§4__4.1__单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

【基础铺垫】1．任意角的正弦、余弦函数的定义（1）单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，那么：正弦函数 余弦函数 定义 点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α 点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α正弦、余弦函数定义的推广:设P x ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r. 思考1：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？[提示] 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．【合作探究】所以⎩⎨⎧ x ＝55，y ＝255，于是sin α＝y ＝255， cos α＝x ＝55. 法二：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(x >0)，则OP ＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |，又因为x >0，所以OP ＝5x .所以sin α＝y 5x ＝255，cos α＝x 5x ＝55. 【规律方法】求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：1利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P u ，v ，则v ＝sin α，u ＝cos α.2利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设Px ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r .。

跟踪训练 1 (1)如果 α 的终边过点 P(2sin30°，－2cos30°)，那
么 sinα 的值等于( )
1 A.2
B．－12
C．－
3 2
D．－
3 3
(2)已知角 α 的终边过点 P(12，a)且 tanα＝152，求 sinα＋cosα 的 值．
解析：(1)因为 P(1，－ 3)，所以 r＝ 12＋－ 32＝2，
3．终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系 终边相同的角的正弦、余弦函数值相等，即 sin(x＋2kπ)＝ sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)．
4．周期函数 (1)正、余弦函数的周期 正弦函数的周期为 2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为 2π； 余弦函数的周期为 2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期是 2π. (2)周期函数 一般地，对于函数 f(x)，如果存在非零实数 T，对定义域内的 任意一个 x 值，都有 f(x＋T)＝f(x)，我们就把 f(x)称为周期函数，T 称为这个函数的周期．
答案：B
3．若角
α
的终边与单位圆相交于点

22，－
22，则
sinα
的值
为( )
2 A. 2
B．－
2 2
1 C.2
D．－12
解析：根据任意角的三角函数的定义可知，点

22，－
22到原
点的距离为 1，则 sinα＝－122＝－ 22，故选 B.
答案：B
4．计算 sin(－1 380°)的值为( )
【课标要求】 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义. 2.掌握三角函数在各象限的符号. 3.理解周期函数的概念.
自主学习 基础认识
|新知预习|

(2)在单位圆中,若角α= ,求 sin α与 cos α的值;
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α.
2.任意角的正余弦函数值的计算方法


= , =


其中 =
2 + 2
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
值、余弦函数值.
y
N
M
x
抽象概括
设任意角终边上除原点外的另外一点 , ，则角的正弦函数值和余
弦函数值分别为：


= , =


其中 =
2 + 2
学以致用
例3.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α=
解析因为 x=5,y=-12,
所以 r= 52 + (-12)2=13,
单位圆与任意角的正弦函数，余弦函数
2023.02.20情Fra bibliotek导入在初中我们是如何定义锐角的正弦值和余弦值？
P

O
M
MP
sin α
OP
OM
cos α
OP
新知探究
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角α的

sin x, k ? Z ；
终边相同的角的余弦值相等，
cos x, k ? Z .
上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加 2 p
的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正
弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的. 我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期 函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2kp (k 喂Z , k 0) 为正弦函数、余弦函数的周期. 例如， - 4p , - 2p , 2p , 4p 等都是它们的周期.其中 2p
斜边 对边

对边 斜边
邻边
sin a = _____;cos a = _____;
邻边 斜边
锐角三角函数坐标化
y
P(u,v) r 设锐角 的顶点与原点O 重合,始边与 x 轴的非 负半轴重合.在 的终边上任取一 点 P(u, v) ,它与原点的距离 r u 2 v2 x
MP v sin OP r OM u cos OP r
P(u,v)
α x O M x(1,0)
任意角的三角函数定义
如图，设α是一个任意角，
它的终边与单位圆交于点 P(u,v)，那么：
y
P(u,v)
O
α
x(1,0) x
1.v叫作α的正弦函数， 记作sinα，即sinα=v；
2.u叫作α的余弦函数， 记作cosα，即cosα=u;
设α 是一个任意的象限角，那么当α 在第一、
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§4 正弦函数和余弦函数的定义与 诱导公式
4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性
1. 掌握正弦函数、余弦函数的定义. 2.利用单位圆理解正弦函数与余弦函数都是周期函数, 并知道它们的周期. 3. 知道周期函数的定义.