1)τ= ；(2) 若(1,2)(0,2)τ=-，则a = ，b = ；(3) 设点(,)P x y 是直线2y x =上的任意一点，点P 经过变换τ得到点(,)P x y '''．若点P 与点'P 重合，求a 和b 的值．2.（2013.6丰台22）一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（2-）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． （1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B ，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C ；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结AE 、BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE 、EB 、BA 平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．yxO11 FEO C AB DABPOCD E53.（2012.6东城22）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i 3=i 2·i =-1×i =-i ，则i 4= ， i 2011=______________，i 2012=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．4.（2013.6石景山22）．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ．（1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长；（2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值范围： ．5.（2012.6燕山22）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度α（α<360°）后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，α为这个旋转对称图形的一个旋转角. 例如，正方形绕着它的对角线交点旋转90°、180°、270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°、180°、270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角.请依据上述规定解答下列问题： （1）判断下列命题的真假：① 等腰梯形是旋转对称图形. ② 平行四边形是旋转对称图形. （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是__________(写出所有正确结论前的序号).①等边三角形 ②有一个角是60°的菱形 ③正六边形 ④正八边形 （3）正五边形显然满足下面两个条件：① 是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°.② 是轴对称图形，但不是中心对称图形.思考：还有什么图形也同时满足上述两个条件？请说出一种.6.（2011.6西城22）如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB 与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形．7.（2012.6门头沟22）. 数学课上，同学们探究发现：如图1，顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明. （1）证明后，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图2、图3也具有这种特性．请你在图2、图3中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数； 图 136︒CA 图 245︒45︒图 336︒36︒ENMDC B A（2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可以把它分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出此三角形的各内角的度数．（说明：要求画出的既不是等腰三角形，也不是直角三角形．）8.（2013.6东城22）. 阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE.②分别以D，E为圆心，以大于12DE为半径作弧，两弧在AOB∠内交于点C.③作射线OC，则OC就是AOB∠的平分线小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：作法：①利用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OM，ON，使OM=ON.②分别过以M，N为OM，ON的垂线，交于点P.③作射线OP，则OP就是AOB∠的平分线.小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：（1）小聪的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮小颖设计用刻度尺作AOB∠平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.9.（2012.6大兴22）．阅读材料1：把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割——重拼”．如图1，一个梯形可以分割——重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以分割——重拼为一个正方形．（1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；阅读材料2：如何把一个矩形ABCD（如图6）分割——重拼为一个正方形呢？操作如下：①画辅助图:作射线OX，在射线OX上截取OM＝AB，MN＝BC．以ON为直径作半圆，过点M作MI⊥OX，与半圆交于点I；②如图6，在CD上取点F，使AF＝MI，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．（2）请依据上述操作过程证明得到的四边形EBHG是正方形.7四、代数综合 1．（2013.6西城）已知关于x 的一元二次方程 (m +1)x 2 + 2mx + m - 3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足条件的最小奇数时，求方程的根.2．（2012.6朝阳22）已知二次函数c x x y ++=22．（1）当c ＝－3时，求出该二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（2）若－2＜x ＜1时，该二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围． 3．（2013.6朝阳）23．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4-m )x +1-m = 0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =x 2+(4-m )x +1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y =x +b 与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b 的值．4．(2013.6海淀23）已知：抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ． （1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线2(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．①求m 的取值范围；②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ．5．(2012.6海淀23）已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保 持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13y x b =+与 新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.-1-2-3-4-5881234567-4-3-2-17654321O xyyxO6．(2011.6海淀23 ）已知关于x 的方程2(32)(3)0mx m x m +-+-=，其中0m >。