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2011年高考数学真题分类汇编——函数与导数 （4）一、选择题1.（全国Ⅱ理8）曲线21xy e -=+在点（0,2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23 (D)12.（全国Ⅱ理9）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=(A)12-(B)14-(C)14 (D)123.（山东理9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是4.（山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）95.（山东文4）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 （A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（陕西理3）设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ）7.（陕西文4） 函数13y x =的图像是 （ ）8.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）（A ）1ln||y x =. （B ）3y x =. （C ）||2x y =. （D ）cos y x =.9.（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）（A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x =10.（四川理7）若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图象大致是11.（四川文4）函数1()12x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是 12.（天津理2）函数()23x f x x=+的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1Ｄ．()1,2二、填空题13.（陕西文11）设lg ,0()10,0xx x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______. 14.（陕西理11）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．15.（陕西理12）设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = ．16.（山东理16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x xb a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、选做题：17.（广东文19） 设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 18.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 17.解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ，当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．18221212122(1)2(1)1'(),112(1)2(1)1012(1)()310,'()23110,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x xa a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=>=<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)110,'()0,()(0,)311'()0(0),()(0,)1110,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x xa x x f x x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>==+；当时，在(内为减函数当时，在内为增函数；当时，在内为增函数；当时，所以在定义域内有唯一零点②③④11111;0'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；综（其中121122x x a a ==）。
北京市各区11年二模文导数试题集锦18. (本小题满分14分)（昌平区11年二模文）设函数R b a b ax x a x x f ∈+++-=、其中,4)1(3)(23（Ⅰ）若函数)(x f 在3=x 处取得极小值是21，求b a 、的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的单调递增区间;（Ⅲ）若函数()f x 在)1,1(-上有且只有一个极值点, 求实数a 的取值范围. 解：（I ） a x a x x f 4)1(2)(2'++-= .......3分04)1(69)3('=++-=∴a a f 得 23=a ......4分 21)3(=f 解得： 4-=b ………5分 （II ）)2)(2(4)1(2)(2'--=++-=x a x a x a x x f令22,0)('===x a x x f 或即 …..7分当2,21<>>x a x a 时，，即)(x f 的单调递增区间为),2)2,(+∞-∞a 和（….8分 当0)2()(12'≥-==x x f a 时，，即)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞….9分当2,21><<x a x a 时，，即)(x f 的单调递增区间为),2)2,(+∞-∞和（a …..10分（Ⅲ）由题意可得：⎩⎨⎧<∙-<0)1()1(1''f f a ……12分 a ∴的取值范围)21,21(- ……14分(18)（本小题共13分）（东城区11年二模文）已知函数x a x x f ln )(2-=(R a ∈)．（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1,)+∞上的最小值．证明（Ⅰ）：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x 时，0)1(2)(2>-='xx x f ，所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ……………………5分（Ⅱ）解：)0(2)(2>-='x xax x f ， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =．当0a >，当)2,0(ax ∈时，)(x f 单调递减； 当),2(+∞∈ax 时，)(x f 单调递增． 若12≤a，即02a <≤时，)(x f 在),1[+∞上单调递增， 又1)1(=f ，所以)(x f 在),1[+∞上的最小值为1． 若12>a ，即2>a 时，)(x f 在)2,1[a 上单调递减； 在),2(+∞a上单调递增．又ln 222a a a f =-， 所以)(x f 在),1[+∞上的最小值为ln 222a a a-． 综上，当2a ≤时，()f x 在[1,)+∞上的最小值为1； 当2a >时，()f x 在[1,)+∞上的最大值为ln 222a a a-．………13分 18.（本小题共14分）(丰台区11年二模文)已知函数21(),(0)2af x x a x=+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞， ………………1分2()af x x x '=-． ………………3分 ∵1x =时函数()y f x =取得极小值，∴(1)0f '=． ………………4分∴1a =． ………………5分 当1a =时，在(0,1)内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， ………………6分 ∴1x =是函数()y f x =的极小值点．∴1a =有意义． ………………7分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，322()a x af x x x x-'=-=．令()0f x '=，得x = ………………9分（ⅰ）当0a <时，………………11分（ⅱ）当0a >时，综上所述： ………………13分当0a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为，(0,)+∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为(,0)-∞，，单调递增区间为)+∞．………………14分18. （本小题共14分）(海淀区11年二模文） 已知函数321().3f x x ax bx =-+ (,)a b ∈R （I ）若'(0)'(2)1f f ==，求函数()f x 的解析式；（II ）若2b a =+，且()f x 在区间(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）因为2'()2f x x ax b =-+ ， …………………2分由'(0)'(2)1f f ==即1441b a b =⎧⎨-+=⎩得11a b =⎧⎨=⎩， …………………4分所以()f x 的解析式为321()3f x x x x =-+. …………………5分(Ⅱ)若2b a =+，则2'()22f x x ax a =-++，244(2)a a ∆=-+ ， …………………6分 （1）当0∆≤，即12a -≤≤时，'()0f x ≥恒成立，那么()f x 在R 上单调递增， 所以，当12a -≤≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增； …………………8分 （2）解法1：当0∆>，即2a >或1a <-时，令2'()220f x x ax a =-++=解得1x a =2x a =+ …9分 列表分析函数()f x 的单调性如下：…………………10分要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，只需210'(0)0a a a f ><-⎧⎪<⎨⎪≥⎩或或211'(1)0a a a f ><-⎧⎪>⎨⎪≥⎩或，解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分 解法2：当0∆>，即2a >或1a <-时，因为2'()22f x x ax a =-++的对称轴方程为x a = …………………9分要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，需1'(0)0a f <-⎧⎨≥⎩或2'(1)0a f >⎧⎨≥⎩解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分综上：当[2,3]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增. …………………14分 18.（本小题满分14分）（西城区11年二模文）设函数()e xf x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数()()e g x f x x =-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x =在点00(,())P x f x （其中00x <）处的切线为l ，l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.解：（Ⅰ）由已知()e e xg x x =-，所以()e e xg x '=-， ……………2分由()e e 0xg x '=-=，得1x =， ……………3分所以，在区间(,1)-∞上，()0g x '<，函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分 在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分 即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞. （Ⅱ）因为()e xf x '=，所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：000ee ()x x y x x -=-. ……………7分切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )xxx -， ……………9分 因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22x x S x x x x =--=-+， ……………10分 0201e (1)2x S x '=-， ……………12分在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减.…………13分所以，当01x =-时，S 有最大值，此时2eS =， 所以，S 的最大值为2e. ……………14分 18. （本小题满分13分）（顺义区11年二模文）设函数c x b ax x f +-=232)(，其图像过点（0,1）. （1）当方程01)('=+-x x f 的两个根分别为是21，1时,求f(x)的解析式；（2）当0,32≠=b a 时，求函数f(x)的极大值与极小值.解：由题意可知，f(0)=1所以c=1 ………… ………………………. ……………………….1分(Ⅰ)由,12)(23+-=x b ax x f 得bxax x f -=2'3)(.因为01)('=+-x x f ，即0132=+--x bx ax 的两个根分别为1,21 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+--⨯011301212413b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==232b a 故132)(23+-=x x x f ………… ………………………. ……………………….6分 （Ⅱ）c x b x x f +-=23232)(所以，)2(22)(2'b x x bx x x f -=-=………… ………………………. ……………………….7分①若b>0，则当)0,(-∞∈x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增当)2,0(b x ∈时，0)('<x f 函数f(x)单调递减当),2(+∞∈b x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增因此，f(x)的极大值为f （0）=c=1,f(x)的极小值为241)23b b f -=（ ……… ………………………. ……………………….10分②若b<0，则当)2,(b x -∞∈时，0)('>x f 函数f(x)单调递增当)0,2(b x ∈时，0)('<x f 函数f(x)单调递减当),0(+∞∈x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增因此，f(x)的极大值为241)23b b f -=（f(x)的极小值为f （0）=1.综上所述，当b>0时, f(x)的极大值为1, 极小值为2413b -,当b<0时, f(x)的极大值为2413b -, 极小值为 1. ………………. ……………………….13分20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P . （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①(1)xy a a =>； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例. 证明（Ⅰ）：①函数)1()(>=a a x f x具有性质P . ……………1分111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a-+-++-=+-=+-，因为1>a ，1(2)0x a a a+->， ……………3分 即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分 例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ， 此函数不具有性质P . （Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n -中第一个大于0的值， ……………6分则0)1()(>--i f i f ， 因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>，与0)(=n f 矛盾， 所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤. ……………9分（Ⅲ）不成立. 例如2()()x x n x f x xx -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数.……………10分证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分.如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()()x x f x x⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）20. （本小题满分14分）(顺义区11年二模文)对于定义域分别为N M ,的函数)(),(x g y x f y ==，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈⋅=,),(,),(,),()()(N x M x x g N x M x x f N x M x x g x f x h 且当且当且当 (1) 若函数R x x x x g x x f ∈++=+=,22)(,11)(2,求函数)(x h 的取值集合； (2) 若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα2,0∈，请问，是否存在一个定义域为R 的函数)(x f y =及一个α的值，使得x x h cos )(=，若存在请写出一个)(x f 的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由。
2011年高考理科函数解答题一．北京18．（本小题共13分）已知函数2()()x kf x x k e =-。
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围。
解：（Ⅰ）.)(1)(122xe k x kx f -=' 令()00='f ，得k x ±=.当k>0时，)()(x f x f '与的情况如下 x(k -∞-,)k -(k -,k) k ),(+∞k)(x f ' + 0— 0 + )(x f↗124-e k↘↗所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -当k<0时，)()(x f x f '与的情况如下 x(k -∞-,)k -(k -,k) k ),(+∞k)(x f '— 0 + 0— )(x f↘↗124-e k↘所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -（Ⅱ）当k>0时，因为e e k f k1)1(11>=++，所以不会有.1)(),,0(ex f x ≤+∞∈∀ 当k<0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是.4)(2ek k f =- 所以ex f x 1)(),,0(≤+∞∈∀等价于.14)(2e e k k f ≤=-- 解得021<≤-k . 故当.1)(),,0(e x f x ≤+∞∈∀时，k 的取值范围是).0,21[-二．湖北21.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设(),1,2,,k k a b k n = 均为正数，证明：（1）若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++ ，则12121nb bbn a a a ∴≤（2） 若121n b b b +++= ，则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤≤+++ 。
1. (2011·贵州四校一联)函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是( B )A.211(0)x y e x +=->B.)(112R x e y x ∈-=+C.)0(112>+=-x e y xD.)(112R x e y x ∈+=-2. (2011·贵州四校一联)函数)1(log )(++=x a x f a x 在［0，1］上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( C)A.41 B.4 C.21 D.23. (2011·贵州四校一联)若函数)(),(x g x f 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，则有（ D ）A ．)0()3()2(g f f <<B ．)2()3()0(f f g <<C ．)3()0()2(f g f <<D ．)3()2()0(f f g <<4.(2011·贵州四校一联)给出以下四个命题：①若函数32()2f x x ax =++的图象关于点(1,0)对称，则a 的值为3-； ②若1(2)0()f x f x ++=，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；③在数列{}n a 中，11a =，n S 是其前n 项和，且满足1122n n S S +=+，则数列{}n a 是等比数列； ④函数33(0)xxy x -=+<的最小值为2．则正确命题的序号是 ①,② 。
5.(2011·贵州四校一联)（12分）已知函数0,1)63()1(3)(23<++++-=m x m x m mxx f 其中。
（1）若)(x f 在区间），和（∞+-∞1)0,(上是减函数，在区间（0，1）上是增函数，求m 的值。
（6分）（2）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3，求m 的取值范围。
【数学理】2011届高考模拟题（课标）分类汇编：函数与导数4．（2011北京朝阳区期末）下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是 (B)（A ）12log y x = （B ）21x y =- （C ）212y x =- (D) 3y x =- 2．（2011北京朝阳区期末）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+- ()a R ∈. （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程；（Ⅱ）当102a ≤<时，讨论()f x 的单调性. 解：（Ⅰ）当1a =-时，2()ln 1f x x x x=++-，(0,)x ? .所以222()x x f x x+-=′，(0,)x ? . ………（求导、定义域各一分） 2分因此(2)1f =′. 即曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线斜率为1. ………… 3分 又(2)ln 22f =+， …………………………………………………… 4分 所以曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程为ln 20x y -+=. ……… 5分 （Ⅱ）因为11ln )(--+-=xaax x x f ， 所以211()a f x a x x -=-+′221xa x ax -+--=，(0,)x ? . ………… 7分令2()1g x ax x a =-+-，(0,)x ? ，①当0a =时，()1g x x =-+，(0,)x ? ，当(0,1)x Î时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；……… 8分 当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x ′>，函数()f x 单调递增. …… 9分 ②当102a <<时，由()0f x ′=即210ax x a -+-=解得11x =，211x a=-.此时1110a->>， 所以当(0,1)x Î时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；…10分 1(1,1)x a∈-时，()0g x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增；……11分 1(1, )x a∈-+∞时，()0g x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减. …12分综上所述：当0a =时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+ 上单调递增； 当102a <<时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在1(1, 1)a -上单调递增；在1(1,)a-+ 上单调递减. …………………………………… 3．（2011北京朝阳区期末）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ），()0,()() 0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩（Ⅰ）若(1)0f -=， 且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求()F x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于0？解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=.因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40.a b a >⎧⎨∆=-=⎩ ……………………… 2分 所以24(1)0b b --=. 解得2b =，1a =. 所以2()(1)f x x =+.所以22(1) 0,()(1) 0.x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ …………………………………… 4分 （Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+=222(2)()124k k x --++-， ………………………… 6分所以当222k -≥或222k --≤时()g x 单调. 即k 的范围是(, 2]-?或[6,)+ 时，()g x 是单调函数． …………… 8分（Ⅲ）因为()f x 为偶函数，所以2()1f x ax =+.所以220,() 0.ax x F x ax x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ ……………………………………………… 10分 因为0mn <， 依条件设0m >，则0n <.又0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. ………………………………………………………… 12分 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.即()()0F m F n +>． ………………………………………………… 13分4．（2011北京丰台区期末）设偶函数()f x 在[0)+∞，上为增函数，且(2)(4)0f f ⋅<，那么下列四个命题中一定正确的是（D ）A ．(3)(5)0f f ⋅≥B ．(3)(5)f f ->-C ．函数在点(4(4))f --，处的切线斜率10k < D ．函数在点(4(4))f ，处的切线斜率20k ≥ 5．（2011北京丰台区期末）定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（γ>α>β）．6. （2011北京丰台区期末）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a <2时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值． 解：（I ）定义域为(1,)-+∞．12(2)()2(1)11x x f x x x x +'=+-=++． 令()0f x '>，则2(2)01x x x +>+，所以2x <-或0x >． 因为定义域为(1,)-+∞，所以0x >． 令()0f x '<，则2(2)01x x x +<+，所以20x -<<．因为定义域为(1,)-+∞，所以10x -<<．所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-． ………………………7分（II ）()(2)2ln(1)g x a x x =--+ （1x >-）．2(2)()(2)11a x ag x a x x x--'=--=++． 因为0<a <2，所以20a ->，02aa >-． 令()0g x '> 可得2ax a >-．所以函数()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,)2a a+∞-上为增函数． ①当032a a <<-，即302a <<时， 在区间[03]，上，()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,3)2a a-上为增函数． 所以min 2()()2ln 22a g x g a a a==---． ②当32a a ≥-，即322a ≤<时，()g x 在区间(03)，上为减函数． 所以min ()(3)632ln 4g x g a ==--． 综上所述，当302a <<时，min 2()2ln 2g x a a=--； 当322a ≤<时，min ()632ln 4g x a =--． ………………………14分7．（2011北京西城区期末）对于函数①1()45f x x x=+-，②21()log ()2x f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-，判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是(D) （A ）① （B ）②（C ）①③（D ）①②8. （2011北京西城区期末）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. ………………2分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………………6分 ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1(,)a+∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. …………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ……………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a aa==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-.9. （2011巢湖一检）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是(B)A .1y x=- B .333x x y x -=+- C .3log y x =D .3x y =10.（2011巢湖一检）已知函数2()l o g 16)f x =，命题p ：“2000,()()10x R f x af x ∃∈++=使”，则在区间[]4,1-上随机取一个数a ，命题p 为真命题的概率为(B)A .13B .16C .23D .5611. （2011巢湖一检）求定积分2132x dx -=⎰12． 12. （2011巢湖一检）已知()sin f x x a x =+．(Ⅰ)若()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当常数0a >时，设()()f x g x x =，求()g x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 解：(Ⅰ)∵()f x 在( )-∞+∞，上为增函数， ∴()1cos 0f x a x '=+≥对( )x ∈-∞+∞，恒成立. ……………………2分令cos t x =，则10at +≥对[1 1]t ∈-，恒成立， ∴1(1)0110a a +⋅-≥⎧⎨+⋅≥⎩，解得11a -≤≤，∴实数a 的取值范围是[1 1]-，. ……………………6分 (Ⅱ)当0a >时，()sin ()1f x a x g x x x ==+，∴2(cos sin )()a x x x g x x -'=，…………………8分 记()cos sin (0)h x x x x x π=-∈，，，则()sin 0h x x x '=-<对(0)x π∈，恒成立， ∴()h x 在(0)x π∈，上是减函数，∴()(0)0h x h <=，即()0g x '<，∴当0a >时，()()f x g x x =在()π0，上是减函数，得()g x 在5 66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数. ∴当6x π=时，()g x 取得最大值31a π+；当56x π=时，()g x 取得最小值315aπ+.13. (2011承德期末)函数1212)(2--+=x x x x f 的定义域是（ D ） A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠21x x B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21x x C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠-≠121x x x 且 D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->121x x x 且14. (2011承德期末)曲线x x y ln =在点()e e ,处的切线方程为（A ）A.e x y -=2B. e x y --=2C. e x y +=2D. 1--=x y15.(2011承德期末)若mn -表示[])(,n m n m <的区间长度，函数=)(x f )0(>+-a x x a 的值域区间长度为)12(2-，则实数a 的值是（ A ）A ．4B ．2C ．2D ．1 16. (2011承德期末)设定义在R 上的函数)(x f 满足：①对任意的实数R y x ∈,，有);()()(y f x f y x f =+②当1)(0>>x f x 时，.数列{}n a 满足)()1(1)(),0(11*+∈--==N n a f a f f a n n 且.（Ⅰ）求证：)(1)(x f x f -=，并判断函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）令n b 是最接近n a 的正整数，即)(21*∈<-N b b a n n n ，设)(11121*∈+++=N n b b b T nn，求 1000T ；解：（1）令1,0==x y,0))0(1)(1(=-f f . 1)1(>f ∴1)0(=f .∵1)(0>>x f x 时，.∴)()()()0(1x f x f x x f f -=+-==.∴)(1)(x f x f -=…………… 3分∴1)(00<<<x f x 时， ∴0)(>∈x f R x 时，设()[]()()121121221)(,x x f x f x x x f x f x x -=-+=<而1)(,01212>->-x x f x x ∴)()()()(11212x f x x f x f x f >-=∴)(x f 在R 上是增函数. ………………6分（2）)1()(,1)0(11+===+n n a f a f f a∴11+=+n n a a ， )(*∈=N n n a n .令2121),(+<<-∈=*k n k N k k b n 即414122++<<+-k k n k k .∵n k ,都是正整数，∴k k n k k +≤≤+-221.∴满足k b n=的正整数n ，有()k k k k k 21122=++--+（个）2232100031<< 993132322=+-4162321831162316214121111000211000=⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=+++=b b b T ……12分17. (2011承德期末)已知函数223241)(234--++-=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]2,1上单调递增.（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若关于x 的方程m f x =)2(有三个不同实数解，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若函数[]p x f y +=)(log 2的图象与坐标轴无交点，求实数p 的取值范围.解：（Ⅰ）∵函数)(x f 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]2,1上单调递增，∴1=x为其极小值点，0)1(='f ，21=a …………… 3分 （Ⅱ）由（1）得22213241)(234--++-=x x x x x f()()()12122)(23+---=-++-='x x x x x x x f可得函数)(x f 的极大值为38)2(,125)1(-=-=-f f ，极小值为1237)1(-=f∵关于x 的方程m f x =)2(有三个不同实数解，令)0(2>=t t x ，即关于t 的方程mt f =)(在()+∞∈,0t 上有三个不同实数解，即)(t f y =的图象与直线m y =在()+∞∈,0t 上有三个不同的交点，画出)(t f y =的图像，观察可得381237-<<-m 综合①②得 1217125<<p ……………18．(2011东莞期末)已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()f x 的图象关于直线1x =对称，那么下列式子中对任意x R ∈恒成立的是 (D) A . (1)()f x f x += B . (2)()f x f x += C . (3)()f x f x += D . (4)()f x f x +=19．(2011东莞期末)为了预防流感，某段时间学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 设药物开始释放后第t 小时教室内每立方米空气中的含药量为y 毫克．已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为132t ay +⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数）．函数图象如图所示.根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求从药物释放开始每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）按规定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少时间，学生才能回到教室？解: (1)解：函数图象由两线段与一段指数函数图象组成，两曲线交于点（0.1，1），故t ∈（0，0.1]时，由y （毫克）与时间t （小时）成正比，可设y kt =， ……………………………2分所以有10.1k =，即10k =，y =10t ； ……………………………4分t ∈[0.1，+∞）时，将（0.1，1）代入132t ay +⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1101132a +⎛⎫=⎪⎝⎭，即得110a =-． ……………………………6分 故所求函数关系为：(][)110100,0.110.1,32t t t y t -⎧∈⎪=⎨⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩． ……………………………8分（2）令11105()210120.25232t t ----⎛⎫=<= ⎪⎝⎭， ……………………………10分得，15()210t --<-，12t >，即0.5小时以后． ……………………………11分答：至少30分钟后，学生才能回到教室. ……………………………12分20．(2011东莞期末)已知函数22()2ln f x a x x =-(常数0)a >.(1)求证：无论a 为何正数，函数()f x 的图象恒过点(1,1)A -； (2) 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(3)讨论函数()f x 在区间2(1,)e 上零点的个数（e 为自然对数的底数）解：(1)∵2(1)2ln11011f a =-=-=-(第17题图)∴无论a 为何正数，函数()f x 的图象恒过点(1,1)A -． ……………………………2分(2)当 1a =时，2()2ln f x x x =-，2()2f x x x'∴=-. (1)0f '∴=. ……………………………3分又(1)1f =-，∴曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为10y +=． ……………………………4分(3) 22()2ln f x a x x =-，所以222222()2a a x f x x x x-'=-=2()()x a x a x--+=. ……………………………5分因为0x >，0a >，于是当0x a <<时，()0f x '>，当x a >时，()0f x '<. ……………………………6分所以()f x 在(]0,a 上是增函数，在[),a +∞上是减函数. ……………………………7分 所以，2ma x ()(f x f ==……………………………8分 讨论函数()f x 的零点情况如下．①当2(2ln 1)0a a -<，即0a <<函数()f x 无零点，在2(1,)e 上也无零点；…………9分②当2(2ln 1)0a a -=，即a =()f x 在(0,)+∞内有唯一零点a ，而 21a e <=，∴()f x 在2(1,)e 内有一个零点； ……………………………10分③当2(2ln 1)0a a ->，即a >由于(1)10f =-<，2()(2ln 1)0f a a a =->，22242422()2ln 4(2)(2)f e a e e a e a e a e =-=-=-+，当220a e -<22e a <<时，2212e a e <<<<，2()0f e <，由单调性可知，函数()f x 在(1,)a 内有唯一零点1x 、在2(,)a e 内有唯一零点2x 满足，()f x 在2(1,)e 内有两个零点；…11分当220a e -≥时，即22e a ≥>2()0f e ≥，而且221202f a e a e =⋅-=->，(1)10f =-<由单调性可知，无论2a e ≥还是2a e <，()f x 在内有唯一的一个零点，在2)e 内没有零点，从而()f x 在2(1,)e 内只有一个零点； ……………………………13分（注：这一类的讨论中，若没有类似“0f >来说明唯一零点在内”的这一步，则扣去这2分）综上所述，有：当0a <<()f x 无零点；当a =22e a ≥时，函数()f x 有一个零点；22e a <<时，函数()f x 有两个零点. ……………………………21．（2011佛山一检）已知三次函数()()32,,f x ax bx cx a b c R =++∈.（Ⅰ）若函数()f x 过点(1,2)-且在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有12()()f x f x t -≤，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时()f x 的表达式.解：（Ⅰ）∵函数()f x 过点(1,2)-，∴(1)2f a b c -=-+-=， ①又2()32f x ax bx c '=++，函数()f x 点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=，∴(1)2(1)0f f =-⎧⎨'=⎩，∴2320a b c a b c ++=-⎧⎨++=⎩， ②由①和②解得1a =，0b =，3c =-，故 3()3f x x x =-； ---------------------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±，∵(3)18f -=-，(1)2f -=，(1)2f =-，(2)2f =， ∴在区间[]3,2-上max ()2f x =，min ()18f x =-，∴对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x ，12|()()|20f x f x -≤，∴20t ≥，从而t 的最小值为20； ---------------------------------------8分 （Ⅲ）∵2()32f x ax bx c '=++，则 (0)(1)32(1)32f c f a b c f a b c '=⎧⎪'-=-+⎨⎪'=++⎩，可得6(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-．∵当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，∴(1)1f '-≤，(0)1f '≤，(1)1f '≤， ∴6||(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-(1)(1)2(0)4f f f '''≤-++≤，∴23a ≤，故a 的最大值为23， 当23a =时，(0)1(1)221(1)221f c f b c f b c '⎧==⎪'-=-+=⎨⎪'=++=⎩，解得0b =，1c =-，∴a 取得最大值时()323f x x x =-． ---------------------------------------14分22．（2011福州期末）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是(012),4am a m <<，不考虑树的粗细，现在用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD 。
2011年高考数学试题分类汇编：函数与导数一、选择题1.（安徽理3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）3 【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A. 2.(安徽理10) 函数()()m nf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则 ()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由 ()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选B.3.（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上. 4.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+g，则()()f x a x x 2'=3-4+1， 由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选A.5.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。
2011年高考数学试题分类汇编：函数与导数一、导数与切线方程 1. (重庆文3）曲线在点，处的切线方程为 （A ）， (B ），（C ），(D)，【答案】 A2。
（湖南文7)曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ )A ．12-B ．12 C ．22 D 22【答案】B【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++,所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
3。
（江西文4）曲线xy e =在点A （0，1）处的切线斜率为( ）A.1, B 。
2, C 。
e, D 。
1/e【答案】A【解析】1,0,0'===e x e y x 4.（全国Ⅰ文4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 (A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ 【答案】A5.(全国Ⅱ理8）曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 （B)12 (C ）23 （D ）1【答案】A6。
（山东文4）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 （A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）15【答案】C7。
(湖北文20）设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+,其中x R ∈，a 、b为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点(2,0）处有相同的切线l 。
（I) 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II)若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈,()()(1)fx g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。
二、函数与导数（一）选择题（辽宁文）（11）函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为B（A ）（1-，1） （B ）（1-，+∞） （C ）（∞-，1-） （D ）（∞-，+∞）（重庆文）3．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为A A ．31y x =- B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =（重庆文）6．设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是BA ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<（重庆文）7．若函数1()2f x x n =+-(2)n >在x a =处取最小值，则a =CA．1+ B．1 C ．3D ．4（辽宁文）（6）若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a =A（A ）21 （B ）32 （C ）43（D ）1 （上海文）15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗 （ A ）A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =（全国新课标文）（3）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是B（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -=（全国新课标文）（10）在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为C（A ）1(,0)4- （B ）1(0,)4 （C ）11(,)42 （D ）13(,)24（全国新课标文）（12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A（A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个 （全国大纲文）2．函数0)y x =≥的反函数为BA ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥（全国大纲文）10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=AA ．-12B ．1 4-C ．14D ．12（湖北文）3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x =DA ．xxe e-- B ．1()2x xe e -+ C ．1()2xx e e -- D ．1()2x xe e -- （福建文）6．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是C A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）（福建文）8．已知函数f （x ）=。
高考数学全国卷2011-2019导数分类汇编（文科）【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，f (x )>ln xx -1【解析】（1）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。
（2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2(2ln x -x 2-1x )， 考虑函数，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得， 从而当，且时，.【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间（2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】（1）f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.（2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)(1)x x k x x e +<+>-①.令1()(1)x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)xx x x x xe e e x g x e e ----'=+=--. ln ()1x f x x >-ln ()1xf x x >-0x >1x ≠ln ()1xf x x >-由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ，则(1,2)a ∈.当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2【2013新课标1】20. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 【解析】(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x⎛⎫-⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．【2013新课标2】21．已知函数f(x)＝x 2e －x . (1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝－e －x x(x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x ∈(0,2)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0； 当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f′(t)(x －t)＋f(t)． 所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝()223'()22f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝2x x+(x≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[∞)； 当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞]．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[223+，＋∞]． 【2014新课标1】21．设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;（2）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围。
2011年高考数学真题分类汇编——函数与导数 （4）一、选择题1.（全国Ⅱ理8）曲线21xy e -=+在点（0,2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23 (D)12.（全国Ⅱ理9）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=(A)12-(B)14-(C)14 (D)123.（山东理9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是4.（山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）95.（山东文4）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 （A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（陕西理3）设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ）7.（陕西文4） 函数13y x =的图像是 （ ）8.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）（A ）1ln||y x =. （B ）3y x =. （C ）||2x y =. （D ）cos y x =.9.（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）（A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x =10.（四川理7）若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图象大致是11.（四川文4）函数1()12x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是 12.（天津理2）函数()23x f x x=+的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1Ｄ．()1,2二、填空题13.（陕西文11）设lg ,0()10,0xx x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______. 14.（陕西理11）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．15.（陕西理12）设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = ．16.（山东理16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x xb a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、选做题：17.（广东文19） 设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 18.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 17.解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．18221212122(1)2(1)1'(),112(1)2(1)1012(1)()310,'()23110,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x xa a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=>=<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)110,'()0,()(0,)311'()0(0),()(0,)1110,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x xa x x f x x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>=>=；当时，在(内为减函数当时，在内为增函数；当时，在内为增函数；当时，所以在定义域内有唯一零点②③④11111;0'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；综上所述，f(x)的单调区间如下表：（其中121122x x a a =-=+）。
