上海市各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(14)复数
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上海市各地市高考数学 最新联考试题分类汇编（14）复数
一、选择题:
18．（上海市闵行区2013年高考二模理）给出下列四个命题：
①如果复数z 满足||||2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应点的轨迹是椭圆． ②设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的∈R x ，|()||()|f x f x =-恒成立，则()f x 是R 上的奇函数或偶函数． ③已知曲线22:1916x y C -=和两定点()()5,05,0E F -、，若()y x P ,是C 上的动点， 则6PE PF -<．
④设定义在R 上的两个函数()f x 、()g x 都有最小值，且对任意的x ∈R ，命题“()0f x >或()0g x >”正确，则()f x 的最小值为正数或()g x 的最小值为正数．
上述命题中错误的个数是 （ ）
（A ）1．（B ）2．（C ）3．（D ）4．
【答案】D
16、（崇明县2013届高三一模）下面是关于复数21z i
=-+的四个命题： ①2z =；②22z i =；③z 的共轭复数为1i +；④z 的虚部为1-．
其中正确的命题（ ）
A ．②③
B ．①②
C ．②④
D ．③④
【答案】C
二、填空题:
1．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）若z C ∈，且1)3(=+i z ，则z =________________。
【答案】3i --
1．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）若复数z
满足109z z -=，则z 的值为___________.
【答案】3i ±
2．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）若复数z 满足
109z z
-=，则z 的值为．[ 【答案】3i ± 三、解答题:
20．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1
小题满分6分，第2小题满分8分.
已知复数12sin ,(sin 3cos )z x i z x x i λ=+=+-(,,x R i λ∈为虚数单位)
（1）若122z z i =，且(0,)x π∈，求x 与λ的值；
（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ ，若12OZ OZ ⊥，且()f x λ=，
求()f x 的最小正周期和单调递减区间.
【解析】⑴∵122z z i =，∴2sin 21(sin 3cos )x i x x i λ+=++
∴2sin 12sin 3cos x x x
λ=⎧⎪⎨=+⎪⎩， ∵(0,)x π∈，∴6x π
=或5
6
π
∴1λ=或12λ=- ⑵根据题意可知：12(sin ,),(sin 3cos ,1),OZ x OZ x x λ==+-
∵12OZ OZ ⊥，∴120OZ OZ ⋅=
∴2
sin 3sin cos 0x x x λ+-=
∴2sin 3sin cos x x x λ=+， ∴11(1cos23sin 2)sin(2)262
x x x πλ=
-+=-+ ∴最小正周期：22
T ππ== ∵sin x 在3[2,2],22k k k Z ππππ++∈上单调减 ∴根据复合函数的单调性：
32[2,2],622
x k k k Z πππππ-
∈++∈ ∴5[,],36
x k k k Z ππππ∈++∈ ∴()f x 在5[,],36k k k Z ππππ++∈上单调减 20．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知复数1sin i z x λ=+，2(sin 3cos )i z x x =+-(,R x λ∈，i 为虚数单位）．
（1）若122i z z =，且x ∈(0,π)，求x 与λ的值；
（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ ，若12OZ OZ ⊥，且()f x λ=，求 ()f x 的最小正周期和单调递减区间．
解：（1）由122i z z =，可得2sin 2i 1(sin 3cos )i x x x λ+=++，又,x λ∈R ，
∴2sin 1, 2sin 3cos ,
x x x λ=⎧⎪⎨=+⎪⎩又(0,π)x ∈，…………………………2分 故π,61, x λ⎧=⎪⎨⎪=⎩或5π,61.2x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
………………………6分
（2）12(sin ,),(sin 3cos ,1)OZ x OZ x x λ==+-，
由12OZ OZ ⊥，可得sin (sin 3cos )0x x x λ+-=， ………………………8分 又()f x λ=，故2()sin 3sin cos f x x x x =+
1cos23π1sin 2sin(2)2262
x x x -=+=-+…………………………11分 故()f x 的最小正周期πT =， …………………………12分 又由ππ3π2π22π(262k x k k +
≤-≤+∈Z ），可得π5πππ36
k x k +≤≤+， 故()f x 的单调递减区间为π5π[π,π]36k k ++()Z k ∈． …………………………14分 解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩
……………………………… 5分 ∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分
（2）当12z i =+时，
2(12)2(2)1w zi m i i m i m m =+=++=-++=-+1≥…………………… 10分
当12z i =-时，
2(12)2(2)1w zi m i i m i m m =+=-+=++=++1≥………………………13分 ∴w 1≥……………………………14分
2sin 23cos a b θθ⋅=-，………………………………………………………10分 )()(→→→→+⋅+b a b a λλ0)1()(222=⋅+++=→
→→→b a b a λλ.
得0)cos 32sin 2)(1(82=-++θθλλ，整理得)3
sin(122πθλλ--=+.……12分 因为]6,0[3ππθ∈-，所以]21,0[)3sin(∈-πθ. 只要012212≤+≤-λλ即可，………………13分
解得32--≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分
19．（嘉定区2013届高三一模 理科）（本题满分12分）
设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(2
2θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．
19．（本题满分12分）
方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）
因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）
所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分） 所以43sin 2=θ，所以4sin 4122
=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）
所以3π
θ2=，2±=a ．…………（12分）。
