算法之动态规划问题

算法设计与分析中的动态规划问题研究动态规划是一种常用的算法设计与分析方法，它在解决许多问题时具有较高的效率和准确度。

本文将结合实例，深入研究动态规划在算法设计与分析中的应用。

动态规划是一种通过分解问题，将大问题转换为小问题并求解小问题的方法。

它与分治法类似，但动态规划所分解的小问题可能重叠，因此可以将解决过的小问题保存起来，避免重复计算，提高效率。

动态规划常用于求解最优化问题，如寻找最大值或最小值。

一个经典的动态规划问题是背包问题。

背包问题是指给定一个背包以及一系列物品，每个物品都有自己的价值和重量。

背包的容量是有限的，我们的目标是在保持背包总重量不超过容量的情况下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

假设我们有n个物品，背包的容量为W，我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示前i个物品恰好放入容量为j的背包的最大价值。

dp[i][j]的值可以通过以下的状态转移方程得到：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

根据状态转移方程，我们可以通过填表的方式，自底向上地计算dp[n][W]，即前n个物品放入容量为W的背包的最大价值。

除了背包问题，动态规划还可以用于求解其他类型的优化问题。

比如，在图论中，最短路径和最小生成树问题也可以使用动态规划来求解。

例如，最短路径问题可以通过定义一个二维数组dp[i][j]来表示从顶点i到顶点j的最短路径的长度。

通过状态转移方程dp[i][j] =min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])，我们可以逐步更新dp数组，最终得到从起点到终点的最短路径长度。

对于最小生成树问题，可以先计算任意两个顶点之间的最短路径，然后通过Prim算法或Kruskal算法来生成最小生成树。

除了上述问题，动态规划还可以用于解决其他一些经典问题，如编辑距离、最长公共子序列等。

动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。

由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。

不存在一种万能的动态规划算法。

但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。

多阶段决策过程最优化问题——动态规划的基本模型在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。

这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。

【例题1】最短路径问题。

图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。

现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。

用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。

具体计算过程如下：S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3S2: K=3，有：F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6S2: K=2，有：F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+F3(C3)}=min {9,12,14}=9F2(m)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10}=10S4：k=1，有：F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。

矩阵连乘问题（动态规划算法）动态规划算法思想简介：将⼀个问题分解为多个⼦问题，这点和分治法类似，但是每个⼦问题不是独⽴的⽽是相互联系的，所以我们在求解每个⼦问题的时候可能需要重复计算到其他的⼦问题，所以我们将计算过的⼦问题的解放进⼀个表中，这样就能避免了重复计算带来的耗费，这就是动态规划的基本思想；⼀般地，动态规划思想⼀般⽤来解最优化问题，主要分为以下四个步骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；（2）递归地定义最优值；（3）以⾃底向上的⽅式计算出最优值；（4）根据计算得到的最优值时得到的信息，构造最优解；同时，问题的最优⼦结构性质也是该问题可⽤动态规划算法求解的显著特征，这⾥的最优⼦结构性质即指：问题的最优解也即代表着它的⼦问题有了最优解；问题描述：分析过程如下：（1）分析最优⼦结构的性质：（2）分析递归关系，以及利⽤⾃底向上的⽅式进⾏计算：（3）获取最优值和最优解：代码如下：#ifndef MATRIX_CHAIN_H#define MATRIX_CHAIN_Hvoid matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s);void traceback(int i, int j, int **s);#endif#include <iostream>#include "matrix_chain.h"using namespace std;//利⽤动态规划算法获取最优值void matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s) //p:各个矩阵的列数，n：矩阵个数，m：m[i:j]矩阵i到j的相乘次数，s:对应的分开位置{for (int i = 0; i < n; i++){m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++){for (int i = 0; i < n - r + 1; i++){int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++){int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]){m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}//利⽤s[i][j]获取最优解void traceback(int i, int j, int **s){if (i == j)return;traceback(i, s[i][j], s);traceback(s[i][j] + 1, j, s);cout << "Multiply A" << i << " , " << s[i][j];cout << "and A" << (s[i][j] + 1) << " , " << j << endl;}#include <iostream>#include "matrix_chain.h"using namespace std;int main(void){int matrix_num = 0; //矩阵个数cout << "请输⼊矩阵个数：" << endl;cin >> matrix_num;int **m = new int *[matrix_num];for (int i = 0; i < matrix_num; i++)m[i] = new int[matrix_num];int **s = new int *[matrix_num];for (int i = 0; i < matrix_num; i++)s[i] = new int[matrix_num];int *p = new int[matrix_num];cout << "请输⼊各矩阵的列数：" << endl;for (int i = 0; i < matrix_num; i++){cin >> p[i];}matrix_chain(p, matrix_num, m, s);traceback(0, matrix_num - 1, s);system("pause");return1;}可结合我的另⼀篇关于贪⼼算法的博客进⾏⽐较，了解这两者的区别；。

『算法设计_伪代码』动态规划问题这⼀部分伪代码太长，所以只讲解解题⼿段
核⼼思想是将复杂问题化解为两个简单⼀点的问题，递归处理。

零、⼏个概念
最优⼦结构
⼀个问题的最优解包含其⼦问题的最优解
证明：反证法，a=b+c中a的最优解如果不是b和c的最优解，则b和c的最优解和将优于a的最优解，⽭盾，的证。

重叠⼦问题
解决问题的递归算法中会重复求解相同的⼦问题
解法：对每个⼦问题的第⼀次求解存⼊表中，再次求解时直接查询即可。

⼀、割绳⼦问题
r：表⽰最⼤价值
s：表⽰此时分割位置，如i=8时的2表⽰绳⼦分为2、6两段，2、6对应i=2和i=6的r
⼆、矩阵链乘问题
右表记录k值
pi表⽰Ai的第⼆维，pi-1表⽰Ai的第⼀维
三、最长公共⼦序列 (LCS)
问题描述
并不是通常意义上的公共⼦序列（和常见的算法题中的不⼀样），定义如下，
解法⽰意
1. xi=yi时直接将当前的左上格⼦数+1作为本格，箭头指向左上；
2. xi!=yi时⽐较上⽅格⼦和左⾯格⼦：
1. 上⽅不⼩于右侧，箭头指上，copy上⽅格⼦
2. 否则箭头指右，copy右侧格⼦
格⼦图⽣成先补0，然后由上到⼩⼀⾏⼀⾏的填充，⽽结果读取是从右下到左上的⽅向：
四、最优⼆叉查找树问题描述
解法⽰意
W为概率矩阵，e为消耗期望矩阵
先填W，后填e，注意表格⾏1:6,列0:5，root记录对应e位置的r的值。

重建时看root，[1,5]位置为2，表⽰2为根，分解为k1，{k3，k4，k5}，再看[3,5]为5，右⼦树5为根……。

动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。

它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。

即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。

动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。

2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。

3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。

5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。

动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。

它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。

总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。

动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。

编辑距离算法详解：LevenshteinDistance算法——动态规划问题⽬录背景：我们在使⽤词典app时，有没有发现即使输错⼏个字母，app依然能给我们推荐出想要的单词，⾮常智能。

它是怎么找出我们想要的单词的呢？这⾥就需要BK树来解决这个问题了。

在使⽤BK树之前我们要先明⽩⼀个概念，叫编辑距离，也叫Levenshtein距离。

词典app是怎么判断哪些单词和我们输⼊的单词很相似的呢？我们需要知道两个单词有多像，换句话说就是两个单词相似度是多少。

1965年，俄国科学家Vladimir Levenshtein给字符串相似度做出了⼀个明确的定义叫做Levenshtein距离，我们通常叫它“编辑距离”。

字符串A到B的编辑距离是指，只⽤插⼊、删除和替换三种操作，最少需要多少步可以把A变成B。

例如，从aware到award需要⼀步（⼀次替换），从has到have则需要两步（替换s为v和再加上e）。

Levenshtein给出了编辑距离的⼀般求法，就是⼤家都⾮常熟悉的经典动态规划问题。

这⾥给出Levenshtein距离的性质。

设d(x,y)表⽰字符串x到y的Levenshtein距离，那么显然：1. d(x,y) = 0 当且仅当 x=y （Levenshtein距离为0 <==> 字符串相等）2. d(x,y) = d(y,x) （从x变到y的最少步数就是从y变到x的最少步数）3. d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z) （从x变到z所需的步数不会超过x先变成y再变成z的步数）最后这⼀个性质叫做三⾓形不等式。

就好像⼀个三⾓形⼀样，两边之和必然⼤于第三边。

在⾃然语⾔处理中，这个概念⾮常重要，⽐如在词典app中：如果⽤户马虎输错了单词，则可以列出字典⾥与它的Levenshtein距离⼩于某个数n的单词，让⽤户选择正确的那⼀个。

n通常取到2或者3，或者更好地，取该单词长度的1/4等等。

最短路径问题的动态规划算法动态规划是一种解决复杂问题的有效算法。

最短路径问题是指在给定的图中找到从起点到终点路径中距离最短的路径。

本文将介绍动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。

1. 最短路径问题简介最短路径问题是图论中的经典问题之一，旨在找到从图中一点到另一点的最短路径。

通常使用距离或权重来衡量路径的长度。

最短路径问题有多种算法可以解决，其中动态规划算法是一种常用且高效的方法。

2. 动态规划算法原理动态规划算法的核心思想是将原问题分解为更小的子问题，并存储已解决子问题的结果，以供后续使用。

通过逐步解决子问题，最终得到原问题的解。

在最短路径问题中，动态规划算法将路径分解为多个子路径，并计算每个子路径的最短距离。

3. 动态规划算法步骤（1）定义状态：将问题转化为一个状态集合，每个状态表示一个子问题。

（2）确定状态转移方程：通过递推或计算得到子问题之间的关系，得到状态转移方程。

（3）确定初始状态：设置与最小子问题相关的初始状态。

（4）递推求解：根据状态转移方程，逐步计算中间状态，直到得到最终解。

（5）回溯路径：根据存储的中间状态，找到最短路径。

4. 动态规划算法示例以经典的Dijkstra算法为例，演示动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。

假设有带权重的有向图G，其中节点数为n，边数为m。

算法步骤如下：（1）定义状态：对于图G中的每个节点v，定义状态d[v]代表从起点到节点v的最短距离。

（2）确定状态转移方程：d[v] = min(d[u]+w[u,v])，其中u为节点v 的直接前驱节点，w[u,v]为边(u,v)的权重。

（3）确定初始状态：设置起点s的最短距离d[s]为0，其他节点的最短距离d[v]为无穷大。

（4）递推求解：根据状态转移方程逐步计算中间状态d[v]，更新最短距离。

（5）回溯路径：根据存储的前驱节点，从终点t开始回溯，得到最短路径。

5. 动态规划算法的优缺点优点：（1）求解速度快，适用于大规模问题。

动态规划算法--01背包问题基本思想：动态规划算法通常⽤于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中，可能会有许多可⾏解。

每⼀个解都对应于⼀个值，我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题，先求解⼦问题，然后从这些⼦问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于⽤动态规划求解的问题，经分解得到⼦问题往往不是互相独⽴的（即下⼀个⼦阶段的求解是建⽴在上⼀个⼦阶段的解的基础上，进⾏进⼀步的求解）。

若⽤分治法来解这类问题，则分解得到的⼦问题数⽬太多，有些⼦问题被重复计算了很多次。

如果我们能够保存已解决的⼦问题的答案，⽽在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免⼤量的重复计算，节省时间。

我们可以⽤⼀个表来记录所有已解的⼦问题的答案。

不管该⼦问题以后是否被⽤到，只要它被计算过，就将其结果填⼊表中。

这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

应⽤场景：适⽤动态规划的问题必须满⾜最优化原理、⽆后效性和重叠性。

1、最优化原理（最优⼦结构性质）最优化原理可这样阐述：⼀个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前⾯的决策所形成的状态⽽⾔，余下的诸决策必须构成最优策略。

简⽽⾔之，⼀个最优化策略的⼦策略总是最优的。

⼀个问题满⾜最优化原理⼜称其具有最优⼦结构性质。

2、⽆后效性将各阶段按照⼀定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态⽆法直接影响它未来的决策，⽽只能通过当前的这个状态。

换句话说，每个状态都是过去历史的⼀个完整总结。

这就是⽆后向性，⼜称为⽆后效性。

3、⼦问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。

其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本⽬的。

动态规划实质上是⼀种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产⽣过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要⼤于其它的算法。

最短路径问题的动态规划算法最短路径问题的动态规划算法是一种常用的解决路径优化的方法。

动态规划算法的核心思想是将原问题拆分成若干个子问题，通过递推关系找到最优解。

在最短路径问题中，我们通常希望找到从起点到终点的最短路径。

首先，我们需要定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到达坐标(i, j)的最短路径长度。

初始化dp数组，将起点的值设为0，其他位置的值设为无穷大（即表示不可达）。

接下来，我们需要确定动态规划的状态转移方程。

对于任意一个坐标(i, j)，它可以从上方的坐标(i-1, j)、左方的坐标(i, j-1)、右方的坐标(i, j+1)、下方的坐标(i+1, j)四个位置中的某一个到达。

因此，可以得到状态转移方程如下：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i][j+1], dp[i+1][j]) + 1
其中，min表示取其中的最小值。

通过以上状态转移方程，我们可以逐步更新dp数组，直到最终得到终点的最短路径长度。

需要注意的是，动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)，其中n 表示问题规模。

因此，在处理大规模最短路径问题时，需要考虑算法的效率，可能需要进行剪枝等优化操作。

总的来说，最短路径问题的动态规划算法在路径优化领域有着重要的应用价值，通过合理定义状态转移方程和优化算法效率，可以找到从起点到终点的最短路径长度，为路径规划提供有效的解决方案。