【导入设计】第三章 3.1.1 函数的平均变化率 Z

3.1.1 平均变化率教学过程：一． 问题情境（1）情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：（2）问题1：“从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？”问题2：“AB 段与BC 段哪一段速度较快？”二． 师生活动（1）速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？（2）曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？（3）由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（4）在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言．三． 建构数学（1）通过比较位移在区间[]1,32上的平均变化率与位移在区间[]32,34上的平均变化率，感知曲线陡峭程度的量化．（2）一般地，给出函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率()()2121f x f x x x -- （3）回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构（4）用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙”逼迫“精确”．四． 课堂练习教师补例：甲、乙两汽车，速度从0/km h 分别加速到100/k h 和80/k h ，如何评判两车的性能？五． 数学应用例1．P68页例1、例2，并注意小结（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（月）？（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么？（3）例2中()0.15t V t e -=是一个随时间变化而变化的量，0.316-（3/cm s ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度？例2．P68-69页例3、例4，并注意小结（1） 例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化（2） 例3中四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？（3） 例4讲完后应让学生当堂回答课本中的思考．这种回答可能是多样性的，以增加课堂气氛．六． 课堂练习课本P69页练习2、3七． 回顾小结1．由平均变化率的实际意义到数学意义，体现了实际问题数学化的过程，建立的数学模型具有抽象的特征，也蕴含着数学应用的广阔性．2．由于平均变化率只是一种粗略的刻画，从而有待于进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立．八． 布置作业课本P69页4，P77页习题第1题。

①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量 y和平均变化率ΔyΔx； ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量 y和平均变化率ΔyΔx. (2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取 x都为13，哪一点附近的平均变化率 最大？ 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 解 (1)因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以 y＝f(x1＋ x)－f(x1) ＝2(x1＋ x)2＋3(x1＋ x)－5－(2x21＋3x1－5) ＝2[( x)2＋2x1 x]＋3 x ＝2( x)2＋(4x1＋3) x. ΔyΔx＝2Δx2＋4x1＋3ΔxΔx＝2 x＋4x1＋3. ①当x1＝4，x2＝5时， x＝1，
(1)在平均变化率的定义中，自变量x的增量 x＞0.( × ) (2)对于函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率也可以表示为fx2－fx1x2－x1.( √ ) (3)ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx是f(x)在区间[x0，x0＋ x]( x＞0)上的平均变化率，也可以 说是f(x)在x＝x0处的变化率．( × )
A．1 B．－1 C．2 D．－2 考点 题点 答案 B 解析 ΔyΔx＝1－33－1＝－1.
3．在曲线y＝f(x)＝x2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋ x,6＋ y)，则ΔyΔx为( )
A． x＋1Δx＋4
B． x－1Δx－4
C． x＋4
D．4＋ x－1Δx
考点
题点
答案 C
(2)当 t＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)． (3)当 t＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s).
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B 解析 s2.1－s22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2. 2．如图，函数y＝f(x)在1到3之间的平均变化率为( )

问：0—2时与2—21时，哪段时间的成交额变化快,为什么?
问：怎么量化0—2时与2—21时成交额变化快(图象陡峭)、慢(图象平缓)？
结论：成交额Q(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
Q t Q t -
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？
结论：成交额S(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
S t S t -
这是平均变化率的几何意义
(1)求0s-3s的速度平均变化率？（2）求3s-7s的速度平均变化率？（3）求7s-14s的速度平均变化率？
结论：
y
x
∆∆减小⇔割线斜率|k|减小⇔曲线变“平缓”.
y
∆增大⇔割线斜率|k|增大⇔曲线
分析：对高度进行等分，看在均等的Δx 内，注水量大小，最后从变化率大小结合图象及瓶子选出B。

函数的平均变化率本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修（文）1－1第三章导数及其应用中的内容，（理）2-2第一章中的内容，《平均变化率》。

为更好地把握这一课时内容，便于学生学习和理解，对本课时教学设计给予如下说明：一、教学内容分析：平均变化率主要通过大量的生活实例借助直观图形逐步引入“平均变化率”的概念，并在此基础上给出了它的两种应用——在生活中的应用以及在数学内部的应用。

本节课应着力渗透“局部以直代曲”思想、“数形结合”思想以及“极限（逼近）”思想，以便更好地为研究、学习后续的“瞬时变化率”乃至“导数的概念”奠定基础。

这节课是在学生在学习了函数、指、对数函数、幂函数、三角函数等知识后安排的一节内容，学生已经具备了一定的函数知识的素养。

本节课目的是在为导数的引出作必要的铺垫,在导数教学中起着承上启下的作用。

学好这一节，学生将会为以后理解导数的概念等知识打下一个良好的基础，同时学生对函数也有了更为完整的知识结构。

二、学生情况分析：同学们在物理中已经充分理解平均速度的概念，为函数的平均变化率打下了良好的基础。

且在之前的学习中，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为从数与形两方面考察函数的平均变化率提供了知识准备。

而平均变化率来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．但学生仅是比较熟悉平均速度，对于变量变化的快慢的认识以及表示比较模糊，还有，由实际问题抽象成函数表示，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

三、教学目标：知识与技能：(1)了解平均变化变化率的概念；(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。

情感、态度与价值观：(1)以实际生活为背景，引出平均变化率的相关内容，让学生感受到事物相联系的观点；(2)通过数形结合的手段解决问题，让学生体会到“无形不直观，无数不入微”的辩证思想；(3)通过本节的学习，体会数学模型在实际生活中的应用，提高数学的应用意识。