数字信号处理
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第二章：对离散确定信号 ()cos(0.48)cos(0.52)x n n n ππ=+ 作如下谱分析： 截取()x n 使()x n 成为有限长序列N(0≤≤n N -1)，(长度N 自己选)写程序计算出()x n 的N 点DFT ()X k ,画出时域序列图xn ～n 和相应的幅频图()~X k k。
解：1）求x(n)的前10点数据对应的X(ejw)、X(k)。
MATLAB 程序如下： N=10; n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); X=fft(xn,N); subplot(3,1,1) stem(n,xn,'.k'); title('时域序列图xn'); xlabel('n');axis([0,10,-2.5,2.5]); w=2*pi*(0:1:2047)/2048; Xw=xn*exp(-j*n'*w); subplot(3,1,2); plot(w/pi,abs(Xw)); title('幅频特性曲线X(ejw)'); xlabel('w'); axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3)k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; stem(w1/pi,abs(Xk),'.k'); title('频域序列图Xk');xlabel('频率（单位：pi ）'); axis([0,1,0,10]);x(n)的前10点数据对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-1所示。
12345678910时域序列图xnn0.10.20.30.40.50.60.70.80.910510幅频特性曲线X (ejw)w00.10.20.30.40.50.60.70.80.91频域序列图X k频率（单位：pi ）图1-1 x(n)的前10点数据对应的x(n)、X(ejw)、X(k)由图可见，由于截断函数的频谱混叠作用，X(k)不能正确分辨w1=0.48π、w2=0.52π这两个频率分量。
2）将x(n)补零至100点，求N=100点的X(ejw)、X(k)。
MATLAB 主要程序如下： N=10; n=0:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); N1=100; n1=0:N1-1;x1=[xn(1:10) zeros(1,90)];subplot(3,1,1)stem(n1,x1,'.k');title('时域序列图x1');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:2047)/2048;X1=x1*exp(-j*n1'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X1));title('幅频特性曲线X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)X=fft(x1,N1);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');title('频域序列图Xk');xlabel('频率（单位：pi）');axis([0,1,0,10]);x(n)补零至100点对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-2所示。
102030405060708090100时域序列图x1n0.10.20.30.40.50.60.70.80.910510幅频特性曲线X (ejw)w00.10.20.30.40.50.60.70.80.91频域序列图X k频率（单位：pi ）图1-2 x(n)补零至100点对应的x(n)、X(ejw)、X(k)x(n)补零至100点对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-2所示。
由图可见，x(n)补零至100点，只是改变X(k)的密度，截断函数的频谱混叠作用没有改变，这时的物理分辨率使X(k)仍不能正确分辨w1=0.48π、w2=0.52π这两个频率分量。
这说明，补零仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，而得不到高分辨率谱。
3）求x(n)的前100点数据，求N=100点的X(ejw)、X(k)。
MATLAB 主要程序如下： N=100; n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); X=fft(xn,N); subplot(3,1,1) stem(n,xn,'.k');title('时域序列图xn');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅频特性曲线X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,50]);subplot(3,1,3);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');title('频域序列图Xk');xlabel('频率（单位：pi）');axis([0,1,0,50]);100点x(n)对应的x(n)、X(ejw)、X(k)如图1-3所示102030405060708090100时域序列图xnn00.10.20.30.40.50.60.70.80.9150幅频特性曲线X (ejw)w00.10.20.30.40.50.60.70.80.91频域序列图X k频率（单位：pi ）图1-3 100点x(n)对应的x(n)、X(ejw)、X(k)由图可见，截断函数的加宽且为周期序列的整数倍，改变了频谱混叠作用，提高了物理分辨率，使X(k)能正确分辨w1=0.48π、w2=0.52π这两个频率分量。
这说明通过增加数据的记录长度Tp 来提高物理分辨率可以得到分辨率谱。
补零作用不能提高信号的频谱分辨率，因在x(n)后面补零并没有增加新的信息量，改善的仅是栅栏效应，所以补零是不能提高频率分辨率的，即得不到高分辨率谱。
这说明，补零仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，而要得到高分辨率谱，则要通过增加数据的记录长度p T 来提高物理分辨率。
第三章：对LTI 离散系统，若输入序列为x(n)，输出序列为 y(n)，系统的单位响应为h(n)，则输入、输出之间的关系为：时域：y(n)=x(n)⊗h(n) 频域：Y(k) =X(k) H(k)利用循环卷积与线性卷积的关系，采用DFT 计算系统的响应。
其中线性卷积的计算引入了DFT 分析离散序列的频谱。
(1)：已知LTI离散系统的系统函数：4321432104033.02605.08264.0035.110357.01428.02143.01428.003571.0)(--------+-+-++++=zz z zzzzzz H1） 求系统的脉冲响应h(n).2）输入x(n)=u(n), 求系统的零状态响应y(n).解 1）按H(z)|z=e j ω → H(e j ω)| ω=k(2π/N) → H (k), N 点H(k)可直接得到，对x (n) 作N=32点的DFT 。
注意，N 大于等于x (n) 的长度。
试验程序： 1）N=32;omega=0:2*pi/N:(2*pi*(N-1)/N);H=(0.03571+0.1428*exp(-j.*omega)+0.2143*exp(-2*j.*omega)+0.1428*exp(-3*j.*omega)+0.0354*exp(-4*j.*omega))./(1-1.035*exp(-j.*omega)+0.8264*exp(-2*j.*omega)+0.2605*exp(-3*j.*omega)+0.04033*exp(-4*j.*omega));x=[1，zeros(1,N-1)]; X=fft(x,N); Y=X.*H; y=ifft(Y,N);2) 求解当输入x (n) = u (n)时系统的零状态响应y(n),取x (n) = u (n)的长度为M＝40，计算N＝64点DFT。
实验程序：M=40; N=64;omega=[0:(N-1)]*2*pi/N;H=(0.03571+0.1428*exp(-j.*omega)+0.2143*exp(-2*j.*omega)+0.1428*exp(-3*j.*omega)+0.0354*exp(-4*j.*omega))./(1-1.035*exp(-j.*omega)+0.8264*exp(-2*j.*omega)+0.2605*exp(-3*j.*omega)+0.04033*exp(-4*j.*omega));x=ones(1,M);X=fft(x,N);Y=X.*H ;y=ifft(Y,N);figure(1);subplot(2,1,1); stem([0:M-1],x); xlabel('Time index n'); ylabel('x[n]');title ('Input signal and output signal');subplot(2,1,2); stem([0:M-1],real(y(1:M))); xlabel('Time index n');ylabel('y[n]');运行结果：0510152025303540Time index nx [n ]510152025303540Time index ny [n ](2)已知某LIT 系统的微分方程为)()(8)(2t x t y t y t y =+'+''）（ ，用Matlab 绘制系统的相位相位响应特性，幅度相应特性，频率响应的实部和虚部。
试验程序：b=1; a=[2 1 8]; [H,w]=freqs(b,a); Hm=abs(H); phai=angle(H); Hr=real(H); Hi=imag(H); subplot(221)plot(w,Hm),grid on,title('Magnitude response'),xlabel('Frequency in rad/sec') subplot(223)plot(w,phai),grid on,title('Phase response'), xlabel('Frequency in rad/sec') subplot(222)plot(w,Hr),grid on,title('Real part of frequency response'), xlabel('Frequency in rad/sec') subplot(224)plot(w,Hi),grid on,title('Imaginary part of frequency response'), xlabel('Frequency in rad/sec')运行结果：5100.20.40.60.8Magnitude responseFrequency in rad/sec 0510-4-3-2-10Phase responseFrequency in rad/sec510-0.4-0.200.20.4Real part of frequency responseFrequency in rad/sec510-0.8-0.6-0.4-0.2Imaginary part of frequency response Frequency in rad/sec第四章：1 :利用脉冲响应不变法设计巴特沃思数字高通滤波器，数字滤波器的技术指标为采样周期为T=1，比较当T分别为0.01，0.1，0.25，0.5，0.8是的数字滤波器的频率响应，观察是否能够通过改变采样周期来减少滤波器设计中的频谱混叠。
