袁卫《统计学》配套题库【课后习题】(时间序列分析与预测)【圣才出品】

第8章时间序列分析与预测
思考题
1．联系实际举出三个时间序列的例子，并分别判断这些时间序列的性质。

答：（1）已知某人2010年全年的月收入时间序列，如表8-1所示。

此时间序列各个不同时期的指标值是可以相加的，这属于时期指标时间序列。

表8-1 某人2010年全年各月收入（单位：元）
（2）2003～2009年某省城镇总人口数时间序列，如表8-2所示。

此时间序列各个时点的指标值是不能相加的，这属于时点指标时间序列。

表8-2 2003～2009年某省城镇总人口数（单位：万人）
（3）某厂全体职工2004～2010年间各年的人均年收入时间序列，如表8-3所示。

此时间序列的各个指标值也不能够直接相加，这属于平均指标时间序列。

表8-3 某厂全体职工2004～2010年间各年的人均年收入（单位：元）
2．时间序列有哪些速度分析指标？它们之间的关系是什么？
答：（1）时间序列的速度分析指标有发展速度和增长速度。

①时间序列中报告期水平与基期水平之比，称为发展速度，说明现象报告期水平较基期水平的相对发展程度。

其计算公式为：
发展速度＝报告期水平/基期水平＝x t/x0
②由增长量与基期水平对比可计算增长速度，说明报告期水平较基期水平增长的相对程度。

起计算公式为：
增长速度＝增长量/基期水平＝（报告水平－基期水平）/基期水平
（2）发展速度与增长速度之间的关系为：
增长速度＝发展速度－1
3．为什么平均发展速度要用几何平均法计算？计算平均发展速度的几何平均法的特点是什么？
答：（1）平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数，通常采用几何平均法去计算。

这是由于现象发展的总速度并不等于各期环比发展速度之和，而是等于各期环比发展速度的连乘积，所以各期环比发展速度的序时平均数，不能在速度代数和基础上按算术平均方法去计算，而只能在速度连乘积基础上按几何平均法去计算。

（2）用几何平均法计算平均发展速度的特点是着眼于期末水平，不论中间水平变化过程怎样，只要期末水平确定，对平均发展速度的计算结果没有影响。

或者说用几何平均法计算平均发展速度隐含着一个假定：从时间序列的最初水平出发，以计算的平均发展速度代替各期的环比发展速度，计算出的期末水平与实际的期末水平相一致。

所以，计算平均发展速度的几何平均法也称为“水平法”。

4．甲企业近四年产品销售量分别增长了9%、7%、8%、6%，乙企业这四年产品的次
品率也正好是9%、7%、8%、6%。

这两个企业这四年的平均增长率和平均次品率的计算是否一样？为什么？
答：这两个企业这四年的平均增长率和平均次品率的计算是不一样的，甲企业近四年销售量的平均增长率应该用几何平均法进行计算，而乙企业这四年的平均次品率应该用简单算术平均数计算。

这是由于销售量发展的总速度等于近四年环比发展速度的连乘积，所以近四年环比发展速度的序时平均数，不能在速度代数和基础上按算术平均方法去计算，而只能在速度连乘积基础上按几何平均法去计算。

而乙企业这四年产品的次品率可以在速度代数和基础上按算术平均方法去计算。

5．时间序列构成要素组合模型的加法模型和乘法模型中，对季节因素的表述有什么区别？
答：时间序列组合模型的加法模型和乘法模型中包含了四类因素，这是时间序列的完备模式，但是并不是在每个时间序列中这四类因素都同时存在。

一般说来，在时间序列中长期趋势是经常存在的，季节变动因素和循环变动因素则不一定存在。

当季节变动成分或循环变动成分不存在时，在乘法模型中的S或C取值为1，在加法模型中的S或C取值为0。

有时也把长期趋势和循环变动合并称为趋势—循环因素。

6．测定长期趋势的移动平均法、指数平滑法和趋势拟合法各有什么特点？
答：（1）移动平均法具有如下特点：
①移动平均对原序列有修匀或平滑的作用，使得原序列的上下波动被削弱了，而且平均的时距项数K越大，对数列的修匀作用越强。

②移动平均时距项数K为奇数时，只需一次移动平均，其移动平均值作为移动平均项数的中间一期的数值；而当移动平均项数K为偶数时，移动平均值代表的是这偶数项的中间位置的水平，无法对正某一时期，则需再进行一次相邻两平均值的移动平均，这样才能使平均值对正某一时期，这称为移正平均，也称中心化的移动平均数。

③当序列包含季节变动时，移动平均时距项数K应与季节变动长度一致（如4个季度或12个月），才能消除其季节变动；若序列包含周期变动时，平均时距项数K应和周期长度基本一致，才能较好地消除周期波动。

④移动平均以后，其序列的项数较原序列减少，当K为奇数时，新序列首尾各减少（K －1）/2项；K为偶数时，首尾各减少K/2项。

所以移动平均会使原序列失去部分信息，而且平均项数越大，失去的信息越多。

因此，移动平均的项数不宜过大。

（2）指数平滑值E t实质上是各期观测值y t的加权平均数（权数和为1），各期权数呈指数递减形式，故称为指数平滑。

第t期平滑值包含了第t期及以前所有数据的信息，但又对不同时期的数据给予不同的权数，越是近期的数据，给予权数越大。

由于是平均值，对序列具有平滑修匀作用，能消除不规则变动的影响；又由于对各期数据赋予不同权数，体现了对各期数据的不同重视程度。

正是由于指数平滑的这些特点，使该方法有极为广泛的应用场合，特别是适合于一些趋势形态比较特殊、不大适合拟合某种曲线的序列。

（3）趋势拟合法首先通过绘制时间序列的线图来确定趋势成分，以及所存在的趋势是线性的还是非线性的。

对于线性趋势的拟合，是利用线性回归的方法对原时间序列拟合线性方程，消除其他成分变动，从而揭示出序列长期线性趋势的方法。

线性趋势方程的一般形式为：y∧i＝a＋bt。

对于非线性趋势拟合的形式多种多样，例如，可能为抛物线型、指数曲线型、修正指数曲线型、Gompertz曲线型、Logistic曲线型等，各种类型曲线的拟合方法各不相同。

7．测定季节变动的“原始资料平均法”的基本步骤和原理是什么？
答：当时间序列的长期趋势近似于水平趋势时，测定时间序列的季节变动可以不考虑长期趋势的影响，直接用原始资料平均法。

原始资料平均法也称为同期（月或季）平均法。

这是对原始时间序列数据不剔除长期趋势因素，直接计算季节比率的方法，其基本步骤为：
（1）计算各年同期（月或季）的平均数y ＿
i （i 表示月份或季度，i ＝1，2，…，12或i ＝1，2，3，4），其目的是消除各年同一季度（月份）数据上的不规则变动；
（2）计算全部数据的总平均数y ＿，找出整个序列的水平趋势；
（3）计算季节比率S i ，即 1,2,,121,2,3,4i i y S i i i y =(==)表示月份或季度,或
季节比率实际上是各年的同期平均数相对于整个序列平均水平变动的程度，也称为季节指数，可用相对比率或百分比表示。

在乘法模型中，季节比率有一个特性，这就是其总和等于季节周期L （＝12或4），或平均等于1，即∑S i ＝L 或
1i S S L
==∑
8．测定季节变动的“趋势-循环剔除法”的基本步骤和原理是什么？
答：（1）假定包含季节变动的时间序列的各影响因素是以乘法模型组合，其结构为Y ＝T ·C ·S ·I 。

以移动平均法为例，确定季节变动的方法步骤如下：
①对原序列计算平均项数等于季节周期L （如12个月或4个季度）的中心化移动平均数，以消除季节变动S 和不规则变动I ，所得移动平均的结果若以M 表示，M 只包含了趋势变动T 和循环变动C 。

②为了剔除原序列中的趋势变动T 和循环变动C ，将原数列各项数据除以移动平均序列对应时间的各项数据M ，即消除趋势变动和循环变动的序列为
Y T C S I S I M T C
⋅⋅⋅==⋅⋅ ③这里的各影响因素是以乘法模型组合的，所以这里计算的S ·I 是比率，而不是绝对量。

将消除趋势变动和循环变动的序列各年同月（或同季）的比率数据平均，以消除不规则变动，再分别除以全部S ·I 数据的总平均数，即得季节变动比率（也称季节指数）S 。

④对季节比率的调整。

季节比率的总和∑S i 应当等于季节周期的长度L ，如果计算的季节比率的总和接近于季节周期长度L ，则不必调整。

但是，计算的季节比率的总和有时不一定等于L ，这时需要对其进行调整。

调整的方法是以i L S ∑作为调整系数，将其误差分摊到各期的季节比率中去，经调整的季节比率为S *，则
*1,2,,i i L S S i L S =⨯=∑
（2）如果序列包含有明显的上升（或下降）趋势或循环变动，为了更准确地计算季节指数，就应当首先设法从序列中消除趋势因素，然后再用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出季节变动成分。

9．线性趋势与非线性趋势的区别是什么？
答：当时间序列的长期趋势近似地呈现为直线而发展，每期的增减数量大致相同时，则称时间序列具有线性趋势。

线性趋势的特点是其变化率或趋势线的斜率基本保持不变。

当时间序列在各时期的变动随时间而异，各时期的变化率或趋势线的斜率有明显变动但又有一定规律性时，现象的长期趋势将不再是线性的，这时现象的长期趋势可能是非线性趋势。